天津市蓟州区2020-2021学年高二(下)期中数学试题

天津市蓟州区2020-2021学年高二（下）期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）．

A ．3!

B ．34A

C ．34

D ．43

2．8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为（ ） A ．5383A A

B ．5383A A +

C ．5353A A +

D ．8812A 3．设曲线2y x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ） A ．(3,9) B ．(3,9)- C ．（39,24） D ．（39,24-） 4．函数()x f x e x =-的单调递减区间为（ ）

A ．(,0)-∞

B ．(0,)+∞

C ．(,1)-∞

D ．(1,)+∞ 5．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k =（ ） A ．75 B ．1 C ．35 D ．15

6．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）

A ．223198C C 种

B ．233231973197()

C C C C +种 C ．34200197C C -种

D ．5142003197()C C C -种

7．在5212-x x ?? ??

?的二项展开式中,x 的系数为( ) A ．10 B ．-10 C ．40 D ．-40 8．在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是（ ）

A ．45

B ．2845

C ．79

D ．59

二、填空题

9．已知集合{}1,2,3,4,5A =，恰含有一个奇数的子集个数为_____.

10．函数2log y x =的导数为_____.

11．已知点(1,2,3)A ，(0,1,2)B ，(1,0,)C λ-，若A ，B ，C 三点共线，则λ=_____. 12．一名射手击中靶心的概率0.9p =，如果他在同样条件下连续射击5次，则他击中靶心的次数的均值为_____.

13．61(2)2x x

-的展开式的常数项是 （用数字作答）

三、解答题

14．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，X 表示摸出红球的个数.

（1）求X 的分布列；(用数字作答)

（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)

15．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和15

. （1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

（2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.(用数字作答)

16．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.

（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()f x 的极值.

17．如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ， AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．

（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；

（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．

18．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．

（I）求红队至少两名队员获胜的概率；

（II）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

参考答案

1．D

【解析】

分析：先求每一个同学报名的方法数，再求4个同学不同的报名总数.

详解：每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3333???=43种报名方法． 点睛：(1)本题主要考查乘法分步原理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)本题容易错选D ，错在没有分清事件的主体，由于每一个学生都要找到对象，所以学生是事件的主体，而每一个人有3种报名方法，所以根据乘法分步原理共有3333???=43种报名方法. 2．A

【分析】

8人站成两排需要分步完成，第一步，5个位置8个人选，求出情况数；第二步，3个位置3个人选，全排，两者相乘即可.

【详解】

由题意有，前排5人，相当于有5个位置，后排3人相当于有3个位置，

∴前排5个位置8个人的排列数有58A 种，

∴剩下3人3个位置的排列数有33A 种，

又∵上述是分步处理“8名学生站成两排”，

∴不同站法种数为：53

83A A

故选：A .

【点睛】

本题考查学生对分步计数原理的运用情况，以及排列数的相关计算，会处理基本的排列组合问题，为容易题

3．C

【解析】

设(),P x y ，则2y'x =，因为曲线2y x =在点P 处的切线斜率为3，所以2=3x ，可得339,,224x P ??=∴ ???

，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点

处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()

00,,A x f x 利用()()

()10010f x f x k f x x x -'==-求解.本题可利用方法(2)求得点P 的坐标.

4．A

【解析】

【分析】

求出()'f x ，令导数()'f x 小于0 ,得x 的取值区间，即为()f x 的单调减区间.

【详解】

因为函数()x

f x e x =-， 所以()'1x

f x e =-, 令()'0f x < 得01x e e <=,

可得0x <，

∴函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞,故选A .

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是基础题.利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出()'f x ；（2）在定义域内，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，令()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.

5．A

【分析】

首先表示出ka b +与2a b -的坐标，再根据ka b +与2a b -互相垂直，得到

()()20ka b a b +-=计算可得；

【详解】

解：因为()1,1,0a =，()1,0,2b =-

()1,,2ka b k k ∴+=-，()23,2,2a b -=-

又因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()()20ka b a b +-=，

33240k k ∴-+-=，解得75

k =

故选：A .

【点睛】 本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

6．B

【解析】

根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， “有2件次品”的抽取方法有C 32C 1973种，

“有3件次品”的抽取方法有C 33C 1972种，

则共有C 32C 1973+C 33C 1972种不同的抽取方法，

故选B ．

7．D

【解析】 分析：先求出二项式5

212x x ??- ??

?的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 的项的系数. 详解：∵1r T +r

5 C = ()522r x -r

1-x ??= ???()512r r --r 5·C 103r x -, ∴当1031r -=时,3r =.

∴()3

5312--?35C 40?=-,故选D. 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）

考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

8．C

【分析】

此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.

【详解】

记事件A 为第二次抽到一等品，事件B 为第一次抽到一等品，

则由条件概率公式可知：

28

21018

110

()7(|)()9C C P AB P A B P B C C === 故选：C .

【点睛】

本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基

础题.小记，在事件B 发生条件下事件A 发生的概率公式为：()(|)()

P AB P AB P B =. 9．12.

【分析】

当集合中只有一个奇数元素时，用列举法即可求出将另两个偶数元素放入其中的子集个数为4个，故集合A 中恰含有一个奇数的子集个数为12.

【详解】

∵集合{}1,2,3,4,5A =有3个奇数，2个偶数

∴子集中选取一个奇数，偶数可以有：0个，1个（两种），2个共4种情况

∴子集个数为：12个.

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了集合中子集个数问题，考验了学生用分类讨论的思想处理相关问题，为基础题. 小记，一个集合中有n 个元素，则其子集个数为2n .

10．12

xln 【分析】

将函数换成以e 为底的对数函数，再对函数进行求导，即得答案.

【详解】

由换底公式可知，

2ln ()log ln 2

x f x x ==

， ∴1()ln 2f x x '= 故答案为：

1ln 2

x 【点睛】 单纯的对数求导问题，考查了学生对对数求导公式的记忆情况，为基础题.小记，1(ln )x x '=. 11．1.

【分析】

写出AB →，BC →，由A ，B ，C 三点共线得出//AB BC →→

，则其向量对应,,x y z 坐标之比相等，从而求得λ的值.

【详解】

由题意有，

(1,1,1)AB →=---，(1,1,2)BC λ→

=--- ∵A ，B ，C 三点共线，

∴//AB BC →→

∴111112λ---==--- ∴1λ=.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了学生运用平面上三点共线，从而得出相关向量坐标比相等的关系，考查了学生对平面向量知识的掌握情况，为容易题.

12．4.5

【分析】

由n 次独立重复实验的性质，即可求得结果.

【详解】

∵射手5次射击为5次独立重复实验，

∴他击中靶心的次数均值为：50.9 4.5?=.

故答案为：4.5

【点睛】

考查独立重复实验的均值问题，需要学生记住相关公式即可处理类似问题，为容易题.小记，

某个事件A 发生的概率为p ，将该事件重复n 次，则事件A 发生的均值（数学期望）为：

np ，事件A 发生的方差为：(1)np p -.

13．-20

【解析】 由题知

61(2)2x x

-的通项为，令得，故常数项为

．

14．（1）分布列答案见解析.（2）

12 【分析】

（1）由题意可知X 可取的值为：0，1，2，3，由组合数公式分别求出其对应的概率，列出分布列即可；

（2）至少摸到2个红球，则可以摸到2个红球或者摸到3个红球，根据（1）中分布列读出，相加即可.

【详解】

（1）X 的取值为0，1，2，3，

则(0)P X =3438114C C ==，(1)P X =1244

3837

C C C ==， (2)P X =2144

3837C C C ==，(3)P X =3438114

C C ==. ∴X 的分布列为：

（2）中奖的概率为1(2)(2)(3)2P X P X P X ≥==+==

. 【点睛】

本题考查学生求简单随机事件的分布列问题，并能根据分布列求随机事件的概率，考查了学生运用组合数处理相关问题的概率，为容易题

15．（1）

4950.（2）分布列答案见解析，数学学期望：2710 【分析】

（1）考虑求“至少有一个系统不发生故障”的反面为“两个系统都发生故障”的概率，然后用“1”减，即得结果；

（2）分别求出ξ在0，1，2，3时候的概率，列出分布列，由期望公式，求出数学期望即可.

【详解】

（1）由题意，系统A 和B 在任意时刻都发生故障的概率为：

11110550?=， 所以在任意时刻，至少有一个系统不发生故障的概率14915050P =-

=. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3.

∴()0P ξ=03311()101000

C ==； (1)P ξ=123

1127()110101000C ??=??-= ???； (2)P ξ=22311243(1)10101000

C =??-=； (3)P ξ=3331729(1)101000C =-

=； ∴ξ的分布列为

数学期望E ξ127243729270123100010001000100010

=?+?+?+?=.

【点睛】

本题考查了相互独立事件的概率，要求学生会逆向思考一些数学问题，能够利用相关统计知识处理数学期望以及某个事件的分布列.为容易题

16．(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a无极大

【解析】

解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x .

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，

f′(x)＝1－2

x

(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－a

x

＝

x a

x

，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．17．（1）；（2）.

【详解】

(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

， 则，，，

1(2,0,4)A B ∴=-，1(1,1,4)C D =--，

，

异面直线与所成角的余弦值为．

（2）设平面的法向量为1(,,)n x y z =，

，

1110,0n AD n AC ∴?=?=，即

且， 令，则

，是平面的一个法向量， 取平面的一个法向量为2(0,1,0)n =，

设平面与平面夹角的大小为，由12122cos 391n n n n θ?===?， 得

，故平面与平面夹角的正弦值为

． 18．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析

【详解】

解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，

则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．

因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 ()()()()

0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=??+??+??+??=

（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．

又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===??=，

(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF

(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35

ξ==??+??+??=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===??=，

由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：

因此00.110.3520.430.15 1.6ξ=?+?+?+?=E