高考数学复习小题训练(I)
2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)
专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（ ）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（ ） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（ ）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（ ） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（ ）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（ ）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（ ）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（ ）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________． 【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。
高考数学二轮复习专练三高档小题(一)
高档小题(一)1．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A ．t ≥14B ．t ≥18C ．t ≤14D ．t ≤182．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3， x ≤0－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2，6)B ．(－1，4)C ．(1，4)D ．(－3，5)4．若点P 是以A (－10，0)、B (10，0)为焦点，实轴长为22的双曲线与圆x 2＋y 2＝10的一个交点，则|P A |＋|PB |的值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．4 3 D ．6 2 5．(2013·云南省昆明市高三调研测试)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．已知log 12(x ＋y ＋4)<log 12(3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)7．(2013·合肥市高三第二次教学质量检测)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)(c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，且OE →·EF →＝0，则双曲线的离心率为( )A.105B.3＋1C.102D. 28．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥29．(2013·嘉兴市高中学科基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0f （x ＋1），x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y ＝f (x )－14x －14不同零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433 11．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知三棱锥P -ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，ACBC＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．12．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M＋m ＝________．13．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 14．(2013·湖南省五市十校高三第一次联合检测)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 3是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k ＝________(用k 表示)． 备选题 1．(2013·福建省普通高中毕业班质量检测)定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R .对任意实数a ，b ，c ，给出如下结论：①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 3．(2013·辽宁省五校高一联合体高三年级考试)设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是____________． 4．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题： ①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ；③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号填上)答案：高档小题(一)1．【解析】选B.逐次计算结果是n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a＝3，此时输出38t ，因为38t ≥3，所以t ≥18.2．【解析】选A.由题意可得y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，所以排除B ，C ；又在y 轴附近g (x 0)左侧为负，右侧为正，所以选A.3．【解析】选B.作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1，4)． 4．【解析】选D.根据对称性，设点P 在第一象限，则|P A |－|PB |＝22，点P 在圆x 2＋y 2＝10上，则P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝40，把|P A |－|PB |＝22平方后代入上述结果得|P A |·|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝40＋32＝72，所以|P A |＋|PB |＝6 2. 5．【解析】选B.依题意得，△OFM 的外接圆半径为3，△OFM 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离等于3，即有p 4＋p2＝3，由此解得p ＝4，故选B.6．【解析】选C.已知不等式等价于不等式x ＋y ＋4>3x ＋y －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <33x ＋y －2>0，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z ＝x －y ，根据其几何意义，显然在图中的点A 处，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33x ＋y －2＝0得，A (3，－7)，故z <3－(－7)＝10，所以λ≥10.7．【解析】选B.由OE →＝12(OF →＋OP →)可知点E 是线段FP 的中点，由OE →·EF →＝0，可知OE →⊥EF →，再结合∠PFO ＝30°，令|OE |＝m ，则有|PF ′|＝2m (F ′为双曲线的右焦点)，|OF |＝2m ，|FP |＝2|FE |＝23m ，再由双曲线的定义可知2a ＝|FP |－|PF ′|＝2(3－1)m ，2c ＝2|OF |＝4m ，所以离心率e ＝2c 2a ＝4m2（3－1）m＝3＋1.8．【解析】选C.根据题意知，a ∧b 表示a ，b 中较小的，a ∨b 表示a ，b 中较大的．因为⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ≥4，所以a ＋b ≥4.又因为a ，b 为正数，所以a ，b 中至少有一个大于或等于2，所以a ∨b ≥2.因为c ＋d ≤4，c ，d 为正数，所以c ，d 中至少有一个小于或等于2，所以c ∧d ≤2.9．【解析】选B.在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝14x ＋14的图象如图，由图可知，两个函数有3个不同的交点，即函数有3个不同的零点，故选B.10．【解析】选D.∵双曲线C 2：x23－y 2＝1，∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p2)．设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.11．【解析】依题意，AB ＝2R ，又ACBC＝3，∠ACB ＝90°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，三棱锥P -ABC 的体积V P ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13×R ×(12×3R ×R )＝36R 3.而球的体积V 球＝4π3R 3，因此V P ABC ∶V 球＝36R 3∶4π3R 3＝38π.【答案】38π12．【解析】f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 【答案】213．【解析】∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－(12＋122＋123＋…＋12100)＝(12＋123＋…＋1299)－(12＋122＋…＋12100) ＝13(12100－1)． 【答案】(1)－116 (2)13(12100－1)14．【解析】依题意得，a n ＝n （n ＋1）2，b 1＝4（4＋1）2＝a 4，b 2＝5（5＋1）2＝a 5，b 3＝9（9＋1）2＝a 9，故b 3是数列{a n }中的第9项，由归纳推理可知，数列{a n }中项数被5除余4和被5整除的项满足数列{b n }，当数列{b n }的项数为偶数的时候，恰好是数列{a n }中能被5整除的项，所以b 2k ＝5k （5k ＋1）2.【答案】(1)9 (2)5k （5k ＋1）2备选题 1．【解析】选D.因为(a *b )*c ＝[lg(10a ＋10b )]*c ＝lg(10lg(10a ＋10b )＋10c )＝lg(10a ＋10b ＋10c )，a *(b *c )＝a *[lg(10b ＋10c )]＝lg(10a ＋10lg(10b ＋10c ))＝lg(10a ＋10b ＋10c )，所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，即①对；因为a *b ＝lg(10a ＋10b )，b *a ＝lg(10b ＋10a )，所以a *b ＝b *a ，所以②对；(a *b )＋c ＝lg(10a ＋10b )＋c ＝lg[(10a ＋10b )×10c ]＝lg(10a ＋c ＋10b ＋c )＝(a ＋c )*(b ＋c )，即③对．故选D.2．【解析】选C.b n ＝a 1q m (n －1)＋a 1q m (n －1)＋1＋…＋a 1q m (n －1)＋m －1＝a 1q m (n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1q m (n －1)·1－q m 1－q，∴b n ＋1b n ＝a 1q mn·1－q m 1－q a 1q m （n －1）·1－q m 1－q＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m .c n ＝a 1q m (n －1)·a 1q m (n －1)＋1·…·a 1q m (n －1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋m （m －1）2， ∴c n ＋1c n ＝a m 1qm 2（n ＋1－1）＋m （m －1）2a m 1qm 2（n －1）＋m （m －1）2＝qm 2. ∴{c n }是等比数列，公比为qm 2.3．【解析】由题意，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a （x ≥a ）－x －a （x <a ），当a ≥0时，函数f (x )的图象如(1)所示，考虑极大值f (－a )＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ，所以只需满足5a －(－a )＝6a <2 013，即0≤a ≤6712；当a <0时，函数f (x )的图象如图(2)所示，且f (x )为增函数，因为x ＋2 013>x ，所以满足f (x ＋2 013)>f (x )，综上可知，a <6712.【答案】(－∞，6712)4．【解析】对于①，如图①，因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故四个面都是直角三角形； 对于②，当PM ⊥平面ABC 时，P A 2＝PM 2＋MA 2，PB 2＝PM 2＋BM 2，PC 2＝PM 2＋CM 2.又M 是AB 的中点，所以BM ＝AM ＝CM . 故P A ＝PB ＝PC ；对于③，当PC ⊥平面ABC 时，S △PCM ＝12PC ·CM ＝12·5·CM .又CM 的最小值是C 到边AB 的垂线段，长度为125.所以S △PCM 的最小值是12×5×125＝6；对于④，设△ABC 内切圆的圆心是O ，则PO ⊥平面ABC ， 则有PO 2＋OC 2＝PC 2，又内切圆半径r ＝12(3＋4－5)＝1，所以OC ＝2，PO 2＝PC 2－OC 2＝25－2＝23. 故PO ＝23.综上，正确的命题有①②④. 【答案】①②④。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
2020届高考数学基础训练(一)
2020届高考数学基础训练(一)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A. 1B.C.D. 22.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A.3B. 4C. 5D. 64.将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.5.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）A. B. C. 6 D. 86.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（）A. B. C. D.8.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=______．10.在[-1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交”发生的概率为______．11.设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）12.在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos C的最大值．13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．14.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．15.已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选B．2.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．【解答】解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x-3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选D．3.【答案】B【解析】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=-2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=-2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题，求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x-）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x-）+]，即有y=2sin（2x-）．故选D．5.【答案】D【解析】解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，故选：D．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由a2＞1得a＞1或a＜-1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选A．8.【答案】A 【解析】【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选A．9.【答案】【解析】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键是弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：圆（x-5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交，则＜3，解得-＜k ＜．∴在区间[-1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x-5）2+y2=9相交的概率为=．故答案为．11.【答案】64【解析】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n-1）=8n •==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．12.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2-b2=ac，∴cos B===，∴B=；（Ⅱ）由（I）得：C=-A，∴cos A+cos C=cos A+cos（-A）=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cos A+cos C的最大值为1．【解析】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（Ⅱ）由（I）得：C=-A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．13.【答案】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．14.【答案】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3；（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【解析】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求；（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．15.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
高考数学试题及答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =， 其中S 为底面积， h 为高． 一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分， 共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{124}A =，，， {246}B =，，， 则A B = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， 则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，， 117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位）， 则a b +的值 为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图， 则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．6．现有10个数， 它们能构成一个以1为首项， 3-为公比的 等比数列， 若从这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8 的概率是 ▲ ．7．如图， 在长方体1111ABCD A B C D -中， 3cm AB AD ==， 12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中， 若双曲线22214x y m m -=+的离心率5 则m 的值为 ▲ ．9．如图， 在矩形ABCD 中， 22AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上， 若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数， 在区间[11]-，上，开始 结束k ←1k 2－5k +4>0输出k k ←k +1NY （第4题）FD DABC 1 1D 1A1B（第7题）0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角， 若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中， 圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 则k 的最大值是 ▲ ． 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， 则实数c 的值为 ▲ ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中， 已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1111A B AC =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ）， 且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（第9题）1A1C FDCAE1B17．（本小题满分14分） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）， 其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ， b 是实数， 1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+， 求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-， 其中[22]c ∈-，， 求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上， 其中e（第16题）x （千米y （千米）O（第17题）（1）求椭圆的离心率；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点， 且直线1AF与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若126AF BF -=， 求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，， 求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，， 且{}n a 是等比数列， 求1a 和1b 的值．绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题， 请选定其中两题．．．．．．．，． 并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．．若多做， 则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图， AB 是圆O 的直径， D ， E 为圆上位于AB 异侧的两点， 连结BD 并延长至点C ， 使BD= DC ， 连结AC ， AE ， DE ． 求证：E C ∠=∠．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ， 求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）（第21-A 题）AED CO在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点， 求圆C 的极坐标方程． D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ， y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题， 每题10分， 共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量， 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条， 当两条棱相交时， 0ξ=；当两条棱平行时， ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列， 并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…， n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈， 则2x A ∉；③若nP x A ∈， 则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= {1，2，4，6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0，]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．：（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点．（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．：20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，。
专题01 集合-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)
集合一、单选题1.已知集合P＝{x∈N|x≤3}，Q＝{x|x2≤x+2}，则P∩Q＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．[0，2]C．{0，1，2}D．{1，2}【答案】C【分析】先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合P＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，Q＝{x|x2≤x+2}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴P∩Q＝{0，1，2}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.已知集合A＝{x|y＝，x∈N}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵A＝{x|3x≤81，x∈N}＝{x|x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，∴A∩B中元素的个数为4．故选：C．【知识点】交集及其运算3.已知集合M＝{x|log2（x﹣1）2＜4}，N＝{x|x2+4x+3≤0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x≤﹣1}B．{x|﹣3≤x＜5}C．{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}D．{x|﹣3≤x≤5}【答案】C【分析】利用对数函数的性质解不等式log2（x﹣1）2＜4，得到集合M，再解不等式x2+4x+3≤0得到集合N，再利用集合的并集的定义求解即可．【解答】解：∵log2（x﹣1）2＜4，∴（x﹣1）2＜16，且x﹣1≠0，解得：﹣3＜x＜5且x≠1，即﹣3＜x＜1或1＜x＜5，又∵N＝{x|x2+4x+3≤0}＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x＜1或1＜x＜5}，故选：C．【知识点】并集及其运算4.已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．{2}B．{x|﹣4＜x≤﹣2}C．{x|﹣4＜x≤2}D．{x|﹣2≤x≤2}【答案】B【分析】求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．【解答】解：集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤2}．故选：B．【知识点】交集及其运算5.已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【答案】D【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，A∩（∁R B）＝（﹣2，1）．故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算6.已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【答案】B【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|0≤x≤2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：B．【知识点】交集及其运算7.设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＝{（x0，f（x0））|f'（x0）＝0}，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】可知集合A表示函数f（x）的最大值点和最小值点，而f（x）的最大值和最小值在直线y＝±1上，从而代入即可解出﹣4≤x≤4，从而得出，解出ω的范围即可．【解答】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4，又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴，且ω＞0，解得，∴ω的取值范围是．故选：B．【知识点】交集及其运算8.已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝x3﹣2x2+3}；②M＝{（x，y）|y＝log2（2﹣x）}；③M＝{（x，y）|y＝2﹣2x}；④M＝{（x，y）|y＝1﹣sin x}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．【解答】解：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．故选：D．【知识点】集合的表示法、函数的图象与图象的变换二、多选题9.下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【分析】根据集合的定义进行判断即可．【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，∴根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，故选：BD．【知识点】集合的含义10.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝1，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用11.设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（）A．A∩B＝{0，1}B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为8【答案】AC【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，∴A∩B＝{0，1}，故A正确，∁U B＝{2，4}，故B错误，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误故选：AC．【知识点】交、并、补集的混合运算12.已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅【答案】ABC【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合A＝{x|x＝3a+2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a﹣3b，a，b∈Z}，若x属于B，则：x＝2a﹣3b＝3*（2a﹣b）+2*（﹣2a）；2a﹣b、﹣2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集；若x属于A，则：x＝3a+2b＝2*（3a+b）﹣3*（a）；3a+b、a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以：A＝B，故选：ABC．【知识点】集合的包含关系判断及应用三、填空题13.已知集合A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝﹣．【答案】{-2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝{﹣2}．故答案为：{﹣2}．【知识点】交集及其运算14.设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则满足C⊆A，且C∩B≠∅的集合C共有个．【答案】4【分析】利用集合的包含关系即可求出满足条件的集合C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，且集合C满足C⊆A，且C∩B≠∅，∴集合C＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故答案为：4．【知识点】交集及其运算、集合的包含关系判断及应用15.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁U P）∪Q＝．【答案】{1，2，4，6}，【分析】由已知，先求出C∪P，再求（∁U P）∪Q．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，∴C∪P＝{2，4，6}，∴（∁U P）∪Q＝{1，2，4，6}，故答案为：{1，2，4，6}，【知识点】交、并、补集的混合运算16.已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．【答案】132【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【解答】解：集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．【知识点】子集与交集、并集运算的转换17.已知集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．【分析】集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，∴集合A＝{（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．其圆心在直线x﹣2y+2＝0上．由A∩B≠∅，①a＜0时，由≤，或≤，或﹣2≤2a＜0．解得：≤a≤，﹣≤a＜0，或﹣1≤a＜0．即≤a＜0．②时，由＜，或＜，解得：a∈∅．③a＝0时，满足题意．a＝时，不满足题意，舍去．综上可得：实数a的取值范围为．故答案为：．【知识点】空集的定义、性质及运算18.已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．【答案】a＜4【分析】由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜4，故答案为：a＜4．【知识点】交集及其运算19.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．【答案】[1，2]【分析】先确定集合A，B得到A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，再根据题意分类讨论得出a的取值范围．【解答】解：由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：则C⊇（A∩B）等价为：，解得，1≤a≤2，经检验符合题意；②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．综合以上讨论得，a∈[1，2]．故答案为：[1，2]．【知识点】子集与交集、并集运算的转换20用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，若C（A）＝5，则实数a的取值范围．【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，可得x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a，进而得出．【解答】解：A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，C（A）＝5，则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|＝0，x＝﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|＝﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y＝|x（x+3）|，y＝﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y＝﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有＝﹣a×，解得a＝﹣．∴0．∴实数a的取值范围是．故答案为：．【知识点】子集与交集、并集运算的转换21.已知集合M＝{（x，y）|y＝}，N＝{（x，y）|y＝x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为﹣．【分析】集合M表示圆心为（0，0），半径为3的半圆，集合N表示直线y＝x+m上的点，根据题意画出相应的图形，根据两集合交集不为空集得到两函数图象有交点，抓住两个特殊位置，直线与半圆相切时；直线过（3，0）时，分别求出m的值，即可得到满足题意m的范围．【解答】解：根据题意画出相应的图形，当直线y＝x+m与半圆y＝相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d＝r，即＝3，解得：m＝3或m＝﹣3（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x＝3，y＝0代入得：3+m＝0，解得：m＝﹣3，则m的取值范围为﹣3≤m≤3．故答案为：﹣3≤m≤3【知识点】交集及其运算22.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【答案】【第1空】16【第2空】29【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【知识点】集合的包含关系判断及应用、容斥原理23.设有限集合A＝{a1，a2，..，a n}，则a1+a2+…+a n叫做集合A的和，记作S A，若集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别记为P1，P2，…，P k，则P1+P2+…+P k＝．【答案】48【分析】由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，求出集合P的含有3个元素的全体子集，求全体子集之和即可．【解答】解：由题意：集合P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*，n≤4}，那么：集合P＝{1，3，5，7}，集合P的含有3个元素的全体子集为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，5，7}，{3，5，7}，由新定义可得：P1＝9，P2＝11，P3＝13，P4＝15则P1+P2+P3+P4＝48．故答案为：48．【知识点】子集与真子集24.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1，g（x）＝0，h（x）＝（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是．【答案】{2}【分析】在区间[1，2e]上分g（x）≤f（x）及f（x）≤h（x）两种情况考虑即可．【解答】解：根据题意，可得0≤（k﹣1）x﹣1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．当x∈[1，2e]时，函数f（x）＝（k﹣1）x﹣1的图象为一条线段，于是，，解得k≥2．另一方面，在x∈[1，2e]上恒成立．令＝，则．由于1≤x≤2e，所以，于是函数x﹣lnx为增函数，从而x﹣lnx≥1﹣ln1＞0，所以m′（x）≥0，则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．所以k﹣1≤[m（x）]min＝m（1）＝1，即k≤2．综上，k＝2．故答案为：{2}．【知识点】元素与集合关系的判断25.记A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，且存在实数a使A∩B中含有两个元素，则ω的值是．【答案】5、6、7、8、9【分析】根据正弦型函数的性质，可得A＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，若对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤2π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π进而得到答案．【解答】解：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝（a，a+1），A＝{θ|f（x）＝sin（x+ωθ）为偶函数，ω是正整数}＝{θ|ωθ＝kπ+，k∈Z，ω是正整数}＝{θ|θ＝（kπ+），k∈Z，ω是正整数}，对任意实数a，满足A∩B中的元素不超过两个，（π+）≥，即ω≤3π，存在实数a使A∩B中含有两个元素，（π+）＜1，即ω＞π，故ω的值是：5、6、7、8、9故答案为：5、6、7、8、9【知识点】交集及其运算26.设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P＝{y|y＝}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P⊙Q＝．【答案】[0，1]∪（2，+∞）【分析】根据已知得到P、Q中的元素y，然后根据P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}求出即可．【解答】解：P＝{y|y＝}＝{y|0≤y≤2}，Q＝{y|y＝4x，x＞0}＝{y|y＞1}，∵P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．∴P⊙Q＝[0，1]∪（2，+∞）故答案为：[0，1]∪（2，+∞）【知识点】子集与交集、并集运算的转换。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、 基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0， 则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3， 即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ， 所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ， 解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ． （2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立， 即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。
2020版高考数学二轮复习 第一部分 小题分类练 小题分类练(一) 概念辨析类(含解析)
小题分类练(一) 概念辨析类一、选择题1．若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12D ．－12．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π123．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为( )A ．1－aB ．1C ．a －1D ．－14．若幂函数f (x )＝(m 2－2m ＋1)x 2m －1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或25．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．为了研究某城市2016年的空气质量情况，省环保局从全年的监测数据中随机抽取了30天进行统计，得到茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．76，75，56B ．76，75，53C ．77，75，56D ．75，77，536．已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x(a ∈R )是定义域上的奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或37．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－12，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，若函数y ＝f (x )－4有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．410．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是( )A.12B.13 C ．2D ．311．(多选)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝（x ）2x，g (x )＝x（x ）212．(多选)设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA →与DC →D.OD →与OB →13．(多选)已知定义：在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为等方差数列．下列命题正确的是( )A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列 B ．{(－1)n}是等方差数列C ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)不可能是等方差数列 D ．若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 二、填空题14．设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，m )，如果向量a 与b 共线且方向相反，则m 的值为________． 15．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．16．已知样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差是4，如果有b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，那么数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为________．17．(2019·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．小题分类练小题分类练(一) 概念辨析类1．解析：选D.因为z 为纯虚数，所以可令z ＝1＋i1＋a i＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则1＋i ＝m i －ma ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，－ma ＝1，解得a ＝－1，故选D.2．解析：选D.由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D.3．解析：选B.函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x，所以图象在点(1，f (1))处的切线斜率为a －1，又f (1)＝a ，所以切线方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，可得y ＝1，故选B.4．解析：选C.因为f (x )是幂函数，所以m 2－2m ＋1＝1，且2m －1≠0，解得m ＝0或2，又当m ＝0时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上为减函数，不合题意；当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．故选C.5．解析：选A.由茎叶图得，最中间的两个数是75，77，故中位数是75＋772＝76，众数是75，最小值是42，最大值是98，故极差是98－42＝56.故选A.6．解析：选C.因为函数f (x )＝a －2x a ＋2x 为奇函数，所以f (－x )＝a －2－x a ＋2－x ＝－a －2xa ＋2x＝－f (x )，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f (a )＝f (1)＝－13；当a ＝－1时，f (x )＝－1－2x－1＋2x＝1＋2x1－2x ，所以f (a )＝f (－1)＝3.综上，f (a )＝－13或f (a )＝3，故选C. 7．解析：选B.充分性：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；必要性：当数列{a n }是等比数列时，a n ＝S n －S n －1＝A (q －1)qn －1(q ≠1)，所以a 1＝Aq －A ，S 1＝Aq ＋B ，则A ＝－B ，所以必要性成立．8．解析：选D.因为a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，令a ·b >0，则m ＋12>0，得m >－12，当a ∥b 时，解得m ＝43，即实数m 的取值范围是m >－12且m ≠43，故选D.9．解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，所以f (x )－4＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|－4，x ≠3，a －4，x ＝3，若x ≠3，则由2|x －3|－4＝0，得x ＝52或x ＝72；因为函数y ＝f (x )－4有3个零点，所以x ＝3也是f (x )－4＝0的根，即a －4＝0，a ＝4.故选D.10．解析：选D.设椭圆的右焦点为E .如图，由椭圆的定义得△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |，因为|AE |＋|BE |≥|AB |，所以|AB |－|AE |－|BE |≤0，当|AB |过点E 时取等号，所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a ，即直线x ＝m 过椭圆的右焦点E 时△FAB 的周长最大，此时△FAB 的高为|EF |＝2，直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1中得y ＝±32，所以|AB |＝3，即△FAB 的面积S △FAB ＝12×3×|EF |＝12×3×2＝3，故选D.11．解析：选BD.对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝（x ）2x ＝1(x ＞0)，g (x )＝x（x ）2＝1(x ＞0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.12．解析：选AC.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →和BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．13．解析：选ABD.若{a n }是等方差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，故{a 2n }是等差数列，故A 正确；当a n ＝(－1)n 时，a 2n －a 2n －1＝(－1)2n －(－1)2(n －1)＝0，故B 正确；若{a n }是等方差数列，则由A知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k （n －1）＝d .由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．14．解析：因为a与b 共线且方向相反，由共线向量定理可设a ＝λb (λ＜0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，1＝λm ，解得m ＝±1，由于λ＜0，所以m ＝－1.答案：－115．解析：数列{a n }是等比数列，设公比为q ，则a n ＝2q n －1，又因为{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，所以a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 得到a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0. 所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .答案：2n16．解析：因为b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的方差和样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差相等，均是4，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为2.答案：217．解析：由题知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，所以cos θ＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52，所以sin θ＝－6132＝－1213，tan θ＝－6－52＝125，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－177.答案：－1213 －177。
2020年高考数学(文科)一轮复习 小题必刷卷 十一 直线与圆
小题必刷卷 十一 直线与圆考查范围:第44讲~第47讲题组一 刷真题角度1 圆的标准方程与一般方程1.[2018·天津卷] 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .2.[2016·浙江卷] 已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .3.[2016·天津卷] 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .4.[2014·全国卷Ⅰ改编] 已知点P (2,2),圆 C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,则M 的轨迹方程为 . 角度2 直线与圆、圆与圆的位置关系5.[2018·全国卷Ⅲ] 直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[√2,3√2]D .[2√2,3√2]6.[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A .-43 B .-34C.√3D.27.[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A. [-1,1]B. [-12,1 2 ]C. [-√2,√2]D. [-√22,√2 2]8.[2016·山东卷]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离9.[2015·安徽卷]直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或1210.[2015·四川卷]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)11.[2014·浙江卷]已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是()A.-2B.-4C.-6D.-812.[2014·安徽卷]过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A .(0,π6]B .(0,π3] C .[0,π6] D .[0,π3]13.[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .14.[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l :x-√3y+6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD|= .15.[2014·湖南卷] 若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m= ( ) A .21 B .19 C .9 D .-1116.[2015·湖南卷] 若直线3x-4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B 两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .17.[2015·山东卷] 过点P (1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .题组二 刷模拟18.[2018·广东佛山模拟] 已知圆O 1的方程为x 2+y 2=1,圆O 2的方程为(x+a )2+y 2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么实数a 的所有取值构成的集合是 ( )A .{1,-1,3,-3}B .{5,-5,3,-3}C .{1,-1}D .{3,-3}19.[2018·贵州贵阳一中月考] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,直线l 恒过点(1,√3),则“直线l 的斜率为√33”是“直线l 与圆O 相切”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.[2018·南充三诊]直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于两点,且这两个点关于直线x+y=0对称,则a+b=()A.5B.4C.3D.221.[2018·北京东城区期末]直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=√2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.[2019·四川广安华蓥调研]若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)23.[2018·吉林梅河口五中二模]已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M 上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,点Q的横坐标为()A.2-√22B.2±√22C.3-√22D.3±√2224.[2018·山东淄博模拟]直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.[-√33,√33]C.[-√3,√3]D.[-23,0]25.[2018·北京朝阳区期末]阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为√2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是()A.2√2B.√2C.2√23D.√2326.[2018·北京丰台区3月模拟]圆心为(1,0),且与直线y=x+1相切的圆的方程是.27.[2018·天津一中月考]已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的标准方程为.28.[2018·湖南长郡中学一模]若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.29.[2018·河南安阳一模]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是.。
新高考方案二轮-数学(新高考版)小题考法(一) 函数图象与性质
融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (一)函数的概念与性质
主干
知识点
概念及 (1)函数的定义． 图象 (2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图和用图．
(3)函数图象的对称性及变换
(1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 三种常 (2)奇偶性：奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，
(二)导数 导数的几 函数f(x) 在点x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 何意义 因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－
f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
(1)利用导数研究函数的单调性 ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不 两种基本 等式f′(x)>0或f′(x)<0； 应用 ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间 上恒成立问题来求解．
B.12，＋∞
C.0，12
D.12，1
解析：因为 f(x)＝e－－xx，3，x≤x>00，， 当 x≤0 时，f(x)＝e－x 单调递减，且 f(x)≥1；
当 x>0 时，f(x)＝－x3 单调递减，且 f(x)<0，所以函数 f(x)＝e－－xx，3，x≤x>00， 在定
义域上单调递减．因为 f(a－1)≥f(－a)，所以 a－1≤－a，解得 a≤12，即不等式
导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性 与极值．考查内容主要包括：导数与函数的单调性、极值，利用导数解决不等式 问题，利用导数研究函数的零点问题等．考查的函数一般是多项式函数、指数函 数、对数函数、三角函数这几种函数的组合.2021年新高考Ⅱ卷T22第(2)问为结构 不良问题，体现了结构不良问题适度开放命题的科学性与素养导向．
高考数学小题狂做
高中数学小题狂做小题训练11.设集合A=｛1,2,３,4},B=｛０,1,２},则A U B＝（Ａ){0，1,2,３,4} （B）{0，1,2）（Ｃ)｛１，2｝（D){3，4｝2.siｎ570０=(A)12(B)-12（C)32（D）-323.如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成,则这个旋转体的休积是（A）83π(B）73π（C）2π（D）53π4.设正项等比数列的前ｎ项和为，且满足,则S4的值为(A)１5 (Ｂ)1４（C)1２（D)85.执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A)７(B）9 （Ｃ) 11（D) 1３6.在某市举行“市民奥运会”期间.组委会将甲，乙, 丙，丁四位志愿者全部分配到A,B,Ｃ三个场馆执勤.若每个场馆至少分配一人,则不同分配方案的种数是(A）96 (Ｂ)７2(Ｃ)36 (D) 247．某设备的使用年限x（单位:年)与所支付的维修费用ｙ（单位：千元）的一组数据如下表:从散点图分析.Y与ｘ线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为６年时需支付的维修费用约是(Ａ)７.２千元(B)７.８千元(C）9．1千元(D）9.5千元８.已知m，n是平面外的两条不同的直线.若ｍ,ｎ在平面内的射影分别是两条直线的（A）充分但不必要条件(Ｂ)必要但不充分条件（C)充要条件(D)既不充分也不必要条件９.已知函数f(x)=Inｘ-2［ｘ] ＋3，其中［x］表示不大于x的最大整数（如[１.6] =１，[-2.1]＝一3).则函数f(ｘ)的零点个数是(A)ｌ(B）2 （C）３(D)４1０．如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置Ｃ到AＢ的距离是（A)22m(B)23ｍ(Ｃ）4 m （Ｄ)6 m11、计算：log62十21ｏg63＋(0.1）一1=＿12．已知关于x的不等式ｘ2-aｘ－4 >0在时无解，则实数a的取值范围是１3．若二项式的展开式中含有的项,则正整n的最小值为·14.已知直线l:ｘ+y＋m=０(m R）与圆C:(x+2)2＋(y-1）2＝4相交于A,B两点，则的最大值为.Ｉ5.已知集合．对于中的任意两个元素，定义A与B之间的距离为现有下列命题：①若；②若；③若＝p（p是常数）,则d(A，Ｂ）不大于２ｐ;④若，则有2015个不同的实数a满足.其中的真命题有(写出所有真命题的序号）小题训练21．设集合Ｍ={﹣１，0,１｝，N={x|ｘ2≤x}，则Ｍ∩N=( )A.{０｝Ｂ.{0，1}Ｃ．{﹣1,1｝D．{﹣１,0，1｝2．复数ｚ满足(1+i)2•z=﹣１＋ｉ，其中ｉ是虚数单位.则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y＝的值域是（)Ａ.［0，+∞）Ｂ.[0,4]C．[０，4)Ｄ.（0,4）4．已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点，且,那么（) A． B. C.D．５．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ）A．①②B．①③C.①④D．②④６.在数列{ａn}中,a１=1，a2=５，a n+2=ａｎ＋1﹣a n（n∈N）,则a100等于（）A．１Ｂ．﹣1C．2Ｄ．07．已知球的直径SＣ=4,A,B是该球球面上的两点,AB=，∠ASC＝∠ＢSC=３0°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B.2C．D．１8．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2＝２,x3＝3，=２,则输出的数等于( ）A．Ｂ． C.D．9．已知椭圆(a＞ｂ＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点,且,则该椭圆的离心率是（)A.B． C. D.10.已知函数f(x)=ｘ3+２bx2+ｃx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈［﹣２,﹣1]，x2∈[１,2]，则f(﹣１)的取值范围是（)Ａ．,3]Ｂ．,6]C．［3，12］D．,12]11.（x﹣2)6的展开式中ｘ3的系数是．（用数字作答）12．若点p(1，1）为圆（x﹣3）2+ｙ２＝９的弦MＮ的中点，则弦MN所在直线方程为．13．方程x2＋3ax+3a+1=0（a>2)两根tanα、tａｎβ,且α，β∈（﹣,），则α+β=.14．已知函数f(ｘ）=ｌoｇa(x２﹣ax+２）在（２,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围为１５.设f（x)是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈Ｒ,都有f（x)•f(ｙ）=f（ｘ＋ｙ)，若,则数列{a n}的前n项和的取值范围是.小题训练31.设集合A＝｛4，5,7，9｝,B＝{3,4,7，8，９},全集U=A∪Ｂ，则集合∁U（A∩B)中的元素共有()Ａ.3个B．4个Ｃ．5个Ｄ．６个2.已知(x+i）(１﹣i)=y,则实数x,y分别为（)A．x＝﹣1，y=1B.ｘ=﹣1,y=２C.x＝1，ｙ=1D．ｘ=1，ｙ=23.命题“∀x∈Ｒ,ｘ２﹣2x+3≤０”的否定是( )A.∀ｘ∈R，x２﹣2ｘ+３≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0C．∀ｘ∈R，x2﹣2x＋3≤０D.∃x∉Ｒ,x2﹣2x＋3＞05.过点M(2，０)作圆x2+ｙ2=1的两条切线MA，MＢ(A,B为切点）,则•=（) Ａ.B．C．D．6.已知ｘ>0，ｙ>0，x+2y＋2xy＝8,则x+２y的最小值是（）Ａ．3B．4C．Ｄ.7.若函数f（x)=2ｓｉｎ（ωx+）（ω>０）与g（x)＝2cｏs(2x﹣）的对称轴完全相同,则函数f（ｘ)＝2ｓiｎ(ωx+)（ω>0）在[０，π]上的递增区间是( ）A．[0，]B．[0,]C.[,π］D.[,π]8．如图所示正方体ABＣＤ﹣Ａ1Ｂ1C１D1，设M是底面正方形ABCＤ内的一个动点,且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30°,则以下说法正确的是( )A.点M的轨迹是圆的一部分B.点M的轨迹是椭圆的一部分C.点Ｍ的轨迹是双曲线的一部分D.点Ｍ的轨迹是抛物线的一部分9.如图,给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（１）处和执行框中的(2)处应填的语句是( ）A.i＞１00,n=n+1B．i>１00,n=n+2C.i＞５0，ｎ=n+2D.i≤5０，n=ｎ+210．对于函数ｆ（ｘ）,若∀a,ｂ，c∈R,f(a），f(b）,ｆ（ｃ)为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )A.[０,+∞）B.[０,1］C.[１，2]D.11．函数ｆ（ｘ)＝的定义域为．１２.若对任意x＞0，≤ａ恒成立,则a的取值范围是.１3.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则ａ＝．１４.已知直线m，l，平面α,β，且ｍ⊥α，l⊂β，给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l；②若α⊥β，则m∥ｌ；③若ｍ⊥l，则α∥β④若ｍ∥l,则α⊥β其中正确的命题的序号是.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．15．已知f(x)=cosx，g（ｘ）=sｉnx，记S n=２﹣,T m=S１+Ｓ2＋…＋S m,若Ｔm<11,则ｍ的最大值为.小题训练41．集合1222x A x Z⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，}{cos ,B y y x x A ==∈,则B A =( ） A ．｛0}B.｛1}C.{0，1}D.｛-1,０,1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位)，则复数z 所对应的点所在象限为（)A.第一象限 Ｂ.第二象限 C ．第三象限D.第四象限3．左下图是某高三学生进入高三来的12次数学考试成绩的茎叶图,第1次到第１２次的考试成绩依次记为：1212,,,A A A 。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
高考数学小题专项训练(共40套)
高考数学小题专项训练(共40套)高考小题训练集 三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. △ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556B.－6556C.－6516D. 65162. 函数y =2x +1的图象是 （ ）3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21 三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种EF DOC BA9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）
(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面 积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温 室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在 线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值 之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位 于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的 取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．
高考数学总复习 模拟试卷(一)理-人教版高三全册数学试题
2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[0,1) 2．复数(3＋2i)i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 3．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2<0” B ．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0” C ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0” D ．“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0”4．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( ) A ．f (x )＝－x |x | B ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝ln x x5．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A.12B.45C ．2D ．9 8．某几何体的三视图如图M11，则它的体积为( )图M11A ．72πB ．48π C．30π D ．24π9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象是( ) A ．关于直线x ＝π8对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．211．在同一个平面直角坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0，且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A BC D12．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，f (x )＝cos x .若关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )A.54πB.32πC.94π D．3π 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．14．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 15．如图M12，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，AP ＝3，则AP →·AC →＝________.图M1216．阅读如图M13所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．图M13三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图M14，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图M1420．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么X 围取值时，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值？(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦AB 的中点为M .(1)若|AB |＝4 55，某某数k 的值；(2)如图M15，顶点为O ，对称轴为y 轴的抛物线E 过线段BF 的中点T ，且与椭圆C 在第一象限的交点为S ，抛物线E 在点S 处的切线m 被圆O 截得的弦PQ 的中点为N ，问：是否存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．图M15 图M16请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答量请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10)选修41：几何证明选讲如图M16，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .23．(本小题满分10)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．24．(本小题满分10)选修45：不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．2016年高考数学(理科)模拟试卷(一)1.D 解析：由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝(－1,1)，得M ∩N ＝[0,1)．2．B 解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i.故选B.3．C 解析：对于命题的否定，要将命题中的“∀”变为“∃”，且否定结论，则命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C.4．A5．A 解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5.又∵a 1a 2a 3＝105，∴a 1a 3＝21.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2.∴a n＝9－2n .由a n ≥0，得n ≤4.故选A.6．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为π4.7．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4a ，∴22＋2a ＝4a .∴a ＝2. 8．C 解析：几何体是由半球与圆锥叠加而成，它的体积为V ＝12×43π×33＋13×π×32×52－32＝30π.9．A 解析：依题意，得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A.10．A 解析：如图D129，将点(5,3)代入z ＝y －2x ，得最小值为－7.图D12911．D 解析：正弦函数y ＝sin ax 的最小正周期为T ＝2πa.对于A ，T >2π，故a <1，而y ＝a x的图象是增函数，故A 错误； 对于B ，T <2π，故a >1，而函数y ＝a x是减函数，故B 错误； 对于C ，T ＝2π，故a ＝1，∴y ＝a x＝1，故C 错误； 对于D ，T >2π，故a <1，∴y ＝a x是减函数．故选D.12．A 解析：作函数y ＝f (x )的草图(如图D130)，对称轴为x ＝3π4，当直线y ＝a 与函数有两个交点(即方程有两个根)时，x 1＋x 2＝2×3π4＝3π2；当直线y ＝a 与函数有三个交点(即方程有三个根)时，x 1＋x 2＋x 3＝2×3π4＋3π4＝9π4；当直线y ＝a 与函数有四个交点(即方程有四个根)时，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×3π4＝3π.故选A.图D13013.12 解析：从10件产品中任取4件，共有C 410种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有C 13C 37种，因此所求概率为C 13C 37C 410＝12.14．10 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－k y k，则T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，故答案为10.15．18 解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋BO →)，AP →·AC →＝AP →·2(AB →＋BO →)＝2AP →·AB →＋2AP →·BO →＝2AP →·AB →＝2AP →·(AP →＋PB →)＝2|AP →|2＝18.16．－4 解析：由题意，得第一次循环：S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2； 第二次循环：S ＝－8＋(－2)2＝－4，n ＝1，结束循环，输出S 的值为－4. 17．解：(1)∵cos C ＝34，∴sin C ＝74.∵asin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0.∴b ＝2.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2×74＝74.18．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知，P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为：数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.19．(1)证明：如图D131，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图D131，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.图D131设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0.可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知，|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12.解得m ＝32(m ＝－32，舍去)． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12.故三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.20．解：f ′(x )＝ax－a (x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增； 令f ′(x )<0时，解得x >1，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减． (2)∵函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， ∴f ′(2)＝a2－a ＝1.∴a ＝－2，f ′(x )＝－2x＋2.∴g (x )＝x 3＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2－2x ＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，g ′(x )＝3x 2＋(4＋m )x －2.∵对任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋f ′x 在区间(t,3)上总存在极值，且g ′(0)＝－2，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题知，对任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0.解得－373<m <－9.(3)证明：令a ＝－1，f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知，f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0. ∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立． ∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1.∴0<ln n n <n －1n .∴ln22×ln33×ln44×…×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)．21．解：(1)圆O 的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. ∵OM ⊥AB ，|AB |＝4 55，∴|OM |＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝4 55. ∴2k 2＋1＝4 55.∴k 2＝14.图D132又k ＝k FB >0，∴k ＝12. (2)如图D132，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，B (0,2)，T 为BF 中点， ∴T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1. 设抛物线E 的方程为y ＝tx 2(t >0)，∵抛物线E 过点T ，∴1＝t ·1k2，即t ＝k 2. ∴抛物线E 的方程为y ＝k 2x 2.∴y ′＝2k 2x .设S (x 0，y 0)，则k m ＝y ′0|x x ＝＝2k 2x 0.假设O ，M ，N 三点共线，∵OM ⊥l ，ON ⊥m ，∴l ∥m .又k l ＝k >0，∴k l ＝k m .∴k ＝2k 2x 0.∴x 0＝12k ，y 0＝k 2x 20＝k 2·14k 2＝14. ∵S 在椭圆C 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1. 结合b ＝2，c ＝2k ，a 2＝b 2＋c 2＝4＋4k2. 得14k 24＋4k2＋1164＝1.∴k 2＝－5963. ∴k 无实数解，矛盾．∴假设不成立．故不存在实数k ，使得O ，M ，N 三点共线．22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .又AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径．图D133(2)如图D133，连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，所以ED 为圆的直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB .23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为22 55.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为2 55. 24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。
(完整版)新高考真题《函数的概念与基本初等函数》小题专题训练(含答案)
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
7．【2020年高考全国I卷理数】若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
13．【2020年高考天津】函数 的图象大致为
A B
CD
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
14．【2020年高考天津】设 ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
A．10名B．18名
C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，
高考数学考前小题冲刺训练(一)(解析版)
高考考前小题冲刺训练（一）一、单选题1．已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2．抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A ．112B ．16C ．3D ．6【答案】A【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369试卷第2页，共9页合计21115136经计算得到2 4.881χ≈，根据小概率值0.005α=的独立性检验（已知2χ独立性检验中0.0057.879x =），则可以认为（）A ．两种疗法的效果存在差异B ．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005C ．两种疗法的效果没有差异D ．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005【答案】C【分析】根据条件可得列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得结论．【详解】零假设为0H ：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，20.0054.8817.879x χ≈<=，根据小概率值0.005α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选:C ．4．为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A ．1.4B ．1.45C ．1.5D ．1.555．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若581030,120a a S +==，则14S =（）A ．156B ．252C ．192D ．2006．已知函数()sin(0)6f x x ωω=+>，若将()f x 的图象向左平移3个单位后所得的函数图象与曲线()y f x =关于π3x =对称，则ω的最小值为（）A ．23B ．13C ．1D ．127．在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A．212B．74C．214D．72设O，1O分别是ABC，设D，1D分别是BC，1BA∴，O，D三点共线，π3sin3AD AB=⨯=⨯8．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、试卷第4页，共9页余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A ．sin ver AM θ=B ．csc PS θ=C ．cot BS θ=D ．sec NBθ=试卷第6页，共9页二、多选题9．已知直线:20l x my m +-+=，圆22:(1)(2)5C x y -+-=，则下列说法正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1-B ．直线l 与圆C 相交C ．当直线l 平分圆C 时，3m =-D ．当点C 到直线l 距离最大值时，13m =10．已知函数()sin 2cos 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在ππ,86⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在[]0,π上有2个零点D ．把()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于原点对称11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A ．b B ．[]4,6AB ∈C ．离心率e =D ．若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=试卷第8页，共9页易知3a =，由椭圆定义可知因为228AF BF +≤恒成立，所以当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，解得6b =，所以A 正确；三、填空题12．已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为.13．()5()x y x y +⋅-的展开式中33x y 的系数为．（用数字作答）【答案】0【分析】由()555()()()x y y x y x x y x y =+⋅---+，再写出()5x y -展开式的通项，即可求出展开式中33x y 的系数.【详解】因为()555()()()x y y x y x x y x y =+⋅---+，其中()5x y -展开式的通项为()515C rr rr T x y -+=-()05,N r r ≤≤∈，所以()5()x y x y +⋅-的展开式含33x y 的项为()()3232233332335555C C C C 0x x y y x y x y x y -+-=-+=，即()5()x y x y +⋅-的展开式中33x y 的系数为0.故答案为：014．在数轴上，一个质点从坐标原点出发向x 轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有种．【答案】35【分析】结合“质点移动7次后与坐标原点的距离为11”可判断4次“移动2个单位长度”和3次“移动1个单位长度”，依题在7个位置上选4个即可.【详解】因质点移动7次后与坐标原点的距离为11，每次移动1或者2个单位长度，故可以判断共进行了4次“移动2个单位长度”和3次“移动1个单位长度”，即只需要在7个位置上选出4个位置进行“移动2个单位长度”即可，故方法总数为47C 35=种.故答案为：35.。
(江苏专用)高考数学二轮复习 第二篇 第27练 压轴小题专练(1)试题 理-人教版高三全册数学试题
第27练 压轴小题专练(1)[明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一 与函数有关的压轴小题方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的X 围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.1.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若函数g (x )＝f (x )－|lg x |，则g (x )在(0,10)上的零点个数为________. 答案 10解析 由题意g (x )＝f (x )－|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－lg x ，lg x ≥0，f (x )＋lg x ，lg x <0，∵f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )是周期函数，且T ＝2， 又函数f (x )是R 上的偶函数，∴f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，当x >0时，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图所示.由图象知函数g (x )的零点个数为10.2.已知函数f (x )＝2x－12(x <0)与g (x )＝log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是________. 答案 (－∞，2)解析 由f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝2－x－12(x >0)，令h (x )＝g (x )，得2－x－12＝log 2(x ＋a )(x >0)，则方程2－x－12＝log 2(x ＋a )在(0，＋∞)上有解，作出y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象，如图所示，当a ≤0时，函数y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；若a >0，两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log 2a <12，解得0<a <2，综上可知，实数a 的取值X 围是(－∞，2).3.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，b2，则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )＝log m (m x＋2t )(其中m >0，且m ≠1)是“成功函数”，则实数t 的取值X 围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 解析 无论m >1还是0<m <1，f (x )＝log m (m x＋2t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a 2，f (b )＝b 2，则问题可转化为求f (x )＝x2，即f (x )＝log m (m x＋2t )＝x2，即m x＋2t ＝12x m在R 上有两个不相等的实数根的问题，令λ＝12x m(λ>0)，则m x＋2t ＝12x m可化为2t ＝λ－λ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋14，结合图形(图略)可得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4.(2018·某某省如东高级中学月考)已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，设关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0(a ∈R )有4个不同的实数解，则a 的取值X 围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫6e 3∪(－2e,0)解析 由题意知，f ′(x )＝2x e x ＋(x 2－3)e x＝e x(x 2＋2x －3)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，当－3<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝－3时，f (x )取得极大值6e3；当x ＝1时，f (x )取得极小值－2e ，当x →－∞时，f (x )→0， 作出函数f (x )的图象，如图所示，由f 2(x )－af (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝a ， 由图象可知f (x )＝0有两解，所以f (x )＝a 也有两解， 所以a ＝6e 3或－2e<a <0.考点二 与数列有关的压轴小题方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化，确定数列的通项或前n 项和，利用函数的性质、图象求解最值问题，不等关系或恒成立问题.5.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝4，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q ＝________. 答案 14解析 2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝82，即2a 2＋a 6＝2a 4q2＋a 4q 2≥82，所以q 4－22q 2＋2≥0，即(q 2－2)2≥0，当且仅当q 4＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214＝14.6.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值X 围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23解析 由a n ＋1＝a na n ＋2，得1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以1a 1＋1为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n.因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时，由b n ＋1>b n ，得(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1，解得n >2λ－1，即2>2λ－1，所以λ<32；当n ＝1时，由b 2>b 1得(1－2λ)·2>－λ，解得λ<23，因此λ<23.7.已知S n 和T n 分别为数列{a n }与数列{b n }的前n 项和，且a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，a n ＝e n b，则当T n 取得最大值时n 的值为________. 答案 4或5解析 由S n ＝e S n ＋1－e 5，得S n －1＝e S n －e 5(n ≥2)，两式相减，得a n ＝e a n ＋1(n ≥2)，易知a 2＝e 3，a 2a 1＝e 3e 4＝1e ，所以数列{a n }是首项为e 4，公比为1e的等比数列，所以a n ＝e 5－n .因为a n ＝e n b，所以b n ＝5－n .由⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥0，b n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≥0，5－(n ＋1)≤0，解得4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时，T n 取得最大值.8.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为________. 答案378解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1(舍负)时取等号， ∵n 为正整数，2<13－1<3，当n ＝2时，S n －4a a n －1＝143；当n ＝3时，S n －4a a n －1＝378，故当n ＝3时原式取最小值378.1.(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1).∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数. 由f (x )为奇函数及其定义域为R 得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.2.已知实数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则t 的取值X 围为________. 答案 (－∞，－2]解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根.若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1.当m ＝1时，t ＝－2，此时由m2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，其对称轴为m ＝－12，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上，实数t 的取值X 围为t ≤－2.3.若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.71828…)，则实数m 的取值X 围是________.答案 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞ 解析 当m ＝0时，不满足题意，由题意可得m ＝2x(2e x －y )(ln y －ln x )，则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12·y x ·ln y x ，令t ＝yx ()t >0，构造函数g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2×1t＝－12ln t ＋e t －12(t >0)，设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立，则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减， 当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增， 当t ∈(e，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减， 则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e2，且当t →0时，g (t )→－∞， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e.综上可得实数m 的取值X 围是(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞.4.已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x2x ＋1是增函数，其值域是[0,1].g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0，即a <12或a ＞43，所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43.5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”.已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ， 由S n S 2n 为常数，设S nS 2n＝k 且b 1＝1， 得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 6.若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”.已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是________.答案 4解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列.又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92＝2，即该数列为常数数列时取等号.7.当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (3)＝3，N (10)＝5，…，S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n)，则S (5)＝________. 答案 342解析 ∵N (2n )＝N (n )，N (2n －1)＝2n －1，而S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n)， ∴S (n )＝N (1)＋N (3)＋N (5)＋…＋N (2n－1)＋[N (2)＋N (4)＋…＋N (2n)]， ∴S (n )＝1＋3＋5＋ (2)－1＋[N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n －1)]，∴S (n )＝1＋2n－12×2n2＋S (n －1)(n ≥2)，即S (n )－S (n －1)＝4n －1，又S (1)＝N (1)＋N (2)＝1＋1＝2，∴S (5)－S (1)＝[S (5)－S (4)]＋[S (4)－S (3)]＋…＋[S (2)－S (1)]＝44＋43＋42＋4，∴S (5)＝2＋4＋42＋43＋44＝342.8.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝________. 答案 42解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，则y ′＝4x ，抛物线在点(a i ,2a 2i )处的切线方程为y －2a 2i＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42. 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2>a 1，S 4＝a 1＋28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n S n ＋1的前n 项和T n ≤2n －2＋M 恒成立，则M 的最小值为________. 答案 －16解析 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又S 4＝a 1＋28，∴a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.又a 2>a 1，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n，S n ＝2n ＋1－2.令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1， ∴b n ＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝12n ＋1－2－12n ＋2－2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫122－2－123－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2－124－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－2－12n ＋2－2＝122－2－12n ＋2－2＝12－12n ＋2－2.故T n －2n －2＝12－12n ＋2－2－2n －2. 又T n －2n －2－(T n ＋1－2n －1)＝2n －2－2n －2⎝⎛⎭⎪⎫2n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12>2n －2－2n －2(2n －1)2＝22n －2(2n－2)(2n －1)2≥0， 即T n －2n －2>T n ＋1－2n －1，故数列{T n －2n －2}单调递减，故(T n －2n －2)max ＝12－123－2－2－1＝－16.又T n ≤2n －2＋M 恒成立，即M ≥T n －2n －2恒成立，故M ≥－16，所以M 的最小值为－16.10.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4，则使得S 2kS 2k －1恰好为数列{a n }的奇数项的正整数k 的值为________. 答案 1解析 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 9＝1＋4d . 因为a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4，所以1＋2＋1＋d ＝2q,1＋4d ＝1＋d ＋2q ， 解得d ＝2，q ＝3，则对于n ∈N *，有a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×3n －1，所以S 2n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋2(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝3n ＋n 2－1，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.若S 2k S 2k －1恰好为数列{a n }的奇数项，则可设S 2kS 2k －1＝m (m 为正奇数)， 所以S 2k S 2k －1＝3k ＋k 2－13k －1＋k 2－1＝m ，即(3－m )3k －1＝(m －1)(k 2－1).当k ＝1时，m ＝3，满足条件；当k ≠1时，3k －1k 2－1＝m －13－m ，由3k －1k 2－1>0，得m －13－m>0，解得1<m <3，因为m 为正奇数，所以此时满足条件的正整数k 不存在.综上，k ＝1. 11.已知函数f (x )＝x 2＋(ln3x )2－2a (x ＋3ln3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为________. 答案130解析 f (x )＝x 2＋(ln3x )2－2a (x ＋3ln3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln3x －3a )2表示点M (x ，ln3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以曲线上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 12.(2018·某某省海安高级中学月考)已知公比不为1的等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2按某顺序排列后成等差数列，则满足题意的k 的值为________. 答案 －25解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2a 1＝a (a ≠1)， 所以a m ＝am －1，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝am ＋1.①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m＝am －1＋am ＋1，解得a ＝1，不合题意.②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2am －1＝a m ＋am ＋1，化简得a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2或a ＝1(舍去).∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25.③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2am ＋1＝a m ＋am －1，化简得2a 2－a －1＝0，解得a ＝－12或a ＝1(舍去)，∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25.综上可得满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－25.。
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高考数学复习小题训练（15） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8
2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则
A ．0≤x ≤
B ．4π≤x ≤45π
C ．4π≤x ≤47π
D ．2π≤x ≤2
3π 4．函数)11
2lg(-+=x y 的图象关于（ ）对称； 5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 A.02πθ<<
B.02πθ<≤
C. 30πθ≤≤
D.03πθ<≤ 6．已知数列{}n a 的通项公式)(,2
1log 2*∈++=N n n n a n ，设{}n a 的前n 项的和为n S ，则使5-<n S 成立的自然数n （ ）
7. 世界杯足球赛共有24个球队参加比赛，第一轮分成六个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次
A.53
B.52
C.51
D.50
8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2，则2x 出现的频率为14，x 出现的频率为12
，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3x 出现的频率是（ ）
9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作
[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:20082[mod(7)]r ≡,则r 可以为（ ）
10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若
BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ( )
A ．x y 232=
B ．x y 92=
C ．x y 2
92= D ．x y 32= 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在答题卷相应位置。
11、设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩， 则使得≥1的自变量的取值范围是
12、设))((R x x f ∈是以3为周期的周期函数,且为奇函数,又,)2(,1)1(a f f =>那么 a 的取值范围
是 ．
F x y A
B C O
13、已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则22y x +的最大值是 .
14、已知动点),(y x P 在椭圆116
252
2=+y x 上，若A 点坐标为),0,3(,1||=AM 且0=⋅AM PM ，则||PM 的最小值是 .
15、定义运算a ※b 为
.如1※2=1，则函数※的值域为 ；若a ※b 为,如1※2=2，则函数※的值域为 .
16．对于不同的直线m , n 和不同的平面βα,，给出下列命题：
① m n m α⊥⎫⇒⎬⊥⎭ n ∥α ② m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭
n ∥m ③ //m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭m 与n 异面 ④ n m n m βααββ⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⎭
其中正确．．
的命题序号是 ． C A B D D B C A B D
11、， 12、13．1-<a 13、74 14、， 15、
, 16． ②。