高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）
1．已知椭圆2
2
:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;
（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆
221
2
x y +=
的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为
22
1164
x y +=, 所以2
2
2
2
2
16,4,12从而a b c a b ===-=,
因此4,a c ==故椭圆C
的离心率2
c e a =
=............4分 (II)由22
1,
416
y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分
设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,
则1224214M x x k x k +==-+,122
1
214M y y y k
+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,
因此BM 的斜率1
BM k k
=-. ............... ...........................................8分
又点B 的坐标为()0,2-,所以2
221
2
2381440414M BM M y k k k k x k k
++++===-
--+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21
8
k =,
所以4k =±,....................12分
故EF
的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分
又圆221
2x y +=
的圆心()0,0O 到直线EF
的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分
2．已知椭圆的中心在坐标原点O
，长轴长为
离心率e =
F 的直线l 交
椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；
（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；
（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.
2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()22
2210x y a b a b
+=>>． --------1分
∵长轴长为
离心率2
e =
，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2
212
x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．
设()()1122,,,P x y Q x y ，
由 2222,1,
x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．
∴
1212
23
POQ S OF y y ∆=⋅-=． --------------9分
（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 1=，此时POQ ∠小于90o
，,OP OQ 为
邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．
由 ()22
22,1,
x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()
2222124220k x k x k +-+-=．
∴22121222
422
,1212k k x x x x k k
-+==++．11(1)y k x =-Q ，22(1)y k x =- 2
122
12k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .
由22
121222
2201212k k OP OQ x x y y k k
--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，
k ∴=.∴
所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分
3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A -，
离心率为
3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，
因为2a =，
3
c a =，
所以 c =
222
43
b a
c =-=． 所以 椭圆的方程为22
3144
x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，
则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为
d =
．
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则 22
34
y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22
(31)4k x +=． 可得
P ，(Q ．
因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，
所以
1
||2
PQ d =，即||OP d =． 所以 222
+=， 解得 1k =±．
所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分
4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P
在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且
APQ BPQ ∠=∠．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．
4．解：（1）由已知得e =，则1
2
b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>
由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以
22
4114b b
+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．
设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．
由2248(12),
x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222
(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()
222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得2
16(21)0k +>，解得12
k ≠-
. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164
214A k k x k --⋅=+．
所以22
882
14A k k x k
--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，1
2
k =-
，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．
同理，易得2222
8()8()2882
14()14B k k k k x k k ----+-==+-+．
由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，
且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12
k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 11
2222
APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=
⋅-+⋅- 2222
1882882
21414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-
++21614k k =+ 由于12k >
，故2
1616
1144k S k k k
==++. 当1
2k >
时，144k k +>，即110144k k
<
<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t
=+在1,2t ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当1
2
t >
时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当1
2
t >
时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分
5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线
022=+-y x 的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.
5．解: （1）依题意可设椭圆方程为22
21x y a
+=，………….2分
则右焦点F
的坐标为
)
，
3=，解得23a =，
故所求椭圆的标准方程为2
213
x y +=. ………………………….5分
6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2
22:12x C y -=的顶点，直线20+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r
，且A ，B ，Q 三点不共线.
（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；
（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.
6．（1）解法1： ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分
∴ 2
2
2
2b a =-
=. ………………………3分
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142x y +=. ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线2
22:12
x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分
∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .
设椭圆1C 方程为122
22=+b
y a x ()0a b >>，
∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴
22
21
1a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 2
2
2a b =+, ② ………………………3分 由①②解得2
4a =, 2
2b =.
∴ 椭圆1C 的方程为 22
142
x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，
∴(1)AQ x y =-u u u r ，11(1)AP x y =-u u u r
，
(1)BQ x y =+u u u r ，11(1)BP x y =+u u u r
.
由 0AQ AP ⋅=u u u r u u u r
, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分
即 11((1)(1)x x y y =---. ①
同理, 由0BQ BP ⋅=u u u r u u u r
, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分
①⨯②得 2222
11(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分
由于点P 在椭圆1C 上, 则22
11142
x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222
112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.
当2110y -≠时，有22
25x y +=，
当2
110y -=
，则点(1)P -
或1)P ,此时点Q
对应的坐标分别为1)或
(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分
当点P 与点A 重合时，即点
P (1)，由②得
3y =
-，
解方程组2225,
3,
x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q
的坐标为
)
1-
或22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q
的坐标为()
或22⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭
. ∴点Q 的轨迹方程为 22
25x y +=,
除去四个点
)1-
,2⎫
-⎪⎪⎝⎭
, ()
,
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，
由
A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得
B 1)-，
∵0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ，0BQ BP ⋅=u u u r u u u r
，
∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.
1=-
(1x ≠，① ……………………5分
1=-
(1x ≠. ② ……………………6分
①⨯② 得 1222211
1
122
y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分
∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得22
1122
x y =-,
代入(*)式得2
212
211112122
x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2
2
25x y +=.
若点(1)P -
或P , 此时点Q
对应的坐标分别为1)或
(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分
当点P 与点A 重合时，即点
P (1)，由②得
3y =
-，
解方程组22
25,
3,
x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q
的坐标为
)
1-
或2⎫
-⎪⎪⎝⎭
.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q
的坐标为()
或22⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭
. ∴点Q 的轨迹方程为 22
25x y +=,
除去四个点
)1-
,,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
, ()
,
22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:
AB 0x =
.
△ABQ
的面积为S =分
x =
=
………………………11分
而22
2(2)42y x x =⨯⨯≤+
（当且仅当2x =
∴S =≤=
=
. ……12分
当且仅当2x =
时, 等号成立.
由22225,
x x y ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
………………………13分
∴△ABQ的面积最大值为52
, 此时,点Q的坐标为
2
,2
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
或
2
,2
2
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎝⎭
.…14分解法2：由于()()
22
221123
AB=++--=，
故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大．………………………10分设与直线AB平行的直线为20
x y m
++=，
由
22
20,
25,
x y m
x y
⎧++=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
消去x，得22
542250
y my c
++-=，
由()
22
3220250
m m
∆=--=，解得
52
m=±．………………………11分若
52
m=，则2
y=-，
2
x=-；若
52
m=-，则2
y=，
2
x=．…12分故当点Q的坐标为
2
,2
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
或
2
,2
2
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎝⎭
时，△ABQ的面积最大，其值为
()2
2
2
22
2
152
22
12
S AB
+⨯
=⨯=
+
．………………………14分7．如图，B
A,分别是椭圆C：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的左右顶点，F为其右焦点，2是AF与FB的等差中项，3是AF与FB的等比中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上异于B
A,的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ 垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：B
P
Q,
,三点共线．
7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴
，解得a=2，c=1，
∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为
=1．
（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），
联立
，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，
∴，
∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，
∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣． 直线QF 的方程为：y=﹣
，
把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q
．
∴k PQ ==，k BQ =．
∴k PQ =k BQ ，
∴B ，P ，Q 三点共线．
8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3
2，且经过点()0,1．圆
22221:C x y a b +=+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交
于,A B 两点，问AM BM +=u u u u r u u u u r
0是否成立？请说明理由． 8．解析：（1）解：∵ 椭圆22
22:1x y C a b
+=过点()0,1，
∴ 2
1b =.
∵
2
222
c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为2
2
5x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组22
,14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．
由（*）得()
222148440k x kmx m +++-=． …………6分 从而()(
)()2
2
2
8414440km k
m
∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分
()
228414214M km km
x k k =-=-++，22241414M M
k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414km
m k k ⎛⎫-
⎪++⎝⎭
. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，
∴OM
k k ⨯=22
11414414m
k k km k +⨯=-≠--
+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分
∴AM BM +=u u u u r u u u u r
0不成立. ………14分
解法2：由（1）知，圆1C 的方程为2
2
5x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组22
,14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．
由（*）得()
222148440k x kmx m +++-=． ………6分 从而()(
)()2
2
2
8414440km k
m
∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分
()
22
8414214M km km
x k k =-
=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，
设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22
,5,
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩消去y ,得()222
1250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 122
21N x x km
x k
+=
=-+. …………10分 若N M x x =,得22
4114km km
k k -=-
++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分
∴ AM BM +=u u u u r u u u u r
0不成立. ………14分
9．已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值．
9．【解析】（1）由题可知(
,0)2p F ，则该直线方程为：2
p
y x =-，………1分 代入2
2(0)y px p =>
得：2
2
304
p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有
123x x p +=…3分
∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得
p =2
∴抛物线的方程为：2
4y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入
24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，
因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，
解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =
设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+u u u u r u u u r
所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+u u u u r u u u r
2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++
126x x +=，121x x =，
21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-
，∴12y y +=221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++u u u u r u u u r
………10分
222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-
当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值为14-．………12分
10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；
（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得
=， （2分）
化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，
由24x y y kx b
ìï=ïí
ï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x b
ì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）
以点P 为切点的切线的斜率为11
12y x ¢=，其切线方程为1111
()2
y y x x
x -=- 即21111
24
y x x x =
- 同理过点Q 的切线的方程为22211
24
y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，
12x x ¹Q ，解得121222
4A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïí
ïï==-ïïïî
，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>
22212||1||41PQ k x x k k b \=
+-=++
(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22
|22|1
k b d k +=
+ （2分）
3
3
22224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+
\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111
()2
y y x x x -=- 即111
2
y x x y =
- 同理以点Q 为切点的方程为221
2y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010
101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî
，
\点,P Q 的坐标均满足方程
0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：001
2
y x x y =- （2分）
代入抛物线方程2
4x y =消去y 可得：
2
00240x x x y -+=
00(,)A x y 到直线PQ 的距离为2
002
01|
2|2
114
x y d x -=+ （2分）
3
3
222200011
(48)[(2)4]22
x x x =-+=-+
所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）
11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）
与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ． （1）求a 的值；
（2）若25S T =1l 的方程；
（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐
标；若不是，说明理由．
11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：
解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.
设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，22
112
24,4x y x y ==， 由21,
4,
y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得221,241
2212
k k x k k ±+=
=±+.
∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分
直线AB 的斜率2
111111
124224
AB
x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12
124
x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-
+，∴点S 的坐标为18
2,12x ⎛⎫-
- ⎪+⎝⎭
. ……………4分
同理可得点T 的坐标为28
2,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分
∴()()()
121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫
=-
--= ⎪
++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x
x x x x k k
---===+++. ……………6分
∵ST =，
∴12x x -=. 由()2
2
1212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，
解得2k =, 或2k =-, (7)
分
∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，
则()()()120122441882222222x x x x x ++⎛⎫
=-+-= ⎪+++⎝⎭ ()()12124442
2224k x x x x k
+=-
==-+++. ……………10分
而2
ST
=()()()2
2
212
12
12
2
2
2
1614k x x x x x x k k k +-+-==
， ……………11分
∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2
222114x y ST k ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭()22
41k k +=. 展开得()()2
22
2
2414414k x x y k k k
++++=-=. ……………12分 令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.
设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，
由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.
x k y ⎧
=-⎪
⎨
⎪=-⎩
∴点S 的坐标为12
2,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分
由()1212,
4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，2
2111114414
y x k k =
=-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，
则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()2
22242,441k k k --+. …………4分
∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，
∴()()
()()
()()22222
2112
1212121
4414414242k
k k k k k k k k k k k k -+--+---=
=
----121k k =+-.
∴121k k k +=+. ………5分
又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122
k
k k =
. ……………6分 ()121212
22222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分
∵ST =，∴
(
)1212
2k k k k -=.∴()()22
12125k k k k -=.
由()()()2
2
2
1212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，
得()2
25124
k k k +=+，
解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分
（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，
则0SP TP ⋅=u u r u u r
， ………10分
得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫
-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分
整理得，()2
24410x x y k
+
-++=. …12分 令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆
E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =u u u r u u u r
.
12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)022+a x
由题意可得：⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a
因此：椭圆C 的方程为12
22
=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，
由题意可得：)2,0()0,2(Y -∈m
将x m =代入椭圆方程122
2=+y x ，得2
2||2m y -= 所以：4
622||2=
-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212
=m ① 又)0,()0,2(2
1
)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==
因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2
=mt ② 由①②得：42=t 或342
=t ，又知0>t ，于是2=t 或33
2=
t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222
得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2
221h k >+
此时：2
2
12122212212122)(,2122,214k h
h x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以2
2
22
212212
21211224)(1||k h k k
x x x x k
AB +-++=-++=
因为点O 到直线AB 的距离2
1||k
h d +=
所以：222221||212112221||21k
h k h k k d AB S AOB
+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46
||212122
22=+-+=h k h k ③
令221k n +=，代入③整理得：0161634
22=+-h n h n
解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或22
3421h k =+④
又)21,212(),(21)(212
22121k ht
k kht y y x x t t t ++-=++=+==
因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21((21[2
2
2=+k
h t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342
=t 2=t 或332=t ，经检验，符合题意
综上所述：2=t 或33
2
=t
13．已知点()2,1P 在抛物线()2
1:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交
于A 、B 两点。

（1）求抛物线1C 的方程及弦AB 中点M 的轨迹2C 的方程；
（2）若直线1l 、2l 分别为1C 、2C 的切线，且12//l l ，求12l l 到的最近距离。

14．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为2的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且
||5AB =．
（1）求此抛物线方程；
（2）若(12)M ，是抛物线上一点，求MB MA ⋅的值．
14．解：(1) 因焦点(0)2p F ，，所以直线l 的方程为2()2
p y x =- 由22()22p y x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
消去y 得 22460x px p -+= ①
设1122()()A x y B x y ，，，，则1232
p x x += ∴ 125||52
p
AB x x p =++=
= ∴2p = ∴ 抛物线方程为24y x = ··································································· 6分 (2) 方程①化为 2310x x -+= ∴ 121231x x x x +==，
直线l 的方程为22y x =-
∴ 1122(1
2)(12)MA MB x y x y =----u u u r u u u r
g ，，1212(1)(1)(2)(2)x x y y =--+-- 1212(1)(1)(24)(24)x x x x =--+--121259()17x x x x =-++
527175=-+=-
···························································· 12分 15．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
，且过点(．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r
，求弦AB 长度的取值
范围．
15．解：(1) 由22
2231
1()44
b b e a a =+==得 ∴ 2a b =
从而椭圆方程为22
2214x y b b +=，
将22221
()11242b b b
+==，代入得得解 ∴ 12b a ==，
∴ 椭圆方程为2
214
x y += ·································································· 3分
(2) ∵ ||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r ∴ OA OB ⊥u u u r u u u r
当l ⊥x 轴时，由对称性不妙设点A 在第一象限，可求
得
A B ，
∴
||AB =
=
当l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为y kx m =+
由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(14)8440k x kmx m +++-= ·························· 4分 由2222644(14)(44)0k m k m ∆=-+->得2241k m +>
设1122()()A x y B x y ，，，，则
2121222
844
1414km m x x x x k k -+=-=
++， ························································ 5分 ∵ OA OB
⊥u u u r u u u r
∴ 22
121212121212()()(1)()0x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++=
代入得22
222448(1)01414m km k km m k k -+-+=++g g ，解得22
445
k m +=
·············· 7分 ∴
12|||AB x x -
==
= ················· 9分
=
当0k =
时，||AB =
当0k ≠
时，||AB =
||AB >
综上可知，弦AB
长度的取值范围为 ·
··································· 12分
16．已知椭圆22
2210)x y a b a b
+=>>（
的离心率3e =
，过点A (0,)b -和B (,0)a 的直线
. （1）求椭圆的方程；
（2）设12F F 、为椭圆的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于Q P ,两点，求1PQF ∆的内切圆半径r 的最大值.
16．（1）直线AB 的方程为
1=-+b
y
a x 即--a
b ay bx 原点到直线AB 的距离为
2
32
2=
+b a ab 即2
222433b a b a =+..........① 223
236a c a c e =⇒==
...................................② 又2
2
2
c b a += ...................................③ 由①②③可得：2,1,32
2
2
===c b a
故椭圆方程为13
22
=+y x （2）()(
)
0,2,0,22
1F F -，设()()2211,,,y x Q y x P
由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为：2+=ky x 联立直线与椭圆方程：
()
0122313
2222
2
=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=ky y k y x ky x
故⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+-=+31322221221k y y k k y y ...........④ 而21212
1
21211y y F F S S S Q F F P F F PQ F -=+=∆∆∆()2122142y y y y -+=..........⑤
将④代入⑤得：31
623432222222
21++=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∆k k k k k S PQ F 又()r r a r PQ PF PF S PQ F 3222
1
211=⋅=⋅++=
∆ 所以r k k 32316222=++故2
1
1
212
3122222≤
++
+=
++=k k k k r 当且仅当1
212
2
+=
+k k 即1±=k 时，取得“=”
故1PQF ∆的内切圆半径r 的最大值为
2
1。

17．已知椭圆Q 的中心为坐标原点，焦点在x
轴上，离心率2
e =，过椭圆Q 右焦点且垂直于x 轴的一条直线交椭圆于,E F 两点，=1EF . （1）求椭圆Q 的方程；
（2）已知
两
点(,0),22
C D -
，设,,A B M 是椭圆Q 上的三点，满足3455
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
，点N 为线段AB 的中点，求NC ND +的值.
17．【解】(1) 依据题意可设椭圆22
22:1(0)x y Q a b a b
+=>>，(,0)F c ，则有：
2222222
242=113
c e a
a b EF b a c a b c ⎧==⎪
⎧⎪=⎪⎪=⇒=⇒⎨
⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎩
椭圆:Q 2
214x y += ……………………6分
（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则221114x y +=，2
2
2214
x y += ① 由3455
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r 得12123434
(,)5555M x x y y ++，又点M 在椭圆:Q 2214x y +=上 则有22
121213434()()145555
x x y y ⋅+++= ②
综合①、②得：121204
x x
y y ⋅+⋅=
又线段AB 的中点为1212
(,)22
x x y y N ++，且有：
2
212122222111211121()()422111++()444424111442
x x y y x x x x y y y y +++⋅=+++⋅=+=（）（） 上式表明，点N 在椭圆2
2212
x y +=上，且该椭圆的两个焦点恰好
为(,0),22
C D -
ND . ……………12分
18．如图，已知椭圆(1:2222=+a b
y a x C 23
，以椭圆C 的左顶点T 为圆
心作圆)0()2(:2
22>=++r r y x T ，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N . （1）求椭圆C 的方程；
（2）求TN TM ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于N M ,上任意一点，且直线NP MP ,分别与x 轴交于点S R ,，O 为坐标原点，求证：||||OS OR ⋅为定值.
18．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，
【解】（1）依题意得：2
3
,2==
=a c e a ，于是c 故椭圆C 的方程为14
22
=+y x （2）易知点M 与点N 关于x 轴对称，设),(),,(1111y x N y x M -，不妨设01>y
由于点M 在椭圆C 上，所以)(4
12
121
*-=x y 由已知)0,2(-T ，则),2(),,2(1111y x y x TM -+=+=
所以：)4
1()2()2(),2(),2(2
12
12
1
2
11111x x y x y x y x TN TM --+=-+=-+⋅+=⋅
5
1)58(45344521121-+=++=x x x 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM ⋅取得最小值5
1
-
把581-=x 代入)(*式，得531=y ，故)53,58(-M ，又点M 在圆T 上，代入方程得25
132
=r
故圆T 的方程为：25
13)2(2
2=++y x
（3）设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01
01
0x x x x y y y y ---=- 令0=y 得101001y y y x y x x R --=，同理可得：1
01
001y y y x y x x S ++=
故)(2
22
1
2221
0001**--=
⋅y y y x y x x x S R
又点M 与点P 在椭圆上，故)2
1，代入)(**式
得：4)(42
2222
22
1
2221
01
010001=--==--=
⋅y y y y y y y x y x x x S R 所以4||||||||||=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值
19．右焦点分别是21,F F ，P 为椭圆上任一点，且21F PF ∆的最大面积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，且以AB 为直径的圆恒过
原点O ，若实数m 满足条件，求m 的最大值.
19．（1
所以椭圆C 的方程
（2）设直线l 的方程n kx y +=由⎩⎨⎧+==+n
kx y y x 2222得：0224)12(2
22=-+++n knx x k ，
设),(),,(2211y x B y x A ，则由于以AB 为直径的圆恒过原点O ，于是0=⋅OB OA ，即02121==+y y x x ，
化简得：OAB S OAB AB AO m ∆=∠⋅=2sin ||||.
因此，要求m 的最大值，只需求OAB S
∆的最大值，下面开始求OAB S ∆的最大值：
点O 到直线AB 的距离又因为022322=--
k n ，所以23222-=n k ，
即2=t ，即1±=n 时，OAB S ∆取最大值，且最大值为所以m 的最大值为20．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22=e ，点P (1，22
)在该椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l 与圆O :12
2
=+y x 相切，并椭圆交于不同的两点A 、B ，求
AOB ∆面积S 的最大值．
20．解：(1)∵椭圆122
22=+b y a x 的离心率2
122===a c e ，∴c a 2=，又∵
2
2
2
c b a +=，∴c b =，故椭圆方程可写为222
2
c y x =+，又∵点P (1，22)
在该椭圆上，∴12
=c ，故所求椭圆方程为12
22
=+y x ． ……5分 (2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为
n my x +=(R m ∈)．∵直线l 即0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴
有：
11
||2=+m n 得122+=m n ．又∵点A 、B 的坐标(1x ，1y )、(2x ，2y )满足：
⎩⎨⎧=-++=0
222
2y x n my x ，消去整理得022)2(2
22=-+++n mny y m ， 其判别式8)2(8)2)(2(442
2
2
2
2
2
=+-=-+-=∆n m n m n m ， 又由求根公式有)
2(222
21+∆
±-=
m mn y 、． 2
2
2)(2
1sin ||||21→→→→→→∆⋅-⋅=∠=OB OA OB OA AOB OB OA S AOB
||211221y x y x -=
=+-+=|)()(|211221y n my y n my |)(|2
1
12y y n - 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n 212122
22+⋅++⋅=m m m ． ∵12
1
2122
2=++++m m m ，∴=∆AOB S 22
2
12122
22≤+⋅++⋅m m m ， 当且仅当0=m 时取等号．∴所求△AOB 面积S 的最大值
2
2
．……14分。