(精心整理)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的四种形式
03
然后，将斜率k代入一般 形式的直线方程 y=kx+b中，得到yy1=k*(x-x1)。
04
最后，将k的具体值代入 上式，得到两点式方程。
谢谢观看
04
法线式
法线式的定义
法线式方程是形如 (y - y_1 = m(x x_1)) 的直线方程，其中 (m) 是直线 的斜率，((x_1, y_1)) 是直线上的一 点。
VS
法线式方程表示的是通过点 ((x_1, y_1)) 且斜率为 (m) 的直线。
法线式的应用场景
当已知直线上的一点和斜率时，可以使用法线式方程来表示该直线。
进一步变形，得到 (y - y_1 = frac{A}{B}(x - x_1))，这就是法
线式方程。
05
点向式
点向式的定义
点向式是指通过直线上的一点和直线的方向 向量来表示直线方程的一种形式。具体地， 点向式方程可以表示为 (x - x_1 = m(y y_1))，其中 ((x_1, y_1)) 是直线上的一个点， (m) 是直线的方向向量。
详细描述
在几何问题中，如果已知直线上的一点和斜率，就可以使用点斜式来求解直线的方程。 例如，在解析几何、物理和工程领域中，点斜式被广泛应用于解决与直线相关的问题。
点斜式的推导过程
要点一
总结词
点斜式可以通过直线上两点的坐标来推导得出。
要点二
详细描述
设直线上的两点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，其中 x1 ≠ x2。根据 两点式，直线的斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。将这个斜率 和一点 (x1, y1) 代入点斜式方程，即可得到直线的方程为 y y1 = m(x - x1)。
直线的方程
练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.
这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
【课 题：】直线的点斜式方程【教学目的：】知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论的基础。
【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．【授课类型：】新授课【课时安排：】1课时【教 具：】【教学过程：】1、复习引入：2、讲解新课：(1)点斜式已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得11x x y y k --= (1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2)注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系)这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点(2)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是y=kx+b上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。
直线方程的几种形式
一次函数的图像是一条直线，所以我们习惯上把一次函数的解析式叫做这个一次函数所代表的那条直线的方程，下面我来介绍一下直线方程的几种形式：1.一般式:适用于所有直线表达式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B22.点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03.截矩式不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为x y=1a b4. 斜截式当斜率存在时方程为y=kx+b 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 k 1=k 2两直线垂直时 k 1×k 2=-15.两点式已知直线上两点A （x 1,y 1)与B(x 2,y 2)那么此直线的方程可表示为：112121y y x-x =y -y x -x x 1≠x 2 y 1≠y 26.当斜率不存在时，即直线垂直于x 轴，直线方程为x=x 1，x 1为直线上任意一点的横坐标注意：各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；(2)两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线；(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；(4)直线方程的一般式中系数A 、B 不能同时为零。
介绍完直线方程的几种形式，下面我说一下应该重点掌握的内容，一般式不用掌握，了解一下就可以了，点斜式和截距式的形式要记住，重要的是两点式和斜截式，因为考试一般涉及到让求一次函数解析式的题，最后都要用斜截式来表达，而最一般的题型就是告诉两个点，让你求一次函数的解析式，我们一般的做法就是设这个一次函数的解析式为y=kx+b ，然后将两个点的坐标代入，解一个二元一次方程组，求出里面的k 和b ，然后把求出的数值代入解析式里面，这是这种题最一般的解法。
直线方程的点斜式、斜截式 、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式资料讲解
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。
直线方程(直线方程完美总结 归纳)
直线方程(直线方程完美总结归纳)一、倾斜角与斜率直线的倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角。
当直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角规定为0度。
倾斜角的范围是小于等于α，且α小于180度。
直线的斜率是指直线倾斜角的正切值，记作k=tanα（α不等于90度）。
当直线与x轴平行或重合时，斜率为0；当直线与x轴垂直时，斜率不存在。
经过两点P的直线的斜率公式是k=(y2-y1)/(x2-x1)。
每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
求斜率的一般方法有两种：已知直线上两点，根据斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)求斜率；已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数，根据k=tanα来求斜率。
利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，若x1=x2=x3或kAB=kBC，则有A、B、C三点共线。
考点一：斜率与倾斜角。
例1.已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为30度或150度。
例2.已知过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m2-m,2m)的直线l的倾斜角为45度，求实数m的值。
考点二：三点共线。
已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上，求实数a的值。
考点三：斜率范围。
例1.已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
例2.已知实数x、y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求y的最大值与最小值。
二、直线方程直线方程有四种形式：点斜式、斜截式、两点式和截距式。
其中，点斜式的形式为y-y1=k(x-x1)，斜截式的形式为y=kx+b，两点式的形式为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，截距式的形式为xy+a+b=0.点斜式的局限性是不包括垂直于x轴的直线，斜率k为斜率。
斜截式的局限性是不包括垂直于x轴和y轴的直线，k为斜率，b是直线在y轴上的截距。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.(二)能力训练点通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.(三)学科渗透点通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.二、教材分析1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.(二)斜截式已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(x-0)也就就是上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.(三)两点式已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.(四)截距式例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得就就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.(五)例题例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解:直线AB得方程可由两点式得:即 3x+8y+15=0这就就是直线AB得方程.BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:由斜截式得:即 5x+3y-6=0.这就就是直线BC得方程.由截距式方程得AC得方程就是即 2x+5y+10=0.这就就是直线AC得方程.(六)课后小结(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程得不适用范围.五、布置作业1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率就是4;(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.解:2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:解:(1)(1,2),k=1,α=45°;(3)(1,-3),k=-1,α=135°;3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.(1)P1(2,1)、P2(0,-3);(2)A(0,5)、B(5,0);(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).解:(图略)六、板书设计。
直线的方程(2)——两点式与截距式
y2 y1 ( x x1 ) 代入点斜式，得：y y1 = x2 x1
( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )
说明:(1)两点式适用范围: x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 说明 即:不能表示倾斜角为00和900的直线方程 (2)两点式变形为( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) = 0 可表示过任意两点的直线方程.
典型例题
例1、三角形的顶点是A（-5，0），B（3，-3） C（0，2），如图，求这个三角形三边所 y 在直线的方程.
C 2
A 5
3
x
o
3
B
点评： 点评：直线AC，截距式较好； 直线BC，斜截式较好； 直线AB，两点式较好.
练习： 练习：
由已知条件求下列直线的斜截式方程： （1）直线经过点 P (2,1), P2 (0, 3) ； 1 （2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上 的截距为-3.
轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求三角 形AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
y
l
P (3, 2)
2x+3y-12=0
x o
练习： 练习：上题（2）求直线l在两坐标轴上的截距之
和的最小值及此时直线的方程.
课堂小结
1、直线方程的两点式的适用条件： 已知直线上两点的坐标 2、直线方程的截距式的适用条件： 已知直线与坐标轴的截距 3、如何用待定系数法求直线方程： 选择合适的方程类型.
7.2 直线的方程（2） 直线的方程（ ）
-------两点式与截距式 两点式与截距式
复习回顾
1、（1）直线方程的点斜式： 已知直线上一点P（x1，y1）与斜率k， 直线方程为 y-y1=k（x-x1） （2）直线方程的斜截式： 已知直线斜率k与在y轴上的截距 为b，直线方程为 y=kx+b
直线方程总结知识点
一、直线方程的概念直线方程是描述平面上一条直线的数学关系式。
通常情况下，直线方程可表示为y = kx + b，其中x和y分别表示直线上的点的横纵坐标，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
直线方程可以用于描述直线的位置、方向等性质，是解决几何和代数问题的基本工具之一。
二、直线方程的常见形式1.点斜式方程点斜式方程是一种常见的直线方程形式，它的形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(k,x1,y1)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
点斜式方程直观地表示了直线斜率的概念，方便计算直线的位置和方向。
2.斜截式方程斜截式方程是另一种常见的直线方程形式，它的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线截距的概念，方便计算直线与坐标轴的交点。
3.截距式方程截距式方程是直线的截距与坐标轴的关系式，它的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以直观地表示直线截距的性质，方便计算直线的位置和方向。
三、直线方程的求解方法1.根据已知点和斜率求解如果已知直线上的一个点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。
首先找到直线上的一个点(x1,y1)，然后用直线的斜率k计算出直线方程y = kx + b中的截距b，最终得到直线方程。
2.根据已知点和截距求解如果已知直线上的两个点，可以使用截距式方程来表示直线。
首先根据已知的两点(x1,y1)和(x2,y2)计算出直线的斜率k，然后再计算出直线的截距a和b，最终得到直线方程。
3.根据两条直线的关系求解如果已知两条直线的关系，可以使用斜截式方程来表示直线。
首先根据两条直线的关系计算出直线的斜率k，截距b，最终得到直线方程。
1.几何问题中的应用直线方程可以用来描述几何问题中的直线性质，比如直线的位置、方向等。
例如，可以使用直线方程来描述平面上两点之间的连线，计算直线的斜率和截距等，从而解决几何问题。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最 小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ， 证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。
关于直线的知识点总结
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，
则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),
二、直线方程的距离
1、点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
2、两平行线间的距离
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2)，
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
则直线可表示为 x/a+y/b=1
(4)斜截式: Y=KX+B (K≠0)
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
(5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2
五、定比分点问题
1、定比分点定义
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，
直线的方程----2两点式、截距式)
小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
x y 则直线方程为 1 a b 4 1 直线l过点P(4,1) 1 a b
4 1 4b a a b (a b)( ) 5 a b a b
B
P(4,1)
A
0
x
) 5 2 4 9 (当a 2b 2时取等号
(a b) min
7.2
直线的方程（2）
——两点式、截距式
1.点斜式方程
y y0 k ( x x0 )
复习
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
•A
•B x
O
直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在 x 轴的截距(横截 距)，此时直线在y轴的截距(纵截距)是b; 这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定, 所以叫做直线的截距 式方程; 横、纵截距都存在且都不为 0 . 截距式适用于的___________________________ 直线
0 x 30.
0 x 30.
例5、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴相交于 A、B两点， （ 1 ）求SOAB 最小值及相应的直线 l方程； （2）l在两坐标轴上截距之和 的最小值及相应 l方程 y 解（ 1 ）由题意知直线 l斜率存在
直线方程五种形式优秀教师
1．直线的点斜式方程1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)；②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳直线是平面几何中的一种基本图形，它具有很多特殊的性质和重要的应用。
直线与方程相关的知识点主要包括直线的方程的表示形式、直线的斜率和截距、直线的点斜式和一般式等。
一、直线的方程的表示形式1.一般式：直线的一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B不能同时为零。
2.点斜式：直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
3. 斜截式：直线的斜截式方程形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线的截距。
二、直线的斜率和截距1.斜率：直线的斜率表示线的倾斜程度，可以用k表示。
斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。
如果直线过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.截距：直线的截距表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标，可以用b表示。
一条直线的斜率和截距唯一决定着这条直线。
斜截式方程中的b就是直线的截距。
三、直线的点斜式直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
点斜式可以通过直线上的一点和斜率来表示直线的方程，方便求解和分析。
四、直线的一般式1.一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B 不能同时为零。
2.一般式方程可以用来表示任意一条直线，但表达方式较为复杂，一般在特定情况下使用，如直线的方程已知时。
五、直线的性质和应用1.平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-12.交点：两条直线交于一点时，此点的横坐标和纵坐标同时满足两条直线的方程，可以通过解方程组求解。
3.切线和法线：切线是与曲线仅有一个公共点且在这一点处与曲线相切的直线；法线是与曲线仅有一个公共点且垂直于曲线的直线。
4.直线的应用：直线作为数学工具经常应用在几何中的图形分析、计算和证明中，也广泛用于物理、工程、经济等实际问题的解决中。
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．
二、教材分析
1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合．
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k 的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．
当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．
对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l 的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
(五)例题
例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．
解：直线AB的方程可由两点式得：
即 3x+8y+15=0
这就是直线AB的方程．
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：
由斜截式得：
即 5x+3y-6=0．
这就是直线BC的方程．
由截距式方程得AC的方程是
即 2x+5y+10=0．
这就是直线AC的方程．
(六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．
(3)要注意四种形式方程的不适用范围．
五、布置作业
1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．
解：
2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
解：
(1)(1，2)，k=1，α=45°；
(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；
3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．
4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．
(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；
(2)A(0，5)、B(5，0)；
(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．
解：
(图略)
六、板书设计。