02.第二讲 矩阵.(1)
线性代数 2-2 第2章2讲-矩阵的运算(1)
1
3 0
2 4
1
3 0
13
0
51，BA
1 2 4
1
3 0
1 2
0 1
1
3 0
8 4
1 3 0
3 6 . 12
注 当AB不是方阵时，AB 、BA 不是同型矩阵.
10
二、线性变换与矩阵乘法(1)
例2
求矩阵
A
1 1
11，B
2
2
11，C
2 1
33，D
1 2
11，
计算 AB 、BA、AC、AD.
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第二讲 矩阵的运算(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
一、矩阵的线性运算
定义2.2—矩阵的相等
设A (aij )mn , B (bij )mn 是两个同型矩阵， 规定A B aij bij , (i 1, 2,, m, j 1, 2,, n). 即完全一样的两个矩阵才相等.
bmn
即将两个矩阵的对应元素相加.
4
一、矩阵的线性运算 注 只有两个矩阵同型才能进行加法运算.
负矩阵 记 A (aij ，) 称 A为A 的负矩阵. 矩阵的减法 A B A (B)
性质2.1—矩阵加法运算规律
(1) 交换律 (2) 结合律
A B B A； (A B) C A (B C).
(3) ( A B) A B； (4) A n A
6
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
二、线性变换与矩阵乘法(1)
设变量x1 、x2与变量y1 、y2 、y3 关系
课件：矩阵的定义
2、列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵.
a1
A
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
3、零矩阵(Zero Matrix):
Omn 表示元素全部为0的矩阵，也叫零矩阵，可简 记为O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
如
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
4、方阵（Square Matrix):
行数与列数都等于n 的矩阵， 称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵), 记作An
3 6 1
如 4
3
2
是3阶方阵.
2 0 3
注意：n 1 时，一阶方阵 (a11) a11.
a11 a12
a1n
·上三角形方阵
A
0
a22
a2n
0 0
ann
a11 0
0
·下三角形方阵
A
a21
a22
0
an1 an2
amn
或 Amn
其中数 aij 称为 Amn 的第 i 行第 j 列的元素,
或为Amn的(i,j)元素.
例如：学生成绩汇总表，企业报表，产 品销售表，交通线路图，线性变换， 计算机图形学等等。
二、矩阵相等 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。
矩阵相等：设矩阵A与B是同型矩阵，
A(a ) , B (b )
0 1 4
例 A
1
0
2
4 2 0
a1n
a2
n
，
0
5、行阶梯型矩阵
（1）零行在下方； （2）每个非零行的第一个非零元素的左下方元素全为零.
矩阵PPT课件
a33 a43
2
例2 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数也可以排列成一个矩形阵列
注意：AB BA
25
例2.7
设
A
1 1
1 2
1, B
2
2 3
2 , C
3
3 3
则:
1 1 2 2 0 0
AB
1
1
2
2
0
0
AC
1 1
1 3 1 3
1 2
(B
A)
1 2
5 (3
1 2
9 1
7 1 6 2
5 4
1 2
4 1
4 2
2 7
2 2
2 1 2
2 1
1 7
2
7 9 6 8)
1 )
1
21
三、矩阵的乘法：
定义4 设A=(aij) 是一个mxs矩阵， B=(bij)
第二章 矩阵
矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。
.
1
2.1 矩阵的概念
例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示：
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
辅导讲义(线性代数第二讲)
178第二章 矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。
1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。
一、 考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。
只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。
两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。
如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
注意不同型的零矩阵是不同的。
2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
第二讲矩阵运算
六、矩阵的拆分
A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)： 提取第n列元素 A(m,:)： 提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)：
提取第m1行到第m2行和第n1 列到第n2列的所有元素（提取子 块）。
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如 A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的 排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按 列存储，先第一列，再第二列，依次类推。 例如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) ans =
②变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 ③当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行
✓利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为
它专门建立一个M文件,便于修改。 步骤：
(1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编 辑器，并输入待建矩阵；
(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设 文件名为mymatrix.m)；
zeros(3) (2) 建立一个3×2零矩阵。
zeros(3,2)
(3) 设A为2×3矩阵，则可以用
zeros (size (A))建立一个与矩阵A同
样大小零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶 矩阵A zeros (size (A)) %产生一个与矩阵 A同样大小的零矩阵
A (I :i+ m ,k :k +m)： 取A矩阵第i～i+ m行内,并在第
k～k +m列中的所有元素。
③还可利用一般向量和end运算符来 表示矩阵下标，从而获得子矩阵。 end表示某一维的末尾元素下标。
>>x=rand(1,5) x= 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 >>x(3) ans = 0.6068 >>x(1:3) ans = 0.9501 0.2311 0.6068 >>x(3:end) ans = 0.6068 0.4860 0.8913
线代学习指导 第二章 矩阵
（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换 矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）； （3） 某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩 阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
第二讲：矩阵初等变换与线性方程组
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
4. 方程组的同解变换 例 解线性方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
对此线性方程组,可做如下三种消元变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
变换ri 2rj不可写成2rj ri； 2ri 3rj无此变换；
1 0 练习：对矩阵 1 1
2 1
1 0 2 r2 +r1
解：
1
1
1
r3 -2r1
2 1 1
2
1
作初等行变换。
1
1 0 2
00
1 1
3-3
r3 -r2
5 +3x4
0
(2)
2x3 4x4 7
x22 x32 13
x1 x2 x3 0
2x - y 3 ex y 3z 5
4
(3)(4)为非线性方程组。
1. 线性方程组与矩阵(P105)
线性方程组的一般形式为
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
线代2矩阵
第二讲：矩阵第一部分：矩阵的概念与运算 矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数或代数式()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==构成的一个m 行n 列的矩形列表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a212222111211称为一个m 行n 列的矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行j 列的元素()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==。
当矩阵n m A ⨯的行列数相等时，即n m =时称其为n 阶方（矩）阵A 或简称为方阵A ；一阶方阵也常作为一个数对待。
对于n 阶方阵()nn ija A ⨯=，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵A 的行列式，记为A 或A det 。
注1：有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如n m ⨯的矩阵A 可以表为n m A ⨯；要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式()nm ija ⨯标记。
注2：若矩阵的所有元素为零，则称其为零矩阵，记为n m ⨯0，不引起混淆时:可简记为0。
定义2 如果两个矩阵()nm ija A ⨯=，()ts ijb B ⨯=具有相同的行数、列数，即t n s m ==,，且对应位置上的元素相等ij ij b a =，那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记为B A =。
矩阵的运算1.矩阵的线性运算——加法与数乘矩阵定义3（加法） 两个n m ⨯矩阵()ij a A =，()ij b B =对应位置上的元素相加得到的n m ⨯矩阵()n m ij ij b a ⨯+，称为A 与B 的和，记为()n m ij ij b a B A ⨯+=+。
定义4（数乘） 以数k 乘以矩阵A 的每个元素所得的矩阵，称为数k 与矩阵A 的乘积，若()n m ija A ⨯=，则是()()n m ij n m ijka a k kA ⨯⨯==。
二讲矩阵的输入与生成-资料
3/19/2024
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6
2.2数组的生成
• Matlab中的数组在外观上与矩阵毫无 差别，也就是说矩阵的输入方法可以直 接移植到数组的输入上。同样，下述关 于数组的生成方法也可以用来生成矩阵。
• 对于一些特殊矩阵，可利用Matlab的 函数创建。
例1： x=[0,pi/6,pi/3;pi/2,2*pi/3,5*pi/6];
• >> y=sin(x)
•y =
•
0 0.5000 0.8660
• 1.0000 0.8660 0.5000
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2.1.3导入数据创建矩阵
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2.2数组的生成
linspace(a,b) 在区间 [a,b] 上创建一个有 1 0 0个元素的向量,这1 0 0个数把整个 区间线性分隔。
linspace(a,b,n) 在区间 [a,b] 上创建一个 有n个元素的向量。 这个命令和冒号表示形式相近，但是 它直接定义了数据的个数。
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2.1.1直接输入
• a=[1,2,3;4,5,6]; 注：1.必须使用方括号
2.当一行输不完时可以用续行“…” 3.行与行之间用分号或回车符分隔 4.同行元素用空格或逗号分隔 5.该方法只适合创建小型矩阵
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4. 矩阵的线性运算
1）矩阵的加法： ◼ 矩阵加法定义：设有两个 m n 矩阵 A = (aij ) 和 B = (bij ) ，规定
a11 + b11
A
+
B
=
(aij
+
bij
)
=
a21
+
b21
a12 + b12 a22 + b22
a1n + b1n
a2n
+
b2n
am1
+
bm1
am2 + bm2
爱启航在线考研
考点：逆矩阵和伴随矩阵 1. 逆矩阵的定义：
设 A 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶矩阵 B，使得 AB = BA = E,
则称 A 为可逆矩阵(简称 A 可逆)，记为 A−1 .
注： 1）可逆矩阵一定都是方阵； 2）设 A 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B，使得 AB= E，则 BA=E. 即只要有 AB=
a11 a12
将
mn
矩阵
A
=
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
的行与列的元素互换位置，得到的一个
amn
n m 矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 AT ，即
a11 a21AT=Fra biblioteka12
a22
a1n
a2n
am1
am
2
amn
2）转置矩阵的运算性质：
① ( AT )T = A ; ② ( A + B)T = AT + BT ; ③ (kA)T = kAT ; ④ ( AB)T = BT AT
② 如果 A 为上（下）三角矩阵，则 AT 为下（上）三角矩阵； ③ A = a11a22 ann .
4. 对角矩阵：主对角线上的元素是任意常数，其余元素都为 0 的 n 阶矩阵，称
为 n 阶对角矩阵(简称对角阵)，记作 Λ ，即
a1
Λ=
a2
，
an
或记作 diag(a1, a2, , an ) .
② 数乘结合律： k(lA) = (kl) A ③ cA = O c = 0 或 A = O.
5. 矩阵的乘法
a11 a12
1）定义
设
m
n
矩阵
A
=
a21
a22
am1 am2
a1n
b11 b12
a2n
和
n
s
矩阵
B
=
b21
b22
amn
bn1 bn2
则 A, B 的乘积 AB = (cij )ms 是一个 m s 矩阵，其中
关
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考点：常见特殊矩阵
1. 行矩阵（列矩阵）：只有一行的矩阵 A = (a11, a12， , a1n ) 称为行矩阵，又称
b1
行向量.
只有一列的矩阵
B
=
b2
称为列矩阵或列向量.
bn
2. 零矩阵： m n 个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O .
醒脑提问：不同型的零矩阵是否相等？
E 或 BA=E，即可得出 A, B 互为逆矩阵的结论， A−1 = B, B−1 = A .
3）单位矩阵的逆矩阵是它本身.
(简称单位阵)，记作 I 或 E . 单位矩阵的作用类似常数 1，如 Em Amn = Amn En = Amn , A0 = E 等.
6. 数量矩阵：若对角矩阵主对角线上的元素相等，则称为数量矩阵.
数量矩阵有如下性质： ① 如果 A, B 为同阶数量矩阵，则 kA, A + B, AB 仍为同阶的数量矩阵；
AT = A ，
成 长 则称 A 为对称矩阵. 研 成 同阶对称矩阵 A, B 有如下性质： 考 心 ① kA, A + B 仍为对称矩阵； 【 用 ② 若 AB = BA，则 AB 也为对称矩阵； 号 ， ③ 对任意矩阵 C,CTC 及 CCT 均为对称矩阵. 众 录 【例1】 设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1 ， E 为 n 阶单位矩阵， 注微信点公滴记 H = E − 2XXT ,证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E
ain
mn
b2 j bnj
ns
=
cij
i
ms
j
j
2）矩阵乘法满足的运算律 ①结合律： (AB)C=A(BC); ②左、右分配律： C (A+B) =CA + CB; (A+B)C =AC+BC； ③数乘结合律： (kA)(lB)=(kl)(AB)；
④ Em Amn = Amn En = Amn ；
注: ①只有方阵才有幂； ②显然，方阵的幂是可交换的.
】
3. 方阵的多项式
定义：设 x 的 k 次多项式 f (x) = ak xk + ak−1xk−1 +
记 长笔 + a1x + a0 ，A 是 n 阶矩阵，称
f ( A) = ak Ak + ak−1Ak−1 +
成 长 为矩阵 A 的一个 k 次多项式 研 性质：
【例1】 求矩阵
的乘积 AB 及 BA
A
=
−2 1
4 −2
与
B
=
2 −3
4
−6
】 记
笔
长
考研成成长 【例2】
设矩阵
A
=
1 2
,
0,
1 2
,
B = E − AT A,
C = E + 2AT A ，其中 E 为 3 阶单
【 心 位阵，求 BC .
注微信点公滴众记号录，用 直觉训练——αT β 和αβT
4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解 矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
5．了解分块矩阵及其运算．
考点：矩阵的概念和基本运算
1. 定义
1）矩阵 由 m n 个数 aij (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) 排成 m 行 n 列的数表
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第二讲 矩阵
【考试要求】
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称 矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与 方阵乘积的行列式的性质．
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理 解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
号 用 即
众 录， ka11
信公 记 kA
=
(kaij
)
=
ka21
滴 注微 点kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
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◼ 矩阵的数乘满足运算律 ① 加乘分配律: k( A + B) = kA + kB ， (k + l) A = kA + lA ；
amn
+
bmn
】
注：只有同型矩阵才能相加. ◼ 矩阵的加法满足运算律： ① 交换律： A + B = B + A ;
记 笔
② 结合律： ( A + B) + C = A + (B + C) ;
长
成 ③ A + O = A ; 研 长 ④ A + (−A) = O . 考 成 2）矩阵的数量乘法（数乘） 【 心 ◼ 矩阵数乘定义 设 k 是任意常数， A = (aij ) ，将 k 乘到矩阵的每个 A 元素上，
关
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【例1】
1 0 1 设 A = 0 1 0 ，求 An
0 0 1
【例2】
0 2 4
设
A
=
0
0
3
,求矩阵
A2
,
A3
,
A4
.
0 0 0
【例3】
1
已知矩阵
A
=
PQ
，其中
P
=
2
，
Q
=
(2, −1, 2)
，求矩阵
A,
A2 ,
A100
.
1
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考点：方阵的幂和多项式
1. 矩阵可交换
◼ 定义： A, B 为同阶方阵，若有 AB = BA ，则称矩阵 A 与 B 可交换．
◼ A, B 可交换，即有以下等价命题成立：
AB = BA ( A B)2 =A2 2AB+B2 (A + B)(A − B) = A2 − B2
n
( A + B)n = Cnk An−k Bk k =0
对角矩阵有如下性质：
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① 若 A, B 为同阶对角矩阵，则 kA, A + B, AB 仍为同阶对角矩阵； ② 若 A 为对角矩阵，则 AT = A ； ③ 若 A 为对角矩阵，则 A = a1a2 an .
5. 单位矩阵：主对角线上的元素都为 1 的 n 阶对角矩阵,，称为 n 阶单位矩阵
b1s
b2s
，
bns
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +
n
+ ainbnj = aikbkj k =1
即矩阵 C = AB 的第 i 行第 j 列元素 cij 是 A 第 i 行的 n 个元素与 B 第 j 列对应的 n 个元素分别相乘的乘积之和，有