专训1 因式分解的六种常见方法 公开课一等奖课件

方法 5 整体法
题型1 “提”整体 12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．
解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z) ＝(x＋y－z)(a＋b－c)．
题型2 “当”整体 13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
乙：a2－b2－c2＋2bc ＝a2－(b2＋c2－2bc) (分成两组) ＝a2－(b－c)2 (运用完全平方公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式) 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m2－mn＋mx－nx； (2)x2－2xy＋y2－9.
解： (1)m2－mn＋mx－nx ＝(m2－mn)＋(mx－nx) ＝m(m－n)＋x(m－n) ＝(m－n)(m＋x)． (2)x2－2xy＋y2－9 ＝(x2－2xy＋y2)－9 ＝(x－y)2－9 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
方法 1 提公因式法
题型1 公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，
其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( B )
A． 4x－1
B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1
D．3y－4x
同类变式
2．【中考•广州】分解因式：2mx－6my＝ _2_m__(x_－__3_y_) _．
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式： (1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解： (1)原式＝x4y4－16
＝(x2y2＋4)(x2y2－4) ＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)． (2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2. (3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.
本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可 谓“柳暗花明”，出现转机．
题型4 “凑”整体 15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
方法 6 换元法
16．分解因式： (1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9； (2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
解：(1)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9 ＝m2＋4m－2m－8＋9 ＝m2＋2m＋1 ＝(m＋1)2 ＝(a2＋2a＋1)2
＝(a＋1)4. (2)设b2－b＝n， 则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1
3．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
解： (1)2x2－xy＝x(2x－y)．
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n ＝－4m2n(m2－4m＋7)．
如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将 “－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要 改变符号．
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
同类变式
11．先阅读下面的材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提 公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解 因式的方法还有拆项法等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提 公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x－3 ＝x2＋2x＋1－4 ＝(x＋1)2－22 ＝(x＋1＋2)(x＋1－2) ＝(x＋3)(x－1)． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)x2－6x－7； (2)a2＋4ab－5b2.
因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题 不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了．
题型2 先提公因式再用公式法
6．把下列各式分解因式： (1)(x－1)＋b2(1－x)； (2)－3x7＋24x5－48x3.
解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2) ＝(x－1)(1＋b)(1－b)． (2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16) ＝－3x3(x2－4)2 ＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型2 公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式： (1)a(b－c)＋c－b； (2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2. 解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2 ＝5(2a－b)2(3b＋5)．
将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变 化．
(1)x(x＋4)＋4； (2)4x(y－x)－y2. 解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.
(2)原式＝4xy－4x2－y2＝－(4x2－4xy＋y2) ＝－(2x－y)2.
通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整 式乘法法则展开后，便可以运用察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因 式分解： 甲：x2－xy＋4x－4y ＝(x2－xy)＋(4x－4y) (分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)
本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的 字母a.
题型3 “拆”整体 14．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2 ＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2) ＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc) ＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
＝n2＋3n＋n＋3＋1 ＝n2＋4n＋4 ＝(n＋2)2 ＝(b2－b＋2)2.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
习题课
阶段方法技巧训练（三）
专训1 因式分解的六种常见方法
因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公 式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一 个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然 后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不 能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、 拆项、换元等．
题型3 先局部再整体法 7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)•(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部 分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项 式因式分解．
题型4 先展开再分解法 8．把下列各式分解因式：
方法 4 拆、添项法
10．分解因式：x4＋ 1 . 4
解：原式＝x4＋x2＋ 1 －x2
＝＝（（xx22＋＋x12＋）4122－）x(2x2－x＋
1 2
)．
此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使 其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项 后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特 征，从而将原多项式进行因式分解．