北京海淀高二上期末数学理(含解析)

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科) 2014．01

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）． A ．12x = B ．12

y = C ．12x =- D ．1

2y =-

2．若直线10x ay ++=与直线230x y ++=平行，则实数a =（ ）．

A ．12-

B ．2-

C ．1

2 D ．2

3．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点．设OA =uu r a ，OB =uu u r b ，OC =uuu r c ，那么向量AP uu u r

用基底{,,}

a b c 可表示为（ ）．

A ．111222-++a b c

B ．1122-++a b c

C ．1122++a b c

D ．111

222

++a b c

4．已知直线l ，平面α．则“l α⊥”是“∃直线m α⊂，l m ⊥”的（ ）．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(0,2)

C ．(1,2)

D ．(0,1)

6．已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）．

A ．p q ∧是真命题

B ．()p q ∧⌝是真命题

C ．()p q ⌝∨是真命题

D ．p q ∨是假命题

7．若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ）． A ．42 B ．4 C ．22 D ．2

8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面

1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．

是 （ ）． A ．存在点E ，使得11AC ∥平面1BED F B ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F C ．对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F

O

A

B

C

P F E

D 1

C 1B 1

A 1

D

C

B

A

D ．对于任意的点

E ，四棱锥11B BED

F -的体积均不变

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．

9．在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b ．若⊥a b ，则x =__________．

10．过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是__________．

11．已知抛物线:C 24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点．若OPF △是等腰三角形，则

PO =__________．

12．已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为__________．

13．如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是__________．

14．曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：

①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；

④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值为2(21)-．

其中，所有正确结论的序号是__________．

三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题共10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点() 4,0A ，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥． （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π

6

MOA ∠=时，求直线NA 的方程．

P

D 1

C 1

B 1

A 1

D

B

C

A

16．（本小题共11分）

已知椭圆:C 22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程．

17．（本小题共11分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且3PC =． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；

（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30o ？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．

A

B C

D

P

18．（本小题共12分）

已知椭圆:M 22

221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：121,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2(0,1)P ，312,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，421,2P ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，5(1,1)P ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，,B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC △的外部，且ABC △为直角三角形，求ABC △面积的最大值．