2018年-电动力学习题集答案-1

电动力学习题及答案

第0章 绪论及数学准备

练习一

1、设,,i j k

为直角坐标系的三个单位矢量，计算下列各式:

解：（1） ()()()

2A B A B A B B A B A +⨯-=-⨯+⨯=⨯

，

（2） ()(),()0a a b a a b a a b ⋅⨯=-⋅⨯∴⋅⨯=

， (3） 2

()()()()a b a a a b a b a a b a a b ⨯⨯=⋅-⋅=-⋅ ， （4） ()1j i k k k ⨯⋅=-⋅=-

， （5） ()1k i j j j ⨯⋅=⋅=

(6) 若()()

M b a c a b c =⋅-⋅ ，则M c ⋅=

，

解：()()

()()0M c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=

（7） ()()[()][()()]

()()()()

a b c d c a b d c a d b b d a a c b d a d b c ⨯⋅⨯=-⋅⨯⨯=-⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅

（8） ()()()

()()()()()()0a b c b c a c a b a c b a b c b a c b c a c b a c a b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=

（9） ():()AB CD =

解：():()()()A B C D B C A D =⋅⋅

2、利用矢量A B 、的分量式，证明C AB BA C ⋅=⋅

证明：(1) 3331

1

1

,,,i i

j j k k i j k A Ae B B e C C e ======∑∑∑

333333311

1

11

11

,,

i j i j k k j i j i

i j j i i j k m n m n AB A B e e C C e BA B Ae e A B e e ===========∑∑∑∑∑∑∑

3,,1,,,33,,1,,1,()(),

()(),

k i j k i j k i j ki j

i j k i j k

i i j j i i j j i j j i

j i k j i k j i k j ki

i j k i j k j i i j i i j j i j

j

i

C AB C A B e e e C A B e C A B e C A B e C A B BA C B AC e e e B AC e B AC e C A B e C A B δδ===⋅=⋅====⋅⋅=⋅====⋅∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

（注：这里01= j ij δ≠⎧=⎨⎩

当i j时

当i 时）}

练习二

1、设(')(')(')x y z r x x e y y e z z e =-+-+-

为从源点指向场点的矢量, r k E ,0为常矢量, ,,,,u v A g f

是,,'''x y z x y z 以及，，的函数。则

(1) (

y-y'x-x'z-z'r x

y

z

x

y

z

x

y

z

r

r

r r r e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∇=++=++=

')',x x r y y z z r r ---⎛⎫= ⎪⎪⎪

==⎭同理，;

(2) (

y-y'x-x'z-z''

'

'

'r x

y

z

x y z

x y z r r

r r

r e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∇=++=---=-

(3) 23111'()'(d r r

r r dr r r r r

∇=∇=--=

(4) ()()()()()

()()f u f u f u u u u x y z x y z df u df u f u i j k i j k u

du du

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++=∇ (5) ()

()[(')(')(')]x y z x y z x y z k r e e e k x x k y y k z z ∂∂∂∂∂∂∇⋅=++-+-+-

(')(')(')x x y y z z x x

y y

z z

x

y

z

e k e k e k k ∂-∂-∂-∂∂∂=++=

(6) (')(')(')

3x x y y z z x y z r ∂-∂-∂-∂∂∂∇⋅=++=

(7)2

2

()22r k r k r r k r k ∇⋅=∇⋅=∇⋅=⋅

(8) ()a r ⋅∇=

1()(')(')(')]

[(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')].

x y z x y z x y z x x y z y x y z x y z x y z x x y y z z z a r a a a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a x x e y y e z z e a e a e a e a ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅∇=++-+-+-=-+-+-+-+-+-+-+-+-=++=

法：

()[(')(')(')]

[(')(')(')][(')(')(')][(')(')(')](x y y x y z x y z x x y z y x y z x y z x y z x x y y z z z r e e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e x x e y y e z z e e e e e e e ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++-+-+-=-+-+-+-+-+-+-+-+-=++

法2：单位张)

()()()()().

x x y y z z x x y y z z

x x y y z z a r a r a e e e e e e a e e a e e a e e a e a e a e a ∴⋅∇=⋅∇=⋅++=⋅+⋅+⋅=++= 量 (9) ()()()()()()()()y y x x z z A u dA u A u dA u A u dA u dA u u u

u

x

y

z

du x

du y

du z

du

A u u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅=

+

+

=

+

+

=∇⋅

(10) 30,?r r when r ≠∇⋅=

()33

3

4

353

333311

(0r r r r r r r r r r r r r r ⋅∇⋅=∇⋅+∇⋅=-

∇⋅+

=-+

=

(11) [sin()]

0000()

[sin()][sin()]()cos()d k r d k r E k r k r E k r E k E k r ⋅⋅∇⋅⋅=∇⋅⋅=∇⋅⋅=⋅⋅

[cos()]

0000()

[cos()][cos()]()sin()d k r d k r E k r k r E k r E k E k r ⋅⋅∇⋅⋅=∇⋅⋅=

∇⋅⋅=-⋅⋅

(12) 0000()

()()ik

r ik r ik r

ik r de d ik r E e e E ik r E ik E e ⋅⋅⋅⋅⋅∇⋅=∇⋅=

∇⋅⋅=⋅

(13) ()()()

[()]()()()3()3()3()df r df r df r r dr dr r dr

rf r r f r f r r f r r r f r r f r r ∇⋅=∇⋅+∇⋅=+∇⋅=+⋅=+

(14) ()?A ∇⋅∇⨯=

1()]0

()()

()0

y y x x z z x y z x

y

z

x

y z A A A A A A x y

x z

y z

y x

z x

z y

A A A A A A A ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⋅∇⨯=

=

-

+

-

+

-

=∇⋅∇⨯=-∇⋅∇⨯∴∇⋅∇⨯=

法：法2： ,

(15) =

⨯∇r

0'''

x

y

z

x

y

z

e e e x x y y z z ∂∂∂∂∂∂=---