天津市蓟州区2020-2021学年高二(下)期中数学试题
天津市蓟县高二下期中考试数学试题(理)有答案-超值
蓟县2015-2016学年第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．32-B ．12C ．32D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α7、函数()(3)xf x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市南开区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足z3−i =i ，则z −=( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i2. 已知曲线f(x)=(x +alnx)e x 在点(1,e)处的切线经过坐标原点，则a =( )A. −eB. −2C. −1D. e −23. 若函数，则下列结论正确的是( )A.B.C. 是偶函数D.是奇函数4. 按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为( )A. 108B. 128C. 148D. 1685. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f′(x)<1(x ∈R)，则不等式f(x)<x +1的解集为( )A. (1,+∞)B. (−∞,−1)C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6. 函数上有最小值，实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−1,2)C.D.7. 设f(x)={x 3,x ∈[0,1]3−2x,x ∈[1,3]，则∫ 02f(x)dx =( )A. 14B. 13C. 34D. 18. 若函数在区间内有一个零点，则实数的取值可以是( )A. B. C. ．D.二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 已知复数z =−12−√32i ，则1z +|z|的共轭复数是______．10. 已知函数，则的极大值为 ．11. 已知函数在(0,3)内递增，则实数的取值范围是_________12. 如图，点A 的坐标为(1,0)，函数y =ax 2过点C(2,4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．13. 函数y =(x +1)e 2x 的最小值是______． 14. 一同学在电脑中打出如下若干分圈：…若将此若干个圈依次规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是______ ． 15. 函数f(x)=x ⋅e x 的单调递减区间为______ ．16. 设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)=−f(x)，g(x)满足g(x +2)=g(x)，且当x ∈(0,2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2，若在区间[0,11]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 设n ∈N ∗,f(n)=1+1√2+1√3+⋯+1√n ，试比较f(n)与√n +1的大小并证明．18.已知函数f(x)=ax3+x．(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，函数g(x)=f′(x)(x2+px+q)(其中f′(x)为函数f(x)的导数)的图象关于直线x=1对称，求函数g(x)的最大值．(a>0)．19.已知函数f(x)=9xax2+1(1)若直线y=−x+2a为曲线f(x)的切线，求a的值；,2]，且x1+x2+⋯+x100=100，若不等式m≥f(x1)+(2)当a=2时，设x1,x2,…,x100∈[12f(x2)+⋯+f(x100)，求m的最小值．20.已知函数f(x)=alnx+−1，a≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥b(x−1)在[，+∞)上恒成立，其中a、b为实数，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D=i，解析：解：∵z3−i∴z=i(3−i)=1+3i，∴z−=1−3i，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：解：由f(x)=(x+alnx)e x，+x+alnx)e x，得f′(x)=(1+ax∴f′(1)=(a+2)e，=(2+a)e，由题知e−01−0解得：a=−1．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查两点求斜率公式的应用，是中档题．3.答案：C解析：因为，所以，若，只有，才有单调增，故A，B错误，当时，是偶函数，因此C对，D不对．故正确选项为C．4.答案：A解析：解：第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+(3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，∴第6个图形中包含的点的个数为：a6=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)+(3+6×4)+(3+6×5)=3×6+6(1+2+3+4+5)=108．故选：A．第一个图形中中有a1=3个点，第2个图形中有a2=3+(3+6×1)个点，第3个图形中有a3=3+ (3+6×1)+(3+6×2)个点，第4个图形中有a4=3+(3+6×1)+(3+6×2)+(3+6×3)个点，由此利用等差数列求和公式能求出第6个图形中包含的点的个数．本题考查第6个图形中包含的点的个数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数求解，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数g(x)=f(x)−x−1，g′(x)=f′(x)−1<0，从而可得g(x)的单调性，结合f(1)=2，可求得g(1)=1，然后求出不等式的解集即可．解：令g(x)=f(x)−x−1，∵f′(x)<1(x∈R)，∴g′(x)=f′(x)−1<0，∴g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又f(1)=2，∴g(1)=f(1)−1−1=0，∴不等式f(x)<x +1的解集⇔g(x)=f(x)−x −1<0=g(1)的解集， 即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)−x −1在R 上单调递减， ∴x >1，即x ∈(1,+∞)． 故选A ．6.答案：D解析：试题分析：由题f′(x)=3−3x 2，令f′(x)>0解得−1<x <1；令f′(x)<0解得x <−1或x >1，由此得函数在(−∞,−1)上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数故函数在x =−1处取到极小值−2，判断知此极小值必是区间(a 2−12,a)上的最小值.∴a 2−12<−1<a ，解得−1<a <，又当x =2时，f(2)=−2，故有a ≤2，综上知a ∈(−1,2]，故选D ．考点：用导数研究函数的最值7.答案：A解析：解：∫f 20(x)dx =∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx =∫(10x 3)dx +∫(213−2x)dx=14x 4|01+(3x −x 2)|12 =14+6−4−3+1=14． 故选：A分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫f 10(x)dx +∫f 21(x)dx ，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：A解析：试题分析：在区间内有一个零点，即方程在区间内有一个根，即函数与在内有一个公共点．如图，当直线经过点时，此时在内无公共点，但当该直线绕着原点逆时针旋转时，则在区间内有公共点，故只需此直线的斜率小于即可.故，故A中可取到．考点：函数的零点，函数的图象．9.答案：12−√32i解析：解：∵z=−12−√32i，∴1z+|z|=z−|z|2+|z|=−12+√32i+1=12+√32i，∴1z +|z|的共轭复数是12−√32i．故答案为：12−√32i．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：对函数求导得，令，得，所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以的极大值为．考点：导数的应用．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于函数，由于在(0,3)内递增，故可知导数恒大于等于零，即可知，故可知答案为考点：函数单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市实验中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.设a=∫|20x−1|dx，使(ax+1x√x)n(n∈N∗)的展开式中含有常数项的最小的n为()A. 4B. 5C. 6D. 72.命题p：∀x∈[0,+∞)，2x1，则()A. p是假命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，B. p是假命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<1C. p是真命题，￢p：∃x0∈[0,+∞)，D. p是真命题，￢p：∀x∈[0,+∞)，2x<13.给出命题p：f(x)=sinx+√3cosx的周期为π；命题q：若数列{a n}前n项和S n=n2+2n，则数列{a n}为等差数列，则下列四个命题“p且q”，“p或q”，“非p”，“非q”中，真命题个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.从5种不同的书(每种书不少于3本)买3本送给3名同学，每人各一本的不同送法有()A. A 53B. 53C. 35D. A 53A 335.设函数，则当x>0时，]表达式的展开式中常数项为()A. B. 20 C. D. 156.一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 437.某班的课桌分4个大组摆放，每大组课桌数相同，甲、乙均为该班学生，则甲、乙两人的课桌在同一大组的概率是()A. 12B. 34C. 14D. 158.下列命题中正确的是()A. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的充分不必要条件B. “直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的充要条件D. p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是____________分． 10. 命题“若x <0，则”的逆否命题是 命题．(填“真”或“假”)11. “a =2”是“直线ax +2y +1=0和直线3x +(a −1)y −2=0平行”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)12. 若，则化简后的最后结果等于__________．13. 设a =∫1xe 21dx ，则二项式(x +a x )(2x −1x )5的展开式中的常数项是______． 14. 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有______ 种不同的坐法．(用数字作答)三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽以20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值．(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1、x 2、x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1、y 2购买者往往从x 1、x 2、x 3、y 1、y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率16.甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：cm)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率p，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重)．17.已知椭圆的两个焦点分别是F1(−1,0)和F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限内，且∠PF1F2=120°，求cos∠F1PF2．18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC=120°，PA⊥平面ABC，AB=4，PA=2√3，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点(不与A，C重合)．(1)证明：AD⊥PB；(2)当三棱锥D−ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值【答案与解析】1.答案：B解析：解：a=∫|20x−1|=∫(11−x)dx+∫(21x−1)dx=(x−12x2)|01+(12x2−x)|12=1，设(x+x√x )n(n∈N∗)的展开式中的通项Tk+1=C n k x n−k⋅x−32k=C n k x n−52k，令n−52k=0得n=52k，当k=2时，n最小，即n min=5．故选B．先计算定积分，再写出二项式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中的常数项．本题题考查了含有绝对值的定积分的计算和二项式系数的性质，求得n−52k=0是关键，考查分析与运算能力．2.答案：C解析：解：因为函数，当x∈(−∞,+∞)时是增函数，对∀x∈[0,+∞)，，所以命题p：∀x∈[0,+∞)，是真命题，根据全称命题的否定是特称命题可知：，故选C．3.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx+√3cosx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x+π3)∵周期T=2πw=2π∴p错，为假命题由S n=n2+2n可得：S n−1=(n−1)2+2(n−1)∴a n=S n−S n−1=2n+1∴a n−a n−1=2(为常数)∴{a n}为等差数列∴q为真命题我们在结合命题判断的真值表，对照四个选项，容易得出：p且q为假命题，p或q为真命题，非q为假命题，非p为真命题故选C先判定p、q命题的真假，再结合判断的真值表判断四个命题的真伪真值判断表如下：本题另外还涉及到三角函数的周期问题和等差数列的定义．这里我们要牢记sin x与cos x的最小周期，其中w为x的系数．等差数列的定都为2π，tan x与cot x的最小周期都为π，周期公式为：T=周期w义就是相邻两项的差是固定的，题目中的n是可以自由变动的，你想要什么值就可以令它等于多少，这也是一般数列题型的突破口．4.答案：B解析：解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，则有5×5×5=53种；故选：B．根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列的应用，解题时要首先要分析题意，明确是排列，还是组合问题．5.答案：A解析：本题主要考查二项式展开式的系数．解：由于函数当x>0时，则可知f(x)=，则=−，故可知展开式中的常数项为，则当r=3时，取得常数项为−20，故选A.6.答案：C解析：解：一学生通过某种英语听力测试的概率为12，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为：p=C21⋅12⋅12=12．故选：C．利用n次独立重复试验概率计算公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用n次独立重复试验概率计算公式的合理运用．7.答案：C解析：解：设4个组分别为A，B，C，D，先分甲再分乙，则甲、乙二人的分组情况为：(AA)，(AB)，(AC)，(AD)，(BA)，(BB)，(BC)，(BD)，(CA)，(CB)，(CC)，(CD)，(DA)，(DB)，(DC)，(DD)，共有16种情况，甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况有：(AA)，(BB)，(CC)，(DD)，共有4种情况，∴甲、乙两人的课桌在同一大组的概率P =416=14． 故选：C ．由已知条件利用列举法先求出甲、乙二人的分组的所有情况，再求出甲、乙两人的课桌在同一大组的分组情况，由此能利用等可能事件概率计算公式求出甲、乙两人的课桌在同一大组的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和等可能事件概率计算公式的合理运用．8.答案：D解析：解：直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行 ⇔{(m +2)2−3m(m −2)=0−3(m +2)−(m −2)≠0，得m =5±√332．∴“m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互平行”的既不充分也不必要条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线，不一定有直线垂直平面，∴“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误； a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 为非零向量，由“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”不能得到b ⃗ =c ⃗ ， 反之由b ⃗ =c ⃗ 能够得到“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”，∴a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的必要不充分条件，故C 错误；p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2013≤0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2013>0，满足命题的否定形式，故D 正确． 故选：D ．由两直线平行与系数的关系列式求得m 判断A ；由线面垂直的判定判断B ；由平面向量数量积的运算判断C ；写出特称命题的否定判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查特称命题的否定，是基础题．9.答案：757解析：解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100， 当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P(X=100)=2252=1126，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P(X=50)=2C54C51252=25126，P(X=0)=1−1126−25126=100126，∴EX=100×1126+50×50126+0×100126=1350126=757，故答案为：757．10.答案：真解析：试题分析：原命题“若x<0，则”显然是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以该命题的逆否命题为真命题．考点：本小题主要考查命题真假的判断．点评：原命题与逆否命题互为逆否命题，它们同真同假．11.答案：充要解析：解：直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0，当a=0时，两直线等价为2y+1=0和直线3x−y−2=0，此时两直线不平行，当a≠0时，要使直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行，则满足3a =a−12≠−21，由3a=a−12得a2−a−6=0，得a=2或a=−3，满足3a=a−12≠−21，即“a=2”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+(a−1)y−2=0平行”的充分不必要条件，故答案为：充要根据直线平行的等价条件求出a的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．难度不大．12.答案：2解析：试题分析：∵在行列式展开式中，即为的代数余子式的值元素在第二行第三列，那么化去第二行第三列得到的代数余子式为(−1)2+3=2，解这个余子式的值为2.则化简后的最后结果等于2．考点：本题考查了二阶行列式的定义．点评：解决本题的关键是掌握行列式的计算方法，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．13.答案：120解析：解：∵a =∫1xe 21dx =lnx|1e2=2，则二项式(x +a x )(2x −1x )5=(x +2x )(2x −1x )5=(x +2x )⋅(C 50⋅(2x)5+C 51⋅(2x)4⋅(−1x )+C 52⋅(2x)3⋅(−1x )2+C 53⋅(2x)2⋅(−1x)3+C 54⋅(2x)⋅(−1x )4+C 55(−1x)5,=(x +2x )⋅(32x 5−80x 3+80x −40⋅1x +10⋅1x 3−1x 5)， 故展开式中的常数项为−40+2⋅80=120， 故答案为：120．求定积分得到a 的值，再利用二项式定理把(2x −1x )5展开，可得(x +ax )(2x −1x )5的展开式中的常数项．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：480解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先让4人全排列，坐在4个位置上，有A 44种排法，②、将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位” 再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 52种插法，所以所求的坐法数为A 44⋅A 52=480；故答案为：480．根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的．15.答案：(1)(2)0.4解析：本题考查的是离散随机变量的分布及概率的求法。
2020-2021学年高二数学下学期期中试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期期中试题理注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。
3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则复数z 的实部是 ▲ ． 2.已知m ，n 是空间两个单位向量，它们的夹角为60，那么2—m n = ▲ ．3.若复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复 平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若2AB k =-12e e ，33CB =+12e e ，CD k =12+e e ，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为 ▲ ．5.若向量(2,1,2)=-a ,(4,2,)m =-b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取 值范围为 ▲ ．6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”， 用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ▲ ．7.如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{}n a 的前n 项和公式1()2n n n a a S +=.类比得到正项等比数列{}n b 的前n 项 积公式n T = ▲ ．9.用数学归纳法证明等式：633123()2n n n n *+++++=∈N ，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 ▲ ．10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，111114AA A B AC ===， 点E 是棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为3210，则 1C E 的长为 ▲ ．11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子 为1﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前6行的规律，第7行的左起第3个数为 ▲ ．（第7题图） （第10题图） （第11题图） 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称 之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为▲ ．13. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B λλ=∈R 若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为▲ ．14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111A B C D 是下底面 最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点， 则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．（第12题图）（第13题图）（第14题图）二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）已知i 为虚数单位，复数11i z =-,23i z a =+()a ∈R . （1）若12z z +为实数，求12z z 的值； （2）若21z z 为纯虚数，求2z . 16.（本小题满分14分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦. （1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.17.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a +>，211()2()1n n n n a a a a ---=+-，n 2.≥（1）求234,,a a a 的值并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为 直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，122PA AB BC AD ====，点E ,F 分 别是AB ,PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若点M 为棱PC 上一点，且平面EFM ⊥平面PBC ，求证：.EM PC ⊥19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都等于2. （1）当点M 是BC 的中点时，①求异面直线1AB 和1MC 所成角的余弦值； ②求二面角1M AB C --的正弦值；（2）当点M 在线段BC 上（包括两个端点．．．．．．）运动时，求直线1MC 与平面1AB C 所成角的正弦值的取值范围.（第18题图） （第19题图） 20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++对于一切正整数n 都成立？若存在， 求出a ，b ，c 的值并给出证明；若不存在，请说明理由. （2）求证：对任意的n *∈N ，22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. xx 第二学期期中质量调研高二 数学（理科）参考答案和评分标准一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 1 2. 3 3.四 4. 4或-1 5. 5m <且4m ≠-6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.238.21()n n b b9. 333(1)(2)(1)k k k ++++++ 10. 1 11. 110512. 2 13. 2- 14.33434二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为124(1)i z z a +=+-，若12z z +为实数，则1a =. ……… 3分 此时23i z =+，所以12(1i)(3i)42i.z z =-+=- ……… 7分（2）因为213i (3i)(1i)1i (1i)(1i)z a a z +++==--+33++i 22a a -=， ……… 10分 若21z z 为纯虚数，则302a -=，得3a =，……… 12分 所以22233 2.z a =+= ……… 14分 16.解：（1）01MN ⎡=⎢⎣10-⎤⎥⎦21⎡⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦=12⎡⎢⎣ 21⎤⎥⎦……… 6分 （2）设曲线1C 上任一点坐标为00(,),x y 在矩阵MN 对应的变换作用下得到点(,),x y 则12⎡⎢⎣ 0021x y ⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，解得002323y x x x yy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.……… 10分 因为22001,x y -=所以2222()()1,33y x x y ---=整理得223y x -=，所以2C 的方程为22 3.y x -=……… 14分17.解：（1）由11,a =211()2()1,n n n n a a a a ---=+-n 2≥①得222(1)2(1)1,a a -=+-解得20a =或2 4.a = 又1,n n a a +>所以2242.a ==将24a =代入①，可得31a =或39.a =又1,n n a a +>所以2393.a ==将39a =代入①，可得44a =或416.a =又1,n n a a +>所以24164.a ==……… 3分故猜想数列{}n a 的通项公式为2.n a n =……… 5分 （2） ①当1n =时，2111a ==，猜想成立.②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时，猜想成立，即2.k a k =……… 7分 则当1n k =+时，由①得211()2()1,k k k k a a a a ++-=+- 即22211()2()1,k k a k a k ++-=+- 即2242112(1)210,k k a k a k k ++-++-+=即2242221[(1)]21(1)0,k a k k k k +-++-+-+= 即2221[(1)](2)0,k a k k +-+-=即2211(12)(12)0,k k a k k a k k ++-----+= 解得21(1)k a k +=+或21(1).k a k +=-……… 12分又1,n n a a +>所以21(1),k a k +=+故当1n k =+时，猜想成立. 综上：由①②得2n a n =.……… 14分18.解：PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面,ABCD .PA AD ∴⊥ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面,ABCD .PA AB ∴⊥又因为,2BAD π∠=所以AB AD ⊥，则,,AB AD AP 两两垂直，则以{,,}AB AD AP 为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系.A xyz -则各点的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2).A B C D P 因为点,E F 分别是AB ，PD 的中点，所以(1,0,0),(0,2,1).E F ……… 2分 （1）证明：设平面PBC 的一个法向量为1(,,).n x y z = 因为(2,0,2),(0,2,0),BP BC =-= 由1,,n BP n BC ⊥⊥ 得22020x z y -+=⎧⎨=⎩，令1,x =所以0, 1.y z ==则1(1,0,1).n =……… 5分因为(1,2,1),EF =-所以10.EF n ⋅=又EF ⊄平面,PBC 所以//EF 平面PBC .……… 8分（注：EF ⊄平面PBC 没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取CD 的中点G 证明平面//EFG 平面PBC ，或者延长DE 和CB 相交于点,H 然后证明//EF PH 也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为M 为棱PC 上一点，所以,PM PC λ=0 1.λ≤≤设(,,),M x y z 则(,,2)(2,2,2),x y z λ-=-，所以2,2,22.x y z λλλ===- 即(2,2,22),M λλλ-所以(21,2,22),EM λλλ=--(1,2,1).EF =- 设平面EFM 的一个法向量为2(,,),n x y z =则22,.n EM n EF ⊥⊥所以(21)2(22)0,20x y z x y z λλλ-++-=⎧⎨-++=⎩消去y 可得(31)(23)0.x z λλ-+-=令32,x λ=-则131,.2z y λ=-=-所以21(32,,31).2n λλ=---……… 12分 平面EFM ⊥平面,PBC 12.n n ∴⊥则32310,λλ-+-=所以1,2λ=…… 14分 (1,1,1).M 从而(0,1,1),EM =因为(2,2,2),PC =-所以0,EM PC ⋅=则,EM PC ⊥即.EM PC ⊥……… 16分19. 解：（1）取AC 的中点为,O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0),(3,0,0),A B -(0,1,0),C 11(3,0,2),(0,1,2).B C当M 是BC 的中点时，则31(,,0).22M ①1131(3,1,2),(,,2),22AB MC ==-设异面直线1AB 和1MC 所成角为,θ则11cos cos ,AB MC θ=<>=1111AB MC AB MC ⋅=310.20……… 4分 ②33(,,0),22AM =1(3,1,2),AB =设平面1MAB 的一个法向量为1(,,),n x y z =则111,.n AM n AB ⊥⊥所以33022320x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令3,x =则1,1,y z =-=-1(3,1,1).n ∴=--… 5分(0,2,0),AC =设平面1AB C 的一个法向量为2(,,),n x y z =则212,,n AB n AC ⊥⊥320,20x y z y ⎧++=⎪∴⎨=⎪⎩令2,x =0,3,y z ∴==-2(2,0,3).n ∴=-……… 6分 设二面角1M AB C --的平面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==3105.35……… 8分 所以2270sin 1cos .35θθ=-=……… 9分 （2）当M 在BC 上运动时，设,0 1.CM CB λλ=≤≤设(,,),(,1,)(3,1,0),M x y z x y z λ∴-=-3,1,0,x y z λλ∴==-= 则(3,1,0),M λλ-1(3,,2).MC λλ∴=-设直线1MC 与平面1AB C 所成的角为,θ则121212sin cos ,MC n MC n MC n θ⋅=<>=222323211,[0,1].74471λλλλλ--+==∈+⋅+……… 11分 设21(),[0,1],1f λλλλ+=∈+设1[1,2],t λ=+∈所以2221(),22(1)1221tt g t t t t t t ===-+-+-+[1,2].t ∈设2111[,1],().2221u g t tu u =∈∴=-+21221[,1],()[1,2],2u u g t -+∈∴∈2142sin [,],77θ∴∈ ∴直线1MC 与平面1AB C 所成的角的正弦值的取值范围为2142[,].77……… 16分20. 解：（1）在等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++中 令1,n =得14()6a b c =++①；令2,n =得122(42)2a b c =++②； 令3,n =得7093a b c =++③；由①②③解得3,11,10.a b c === 对于1,2n =都有2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12n n n n +=++()*成立. ……… 3分 下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()*式都成立.①当1n =时，由上所述知()*式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时()*式成立，即2222122334(1)k k ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12k k k k +=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⋅+⋅+⋅++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++……… 5分 2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++ 2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10].12k k k k ++=++++综上：由①②得对一切正整数n ，()*式都成立，所以存在3,11a b ==时题设的等 式对于一切正整数n 都成立.……… 8分 （2）证明：①当1n =时，左式14=，右式12=，所以左式<右式，则1n =时不等式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时不等式成立，即22221231ln 234(1)2k k k ++++<++， 那么当1n k =+时，222221231234(1)(2)k k k k ++++++++ 21111ln ln 2(2)22k k k k k +<++<++++(**)……… 10分 下面证明当1x ≥时，1ln 1x x≥-. 设()f x =1ln 1x x -+，则'22111()0,x f x x x x-=-=≥所以()f x 在[1,)+∞ 上单调增，所以()(1)0,f x f ≥=即1x ≥时，1ln 1x x≥-. 因为1k ≥，所以1111,k k k+=+>则 111ln 11111k k k k k k k+≥-=-=+++……… 12分- 11 - / 11 因为1111111(ln )[ln(1)]ln ln 22221k k k k k k k k k++++-++=-<-+++ 110,11k k ≤-=++所以111(ln )[ln(1)]0.222k k k ++-++<+ 由(**)得2222212311ln(1).234(1)(2)2k k k k k ++++++<++++ 那么1n k =+时不等式也成立.综上：由①②可得对任意,n N *∈22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. ……… 16分 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2019-2020学年天津市蓟州区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市蓟州区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为()A. 120B. 240C. 360D. 722.某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种．无论如何安排，都有至少5名员工参加的培训完全相同．问该公司至少有多少名员工？()A. 17B. 21C. 25D. 293.过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为()A. e2B. 1e2C. e D. 1e4.已知函数y=f(x)满足：对任意的x1<x2≤−1，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，则f(−2)，f(−)，f(−1)的大小关系为()A. f(−2)<f(−)<f(−1)B. f(−2)>f(−)>f(−1)C. f(−2)>f(−1)>f(−)D. f(−)>f(−2)>f(−1)5.已知a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，且k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，则k的值为()A. 15B. 1 C. 35D. 756.某专家团由4名硕士和3名博士组成，今从中抽取3人到某地各进行一场报告，至少有1名博士和1名硕士参加，且2名博士或2名硕士的报告不能相邻，则不同的报告顺序的种数为()A. 60B. 30C. 45D. 727.x(x−1x)6展开式中含x项的系数是()A. 20B. −20C. −60D. −108.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现正面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P(B|A)=()A. 37B. 38C. 78D. 18二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9.已知集合A={−11,3，2m−1}，集合B={3,m2}，若B⊆A，则实数m=______ ．10. 函数f(x)=2sinx +√3cosx(x ∈R)，则f′(π3)=______．11. 平面α的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,1，−2)，平面β的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(−1,y ，12)，若α//β，则x +y = ______ ． 12. m 是从集合{−1,0，1，2，3}中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=cos(m ⋅π3)，则ξ的数学期望Eξ=______．13. 若二项式(ax +√36)6的展开式中含x 5的系数为−√3，则∫x 2a−2dx 的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14. 在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试．已知甲每次通过的概率为23，乙每次通过的概率为12，且甲乙每次是否通过相互独立．(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记X 为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X 的分布列和期望．15. 在一个木箱中装有编号分别为1，2，3，4，5的完全一样的5个球，现从中同时取出两个球，设X 为取出的两球的最大编号，求X 的分布列．16.已知函数f(x)=x2−3x+lnx．(1)求函数f(x)在(2,f(2))处切线的斜率；(2)若y=f(x)与g(x)=a有三个不同的交点，求a的取值范围．17.(本题共13分)如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面⊥平面，，是的中点．(Ⅰ)求证：⊥平面；(Ⅱ)求二面角的大小．18.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案与解析】1.答案：A解析：解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有C42×2×2=24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24=120种；故选：A．先从5双靴中取出1双，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，由分步计数原理可得．本题考查排列组合及简单的计数问题，由分步计数原理设计选择的方案是解决问题的关键，属中档题．2.答案：C解析：解：开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种．没有相同的安排共有C42=6种，当每种安排各有4人，则没有5名员工参加的培训完全相同．此时有员工4×6=24人，当增加1人，必有5名员工参加的培训完全相同．该公司至少有25名员工．故选：C．求出培训的不同结果，然后按照题目的含义，推出公司员工最少人数．本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是理解题意，考查学生分析问题解决问题的能力．3.答案：D解析：解：解：设切点坐标为(a,lna)，∵y=lnx，∴y′=1，x，切线的斜率是1a(x−a)，切线的方程为y−lna=1a将(0,0)代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是1a =1e；故选：D．设切点坐标为(a,lna)，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入(0,0)，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．4.答案：A解析：由题意及函数单调性的定义得，f(x)在(−∞,−1]上单调递增，又−2<−<−1，∴f(−2)<f(−)<f(−1)．5.答案：D解析：解：∵已知a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，∴k a⃗+b⃗ =(k−1,k，2)，2a⃗−b⃗ =(3,2，−2)，∵k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，∴(k a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=3(k−1)+2k+2×(−2)=0，解得k=75，故选：D．先求出k a⃗+b⃗ 和2a⃗−b⃗ 的坐标，根据k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，可得(k a⃗+b⃗ )⋅(2a⃗−b⃗ )=0，由此解得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．6.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人有1名博士和2名硕士，有C31C42=18种选法，又由2名博士或2名硕士的报告不能相邻，有2种情况，选出3人的报告顺序有18×2=36种，②选出的3人有2名博士和1名硕士，有C32C41=12选法，又由2名博士或2名硕士的报告不能相邻，有2种情况，则选出3人的报告顺序有12×2=24种，故有36+24=60种不同的报告顺序；故选：A．根据题意，安选出3人分2种情况讨论：①选出的3人有1名博士和2名硕士，②选出的3人有2名博士和1名硕士，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：因为(x−1x )6展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅x6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅∁6r⋅x6−2r；令6−2r=0⇒r=3；故x(x−1x)6展开式中含x项的系数是：(−1)3⋅∁63=−20；故选：B．求出(x−1x)6展开式的常数项即可求解结论．本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式的通项．属于基础题．8.答案：A解析：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．由题意，先计算P(AB)，P(A)，再利用条件概率公式，即可求得结论．解：由题意，P(AB)=323=38，P(A)=1−123=78，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=37．故选：A．9.答案：1解析：解：∵集合A={−11,3，2m−1}，集合B={3,m2}，且B⊆A，∴{2m−1≠−11 2m−1≠3m2=2m−1，解得，m=1．故答案为1．注意集合中的元素要满足互异性，同时集合B中的元素都在集合A中．本题考查了集合之间的相互关系及集合中元素的特征．10.答案：−12解析：解：f′(x)=2cosx−√3sinx，则f′(π3)=2cosπ3−√3sinπ3=1−32=−12，故答案为：−12．先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算，属于基础题．11.答案：154解析：解：∵α//β，∴n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ．∴存在实数k使得n1⃗⃗⃗⃗ =k n2⃗⃗⃗⃗ ，∴{x=−k1=ky−2=12k，解得k=−4，x=4，y=−14．∴x+y=154．故答案为：154．由α//β，可得n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ .利用向量共线定理即可得出．本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：110解析：解：ξ=cos(m⋅π3)的取值是12，概率为25，取值是1，概率为15，取值是−12，概率为15，取值是−1，概率为15所以Eξ=12×25+15×(1−12−1)=110，故答案为：110．确定ξ的取值及相应的概率，即可求出ξ的数学期望Eξ．本题考查ξ的数学期望Eξ，考查学生的计算能力，确定ξ的取值及相应的概率是关键．13.答案：73解析：解：∵二项式(ax +√36)6的展开式中含x 5的系数为C 61⋅a 5⋅√36=√3⋅a 5=−√3， ∴a =−1，∴∫x 2a−2dx =13x 3| −2−1=13[(−1)3−(−2)3|=73． 故答案为：73．利用二项展开式的第二项系数，求出a 的值，根据积分公式计算可得答案．本题考查了二项展开式的通项公式，考查了积分运算，解答的关键是熟记积分公式．14.答案：解：(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P 1=(1−23)×(1−23)=19，乙未能通过体能测试的概率为P 2=(1−12)×(1−12)=14，∴甲乙至少有一人通过体能测试的概率为P =1−P 1P 2=1−19×14=3536； (Ⅱ)X =2，3，4，P(X =2)=23×12=13，P(X =3)=(1−23)×12+23×(1−12)=12，P(X =4)=(1−23)×(1−12)=16， ∴X 的分布列为：∴EX =2×13+3×12+4×16=176．解析：(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为P 1=(1−23)×(1−23)=19，同理乙未能通过体能测试的概率为P 2=(1−12)×(1−12)=14，所以根据相互独立事件的积事件概率等于概率之积，求出甲乙均未通过测试的概率，即可得到所求；(Ⅱ)依题意，随机变量X 的所有可能的取值分别为2，3，4，分别求出对应概率列出分布列求期望即可．本题考查离散型随机变量的数学期望，是历年高考的重点题型．解题时要认真审题，注意对立事件的概率的灵活运用．15.答案：解：根据题意，X 的可能取值为2，3，4，5，则P(X =2)=1C 52=110，P(X =3)=2C 52=15，P(X =4)=C 31C 52=310，P(X =5)=C 41C 52=25； ∴X 的分布列为解析：根据题意，求出X 的可能取值以及对应的概率值，列出X 的分布列即可．本题考查了利用古典概型求事件的概率问题，也考查了求随机变量的分布列问题，是基础题目．16.答案：解：(1)f(x)=x 2−3x +lnx ，定义域为(0,+∞)，又f′(x)=2x −3+1x=2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，∴f′(2)=32，即函数f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为32； (2)由f′(x)=(2x−1)(x−1)x(x >0)，得当x >1或0<x <12时，f′(x)>0；当12<x <1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,12)递增，在(12,1)递减，在(1,+∞)递增． ∴函数f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2， 函数f(x)的极小值为f(1)=−2．又y =f(x)与g(x)=a 有三个不同的交点， ∴−2<a <−54−ln2，即a 的取值范围是(−2,−54−ln2)．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=2处的导数，则答案可求；(2)由(1)中的导函数，可得原函数的单调性与极值，结合y=f(x)与g(x)=a有三个不同的交点，即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)．解析：试题分析：(I)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；(Ⅱ)以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H−BD−C的大小．试题解析：(Ⅰ)证明：因为四边形是菱形，所以.因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，又因为平面，所以.因为，所以平面.(Ⅱ)设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，又因为平面，所以平面，由，得两两垂直．所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，，，，.得，，．设平面的法向量为，所以即令，得.由平面，得平面的法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.与二面角有关的立体几何综合题．18.答案：解析：。
高二数学第二学期期中试卷
高二数学第二学期期中试卷2021高二数学第二学期期中试卷本卷须知：本试卷分基础检测与才干检测两局部，共4页，总分值为150分。
考试用120分。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各标题指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案有效。
4.考生必需坚持答题卡的整洁，考试完毕后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：第一局部基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每题5分，共50分)1.以下言语中，哪一个是输入语句( )A.PRINTB.INPUTC.IFD.THEN2.给出左面的顺序框图，输入的数是( )A.2450B.2550C.5050D.49003.以下抽样中不是系统抽样的是()A.从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点，以后选(超越15那么从1再数起)号入样.B.工厂消费的产品，用传送带送入包卸车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品停止检验.C.某商场搞某一项市场调查，规则在商场门口随机抽一个顾客停止讯问，直到调查到事前规则调查的人数为止.D.为调查某城市汽车的尾气排放的执行状况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车停止反省.4.左面是甲、乙两名运发动某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运发动的效果好于乙运发动.B.乙运发动的效果好于甲运发动.C.甲、乙两名运发动的效果没有清楚的差异.D.甲运发动的最低得分为0分.5.关于两个变量之间的相关系数，以下说法中正确的选项是( )A.越大，相关水平越大.B.，越大，相关水平越小，越小，相关水平越大.C.且越接近于，相关水平越大;越接近于，相关水平越小.D.以上说法都不对.6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号;这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制123456789ABCDEF十进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，那么5F对应的十进制的数是 ( )A.20B.75C.95D.1007.从区分写上数字1,2，3，，9的9张卡片中，恣意取出两张，观察下面的数字，那么两数积是完全平方数的概率为( )A. B. C. D.8.200辆汽车经过某一段公路时的时速的频率散布直方图如右图所示，估量这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是( )A.64.5, 60B.65, 65C.62, 62.5D.63.5, 709.设，那么关于的方程所表示的曲线为()A.长轴在轴上的椭圆B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线D.实轴在轴上的双曲线。
天津市蓟州一中、芦台一中、英华国际学校三校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】利用解析式求解即可.
【详解】 ，
故答案为：
11.已知函数 ，其中 是 的导数，则 _________．
【答案】
【解析】
分析】求出导函数 ，再计算导数值．
【详解】由已知 ， ．
故答案为： ．
12.函数 的单调递增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减来求得函数的单调递增区间.
【详解】设 ，
，
在R上单调递增，
由 ，
即 ，
，
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构造恰当的函数 ，利用其单调性解不等式，是解题的关键，属于中档题.
15.已知函数 ，若存在互不相等的实数 ，使得 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先作出函数 的图象，不妨设 ，由对称性可以得到 ，再求出 ， ，即得解.
（3）用裂项相减法求值.
【详解】解：（1）设数列{ 的公差为d，数列{ }的公比为q，
及 ，得
所以
（2）由（1）可得 ，设 的前n项和为 ，设 的前n项和为 ，
= =
所以 时 = =
时
所以
（3）
所以
20.已知函数 ， ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ，
故当 时， 有2个解，即 有2个零点，则 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查用导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立，方程根的个数问题．本题方程的个数问题，关键是方程进行变形，化为 的形式，确定 的单调性后，方程化简为 ，然后再采取参数分离，转化为求函数的单调性与极值．
2020-2021学年高二年级第二学期期中数学试卷
2020-2021学年度高二第二学期期中数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（共10小题；每题4分，共40分） 1. 设 ， 是两个集合，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数 的定义域为A. C.3. 若复数 满足 ，则复数 的虚部是B.C.4. 已知过点(1,0)P 且与曲线3y x 相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 若，则A. B. C. D.6. 已知(a −x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，若a 2=80，则a 0+a 1+a 2+⋯+a 5=( )A. 32B. 1C. −243D. 1或−2437. 记 为等差数列的前 项和．已知 ，，则A.B.C.D.8. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有A.种B.种C.种D.种9. 已知2x >，1a x =-，22x b x =-，ln c x =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10. 函数的图象大致为A. B.C. D.二、填空题（共5小题；每题5分，共25分） 11. 若复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为 ．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．13. 已知函数 ，则 ．14. 位教师和名学生站成一排合影，要求位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为（结果用数字表示）．15. 设函数．当时，；如果对于任意的，都有，那么实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共85分）16. （14分）实数取什么值时，复数是：（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?（4）表示复数的点在第一象限?17. （14分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围．18.（14分）如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．19. （14分）已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．（1）求，的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最大值与最小值．20. （14分）已知(1+2x)n，．(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．21.（15分）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为的取值范围．。
2020-2021学年天津一中高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年天津一中高二下学期期中数学复习卷1一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）(a,b∈R)与(2−i)2互为共轭复数，则a−b=()1.i为虚数单位，若a+biiA. 1B. −1C. 7D. −72.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=xlnx−x的图象上的动点，该曲线在点P处的的范围是()切线l交y轴于点M(0,y M)，过点P作l的垂线交y轴于点N(0,y N).则y N yMA. (−∞,−1]∪[3,+∞)B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,−3]3.已知函数f(x)=e sinx−x，现给出如下四个结论：①f(x)是奇函数；②f(x)是偶函数；③f(x)在R上是增函数；④f(x)在R上是减函数．其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3)=2e，则f(x)()4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且xf(x)+x2f′(x)=e2x，f(12A. 在定义域上单调递减B. 在定义域上单调递增C. 在定义域上有极大值D. 在定义域上有极小值n(n−3)条时，第一步验证n等于()5.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12A. 1B. 2C. 3D. 06.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.曲线y=x3−x+2在点(1,2)处的切线方程为()A. y=2xB. y=x+1C. y=2x+1D. y=−2x+48. 如图所示是的导数的图像，下列四个结论：①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极小值点．其中正确的结论是A. ①②③B. ②③C. ③④D. ①③④9. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)的可导函数，f′(x)为其导函数，当x >0且x ≠1时，2f(x)+xf′(x)x−1>0，若曲线y =f(x)在x =1处的切线的斜率为−1，则f(1)=( )A. −12B. 0C. 12D. 110. 已知函数f(x)={lnx,x >12−x+1,x ≤1，若方程f(x)−ax =52有3个不同的解，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−52]B. (−52,−32]C. [−52,−32]D. (−32,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，则f′(1)= ______ ． 12. ∫(e1x 2+1x )dx = ______ ．13. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a[x 2+(1−a)x −a](a ≠0)，若函数f(x)在x =a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是______ ．14. 由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2”按类比推理关于球的相应命题为“半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”据此可求得此最大值为______． 15. 函数在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_____16.已知f(x)=xlnx−ax，若∀x1∈[e,e2]，∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.用数学归纳法证明：1√2√3+⋯√n<2√n(n∈N+).18.设函数f(x)=12x2−3ln(x+2)(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[1e−2,e−2]的最大值和最小值．19.函数f(x)=13x3−4x+4．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)设函数g(x)=x+m，对∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+1．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)在点(−2,f(−2))处的切线方程．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．解：∵a+bii =(a+bi)(−i)−i=b−ai，(2−i)2=4−4i−1=3−4i，又a+bii(a,b∈R)与(2−i)2互为共轭复数，∴b=3，a=−4，则a−b=−7．故选：D．2.答案：A解析：解：设P(a,alna−a)，则∵f(x)=xlnx−x，∴f′(x)=lnx，∴曲线在点P处的切线l的方程为y−alna+a=lna(x−a)，即y=−a+xlna．令x=0，可得y M=−a，过点P作l的垂线的方程为y−alna+a=−1lna(x−a)，令x=0，可得y N=alna−a+alna，∴y Ny M =−lna+1−1lna，∵lna+1lna ≥2或lna+1lna≤−2，∴−(lna+1lna )≤−2或−(lna+1lna)≥2，∴y Ny M =−lna+1−1lna的范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)．故选A．设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x−0，可得y M =−a ，y N =alna −a +a lna，进而可求y Ny M=−lna +1−1lna ，利用基本不等式，即可求出yN y M的范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．3.答案：B解析：解：f(−x)=1e sinx−x ；显然f(−x)≠−f(x)，f(−x)≠f(x)； ∴f(x)为非奇非偶函数； f′(x)=(cosx −1)⋅e sinx−x ； cosx ≤1，∴f′(x)≤0； ∴f(x)在R 上为减函数；∴只有④正确，即正确结论的个数为1． 故选B ． 分析：根据奇函数，偶函数的定义，求出f(−x)，判断f(−x)和f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性，而求f′(x)，根据其符号即可判断f(x)在R 上的单调性，从而求出正确结论的个数．考查奇函数，偶函数的定义，以及判断奇偶性的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法．4.答案：B解析：解：由条件有f(x)+xf′(x)=e 2x x；设g(x)=xf(x)，则 g′(x)=f(x)+xf′(x)=e 2x x；∴f(x)=g(x)x，则 f′(x)=xg′(x)−g(x)x 2=e 2x −g(x)x 2；设 ℎ(x)=e 2x −g(x)，则 ℎ′(x)=2e 2x −g′(x)=2e 2x −e 2x x=e 2x (2−1x)；所以ℎ(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增； 所以ℎ(x)>ℎ(12)=0； 则f′(x)>0； 所以f(x)在定义域上单调递增； 故选：B ．由条件构造g(x)=xf(x)，则f(x)=g(x)，求导讨论f(x)的单调性；在这个过程中将分子看成一个整x体，求导讨论其单调性，分析其符号．本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大．5.答案：C解析：解：多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3．故选：C．数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立6.答案：C解析：本题主要考查导数的应用，熟悉导数求函数最值的步骤是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：当时，当时，所以函数在区间时，有极小值又由解得所以函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是，故选C．7.答案：A解析：解：由y=x3−x+2，得y′=3x2−1，∴y′|x=1=3×12−1=2．∴曲线y=x3−x+2在点(1,2)处的切线方程为y−2=2×(x−1)．即y=2x．故选：A．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．8.答案：B解析：试题分析：由导函数图象可知：①在区间上是先减再增；②在左侧是减函数，右侧是增函数，所以是的极小值点；③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极大值点；故②③正确．考点：导函数的应用．9.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=x2f(x)，讨论x>1，0<x<1时，g(x)的单调区间和极值点，可得g′(1)=0，即有2f(1)+ f′(1)=0，由f′(1)=−1，即可得出．>0，解：当x>0且x≠1时，2f(x)+xf′(x)x−1可得x >1时，2f(x)+xf ′(x)>0； 0<x <1时，2f(x)+xf ′(x)<0， 令g(x)=x 2f(x)，x ∈(0,+∞)，∴g ′(x)=2xf(x)+x 2f ′(x)=x[2f(x)+xf ′(x)]，可得：x >1时，g ′(x)>0；0<x <1时，g ′(x)<0， 可得函数g(x)在x =1处取得极值， ∴g ′(1)=2f(1)+f ′(1)=0， 由f ′(1)=−1， 可得f(1)=12， 故选C ．10.答案：B解析：解：f(x)的图象如图所示，方程f(x)−ax =52有3个不同的解，即f(x)=ax +52有3个不同的解，等价于y =f(x)与y =ax +52的图象有3个不同的交点， 因为直线y =ax +52恒过(0, 52)，所以满足条件的直线应在图中的l 1与l 2之间，斜率分别是k 1=52−10−1=−32，k 2=52−00−1=−52，故a ∈(−52, −32],故选B ．方程f(x)−ax =52有3个不同的解，即f(x)=ax +52有3个不同的解，等价于y =f(x)与y =ax +52的图象有3个不同的交点，因为直线y =ax +52恒过(0, 52)，所以满足条件的直线应在图中的l 1与l 2之间，求出斜率，即可得出结论．本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．11.答案：1解析：解：f(x)=x⋅lnx，求导f′(x)=lnx+x×1x=lnx+1，∴f′(1)=1，故答案为：1．根据求导法则可知：f′(x)=lnx+x×1x=lnx+1，将x=1时，即可求得f′(1)．本题考查导数的运算，考查导数的运算法则，属于基础题．12.答案：13e3+23解析：解：∫(e1x2+1x)dx=(13x3+lnx)|1e=(13e3+lne)−(13+ln1)=13e3+23．故答案为：13e3+23．直接利用定积分运算法则求解即可．本题考查定积分的运算，微积分基本定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．13.答案：(−1,0)解析：解：由题意得，f′(x)=a[x2+(1−a)x−a]=a(x+1)(x−a)，∵f(x)在x=a处取到极大值，∴必有x<a时，f′(x)>0，且x>a时，f′(x)<0，(1)当a>0时，当−1<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；(2)当a=0时，函数f(x)无极值，不符合题意；(3)当−1<a<0时，当−1<x<a时，f′(x)>0，当x>a时，f′(x)<0，则f(x)在x=a处取到极大值，符合题意；(4)当a=−1时，f′(x)≤0，函数f(x)无极值，不符合题意；(5)当a<−1时，当x<a时，f′(x)<0，当a<x<−1时，f′(x)>0，则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述−1<a<0，故答案为：(−1,0)．先对f′(x)进行因式分解，再讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，确定是否在x=a处取到极大值，即可求出实数a的取值范围．本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．14.答案：8√3R39解析：解：设半径为R的圆的内接矩形的长，宽分别为：2a，2b，则有a2+b2=R2，又矩形的面积为4ab，由不等式的性质有ab≤a2+b22=R22，(当且仅当a=b时取等号)即“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”，类比推理关于球的相应命题为“半径为R的球的内接长方体中，设半径为R的球的内接长方体的长，宽，高分别为：2a，2b，2c，则a2+b2+c2=R2，内接长方体的体积为8abc，由不等式的性质有a2b2c2≤(a2+b2+c23)33=R627，(当且仅当a=b=c时取等号)，即“半径为R的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”且最大值为8√3R39，故答案为：8√3R39由圆中有关问题类比推理到球中有关问题，结合重要不等式及取等条件可得解．本题考查了类比推理能力及重要不等式及取等条件，属中档题．15.答案：−37解析：试题分析：函数导数，得，最小值考点：函数在某一闭区间上的最值点评：函数在某一闭区间上的最大值最小值会出现在区间的端点处或极值点处16.答案：[4e−14e,+∞)解析：解：若∀x1∈[e,e2]，∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤f′(x)max+a”，当x∈[e,e2]时，lnx∈[1,2]，1lnx ∈[12,1]，f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2=−(1lnx−12)2+14−a，f′(x)max+a=14，问题等价于：“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤14”，①当−a≤−14，即a≥14时，f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2=−(1lnx−12)2+14−a<0，f(x)在[e,e2]上为减函数，则f(x)max=f(e)=e−ae=e(1−a)≤14，∴a≥1−14e =4e−14e，②当−14<−a<0，即0<a<14时，∵x∈[e,e2]，∴1lnx∈[12,1]，∵f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2，由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x0)=0且满足：f(x)在[e,x0)递减，在(x0,e2]递增，f(x)max=f(e)或f(e2)，而f(e2)=e22−ae2，故e22−ae2≤14，解得：a≥12−14e2，综上，实数a的取值范围为[4e−14e,+∞)，故答案为：[4e−14e,+∞)．问题等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤f′(x)max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．17.答案：证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(3分)(2)假设n=k时不等式成立，即1√2√3+⋯√k<2√k，…(5分)则当n=k+1时，1+√2√3+⋯√k√k+1<2√k+√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…(10分)即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…(12分)解析：直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．18.答案：解：(1)f(x)=12x2−3ln(x+2)，则其定义域为(−2,+∞)∴f′(x)=x−3x+2=x2+2x−3x+2，令f′(x)=0，解的x=1或x=−3(舍去)，当f′(x)>0时，即x>1时，函数单调递增，当f′(x)<0时，即−2<x<1时，函数单调递减，故f(x)在(−2,1)上单调递减，在(1,+∞)单调递增；(2)∵0<e−2<1，−2<1e−2<−1，由(1)可知，函数f(x)在[1e−2,e−2]单调递减，∴f(x)max=f(1e−2)=12(1e−2)2−3ln(1e−2+2)=12(1e−2)2+3，f(x)min=f(e−2)=12(e−2)2−3ln(e−2+2)=12(e−2)2−3．解析：(1)先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；(2)由(1)可知，函数f(x)在[1e−2,e−2]单调递减，即可求出函数的最值．本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用单调性求函数的最值，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=13x3−4x+4，所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，(1分)令f′(x)=0，解得x=−2，或x=2，列表讨论，得：(4分)故当x=−2时，f(x)有极大值，极大值为283，(5分)当x=2时，f(x)有极小值，极小值为−43.(6分)(Ⅱ)因为∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x)min≥g(x)max即可．(7分)由(Ⅰ)知：函数f(x)在区间[0,3]上的最小值f(x)min=f(2)=−43，(9分)函数g(x)在区间[0,3]上的最大值g(x)max=g(3)=m+3，(11分)由f(x)min≥g(x)max，即m+3≤−43，解得m≤−133，故实数m的取值范围是(−∞,−133].(12分)解析：(Ⅰ)由已知得f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0，解得x=−2，或x=2，列表讨论，能求出函数f(x)的极值．(Ⅱ)因为∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x)min≥g(x)max即可，由此能求出实数m的取值范围．本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20.答案：解：(1)函数f(x)=−x3+3x2+9x+1的导数为f′(x)=−3x2+6x+9，令f′(x)<0，解得x<−1，或x>3，可得函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(3,+∞)；(2)f′(x)=−3x2+6x+9，可得f(x)在点(−2,f(−2))处的切线斜率为k=−3×4−12+9=−15，切点为(−2,3)，即有f(x)在点(−2,f(−2))处的切线方程为y−3=−15(x+2)，即为15x+y+27=0．解析：(1)求得f(x)的导数，再令导数小于0，解不等式即可得到所求区间；(2)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于中档题．。
2020年天津一中高二(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人2.函数f（x）=3x2+ln x-2x的极值点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 无数个3.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本中任取一点，x3579y1245（）A. B. C. D. 04.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A. 频率分布直方图中a的值为0.040B. 样本数据低于130分的频率为0.3C. 总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D. 总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等5.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站在两端的概率是A. B. C. D.6.函数f（x）=的图象可能是（）A. B.C. D.7.重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=|ln x|，若关于x的方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A. [0，ln2]B. （-2-ln2，0）C. （-2-ln2，0]D. [0，2+ln2）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.从区间（-2，3）内任选一个数m，则方程mx2+y2=1表示的是双曲线的概率为______．10.一批排球中正品有m个，次品有n个，m+n=10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若DX=2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p=______11.已知直线y=2x-1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为______．12.某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为______．13.函数f（x）=e x-3x+2的单调增区间为______．14.已知函数f（x）=ax+ln x，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．16.某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．17.已知函数在点（1，f（1））处的切线方程是y=bx+5．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）．18.设函数f（x）=xe kx（k≠0），（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=x2-2bx+4，当k=1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．19.已知椭圆C：的左右焦点分别F1（-c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，满足．（I）求椭圆C的离心率．（II）M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP，NP分别与x轴相较于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=8，求椭圆C的方程．答案和解析1.【答案】C【解析】解：某学校高一、高二年级共有1800人，设该校高一年级学生共有a人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人，则，解得a=840．∴该校高一年级学生共有840人．故选：C．设该校高一年级学生共有a人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有42人，由此列出方程能求出该校高一年级学生数．本题考查该校高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）=6x+-2=，由于x＞0，g（x）=6x2-2x+1中△=-20＜0，∴g（x）＞0恒成立，故f′（x）＞0恒成立，即f（x）在定义域上单调递增，无极值点．故选：A．先求出导数f′（x），进而判断其单调性，即可得出答案．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值等性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：由表中数据计算=×（3+5+7+9）=6，=×（1+2+4+5）=3，代入y关于x的回归方程中，得a=3-0.7×6=-1.2，所以y关于x的回归方程为=0.7x-1.2，所以表中4个点落在回归直线下方的有（5，2），（9，5）共2个，则所求的概率为p==．故选：B．求出样本中心点，得出回归方程，计算可得4个点中落在回归直线下方的有2个，从而求出概率．本题考查回归方程的求法，考查概率的计算以及样本点的中心，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得a=0.030，故A错误；样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）×10=0.7，故B错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10=0.4，[120，130）的频率为：0.030×10=0.3．∴总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+≈123.3分，故C正确；样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等，故D错误．故选：C．由频率分布直方图得的性质求出a=0.030；样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）×10=0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+≈123.3分；样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等．本题考查频率分布直方图的性质，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五名同学站成一排照相，共有n==120种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：+=84种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n==120种排法．A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：+=84种，∴A、B两位同学至少有一人站在两端的概率为p=．故选：C．6.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）可排除B，D答案当x∈（-2，-1）时，sin x＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（-2，-1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．7.【答案】A【解析】解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：P=（）4++=．故选：A．比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：设h（x）=f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）=f（1）+m=ln1+m=m，A点的纵坐标为g（2）=-2，当x=2时，h（2）=ln2+m，g（1）=0，要使方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即-2-ln2＜m≤0，即实数m的取值范围是（-2-ln2，0]，故选：C．设h（x）=f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】【解析】解：当m∈（-2，0）时，方程mx2+y2=1表示的是双曲线，所以所求的概率为P==．故答案为：．根据题意，求出方程mx2+y2=1表示双曲线的条件即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：由题意知，随机变量X～（10，），则方差DX=10××（1-）=2.1，又m≥n，则n≤5，∴解得n=3，∴所求的概率为p=1-=．故答案为：．由题意知随机变量X～（10，），根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值．本题考查离散型随机变量的方差计算问题，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ln2【解析】解：设切点坐标为P（m，ln（m+a）），∵曲线y=ln（x+a），∴y′=，∵直线y=2x-1与曲线y=ln（x+a）相切，∴y′|x=m==2，①又切点P（m，ln（m+a））在切线y=2x-1上，∴ln（m+a）=2m-1，②由①②可得，a=ln2，∴a的值为ln2．故答案为：ln2．设出切点P（m，ln（m+a）），根据导数的几何意义，且切点在切线上，列出关于m 和a的方程组，求解方程组，即可得到a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．12.【答案】27【解析】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为16×0.25=4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）=27．故答案为：27．根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，是基础题．13.【答案】（ln3，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=e x-3x+2，其导数f′（x）=e x-3，若f′（x）=e x-3＞0，变形可得e x＞3，解可得x＞ln3，即函数f（x）的递增区间为（ln3，+∞）；故答案为：（ln3，+∞）根据题意，求出函数的导数f′（x）=e x-3，令f′（x）=e x-3＞0，解可得x＞ln3，由函数的导数与单调性的关系分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，关键是掌握函数的单调性与导数的关系，属于基础题．14.【答案】（-∞，-]【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于简单题．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f′（x）=a+，①a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，不合题意；②a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜-，令f′（x）＜0，解得：x＞-，故f（x）在（0，-）递增，在（-，+∞）递减，故f（x）max=f（-）=-1+ln（-）≤1，解得：a≤-，故答案为：（-∞，-]．15.【答案】解：（1）由题意知，所有的选派方法共有=60种，其中有3名女生的选派方法共有=4种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种．…………（3分）（2）X的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5分）P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，（8分）∴X的分布列为：X0123P∴E（X）==．…………………………………（10分）【解析】（1）由题意知，所有的选派方法共有=60种，其中有3名女生的选派方法共有=4种，由此能求出选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数．（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查间接法、排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.【答案】解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-）×（1-）×（1-）=，P（ξ=1）=××（1-）×（1-）+（1-）2×=，P（ξ=2）=××（1-）×+（）2×（1-）=，P（ξ=3）=××=，ξ的分布列为ξ0123P（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=••，（k=0，1，2，3），∴E（X）=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）-3×P（η=3）=2×+1×+0-3×=；设乙车间获得的利润为Y，由（1）得E（Y）=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）-3×P（ξ=3）=2×+1×+0-3×=；∵E（X）＜E（Y），∴甲车间停产比较合理．【解析】本题考查了概率知识的运用问题，也考查了数学期望的计算问题，是中档题．（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得利润为X，得η～B（3，），求出甲、乙的期望值，比较即可得出结论．17.【答案】解：（1）因为，，………（1分）则f'（1）=1-a，f（1）=2a，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-2a=（1-a）（x-1），…………（2分）（直线y=bx+5过（1，f（1））点，则f（1）=b+5=2a）由题意得，即a=2，b=-1．………………………………………（4分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），……（5分）∵，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，∴在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7分）故f（x）在上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9分）∴f（x）在上的最小值为f（2）=3+ln2．………………………（10分）又，，且．∴f（x）在上的最大值为．………………………（11分）综上，f（x）在上的最大值为2e+1，最小值为3+ln2．……………（12分）【解析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1）f′（x）=（1+kx）e kx，因为f（0）=0，且f′（0）=1，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．（4分）（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，当k＞0时，x＞-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增；当k＜0时，x＜-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减．（8分）（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，即存在x∈[1，2]，使g（x）=x2-2bx+4≤-，即2b≥x+，即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥2+．（14分）【解析】（1）f′（x）=（1+kx）e kx，由f（0）=0，且f′（0）=1，能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．19.【答案】解：（Ⅰ）设A点的横坐标为c，代入椭圆方程得，y=±b=±，解得，∴，又b2=a2-c2=ac，由e=可得e2+e-1=0，解得；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，-b），P（x0，y0），可得b2x02+a2y02=a2b2，则直线MP的方程为，令y=0得到R点的横坐标为，同理可得直线NP的方程为，令y=0得到Q点的横坐标为，∴，而e==，可得c2=6，b2=2，所以椭圆的方程为．【解析】（Ⅰ）设A点的横坐标为c，代入椭圆方程求得y，即有，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，解方程可得e；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，-b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得MP的方程和NP的方程，令y=0，可得R，Q的坐标，由条件可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
天津市蓟县2019-2020学年高二下期中考试数学测试题(理)-附答案(已纠错)
蓟县2019-2020学年第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i - 2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为 A ．1 B ．2 C ．0 D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．2-B ．12C ．2D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)xf x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '= A ．2 B ．3 C ．-1 D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-= 13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立， 猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
天津市2020-2021版高二下学期期中化学试卷
天津市2020-2021版高二下学期期中化学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共28题；共59分)1. （2分） (2018高二上·林州开学考) 已知：①Fe2O3(s)＋3C(s) =2Fe(s)＋3CO(g) ΔH＝+494kJ·mol－1②CO(g)＋1/2O2(g) =CO2(g) ΔH＝-283 kJ·mol－1③C(s)＋1/2O2(g)=CO(g) ΔH＝-110kJ·mol－1则反应Fe2O3(s)＋3C(s)+ 3/2O2(g) =2Fe(s)＋3CO2(g)的焓变是（）A . -355 kJB . +355 kJC . -355 kJ • mol-1D . +355 kJ • mol-12. （2分） (2018高二下·洛阳期末) 下列热化学方程式中△H能表示可燃物燃烧热的是（）A . H2(g)+Cl2(g)=2HCl(g) ；△H= －184.6kJ/mo1B . CH4(g)+2O2(g)=CO2(g)+2H2O(g) ；△H= －802.3kJ/molC . 2H2(g)+O2(g)=2H2O(l) ；△H= －571.6kJ/molD . CO(g)+1/2O2(g)=CO2(g)；△H=－258kJ/mol3. （2分） (2017高一下·太原期中) Al（OH）3 是一种常用的阻燃剂，添加在可燃物中的 Al（OH）3 受热分解的化学反应如下：2Al（OH）3 Al2O3+3H2O，其阻燃原因之一是此过程可以降温到可燃物的着火点以下．该反应属于（）A . 离子反应B . 吸热反应C . 复分解反应D . 氧化还原反应4. （2分） (2016高二上·湖北期中) 已知相同条件下，下列反应的焓变和乎衡常数分别表示为：①2H2O（g）=O2（g）+2H2（g）△H1 K1=x②Cl2（g）+H2（g）=2HCl（g）△H2 K2=y③2Cl2（g）+2H2O（g）=4HCl（g）+O2（g）△H3 K3=x则下列关系正确的是（）A . △H3=△H1+2△H2 x=xy2B . H3=△H1+△H2 z=x+yC . H3=△H1+2△H2 x=x﹣y2D . H3=△H1+△H2 z=5. （2分）你认为减少酸雨的途径可以采取的措施是（）①少用煤作燃料②把工厂烟囱造高③燃煤脱硫④在已酸化的土壤中加石灰⑤开发新能源A . ①②③B . ②③④⑤C . ①③⑤D . ①③④⑤6. （2分）下列各图所示的装置中，肯定不符合防倒吸要求的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·静安模拟) 关于的命名正确的是（）A . 2－乙基丙烷B . 3－甲基丁烷C . 2－甲基戊烷D . 2－甲基丁烷8. （2分）下列说法正确的是（）A . 有机物CH2Cl﹣CH2Cl用系统命名法命名为：二氯乙烷B . 1mol 与足量的NaOH溶液充分反应，消耗NaOH的物质的量为3molC . 标准状况下，22.4L己烷所含分子数为NAD . 乙醇与乙酸发生酯化反应时，乙醇分子中的碳氧键没断裂9. （2分）下列各有机物的名称肯定错误的是（）A . 3﹣甲基﹣2﹣戊烯B . 3﹣甲基﹣2﹣丁烯C . 2，2﹣二甲基丙烷D . 3﹣甲基﹣1﹣丁烯10. （2分） (2016高三上·大连期末) 下列关于有机物的说法，正确的是（）A . 聚乙烯和乙烯性质相似，都能发生加成反应B . 纤维素、橡胶和光导纤维都属于有机高分子化合物C . 乙烯和乙醇都可发生加成反应D . 等量的CH4和Cl2在光照下反应不能生成纯净的CH3Cl11. （2分）下列各组物质，互为同系物的是（）A . CH3CH=CH2与B . 与C . CH3CH2Cl 与CH3CHClCH2ClD . 与12. （2分）下列物质一定属于同系物的是（）① ② ③ ④C2H4⑤CH2=CH﹣CH=CH2⑥C3H6⑦ ⑧A . ①和②B . ④和⑥C . ⑤和⑦D . ⑥和⑧13. （2分）下列物质与CH3CH2OH互为同系物的是（）A . H﹣OHB . CH3OHC . C6H5OHD . C2H5OCH2OH14. （2分） (2016高二下·张掖期中) 现有乳酸（）和乙醇的混合物共1mol，完全燃烧生成54g水和56L（标准状况下测定）CO2 ，则完全燃烧时消耗氧气物质的量是（）A . 2 molB . 2.25 molC . 3 molD . 3.75 mol15. （2分） (2016高一上·兴国期中) 能用离子方程式H++OH﹣=H2O表示的是（）A . Ba（OH）2溶液和H2SO4溶液混合B . NaOH溶液和盐酸混合C . Cu（OH）2和稀H2SO4反应D . CO2通入NaOH溶液中16. （2分） (2016高二下·静海期中) 下列说法中，不正确的是（）A . 乙醇与金属钠反应时，是乙醇分子中羟基中的O﹣H键断裂B . 检验乙醇中是否含有水，可加入少量无水硫酸铜，若变蓝则含水C . 禁止用工业酒精配制饮用酒和调味用的料酒D . 溴乙烷、TNT，丙三醇都是无色溶于水的有机化合物17. （5分）有机物的结构可用“键线式”简化表示．如：CH3﹣CH=CH﹣CH3可简写为某有机物X的键线式为（1）有机物X的分子式为________．（2） X与足量的H2在一定条件下反应可得到有机物Y，则Y分子的一氯取代产物有________种．（3） X的同分异构体Z属于芳香烃，能使溴水褪色，Z的结构简式为________，该芳香烃Z在一定条件下可发生聚合反应，写出其反应的化学方程________．（4）某醇W与X的相对分子质量相同，1mol W与足量Na反应能产生标准状况下的氢气22.4L，经测定W分子有如下特点：①一个碳原子最多连接一个官能团；②该分子不存在官能团位置异构现象．则W的结构简式为________．18. （2分） (2015高二下·吉林期中) 奥运会中服用兴奋剂既有失公平，也败坏了体育道德．某种兴奋剂的结构简式如图所示．有关该物质的说法中正确的是（）A . 该物质与苯酚属于同系物B . 该物质不能使酸性KMnO4溶液褪色C . 1 mol该物质与浓溴水反应时最多消耗Br2为4 molD . 该分子中的所有原子共平面19. （2分） (2016高二下·盘山期末) 一些治感冒的药物含有PPA成分，PPA对感冒有比较好的对症疗效，但也有较大的副作用，2000年11月，我国药监局紧急通知，停止使用含有PPA成分的感冒药，PPA是盐酸苯丙醇胺（pheng propanolamine的缩写），从其名称看，其有机成分的分子结构中肯定不含下列中的（）A . ﹣OHB . ﹣COOHC . ﹣C6H5D . ﹣NH220. （2分） (2016高二上·安庆期中) 轴烯是一类独特的星形环烃．三元轴烯与苯（）A . 均为芳香烃B . 互为同素异形体C . 互为同系物D . 互为同分异构体21. （2分） (2018高三上·包头期中) 下列说法正确的是（）A . CH3(C2H5)CHCH(CH3)2的系统命名为2—甲基—3—乙基丁烷B . 苯甲酸的结构简式为C . 利用乙醇的还原性以及Cr3＋、Cr2O72－的颜色差异来检验酒后驾车D . C5H10的同分异构体中属于烯烃的有6种22. （2分） (2016高二上·鄂尔多斯期中) 对于有机物，下列说法正确的是（）A . 该物质的分子式为C10H12B . 该物质能与4mol Br2完全加成C . 该物质能发生加聚反应D . 该物质苯环上的一氯代物有3种23. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 有机物中都含有碳元素B . 有机物都易燃烧C . 有机物的水溶液都难导电D . 有机物都是从有机体中分离出来的物质24. （2分） (2016高一上·衡水期中) 下列实验操作中错误的是（）A . 萃取操作震荡时，用右手压住分液漏斗口部，用左手握住活塞部分B . 蒸馏操作时，冷却水应从冷凝管的下口进，上口出C . 分液操作时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出D . 萃取操作选择有机萃取剂时，萃取剂的密度必须比水大25. （2分）某烃经催化加氢后得到2﹣甲基丁烷，该烃不可能是（）①3﹣甲基﹣1﹣丁炔②2﹣甲基﹣1，3﹣丁二烯③2﹣甲基﹣1﹣丁炔④3﹣甲基﹣2﹣丁烯．A . ①③B . ②④C . ①②D . ③④26. （2分） (2015高二下·屯溪期中) 据报道，1995年化学家合成了一种分子式为C200H200的有机物，它是含多个碳碳叁键（﹣C≡C﹣）的链状烃，则分子中含碳碳叁键最多是（）A . 49个B . 50个C . 51个D . 不能肯定27. （2分） (2017高二上·湘潭期中) 氯霉素主要成分的结构简式为：，下列有关该化合物的说法不正确的是（）A . 属于芳香族化合物B . 能发生水解反应C . 不能发生消去反应D . 能发生催化氧化28. （2分）有机物X的蒸气相对氢气的密度为51，X中氧元素的质量分数为31.7%，则能在碱性溶液中发生反应的X的同分异构体有（不考虑立体异构）（）A . 4种B . 9种C . 13种D . 15种二、解答题 (共7题；共37分)29. （3分） (2015高二下·红河期中) 已知2mol氢气燃烧生成液态水时放出572kJ热量，反应方程式是2H2（g）+O2（g）═2H2O（l）．请回答下列问题：①该反应的生成物能量总和________（填“大于”、“小于”或“等于”）反应物能量总和．②若2mol氢气完全燃烧生成水蒸气，则放出的热量________（填“＞”、“＜”或“=”）572kJ．③与化石燃料相比，利用氢能源有很多优点，请说出其中一点________．30. （4分）氢气是一种清洁能源，氢气的制取与储存是氢能源利用领域的研究热点。
天津市蓟县高二下期中考试数学试题理有答案
蓟县2021-2021学年第二学期其中考试试卷高二数学理科第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、计算复数2i(i是虚数单位〕iA．12i B．12iC．12i D．12i2、函数y x21的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A．1B．2C．0D．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论〞形式的推理，那么作为大前提、小前提和结论的分别为A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①4、设fx xlnx，假设f(x03)，那么x0A．e2B．e C．ln2D．ln225、2cosxdx等于A．3B．1．31C D．22226、假设fx sin cosx，那么f等于A．sin B．cos C．sin cos D．2sin 7、函数f x(x3)e x的单调区间是A．(,2)B．(2,)C．1,4D．0,38、设函数f x是函数f x的导函数，y f x的图象如下图，那么y fx的图象最有可能的是9、函数y x33x29x(0x4)有A．极大值5，极小值-27B．极大值5，极小值-11C．极大值5，无极小值D．极小值-27，无极大值10、函数f x在R上满足fx2f(2x)e x1x2，那么f1A．2B．3C．-1D．11第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.11、核黄素f x sin2x，那么函数的导函数为f x12、复数z12i,z13、在ABC中，不等式1119成立，在四边形ABCD中，不等式111116成立；A B C A B C D2在五边形ABCDE中，不等式1111125成立，A B C D E3猜测在n边形A1A2A n中，有不等式成立。
14、把复数z的共轭复数记作z，(1i)z1i，那么z15、函数y x3x2x2图象在于y轴交点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为三、解答题：本大题共5小题，总分值 50分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤16、〔本小题总分值10分〕当实数m取何值时，在复平面内与复数z (m24m) (m2m 6)i对应点满足以下条件？1〕在第四象限；2〕在直线xy30上。
天津市蓟县高二下期中考试数学试题(理)有答案-精选
蓟县2015-2016学年第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．2-B ．12C ．2D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)xf x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '= A ．2 B ．3 C ．-1 D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
天津市2020年(春秋版)高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
天津市2020年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数等于（）A . 4iB . -4iC . 2iD . -2i2. （2分） (2016高二下·河南期中) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60度B . 假设三内角至多有一个大于60度C . 假设三内角都大于60度D . 假设三内角至多有两个大于60度3. （2分）曲线在处的切线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）设的展开式的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为（）A .B .C . ９D .5. （2分）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明不等式(,且n>1)时，不等式在n=k+1时的形式是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .8. （2分）用数学归纳法证明：1+x+x2+x3+…+xn+2= （x≠1，n∈N+）成立时，验证n=1的过程中左边的式子是（）A . 1B . 1+xC . 1+x+x2D . 1+x+x2+x39. （2分）已知定义在上的非负可导函数f（x）满足xf′（x）-f(x)0，对任意正数a,b，若满足a<b，则必有（）A . af(a)f(b)B . bf(b)f(a)C . af(b)bf(a)D . af(b)bf(a)10. （2分）(2012·湖北) 已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）已知两点A（2，m）与点B（m，1）之间的距离等于，则实数m=（）A . ﹣1B . 4C . ﹣1或4D . ﹣4或112. （2分） (2018高二下·中山月考) 若存在使不等式成立，则实数的范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（3+4i）（﹣2﹣3i）=________14. （1分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=________15. （1分）已知定义在R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2ex 的解集是________．16. （1分）已知a＞b＞0，则与的大小是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）请按要求完成下列两题．（Ⅰ）求由直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积．（Ⅱ）求由直线y=x﹣4，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积．18. （15分） (2018高二下·虎林期末) 已知函数（1）求函数的单调区间;（2）求函数的极值;（3）求函数在区间上的最大值与最小值。
天津市第五中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
本题考查集合的子集,分类讨论解的个数,形如 的方程,一定要讨论 是否为0,考查转化思想
3．C
【分析】
将 写为 的形式,即可得到结果
【详解】
由题, ,
故选:C
【点睛】
本题考查终边相同的角,属于基础题
4．D
【分析】
采用特值验证的方法可以得出选项.
【详解】
对于选项A，取 ，则 ，故不正确；
对于选项B，取 ，则 ，故不正确；
对于选项C，取 ，则 ，故不正确；
对于选项D，由 知 ， ，则 ，即， ，正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，不等关系的判定，常用特殊值来进行排除.
5．C
【分析】
根据题意可知函数 是周期为2的函数，然后依据排除法，逐一验证，可得结果.
【详解】
由题可知：偶函数 满足
用 取代 ，则
所以函数 周期为2的周期函数
【详解】
解： ，则 ，
故答案为: .
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，考查了复数模的求解，属于基础题.
10．
【分析】
由 三个函数的单调性可判断三个数与1,0的大小关系，从而判断出 ， ， 的大小关系.
【详解】
解：由 在定义域为单调递增函数，且 ，
则 ， ，
，
所以 .
故答案为:
【点睛】
本题考查实数的大小比较，对于幂、对数等不同类型的数，比较大小时可与中间值如0，1等比较，然后得出结论．
即 ，即 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性，以及指数函数的单调性即可，属于常考题型．
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【解析】
【分析】
求出 ，令导数 小于0 ,得 的取值区间，即为 的单调减区间.
【详解】
因为函数 ，
所以 ,
令 得 ,
可得 ，
函数 的单调递减区间为 ,故选A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是基础题.利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出 ；（2）在定义域内，令 求得 的范围，可得函数 增区间，令 求得 的范围，可得函数 的减区间.
2．8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为（ ）
A． B．
C． D．
3．设曲线 在点 处的切线斜率为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C．（ ）D．（ ）
4．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 且 与 互相垂直，则 （）
A． B． C． D．
6．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）
2．A
【分析】
8人站成两排需要分步完成，第一步，5个位置8个人选，求出情况数；第二步，3个位置3个人选，全排，两者相乘即可.
【详解】
由题意有，前排5人，相当于有5个位置，后排3人相当于有3个位置，
∴前排5个位置8个人的排列数有 种，
∴剩下3人3个位置的排列数有 种，
又∵上述是分步处理“8名学生站成两排”，
（1）求 的分布列；(用数字作答)
（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)
15．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) 和 ，系统 和 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 .
（1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；
（2）设系统 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望 .(用数字作答)
A． 种B． 种
C． 种D． 种
7．在 的二项展开式中,x的系数为()
A．10B．-10C．40D．-40
8．在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到．已知集合 ，恰含有一个奇数的子集个数为_____.
8．C
【分析】
此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.
【详解】
记事件 为第二次抽到一等品，事件 为第一次抽到一等品，
则由条件概率公式可知：
故选：C.
【点睛】
本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件 发生条件下事件 发生的概率公式为： .
“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，
则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，
故选B．
7．D
【解析】
分析：先求出二项式 的展开式的通项公式，令 的指数等于 ，求出 的值，即可求得展开式中 的项的系数.
详解：∵ ,
∴当 时, .
∴ ,故选D.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
5．A
【分析】
首先表示出 与 的坐标，再根据 与 互相垂直，得到 计算可得；
【详解】
解：因为 ，
，
又因为 与 互相垂直，所以 ，
，解得
故选： .
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
6．B
【解析】
根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，
“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，
10．函数 的导数为_____.
11．已知点 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则 _____.
12．一名射手击中靶心的概率 ，如果他在同样条件下连续射击5次，则他击中靶心的次数的均值为_____.
13． 的展开式的常数项是（用数字作答）
三、解答题
14．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球， 表示摸出红球的个数.
16．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的极值.
17．如图，在直三棱柱中 -A BC中，AB AC，AB=AC=2， =4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与 所成二面角的正弦值．
18．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为 ， ， ，假设各盘比赛结果相互独立．
∴不同站法种数为：
故选：A.
【点睛】
本题考查学生对分步计数原理的运用情况，以及排列数的相关计算，会处理基本的排列组合问题，为容易题
3．C
【解析】
设 ，则 ，因为曲线 在点 处的切线斜率为 ，所以 ，可得 ，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2)己知斜率 求切点 即解方程 ；(3)巳知切线过某点 (不是切点)求切点,设出切点 利用 求解.本题可利用方法(2)求得点 的坐标.
天津市蓟州区2020-2021学年高二（下）期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）．
A． B． C． D．
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 ．
参考答案
1．D
【解析】
分析：先求每一个同学报名的方法数，再求4个同学不同的报名总数.
详解：每个同学报各都有 种情况，共有 个同学，则有 种报名方法．
点睛：(1)本题主要考查乘法分步原理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)本题容易错选D，错在没有分清事件的主体，由于每一个学生都要找到对象，所以学生是事件的主体，而每一个人有3种报名方法，所以根据乘法分步原理共有 种报名方法.