直梁弯曲时的内力和应力下

2
σ max
M max ymax 2.25 ×10 × 50 ×10 Pa = = 6 −12 Iz 6.67 ×10 ×10 = 16.9MPa
3
−3
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第五节 梁的强度计算
一、最大正应力 危险截面：对于等截面梁， 危险截面：对于等截面梁，最大正应力发生在弯 矩最大截面的上 下边缘处，弯矩最大的截面。 矩最大截面的上、下边缘处，弯矩最大的截面。 危险点：危险截面上处弯曲应力最大的点。 危险点：危险截面上处弯曲应力最大的点。 最大 正应力 引入抗弯 截面系数
σ = Eε = E
ρ
y
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 3、静力平衡关系 、 如图所示， 如图所示，在截面上任 取一微面积dA， 取一微面积 ，作用于该微 面积上的轴向力为σ⋅dA。因 。 为截面上所有轴向力的合力 为零，则有： 为零，则有：
∑ Fix = 0
i =1
n
∫ σdA = 0
A
E
∫ ydA = 0 ρA
2）弯曲正应力强度条件 ）
M max σ max = ≤ [σ ] Wz 查附表4 查附表 M max 45×103 3 3 Wz ≥ = m = 264.7cm 选22a工字钢 6 工字钢 [σ ] 170×10
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 形截面外伸梁， 例7-10 T形截面外伸梁，载荷及尺寸如图所示， 形截面外伸梁 载荷及尺寸如图所示， 已知截面的中性轴为z轴 轴到上 轴到上、 已知截面的中性轴为 轴，z轴到上、下边缘的距离分 别为y 轴的惯性矩为I 别为 1=52mm、y2=88mm，截面对 轴的惯性矩为 z= 、 ，截面对z轴的惯性矩为 763cm4。梁的抗拉许用应力 σ+]=40MPa，抗压许用 梁的抗拉许用应力[ ， 应力[ 应力 σ–]=100MPa。试校核该梁的正应力强度条件。 。试校核该梁的正应力强度条件。 解：1）计算梁的支座反力 ）
M max= 30kN ⋅ m
2）计算矩形截面的 ） 抗弯截面系数
2
120×180 3 Wz = mm 6 = 6.48 × 105 mm3
3 M max 30×10 = Pa 3）梁的最大正应力 σ max = ） 5 −9 Wz 6.48×10 ×10 因此， 满足正 因此，梁满足正 = 46.3MPa < [σ ] 应力强度条件。 应力强度条件。
2
I y = I yC + b A
2
结论 的惯性矩等于该截面对过形心 截面对任一轴 z 的惯性矩等于该截面对过形心 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 加上两轴之间的 而平行于 z 轴的 zC 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 的平方与截面面积的乘积。 的平方与截面面积的乘积。此结论对任一 y 轴也同 样成立。 样成立。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 纵向纤维线应变变化规律
cd − cd ε= cd ( ρ + y )dθ − ρdθ y = = ρdθ ρ
2、物理关系 、 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩， 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，当正应力 不超过材料的比例极限时可应用胡克定律， 不超过材料的比例极限时可应用胡克定律，因此可得 cd处的正应力为 处的正应力为
S Z = ∫ ydA
A
Sz = 0
结论
中性轴必 截面的形心。 中性轴必过截面的形心。 形心
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 截面所有微面积上的力对 截面所有微面积上的力对 z 轴的合力矩即 轴的合力矩即为作用在该截 面上的弯矩 弯矩： 面上的弯矩：
M = ∫ yσdA A y σ =E
ρ
M = ∫ y ⋅ E dA = ∫ y dA = ρ ρA ρ A 1 梁截面的曲率； 截面对z轴的惯性矩 梁截面的曲率 截面对 轴的惯性矩； I z ——截面对 轴的惯性矩； ——梁截面的曲率； ρ 抗弯曲刚度。 抗弯曲刚度 EI z——抗弯曲刚度。
I z = ∫ y 2 dA
A
I y = ∫ z 2 dA
A
工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形 工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形 矩形 心主轴的惯性矩可在表 中查到 中查到。 心主轴的惯性矩可在表7-1中查到。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
表7-1 简单截面对形心主轴的惯性矩和抗弯截面模量 图 形 形心主轴惯性矩 抗弯截面模量
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 简支梁受均布载荷q作用如图所示 作用如图所示， 例7-7 简支梁受均布载荷 作用如图所示，已知 q=2kN/m，梁跨度 ，梁跨度l=3m，截面为矩形，b=80mm， ，截面为矩形， ， h=100mm。求：（1）C截面上 、b、c三点处的正应 截面上a、 、 三点处的正应 。 ） 截面上 ；（2）梁的最大正应力值及其位置。 力；（ ）梁的最大正应力值及其位置。 解：求支座反力
2
y
E
EI z
M = ρ EI z
1
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
M = ρ EI z y σ =E
1
ρ
My σ= Iz
弯曲正应力的 一般计算公式
注意 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的， 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的，但对于 工程中许多剪切弯曲的情况也适用 剪切弯曲的情况也适用； 工程中许多剪切弯曲的情况也适用； 分析表明，对于梁的长度l 远大于其截面高度h的 分析表明，对于梁的长度 远大于其截面高度 的 细长梁，该式计算弯曲正应力 相当精确的 弯曲正应力是 细长梁，该式计算弯曲正应力是相当精确的。工 程中对于l 的情形，往往采用该式计算剪切弯 程中对于 > 5h 的情形，往往采用该式计算剪切弯 时的正应力 正应力。 曲时的正应力。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 结论：梁变形后，横向线依然保持直线， 结论：梁变形后，横向线依然保ຫໍສະໝຸດ Baidu直线，且与 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线， 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。 平面假设：梁变形后横截面依然保持平面， 平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 纵向纤维单向受力假设： 纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。 向拉伸或压缩变形。 中性层：梁在弯曲变形时， 中性层：梁在弯曲变形时， 一部分纤维伸长， 一部分纤维伸长，一部分纤 维缩短， 维缩短，必然有一部分纤维 既不伸长也不缩短的层。 既不伸长也不缩短的层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴：中性层与横截面的交线。
说明 对于塑性材料： 抗拉和抗压强度相同， 对于塑性材料：其抗拉和抗压强度相同，宜选用 塑性材料 强度相同 中性轴为截面对称轴的梁 为截面对称轴的梁， 中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为 正应力 强度条件
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 对于塑性材料： 抗拉和抗压强度相同， 对于塑性材料：其抗拉和抗压强度相同，宜选用 塑性材料 强度相同 中性轴为截面对称轴的梁 为截面对称轴的梁， 中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为 正应力 强度条件
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 如图所示的简支梁是工字钢， 例7-9 如图所示的简支梁是工字钢，作用有均布 载荷， 载荷，q=10kN/m，其弯曲许用应力 σ ]=170MPa，试 ，其弯曲许用应力[ ， 选择工字钢的型号。 选择工字钢的型号。 解：1）作梁的弯矩图 ）
M max
1 2 = ql 8 = 45kN ⋅ m
梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题： 梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题：强 三类问题 度校核、截面设计和载荷估计。 度校核、截面设计和载荷估计。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示， 例7-8 矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示， 材料的弯曲许用应力[ 材料的弯曲许用应力 σ ]=100MPa，试校核梁的强度。 ，试校核梁的强度。 解：1）作梁的弯矩图 ）
bh3 hb3 ，I y = Iz = 12 12
bh2 Wz = 6
Iz =
πD 4
64
Wz =
πD3
32
Iz =
πD 4
(1 − α 4 ) 64 d α= D
Wz =
(1 − α 4 ) 32 d α= D
πD3
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
惯性矩的平行移轴公式
I z = I zC + a A
dI y = z 2 dA
微元对y轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
dI z = y dA
2
微元对z轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
dI y = z dA
2
微元对y轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩。 轴的惯性矩。 上式对整个截面积分，得截面对 轴 轴的惯性矩
M max ymax σ max = Iz Iz Wz = ymax
M max σ max = Wz
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 对于中性轴不是截面的对称轴的 对于中性轴不是截面的对称轴的 中性轴不是截面的对称轴 最大拉应力值与最大压 梁，其最大拉应力值与最大压应力值 不相等。 不相等。
注意
T形截面梁最大拉应力 形截面梁最大拉应力 T形截面梁最大压应力 T形截面梁最大压应力
3 −3
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 2）作弯矩图 ） 弯矩最大值发生在 跨中截面处 其值为： 截面处， 跨中截面处，其值为：
r FRA
r FRB
l 1 l M max = FRA × − q 2 2 2 1 2 = ql = 2.25kN ⋅ m 8
梁的最大正应力发生在跨中截面的 梁的最大正应力发生在 跨中截面的上 、 下边缘 跨中截面 最大正应力值为： 处，最大正应力值为：
计算各点的正应力
M C ya 2 × 103 × 50 × 10 −3 σa = = Pa = 15.0MPa 6 −12 Iz 6.67 × 10 ×10 M C yb 2 × 103 × 30 ×10 −3 σb = = Pa = 8.97MPa 6 −12 Iz 6.67 ×10 × 10 M C yc 2 × 10 × (−50 ×10 ) σc = = Pa = −15.0MPa 6 −12 Iz 6.67 × 10 × 10
FRA
FRB
FRA
FRB
1 = ql = 3kN 2 = 3kN
1 2 M C = FRA ×1 − q ×1 ）kN ⋅ m = 2kN ⋅ m （ 2
1）计算C截面的弯矩 ）计算 截面的弯矩
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 计算截面对中性轴z的惯性矩 计算截面对中性轴 的惯性矩
bh3 1 Iz = = × 80×1003 mm4 = 6.67 ×10−6 m4 12 12
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第四节 纯弯曲时横截面的正应力
一、截面的惯性矩 惯性矩的计算 如图所示， 如图所示，取截面上任一点 K的邻域 ，K点到 z 轴、y 轴 的邻域dA， 点到 的邻域 的距离分别为y、 ，定义： 的距离分别为 、z，定义：
dI z = y dA
2
微元对z轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
M max y2 σ = Iz M max y1 − σ max = Iz
+ max
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、正应力强度条件 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作， 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作，危险 处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力 。 正应力必须小于梁的弯曲许用应力[ 点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力 σ ]。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、纯弯曲的概念 纯弯曲：剪力值为 值为零 弯矩值是一常数， 纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲 纯弯曲。 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲 变形称剪切弯曲 剪切弯曲（ 横力弯曲）。 变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。 三、纯弯曲时横截面的正应力 1、几何关系 、 观察梁的变形： 取一对 观察梁的变形 ： 取一 对 截面梁， 称 截面梁 ， 在其表面上画上 横向线m-m和n-n以及纵向线 横向线 和 以及纵向线 ab和 cd， 在梁的纵向对称面 和 ， 内施加一对等值、 内施加一对等值 、 反向的力 梁处于纯弯曲状态。 偶，梁处于纯弯曲状态。
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
对于脆性材料：其抗拉和抗压强度不同， 对于脆性材料：其抗拉和抗压强度不同，宜选用 脆性材料 不同 中性轴不是截面对称轴的梁， 对称轴的梁 中性轴不是截面对称轴的梁，应分别对抗拉和抗 压应力建立强度条件： 压应力建立强度条件：
σ σ
+ max − max
≤ [σ + ] ≤ [σ − ]