10曲线积分习题课共26页
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习题课曲线面积积分的计算
2 a tsin td t
2 2 原式 a sin t d t 0t
2 2 2 a a t cos t sin t0
2
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计算
2 2
x y z d z,其中由平面 y = z 截球面
2
所得 ,从 z 轴正向看沿逆时针方向. x y z 1
a ( 1 cos t ) x a ( t sin t ) , y
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示: ( 2 a y ) d x x d y a ( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) d t
a ( t sin t ) a sin t d t
: a cos ( ) 提示: 利用极坐标 , L
d s
原式 =
2 2 ad d
计算
L
2 2 其中 L 为圆周 x y a x . x y d s,
2 2
2
2
L
ax ds
2
2
2 2 a a cos a d
2 2 提示: 因在 上有 x 2 y 1 ,故 x cos t 1 sin y t ( 0 t 2 ) : 2
z
o
z 1 sin t 2
原式 =
1y
2 2 1 2 4 cos t ( 1 cos t ) d t 0 2 2
2 1 31 2 2 2 42 2 16
L
o
Ax
2 3 a 3
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解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
2 2 原式 a sin t d t 0t
2 2 2 a a t cos t sin t0
2
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计算
2 2
x y z d z,其中由平面 y = z 截球面
2
所得 ,从 z 轴正向看沿逆时针方向. x y z 1
a ( 1 cos t ) x a ( t sin t ) , y
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示: ( 2 a y ) d x x d y a ( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) d t
a ( t sin t ) a sin t d t
: a cos ( ) 提示: 利用极坐标 , L
d s
原式 =
2 2 ad d
计算
L
2 2 其中 L 为圆周 x y a x . x y d s,
2 2
2
2
L
ax ds
2
2
2 2 a a cos a d
2 2 提示: 因在 上有 x 2 y 1 ,故 x cos t 1 sin y t ( 0 t 2 ) : 2
z
o
z 1 sin t 2
原式 =
1y
2 2 1 2 4 cos t ( 1 cos t ) d t 0 2 2
2 1 31 2 2 2 42 2 16
L
o
Ax
2 3 a 3
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解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
曲线积分习题课
原式
Q P 解 易验证 4 xy e x sin y x y
( , ) 2 ( 0, 0 )
( e x cos y 2 xy 2 )dx ( 2 x 2 y e x sin y)dy
e dx (
2 0 x 0
2
4 4 ( , ) x 2 2 2 2 或：原式 （e cos y x y ） ( 0, 0 ) e 1 4
ydx xdy 1 L x 2 y 2 r 2 1 l ydx xdy r 2
2dxdy 2
D
16
2 2 3 y y 3 x y ( yx e ) dx ( xe xy 8 y ) dy 例5 计算 L: 1 L 2 2 4 9 9x 4 y
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
8
14
x 2 2 x 例3 证明曲线积分 ( e cos y 2 xy ) dx ( 2 x y e sin y )dy L
与路径无关。若 L为以A( 0,0)到B( 计算积分的值。
2
, )的任意简单曲线，
x2 y2 解： L : 1, 即3x2+4y2=12，所以 4 3 2 2 ( 3 x 4 y )ds 12ds 12a .
L L
又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以
L
sin( xy )ds 0
于是
I = 12a。
11
(2) 已知L为圆周 : x 2 y 2 a 2 , 求
x 2 y 2 ds
曲线曲面积分习题课共57页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
曲线曲面积分习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
曲线曲面积分习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
曲线积分习题课
曲线积分习题课
曲线积分习题课
一、填空： 1 ． 设 平 面 曲 线 L 是 下 半 圆 周 y 1 x2 ， 则 曲 线 积 分
2 2 L ( x y )ds
.
2． 设空间曲线 L 是曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 与 x y z 0 的交线， 则曲线积 分 L ( x 1) 2 ds .
3 ． 设 平 面 曲 线 L 是 x2 y2 9 ， 方 向 为 顺 时 针 ， 则 曲 线 积 分
L
(2 xy 2 y)dx ( x 2L 是 y sin x ， x : 0 的 一 段 ， 则 曲 线 积 分
L x d y 2 y d x
2 3
.
1
曲线积分习题课
L
1 y 2 f ( xy ) x dx 2 [ y 2 f ( xy ) 1]dy . y y
5.确定常数 ,使在右半平面 x 0 上向量函数 A( x, y) 2 xy ( x 4 y 2 ) i
x 2 ( x 4 y 2 ) j 为某二元函数 u ( x, y) 的梯度,并求 u ( x, y) .
6. 设 L 是 ( x a) 2 ( y a) 2 1 的逆时针方向 , 函数 f ( x) 恒正且连续 , 证 明: xf ( y )dy
L y dx 2 . f ( x)
2
2 3
.
2 3 2 3
5．设平面曲线 L 是 x y a ( a 0 ) ，方向为逆时针，则曲线积分
L
xdy ydx dy 4x 2 y 2
.
6. 方程 [ xy 2 (2 cos x sin x) y 2 y]dx (2 sin x cos x 2 x x 2 y)dy 0 的通 解是 二、计算与证明： 1．设 L 是连接 A( 3 , 2 , 1) ， B( 1 , 0 , 2 ) 的线段，计算 L ( x y z )ds . 2．设 L 是曲面 y z 与 x 2 y 2 z 2 1 的交线，从 z 轴正向看为逆时针方 向，计算 L xyzdz . 3． 设 L 是由点 A( 3 , 1) 沿曲线 ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 的上半圆周到点 B(1 , 1) ， 再沿直线 y x 到点 O( 0 , 0 ) 的一段，计算 L ( y e y )dx (cos y xe y )dy . 4 ．设函数 f ( x) 连续， L 是由点 A( 3 , ) 到点 B(1 , 2 ) 的直线段，计算
曲线积分习题课
一、填空： 1 ． 设 平 面 曲 线 L 是 下 半 圆 周 y 1 x2 ， 则 曲 线 积 分
2 2 L ( x y )ds
.
2． 设空间曲线 L 是曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 与 x y z 0 的交线， 则曲线积 分 L ( x 1) 2 ds .
3 ． 设 平 面 曲 线 L 是 x2 y2 9 ， 方 向 为 顺 时 针 ， 则 曲 线 积 分
L
(2 xy 2 y)dx ( x 2L 是 y sin x ， x : 0 的 一 段 ， 则 曲 线 积 分
L x d y 2 y d x
2 3
.
1
曲线积分习题课
L
1 y 2 f ( xy ) x dx 2 [ y 2 f ( xy ) 1]dy . y y
5.确定常数 ,使在右半平面 x 0 上向量函数 A( x, y) 2 xy ( x 4 y 2 ) i
x 2 ( x 4 y 2 ) j 为某二元函数 u ( x, y) 的梯度,并求 u ( x, y) .
6. 设 L 是 ( x a) 2 ( y a) 2 1 的逆时针方向 , 函数 f ( x) 恒正且连续 , 证 明: xf ( y )dy
L y dx 2 . f ( x)
2
2 3
.
2 3 2 3
5．设平面曲线 L 是 x y a ( a 0 ) ，方向为逆时针，则曲线积分
L
xdy ydx dy 4x 2 y 2
.
6. 方程 [ xy 2 (2 cos x sin x) y 2 y]dx (2 sin x cos x 2 x x 2 y)dy 0 的通 解是 二、计算与证明： 1．设 L 是连接 A( 3 , 2 , 1) ， B( 1 , 0 , 2 ) 的线段，计算 L ( x y z )ds . 2．设 L 是曲面 y z 与 x 2 y 2 z 2 1 的交线，从 z 轴正向看为逆时针方 向，计算 L xyzdz . 3． 设 L 是由点 A( 3 , 1) 沿曲线 ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 的上半圆周到点 B(1 , 1) ， 再沿直线 y x 到点 O( 0 , 0 ) 的一段，计算 L ( y e y )dx (cos y xe y )dy . 4 ．设函数 f ( x) 连续， L 是由点 A( 3 , ) 到点 B(1 , 2 ) 的直线段，计算
《曲线积分习题》课件
THANKS.
《曲线积分习题算方法 • 曲线积分的应用 • 常见题型解析 • 习题与答案
曲线积分的基本概
01
念
定义与性质
定义
曲线积分是数学分析中一个重要的概 念，它是对曲线上的函数进行积分的 一种方法。
性质
曲线积分具有线性性质、可加性、积 分区间的可分性以及对称性等。
提高习题在难度上有所提升，要求学生对 曲线积分的计算方法和应用有更深入的理 解。题目涉及更复杂的曲线和积分区间， 需要灵活运用公式和技巧。
综合习题与答案
总结词
综合运用与解题技巧
详细描述
综合习题是最高难度的题目，需要学生综合 运用曲线积分的多个知识点，解决复杂的问 题。答案部分会详细解析解题思路和关键步 骤，帮助学生理解并掌握解题技巧。
证明题解析
证明题是曲线积分习题中难度 较大的一类题型，主要考察学 生对积分性质和定理的理解和 应用能力。
这类题目通常会给出一些已知 条件，要求学生通过证明或推 导，得出与曲线积分相关的结 论或性质。
解题步骤包括：首先根据已知 条件进行分析，然后运用相关 的积分性质和定理进行推导， 最后得出结论。
学生在解题时需要特别注意证 明的逻辑严密性和数学表达的 规范性，避免出现推理错误或 表述不清的情况。
详细描述
在物理学中，曲线积分常用于分析各种场（如力场、电磁场、流体场等）的性质。例如，在分析力场时，可以通 过计算曲线上的力矩来分析物体的运动状态；在分析电磁场时，可以通过计算电场线上的电势差来分析电荷的运 动状态。
常见题型解析
04
计算题解析
这类题目通常会给出一条具体的曲线和对应的 被积函数，要求学生计算出该函数在给定曲线
上的积分值。
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
高数下课件 ch10习题课
∫ I =
( x + y)dx − ( x − y)dy
C
x2 + y2
1 2π
∫ a2 0 [a(cos t + sin t) ⋅ (−a sin t) − a(cos t − sin t) ⋅ a cos t]dt 2π = −∫0 dt = −2π .
∫ I =
( x + y)dx − ( x − y)dy
令 y = 2a sin t， (0 ≤ t ≤ 2π )
3
x + 1 y =1a cos t= ⇒ x a (cos t − 1 sin t)，
22
2
3
z =−( x + y) ⇒ z =− a (cos t + 1 sin t)，
2
3
ds= x′2(t ) + y′2(t ) + z′2(t )dt = adt，
L1
+
=
L2
x 2x⋅0 1 x4 + 02 dx +
y
−
0
x2 x4 +
y2 dy
=
−
arctan
y x2
y 0
=
y − arctan x2 .
∫ 例9 计算 I =
− ydx + xdy C 4x2 + y2 ，其中 C 为圆周
( x − 1)2 + y=2 R2 (R > 0 且 R ≠ 1)，取逆时针方向.
f [ϕ ,ψ ]
ϕ′2 +ψ ′2 dt
β
∫α [P(ϕ ,ψ )ϕ′ + Q(ϕ ,ψ )ψ ′]dt
空 间
Pdx + Qdy + Rdz =
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
曲线积分习题课
证明：
Q 2 2 P 2 2 2 xy f ( x y ) 2 xyf ( x y ) x y
P xf ( x y )
2 2
Q yf ( x 2 y 2 )
令u x 2 y 2
du 2 xdx 2 ydy
u 0
f ( u )连 续 ， F ( u ) f ( t )dt可 导 ，
L：x 2 y 2 2R( x y ),逆时针方向。 2 2 2 2 Q y x x y在整个 xoy面上 P y x x y 解： 显然
具有一阶连续偏导数。
I [( y 2 xy ) ( 2 xy x )] d ( y x )d
2 2 2 2
L
并且对任意 t ,恒 有 ：
( t ,1 )
( 0 ,0 )
2 xydx Q( x , y )dy
( 1 ,t )
( 0 ,0 )
2 xydx Q( x , y )dy
求：Q( x , y )
解：曲线积分 2 xydx Q ( x , y )dy与了路径无关，
L
2 Q ( x , y ) x c( y ) c( y )为待定函数 Qx Py 2 x
4
4 [ 2 (sin )] d 4
16R
0
sin 4 tdt 32 R
0
sin 4 tdt 32R 2
3 1 4 2 2
4
计 算I
L
xdy ydx 4x2 y2
2 L：x 2 y 2 - 2 x 1 R（ R 1） , 逆时针方向。
大一高数课件第十章 10-习题课-1
L
半圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿逆时针方向 .
三、证明: 证明:
xdx + ydy 在整个 xoy 平面除去 y 的负半轴及 2 2 x +y
内是某个二元函数的全微分, 原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
测验题答案
(2) I2 = ∫ ( x2 − y+ y2)d x + ( y2 − x)d y L
= ∫ ( x2 − y)d x + ( y2 − x)dy + ∫ y2 dx
L L
L: x = acost, y = asint ,
t : 0 →π
= I − ∫ a sin3 t d t = −2a3
0
π 3
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy =0
L
闭合
∂P ∂Q ∂P = ≠ ∂y ∂x ∂y ∂x非闭 补充曲线或用公式
∂Q ∂P 闭合 I = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂Q D
解
由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
1
y
A
∂P ∂ 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x ∂ y ∂y ∂Q ∂ 2 = ( x + y4 ) = 2 x x ∂x ∂x o 1 ∂P ∂Q 1 2 1 , 即 = 故原式 = ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 . ∂y ∂x 0 0
λ→0 i=1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
半圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0 ,沿逆时针方向 .
三、证明: 证明:
xdx + ydy 在整个 xoy 平面除去 y 的负半轴及 2 2 x +y
内是某个二元函数的全微分, 原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
测验题答案
(2) I2 = ∫ ( x2 − y+ y2)d x + ( y2 − x)d y L
= ∫ ( x2 − y)d x + ( y2 − x)dy + ∫ y2 dx
L L
L: x = acost, y = asint ,
t : 0 →π
= I − ∫ a sin3 t d t = −2a3
0
π 3
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy =0
L
闭合
∂P ∂Q ∂P = ≠ ∂y ∂x ∂y ∂x非闭 补充曲线或用公式
∂Q ∂P 闭合 I = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂Q D
解
由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
1
y
A
∂P ∂ 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x ∂ y ∂y ∂Q ∂ 2 = ( x + y4 ) = 2 x x ∂x ∂x o 1 ∂P ∂Q 1 2 1 , 即 = 故原式 = ∫ x dx + ∫ (1 + y 4 )dy = 23 . ∂y ∂x 0 0
λ→0 i=1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
曲线积分习题课30475 12页
y C
B(x A 2 y )d x (y 2 x )d y D
L
D0dxdy
a x2 dx 2 a3
a
3
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1L (x 2 3y )d x (y 2 x )dy
(2) 若 L 同例1 , 如何计算下述积分:
Ie x sy id x n ( e x cy o 2 ) d s y2 ydx
L
L
2 ydx
LAB AB L
L:xyaa(s1intcots) t:0
y
L
D
oA a B x
D0dxdy
2a
0d x
2a2
sin2tdt
a2
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
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求
其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示:
z
B
利用对称性
3 ydxzdyxd z AB
oC
A
y
x
3 xdz AB
1
30(1z)dz
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原 式 a22 0tsitd nt
a 2 tcto ssit0 2 n
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计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
高数 第十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系
定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I
L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭
( y 2 z 2 ) dS; I z
( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y
ydS ydS
dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS
15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等
高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第10章 曲线积分习题课
第10章 曲线积分习题课 10.1 对弧长的曲线积分本节主要介绍对弧长的曲线积分的性质、计算方法及应用。
例10.1.1 设222:L x y R +=, 则()d Lx y s +=⎰3 .例10.1.2 计算下列曲线积分： (1) 2Ly s ⎰d ，其中L 为摆线的一拱：(sin ), (1cos ), 02x a t t y a t t =-=-。
π≤≤ (2) Lxy s ⎰d ，L 为22y x =上从原点到A (2,2)的弧。
(3) 22Lx y ds +⎰，其中L 是圆周22x y ax +=。
(4)计算ds yz x ⎰Γ2，)2,3,1(),2,0,1(),2,0,0(),0,0,0(,,,,依次为折线是D C B A ABCD L 。
练习10.1.1 计算下列曲线积分： (1)()Lx y ds +⎰，L 为222x y a +=上半圆周从点(),0A a -到点(),0B a 的一段；(2)★ 设L 为曲面z 221x y +=的交线，则222Lx y z s =⎰d 。
例10.1.3 求半径为a ，中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度1ρ=)的重心。
10.2 对坐标的曲线积分本节主要介绍对坐标的曲线积分的计算方法及应用。
例10.2.1 计算下列曲线积分： (1) 22()L xy x -⎰d ，L 是抛物线2 y x =上从点(0,0)到(2,4)上的一段弧。
(2) , L xy x L ⎰d 为圆周222()x a y a -+=及x 轴所围第一象限区域边界(逆时针方向)。
(3) ()L x y dy +⎰，其中L 为222xy a +=上半圆周从(),0A a -到(),0B a 的一段。
(4)(1), x x y y x y z Γ+++-Γ⎰d d d 为从P(1,1, 1)到Q(2,3,4)的线段。
练习10.2.1 计算下列曲线积分： (1)()()2222Lxy dx x y dy -++⎰，其中L 是从(2,1)A -沿1y x =-经(0,1)B -至(2,1)C 的折线；(2) , L y x x y L -+⎰d d ，L 是从O (0,0)沿11y x =--至A (2,0)的折线。
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n
f(M )d l i0im 1f(M )i, f(M )点函
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
f(M)dLf(x,y)d.s
三重积分 当R3上区时 域 ,
1.定积分与不定积分的联系
b
f(x)dxF(b)F(a)
a
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D(Q xP y)dLPd格Q x林d公y式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d V P d Q yd d R z d zd x
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
L
所围成的在第三象限的扇形的整个边界
解 如图 L=L1+L2+L3
L1 y0 , ax0
L2
x acost
y
a
sin
t
t 5
4
L3
yx,a x0 2
a a 2 L1
L2 L3
ex 2y2d s( )ex 2y2ds
L0
L 15 4
L 2
L 3 0
e xdx e a adt e 2x 2dx
1
P Q
y x
故 原 0 1x 2 d式 x 0 1 (1 y4)dy 1253 .
例3 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
关于对称性
对弧长的曲线积分与方向无关， 可以利用对称性 简化计算
设L 关于 x ( y ) 轴对称
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数 即
f ( x , y ) f ( x , y ) ( f ( , x , y ) f ( x , y ))
则 f(x,y)ds0 L
一、主要内容
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
两者关系
定义
性质
计算公式
曲线积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分
定义 实质
li m n
f(x,y)d s
L
0i1
f(i,
i)si
LPd xQdy
n
lim [P(i,i)xi Q(i,i)yi
0 i1
分、粗、和、精
分、粗、和、精
背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功 性质 线性、可加、无方向 可加、有方向 计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数 即
f ( x , y ) f ( x , y ) ( f ( , x , y ) f ( x , y ))
则
f(x,y)d s2 f(x,y)ds
L
L 1
其中L1 是位于对称轴一侧的部分
对坐标的曲线积分与方向有关，所以
在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线 的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直 接应用比较困难，一般是先转化为对弧长 的曲线积分，然后再考虑使用对称性。
f(M)df(x,y,z)dV
曲线积分 当R3上空间时 曲, 线
f(M)d f(x,y,z)d.s
曲面积分 当R3上曲S时 面 ,
f(M)df(x,y,z)dS. S
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元 ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)
关于第二类曲线积分的计算
①若曲线封闭，首先考虑使用Green公式 ②若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭， 然后再使用Green公式
此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易 计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相容， ③化成第一类曲线积分计算
④按第二类曲线积分的计算公式直接计算
二、典型例题
例1 计算 e x2 y2ds L :x 2y2 a 2,yx ,y 0
a
a
ea1aeaea122ea a2
4
4
例2 计 算I (x22x)ydx(x2y4)d,y L
其 中L为 由 点 O(0,0)到 点A(1,1)的 曲 线ysinx. 2
解 由 I(x 2 2 x)d y x (x 2y4)dy
知P(x22x)y2x y
y y
1
A
Q(x2y4)2x
x x
o
x
联系
L P Q d d x y L ( P co Q c so ) ds s
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算
Guass公式
计算 重积分
积分概念的联系
(R yQ z)dyd (zP zR x)dzd(xQ xP y)dxdy
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系