2019年92第二节二重积分的计算.doc
高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
二重积分的计算法
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
文档：二重积分的计算
1、试将二重积分(),Df x y d σ⎰⎰化为两种不同的二次积分,其中区域D 分别为：1） 由直线,3y x x ==及双曲线1xy =所围成的区域。
()()311,,xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰()()()13331113,,,yyDf x y d dy f x y dx dy f x y dx σ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2） 环形闭区域：2214x y ≤+≤()()()1121,,,Df x y d dx f x y dy dx f x y dy σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dx f x y dy dx f x y dy -+++⎰⎰()()()1121,,,Df x y d dy f x y dx dy f x y dx σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dy f x y dx dy f x y dx -+++⎰⎰()()221,cos ,cos Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰2、改变下列二次积分的次序 1）()10,y dy f x y dx =⎰()210,xx dx f x y dy ⎰⎰。
2）()ln 10,exdx f x y dy =⎰⎰()1,y ee dyf x y dx⎰⎰。
3）()()1233001,,yy dy f x y dx dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()2302,xxdx f x y dy -⎰⎰。
3、画出积分区域，并计算二重积分 1）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域。
解：原式01111101x x x y x y x x dx e dy dx e dy +-+++----=+⎰⎰⎰⎰()()01211211x x e e dx e e dx +---=-+-⎰⎰121121101122x x e e x ex e +---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11131112222e e e e e e e--=-+-+=- 2）计算()⎰⎰-Dd y x σ22，其中D 是由不等式π≤≤≤≤x x y 0,sin 0围成的闭区域。
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
第二节二重积分的计算方法
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
第二节二重积分的计算
(改变积分 ,按次 先 x后序 y积分次序 ) 计算
I
1 y si ny
dy
dx
0
y y2
1siny(yy2)dy 0y
1
1
0sin ydy0ysin ydy
1 c1 o (s c 1 s o 1 i )s n 1 s1 i .n
由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为 简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被 积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分 区域和被积函数的特点。
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2 所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 2 y2 x
f(x,y)d等于 D为 以底，z以 f(x,曲 y)为 面 顶
D
曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截
z
zf(x,y)
面面积为已知的立 y2(x)
体求体积”的方法,
得
y
A( x)
A(x) 2(x)f(x,y)dy 1(x)
D
ax b x
f(x,y)dxdy D
b
a A(
x)d
x
b
dx
2(x)
f
y1(x)
x2 y2 8
2
y
1 2
第二节 二重积分的计算法
∀x 0 ∈ [ a , b ]
作平面 x = x0
6
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= ϕ (x) yy= ϕ22(x)
y y
ϕ2( x0 )
z
z
zz= ff((x, y) = x, y)
A((x) ) Ax0 0
o o
a a
ϕ1( x0 )
x00 x
xx = ϕ1( (x b b yy = ϕ1x) )
分析］ ［分析］ 当被积函数中有绝对值时， 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 积分域中不同范围脱去绝对值符号。
2
∫∫ xydσ = ∫−1 dy ∫y D
2
y+2
∫∫ xydσ = ∫∫ D D
+ ∫∫ = ∫ dx ∫
D2
0
1
x
− x
xydy + ∫ dx ∫
1
4
x
x−2
xydy
=L
1
计算较繁
15
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本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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− 1 ≤ y ≤ 1 ［法2］ DY : ］ − 1 ≤ x ≤ y
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 = ∫ ydy ∫
−1
1
y
−1
1 + x 2 − y 2 dx
的积分较繁，故应用法1 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！ 注意两种积分次序的计算效果！
x=2
2019年92第二节二重积分的计算.doc
第二节 二重积分的计算教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） 重点：直角坐标和极坐标下二重积分的计算。
难点：1、坐标系的选取。
2、直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。
课时安排：6学时。
教学法：讲授法一．直角坐标下的计算：1．计算方法 1 (),z f x y = D ：[][],,a b c d ⨯在点0x x =处，薄片的体积：()0dv A x dx = ()()00,dcA x f x y dy =⎰()()()(),,b b bdb daaacacV dv A x dx f x y dy dx dx f x y dy ∴====⎰⎰⎰⎰⎰⎰(),d bcady f x y dx =⎰⎰2 (),z f x y = “X -型”区域：D ：()()12,a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤在点0x x =处，薄片的体积：()0dv A x dx = ()()()()2100,x xA x f x y dy ϕϕ=⎰()()()()()()()()2211,,b b bx bx aaax ax V dv A x dx f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕ∴====⎰⎰⎰⎰⎰⎰3 积分区域的要求：①、“X -型”区域：A 、特点：()()12,;a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤B 、限的确定：()()()()21,,.Xbx ax D f x y d dx f x y dy ϕϕδ=⎰⎰⎰⎰②、“Y -型”区域：A 、特点：()()12,;cx d y x y ϕϕ≤≤≤≤ B 、限的确定：()()()()21,,.Ydy cy D f x y d dy f x y dx ϕϕδ=⎰⎰⎰⎰③、非“X -型”非“Y -型”： 变成“X -型”和“Y -型”（将D 分块）4 总结：穿刺法。
2．计算中的技巧（问题）： ①、先画图； ②、有无奇偶对称性:()()()()1,x D y 0,,y D x ,x D y 2,,y D x DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰关于奇，关于轴对称，关于奇，关于轴对称;关于偶，关于对称，关于偶，关于对称.③、交换积分次序：ⅰ、题目本有要求；ⅱ、出现2ax sinx 1e ;x ln xdx dx dx ⎰⎰或、 ⅲ、二重积分恒等式证明。
二重积分的计算
第二节 二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的． 一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理 12. 4 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个x ∈[a,b ]积分⎰=dcdy y x f x h ),()(存在, 则h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f badcbaD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,它也记为⎰⎰badcdy y x f dx ),(. 这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.证明 在[a,b ]中插入若干个分点 b x x x x a n =<<<<= 210, 并记 Δx i = x i - x i-1 , (i =1,2,…..,n ), 当令λx =max{Δx i | i =1,2,…..,n },要证: dx dy y x f x h b adcni ii)),(()(lim1⎰⎰∑=∆=→ξλ.再在[c,d ]中插入若干个分点 d y y y y c m =<<<<= 210, Δy j = y j - y j-1 , (j =1,2,…..,m ), 那么, 直线y = y j (j =0,1,2,…..,m ), x = x i (i =0,1,2,…..,n ) 将D 分成m n 个小矩形D ij =[ x i-1 , x i ]×[y j-1 , y j ] (i =1,2,…..,n, j =1,2,…..,m ). 当记}),(|),(inf{ij ij D y x y x f m ∈=, }),(|),(sup{ij ij D y x y x f M ∈=,∑∑⎰∑===∆≤=≤∆-mj j ijmj y y ii mj jij y Mdy y f h ym ji 1111),()(ξξ因此,∑∑∑∑∑=====∆∆≤∆≤∆∆n i mj i j ijn i iin i m j ijijx y Mx h x y m 11111)(ξ注意到,此式的左右两端正是f (x,y )在矩形D 上以此分划的Darboux 小和及大和.. 再令令λy =max{Δy i | i =1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dn i mj i j ij dxdy y x f x y m ),(lim 110λ,⎰⎰∑∑=∆∆==→Dni mj i j ij dxdy y x f x y M ),(lim 11λ.又有两边夹易得, ⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h ),()(lim1ξλ即有⎰⎰∑=∆=→Dni iidxdy y x f x h x ),()(lim1ξλ, 那么h (x ) 在[a,b ]上可积, 并有等式dx dy y x f dx x h dxdy y x f b adcb aD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==.同样我们可得定理 12. 5 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的可积函数. 若对每一个y ∈[c,d ]积分⎰=badx y x f y g ),()(存在, 则g (y ) 在[c,d ]上可积, 并有等式dy dx y x f dy y g dxdy y x f dcbadcD)),(()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==,这时它也记为⎰⎰dcbadx y x f dy ),((也是二次积分或累次积分).引理 若函数f (x,y )是矩形D =[a,b ]×[c,d ]上的连续函数, 那么⎰=badx y x f y g ),()( 和 ⎰=dcdy y x f x h ),()(分别是[c,d ]和[a,b ]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.证明 只证g (y ) 是[c,d ]上的连续函数. 由条件知, f (x,y )在[a,b ]×[c,d ]上一致连续, 所以,任意ε>0, 存在 δ>0, 对任意(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈[a,b ]×[c,d ],只要δ<-+-221221)()(y y x x , 有 2|),(),(|2211+-<-a b y x f y x f ε, 所以任意y 1, y 2∈[c,d ], 当 |y 1 - y 2|<δ,⎰⎰-=-babadx y x f dx y x f y g y g |),(),(||)()(|1212⎰-≤badx y x f y x f |),(),(|12εεε<-⋅+-=+-≤⎰)(21ababdxabba.故g(y) 在[c,d]上的一致连续.由此可得定理12.6若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.即可交换顺序.这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形D=[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分⎰=badxyxfyg),()(存在, 对每一个x∈[a,b]积分⎰=dcdyyxfxh),()(y也存在,.这时定理12.6 结论仍然成立, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰==badcdcbaDdyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(.二、一般区域上的二重积分计算首先我们来讨论D是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中()()x hxg,是区间[]b a,上的连续函数，()()},|),{(xhyxgbxayxD≤≤≤≤=，这样的区域D ，我们称之为x－型区域(当然可求面积)．如图当()()y vyu,是区间[]d c,上的连续函数，()()},|),{(yvxyudycyxD≤≤≤≤=（如图12-2-2）称为y－型区域.定理12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域D上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么当令DU y x D y x y x f y x f -∈∈⎩⎨⎧=∧),(,),(,0),(),(,那么),(y x f ∧是U 上的可积函数. 并且⎰⎰⎰⎰=∧DUdxdy y x f dxdy y x f ),(),(.事实上),(y x f ∧在D 上可积,在U-D 上也可积 . 由性质知),(y x f ∧在U 上的可积.定理 12.8 设()()},|),{(x h y x g b x a y x D ≤≤≤≤=为x －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(证明 令 U= [a,b ]×[c,d ]包含D . 由定理12.7⎰⎰⎰⎰⎰⎰∧∧==bad cUDdy y x f dx dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(注意到,当固定x 时, 若()()d y x h x g y c ≤≤<≤或, ),(y x f ∧=0,;若()()x h y x g ≤≤,),(),(y x f y x f =∧. 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∧∧b a x h x g d x h x g c Ddy y x f dy y x f dy y x f dx dxdy y x f )()()()(),(),(),(),(, 显然 ⎰⎰⎰⎰=bax h x g Ddy y x f dx dxdy y x f )()(),(),(.例1 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解 区域D 如图12-2-3所示，可以将它看成一个x -型区域， 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=． 所以⎰⎰⎰⎰=xDxydy dx xyd 121σ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅===213211289212121dx x x dxy x xy y也可以将D 看成是y －型区域，()}2,21|,{≤≤≤≤=x y y y x D ，于是⎰⎰⎰⎰=221yDxydx dy xyd σ.89212221213212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰=dy y y dy y x yx有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数．定理 12.9 设()()},|),{(y v x y u d y c y x D ≤≤≤≤=为y －型区域, f (x,y )是D 上的连续函数，那么⎰⎰⎰⎰=dcy v y u Ddx y x f dy dxdy y x f )()(),(),(如果D 既不是x -型区域也不是y -型区域,如图12-2-4我们可以将D 分划成若干个x -型区域和y -型区域的并.例２ 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是有抛物线x y =2及2-=x y 所围成的有界闭区域．D 1D 2[][]1cos 1cos sin sin sin sin 101100100-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx dx y x x dy x x dx d x x x x Dσ解：如图12-2-4，区域D 可以看成是y －型区域，它表示为()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ，所以84522121221222=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰-+-+dy xy xydx dy xyd y y y yDσ．我们也可以将D 看成是两个x －型区域21,D D 的并集． 如图1２-2-5，其中()()}2,41|,{},,10|,{21x y x x y x D x y x x y x D ≤≤-≤≤=≤≤-≤≤=所以积分可以写为两个二次积分的和．即⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=10422xxxx Dxydy dx xydy dx xyd σ．最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点．所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是x －型的，又是y －型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子．例３ 计算二次积分⎰⎰11sin y dx xxdy ． 分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管xxsin 的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算．解⎰⎰⎰⎰=Dy d x xdx x x dy σsin sin 11，其中D 是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是x -型区域，有()}0,10|,{x y x y x D ≤≤≤≤=，所以上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果．设()},|,{d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，如果f (x ) 和g (y )分别在[a,b ]和[c ,d ]上可积, 则f (x )g (y )在D 上可积,并有()()()()⎰⎰⎰⎰⋅=b adcDdy y g dx x f d y g x f σ．读者可以自己验证上面的结论． 例４ 计算⎰⎰Dd y x σ22， 其中()}11,10|,{≤≤-≤≤=y x y x D ． 解：由上面的讨论，有⎰⎰Dd y xσ22⎰⎰-=102112dy y x dx＝92323111122=⋅=⎰⎰-dy y dx x ．例５ 求由曲面22y x z +=与1=z 所围的体积V ．解：此立体如图1２-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积．圆柱体的体积是ππ=⋅=211V ．曲顶柱体的顶是22y x z +=，底为区域()}1|,{22≤+=y x y x D ．所以其体积为()()⎰⎰⎰⎰----+=+=Dx xdy y xdx d y x V 22112211222σ＝2π．所以此立体体积为22πππ=-．在这里积分()⎰⎰----+22112211x x dy y xdx 的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分． 本节最后将给出前面积分运算的几何解释.当()y x f ,是有界闭区域D 上的连续函数且()0,>y x f 时，二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示的是以D 为底，以()y x f ,为顶的曲顶柱体的体积．如图1２-2-8所示．它的体积可以通过计算这个二重积分得到．我们下面通过另外的一种途径来求其体积． 我们采用的方法是定积分的微元法．１．以x 为积分变量，其变化区间为[]b a ,；２．求在],[b a 的一个小的子区间],[dx x x +上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积．接下来就是计算这个截面面积．将对于任意的[]b a x ,0∈，用平面0x x =去截曲顶柱体得到截面()⎩⎨⎧==yx f z x x ,0，即()⎩⎨⎧==y x f z x x ,00．它在yoz 平面上的投影是一个如图2-３所示的曲边梯形．其面积为 ()()()()⎰=x h x g dy y x f x A ,00．一般地，当0x 变动时，有截面面积()()()()⎰=x h xg dy y x f x A ,．于是区间],[dx x x +所对应的小曲顶柱体体积为()()()()dx dy y x f dx x A dV x h x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰,，所以曲顶柱体的体积为 ()()()()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==b a b a x h x g dx dy y x f dx x A V ,．这样的积分实际上是积分两次，即先对y 积分，再对x 积分，即二次积分．也记为()()()⎰⎰bax h xg dy y x f dx ,．习题 12-21.求下列函数的二重积分,()⎰⎰Ddxdy y x f ,,这里D=[0,1]×[0,1].1) ()1,1,01,>+≤+⎩⎨⎧--=y x y x y x y x f ;2)()1,1,0,22>+≤+⎩⎨⎧+=y x y x y x y x f ;3)()otherwise x y x y x y x f ,2,0,22≤≤⎩⎨⎧+= ;2. 设f (x )是[a,b ]上的连续函数,证明2)(])()([2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰b a bx b a dx x f dx dy y f x f . 3.求下列二重积分 1)⎰⎰Ddxdy y x 23 , },20|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=; 2)⎰⎰+D dxdy x y142 , }20,21|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=; 3) ⎰⎰Dyx dxdy e , },21|),{(3y x y y y x D ≤≤≤≤=; 4) ⎰⎰Dy dxdy e 2, }0,10|),{(y x y y x D ≤≤≤≤=; 5) ⎰⎰-Dd y x σ)2( , D 是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域;6) ⎰⎰Dd xy σ)2( , D 是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域;7)σ⎰⎰+Dd y x )(22，其中D 是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1；8)σ⎰⎰+Dd y x )23(，其中D 是x 轴、y 轴与直线2=+y x 所围成闭区域，9)σ⎰⎰++Dd y y x x )3(322，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； 10)σ⎰⎰+Dd y x x )cos( ， 其中D 是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域．4.交换下列的积分顺序1)⎰⎰---22993),(x x dy y x f dx ;2)⎰⎰-ydx y x f dy 903),(;3)⎰⎰4arctan 1),(πxdy y x f dx ;4)⎰⎰⎰⎰-+yy dx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),(;5)⎰⎰10),(ydx y x f dy ; 6)⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy ; 7)7)⎰⎰222),(yy dx y x f dy 8)⎰⎰ex dyy x f dx 1ln 0),(5.求下列的积分1) ⎰⎰3312yxdy e dx ;2)⎰⎰+13101ydx x dy ;3)⎰⎰9232)cos(y dx x y dy ; 4)⎰⎰+2arcsin 21cos 1cos πydx x xdy .6. 画出积分区域，计算积分： 1) σ⎰⎰Dd y x ，其中D 是由两条抛物线2x y =, x y =所围成闭区域，2)σ⎰⎰Dd xy 2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成右半闭区域， ３）σ⎰⎰+D y x d e , 其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域， 4)σ⎰⎰-+Dd x y x )(22， 其中D 是由直线x y y ==,2 及x y 2=所围成的闭区域．。
第二节 二重积分的计算法(全面版)资料
第二节二重积分的计算法（全面版）资料第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y xdy x dx I 21122211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限内所围成的区域.类似地,D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315π例2计算xyd D⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.3322012201x y d dy x y dx D y⎰⎰⎰⎰=-σD y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy () 例3求由曲面zx y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面 x y 222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域 D x y :222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d Dσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而 d Dσπ⎰⎰=2由x ,y 的对称性有 x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V =-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i 表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i iθ,设该点直角坐标为(,)ξηi i ,据直角坐标与极坐标的关系有ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd D D(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd θ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 ).故 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=0【情形三】积分区域D 为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围[,]αβ；再过[,]αβ内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx x =-+∞⎰2.而被积函数满足022>--y x e,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy edxdy edxdy e成立，再利用例二的结果有)1(42122RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π, )1(422222RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry RxRyx R S yx dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e于是不等式可改写成下述形式ππππ441414222022R R x R R R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R →+∞时有edx x-+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=224π, 即 Iedx x ==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ). 例6计算I dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()解此积分区域为D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin=-=-=--⎰()θθθπππd 42421232 小结 二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业 教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）第二节教学目标1. 了解小提琴常见的演奏技法，及其音乐表现特色。
第二节二重积分的计算
第九章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D
f ( x, y ) d
D r 2 ( )
f (r cos , r sin ) rd r d
D3
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o
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x
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例１. 计算
解:
2 cos( x y ) 2 d y 0 0 2[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
2
0
2
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例２. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算法 一．本课的基本要求掌握在直角坐标系、极坐标系中二重积分的计算． 二．本课的重点、难点二重积分的计算为重点、积分限的确定为难点． 三．教学内容由⎰⎰∑→→∆=Dni iif d y x f 10),(),(lim σηξσλ；引入本次课题． 一． 直角坐标系中的累次积分法假定0),(≥y x f ，按照二重积分的几何意义⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D 为底、以曲面),(y x f Z =为顶的曲顶柱体的体积．在上一章第一节我们知道区域D 的不等式组表示法通常有两种：1．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x bx a ϕϕ 或2．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 图1为方便，不妨以表示法1为例讨论．设⎰⎰Dd y x f σ),(所表示图形为图1．思路：⑴ 曲顶柱体的体积V 等于二重积分的值A ．⑵ 能否找到另一种计算曲顶柱体体积V 的方法；如能找到，设其表达式为B ． ⑶ 由传递关系可得到二重积分的计算方法，即A=B ．在定积分的应用中我们已讨论过“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法．下面我们就利用其求法之一的切片法来计算二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(所表示的柱体的体积．在区间[a,b]上任意取定一点0x ，作平行于yoz 面的平面0x x =，它与曲顶柱体相截所得截面是一个以区间[])(),(0201x x ϕϕ为底、曲线),(0y x f Z =为曲边的曲边梯形（图1中阴影部分）．所以，这载面的面积为：⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ．由0x 的任意性，过区间[a,b]上任一点x 且平等yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为：⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ应用平行截面面积为已知的立体体积的求法，得曲顶柱体体积为：⎰⎰⎰==bax x badx dy y x f dx x A V )()(21]),([)(ϕϕ即⎰⎰⎰⎰=bax x Ddx dy y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑴同理由表示法2可得：⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddy dx y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑵由此看到，二重积分的计算可化为两次定积分来计算．把二重积分化为两次定积分的方法称为累次积分法．在上述讨论中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上述公式的成立并不受此条件限制． 以后我们称图1所示的积分区域为X ─型区域，后者为Y ─型区域。
第二节 二重积分的计算
y
1
y=x
y= x
x , y = x所围 .
解 (按先 y后 x积分次序计算 )
I = ∫ dx ∫
0 1
1
x
x
sin y dy y
o
1
x
积不出的积分，无法计算。 积不出的积分，无法计算。
(改变积分次序 , 按先 x后 y积分次序计算 )
sin y 1 sin y I = ∫ dy ∫ 2 dx = ( y − y 2 )dy 0 y ∫0 y y
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0 ≤ y ≤ 2x − x2 D1 : , 0≤ x ≤1
0 ≤ y ≤ 2 − x D2 : 1≤ x ≤ 2
y = 2− x
视为 型区域 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1
1− 1− y2 ≤ x ≤ 2 − y D: , 0≤ y ≤1
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
根据二重积分的几何意义, 根据二重积分的几何意义,当
D
时,
为底， ∫∫ f ( x, y )dσ 等于以 D 为底，以曲面 z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的体积． 曲顶柱体的体积．
z 应用计算“ 应用计算“平行截 面面积为已知的立 y = ϕ2 (x) 体求体积”的方法, 体求体积”的方法
第二节二重积分的计算
§2 二重积分的计算【目的要求】1、熟练掌握先x 后y 和先y 后x 的二次积分方法；2、会熟练交换积分次序；会利用积分区域对称与被积函数的奇偶性简化二重积分的求解；3、熟练掌握先r 后θ的二次积分方法；4、会熟练地进行直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【重点难点】1、二重积分计算方法的建立；2、二重积分化为二次积分时积分限的配置；3、直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【教学内容】根据二重积分的定义来计算二重积分，对于一下特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的．因此，需要我们探求新的简便可行的计算方法．本节我们将介绍把二重积分化为累次积分（即两次定积分）的方法．一、利用直角坐标系计算二重积分下面我们将利用二重积分的几何意义讨论(,)d Df x y σ⎰⎰的计算问题，以下假定(,)0f x y ≥．在直角坐标系中，二重积分的面积元素d σ可表示为d d x y ，即(,)d (,)d d DDf x y f x y x y σ=⎰⎰⎰⎰．设积分区域D 可表示为不等式12,()()a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤．xx图 7-4如图7-4所示，其中1()x ϕ，2()x ϕ在区间[],a b 上连续．这种区域的特点是：若穿过D 内部的一点与y 轴平行的直线，则该直线与区域的边界相交不超过两点，我们称之为X 型区域．按二重积分的几何意义，(,)d Df x y σ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积．我们可以应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面积．为此，在区间[],a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图7-5中阴影部分），所以这截面的面积为2010()00()()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰．一般地，过区间[],a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21()()()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰．于是，应用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法，得曲顶柱体的体积为21()()()d (,)d d b ax abx V A x x f x y y x ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． 这个体积就是所求的二重积分的值，从而有等式21()()(,)d (,)d d bx a x Df x y f x y y x ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (1)x图 7-5上式右端的积分叫做先对y 后对x 的二次积分，即先把x 看作常数，(,)f x y 只看作是y 的函数，并对y 计算从1()x ϕ到2()x ϕ的定积分，然后把计算结果（是关于x 的函数）对x 计算在区间[],a b 上的定积分．这个二次积分也可以记作21()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰．因此，(1)式也可写成21()()(,)d d (,)d bx ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰， (2)这就是把二重积分化为先对y 后对x 的二次积分的公式．在上述讨论中，我们假定(,)0f x y ≥，但实际上公式(1)的成立并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域D 可表示为不等式c yd ≤≤，12()()y x y ψψ≤≤．如图7-6所示，其中1()y ϕ、2()y ϕ在区间[],c d 上连续，那么就有21()()(,)d (,)d )d d y c y Df x y f x y x y ψψσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (3)(3)式右端的积分叫做先对x 再对y 的二次积分，该积分区域的特点是穿过D 内部的一点作与x 轴平行的直线．则该直线于区域的边界相交不超过两点，我们称之为Y 型区域．这个二次积分也可以记作21()()d (,)d dy cy y f x y x ψψ⎰⎰．因此，(3)式也可写成)(y图 7-6d21()()(,)d d (,)d dy cy Df x y y f x y x ψψσ=⎰⎰⎰⎰． (4)一般地，对于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，根据积分区域D 的特点，若既是X 型又是Y 型，则公式(2)、(3)均可用，且这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰；若既不是X 型又不是Y 型，则我们要利用分割把区域分成几部分，使每个部分或是X 型或是Y 型．在图7-7中，把D 分成三部分，它们都是X 型区域，从而在三部分上的二重积分都可应用公式(2)，再根据二重积分的性质2，它们的和就是在D 上的二重积分．下面我们通过例子来说明．例 1 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是有直线1y =，2x =及y x =所围成的闭区域． 解 首先画出积分区域D （如图7-8）所示，D 既是X 型又是Y 型，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式(4)，即有两种解法，如下：解法一211d d d xDxy x xy y σ=⎰⎰⎰⎰22111()d 2xx y x =⎰ 42211()242x x =-98=． 解法二221d d d yDxy x xy y σ=⎰⎰⎰⎰22211()d 2y x y y =⎰2311(4)d 2y y y =-⎰ 42211(2)24y y =-98=． 例 2 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭d 图 7-7d图 7-8区域．解 首先画出积分区域D 如图7-9所示， D 既是X 型又是Y 型的，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式(4)，即有两种解法，如下： 解法一 将它看成X 型区域，则由于在 区间[0,1]及[1,4]上表示1()x ϕ的式子不同，需要分成两个小区域，我们分别记为1D 和2D ，其中{}1(,)|1D x y yx =≤≤≤， {}2(,)|21D x y x y x =-≤≤≤≤．因此，根据二重积分的性质2，有214012d d d d d d d x DDD xy xy xy x x x xy y σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14220111(d (dx 22x y x x y =+⎰⎰458=．解法二 将它看成Y 型区域，则{}2(,)12,2D x y y y x y =-≤≤≤≤+，于是22222221145d d d 28y y y yDx xy y xy x yσ++--===⎰⎰⎰⎰⎰． 由此可见，利用公式(2)来计算比较麻烦．例 3 计算Dσ⎰⎰，其中D 是由直线y x =、1x =-和1y =所围成的闭区域．解 画出积分区域D （如图7-10所示），D 既是X 型的，又是Y 型的．若利用公式(2)，得111d xDx y σ-=⎰⎰⎰⎰x图 7-91）31221211(1)d 3xx y x -=-+-⎰1311(||1)d 3x x -=--⎰ 13021(1)d 32x x =--=⎰．若利用公式(4)，得111dy yDx σ--=⎰⎰⎰⎰， 其中关于x 的积分计算比较麻烦．所以这里用公式(2)计算较为方便．例 4 计算sin d Dyyσ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线y x =所围成的闭区域．解 首先画出积分区域D （如图7-11所示），D 既是X 型的，又是Y 型的． 若将D 看成X型区域，{(,)01,D x y x x y =≤≤≤≤，则10sin sin d =d d x Dyy x y y y σ⎰⎰⎰． 这个关于y 的积分不易求出原函数，因此计算无法继续下去．如果将它看成Y 型区域，{}2(,)01,D x y y y x y =≤≤≤≤，则211200sin sin sin d d d d ()d y y Dyy y x y y x y y y y y y ==-⎰⎰⎰⎰⎰ 11100cos sin d 1cos1d cos y y y y y y =--=-+⎰⎰111c o s 1(c o s )c o s d 1s i n 1y y y y =-+-=-⎰． 上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算方便，需要选择图 7-10图 7-11恰当的二次积分的次序．这时，不仅需要考虑积分区域D 的形状，还要考虑被积函数(,)f x y 的特性．例 5 试证：()()0d ()d ()()d ayab x a b x a y e f x x a x e f x x --=-⎰⎰⎰，其中,a b 均为常数，且0a >．证 分析：等式左边是个先对x 再对y 的 二次积分，等式右边是个关于x 的定积分，而 被积函数是关于x 的函数，所以不妨交换积分次序，即换成先对y 再对x 的二次积分，如图 7-12所示．等式左边=()()0d ()d ()()d a a ab x a b x a xx e f x y a x e f x x --=-⎰⎰⎰．例 6 求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积． 解 设这两个圆柱面的方程分别为222x y R += 及 222x z R +=．利用立体关于坐标平面的对称性，只要计算它在第一卦限部分（图7-13(a)）的体积1V ，然后再乘以8就是所求立体的体积．所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为{(,)0,0D x y x R y =≤≤≤≤，图7-13(b)所示．它的顶是柱面z =．于是1DV σ=⎰⎰．图 7-12图 7-13 (a)图 7-13 (b)利用公式(2)，得10d RDV x yσ==⎰⎰⎰223002()d3R Rx R x x R==-=⎰⎰．从而所求立体的体积为311683V V R==．二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，而且被积函数用极坐标变量r，θ表示比较简单．这时，我们可以考虑利用极坐标来计算二重积分(,)dDf x yσ⎰⎰．我们知道平面上任意一点的极坐标(),rθ与它的直角坐标(),x y之间的变换公式为cosx rθ=，siny rθ=．按二重积分的定义1(,)d lim(,)ni i iiDf x y fλσεησ→==∆∑⎰⎰，下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域（图7-14）．除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积iσ∆可计算如下：2211()22i i i i i ir r rσθθ∆=+∆⋅∆-⋅∆1(2)2i i i ir r rθ=+∆∆⋅∆()2i i ii ir r rrθ++∆=⋅∆⋅∆图7-14i i i r r θ=⋅∆⋅∆，其中i r 表示相邻两圆弧的半径的平均值．在这小闭区域内取圆周i r r =上的一点(,)i i r θ，该点的直角坐标设为i ξ，i η，则由直角坐标与极坐标之间的关系有cos i i i r ξθ=，sin i i i r ηθ=．于是11lim (,)lim (cos ,sin )nni i i i i i i i i i i i f f r r r r λλξησθθθ→→==∆=⋅∆⋅∆∑∑，即 (,)d (cos ,sin )d d DDf x y f r r r r σθθθ=⎰⎰⎰⎰．这里我们把点(,)r θ看做是在同一平面上的点(,)x y 的极坐标表示，所以上式右端的积分区域仍然记作D .由于在直角坐标系中(,)d Df x y σ⎰⎰也常记作(,)d d Df x y x y⎰⎰，所以上式又可写成 (,)d d (cos ,sin )d d DDf x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰⎰． (5)这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中d d r r θ就是极坐标系中的面积元素．公式(5)表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x ，y 分别换成cos r θ，sin r θ，并把直角坐标系中的面积元素d d x y 换成极坐标系中的面积元素d d r r θ即可．同样，在极坐标系下计算二重积分也要将它化为二次积分，我们根据极点与积分区域的关系分三种情况介绍．(1) 极点O 在区域D 之外，如图7-15所示，这时区域D 在θαθβ==与两条射线之间，这两条射线与区域D 的边界的交点把区域边界分为两部分，1()r r θ=，2()r r θ=．这时区域D 可以表示为{}12(,),()()D r r r r θαθβθθ=≤≤≤≤， 于是o r =图 7-15(cos ,sin )d d Df r r r r θθθ⎰⎰=21()()d (cos ,sin )dr r r f r r r βθαθθθθ⎰⎰．(2) 极点O 在区域D 的边界上，如图7-16所示，这时1()0r θ=，区域D 可以表示为{}(,),0()D r r r θαθβθ=≤≤≤≤， 于是(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d Df r r r r f r r r r βαθθθθθθ=⎰⎰⎰．(3) 极点O 在区域D 的内部，如图7-17所示，这时区域D 可表示为{}(,)02,0()D r r r θθπθ=≤≤≤≤， 于是2()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d r df r r r r f r r r r πθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰．例 7 计算二重积分22d d 1Dx y x y++⎰⎰，其中D 是由221x y +≤所确定的圆域． 解 在极坐标中，积分区域D 可以表示为{}(,)02,01D r r θθπ=≤≤≤≤．于是，21222200d d d d d d 111D Dx y r r rr x y r r πθθ==++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221001ln(1)d 2r πθ=+⎰l n 2π=． xo 图 7-16)(θr r =图 7-17例 8计算二重积分Dσ，其中D 是圆222x y y +=围成的闭区域．解 圆222x y y +=的极坐标方程是2sin r θ=， 如图7-18所示，积分区域D 可以表示为{}(,)0,02sin D r r θθπθ=≤≤≤≤． 于是2sin 220d d d d DDr r r r πθθθθ==⎰⎰⎰⎰320088sin d (1cos )d cos 33ππθθθθ==--⎰⎰ 308132(c o s c o s )339πθθ=--=．例 9 计算二重积分22()d d x y Dex y -+⎰⎰，其中{}222(,)D x y x y R =+≤．解 在极坐标中，积分区域D 可以表示为{}(,)02,0D r r R θθπ=≤≤≤≤．于是222222()0001d d d d 2()(1)2R xy r r RR De x y e r r e e πθππ-+---==⋅-=-⎰⎰⎰⎰．例 10计算二重积分DI σ=⎰⎰，其中D 是直线y x =、2x =及上半圆周y =所围成的闭区域．解 画出积分区域D ，如图7-19所示， 它在极坐标下可表示为2(,)0,2cos 4cos D r r πθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．于是24cos 4302cos 0111d d (cos )d 22cos I r r r ππθθθθθθ==--⎰⎰⎰图 7-18图 7-19401(sin ln |sec tan |)2πθθθ=--+1ln 1)]2=-．三、广义二重积分若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函数，我们可以先在有界区域内积分，然后通过取极限求此积分．这类积分在概率统计中有广泛的应用．例 11 计算定积分 2d x Ie x +∞--∞=⎰．解 本题如果用定积分计算，由于 2x e-的原函数不能用初等函数表示，所以算不出来．我们采用的技巧是先计算二重积分22()d d xy De x y -+⎰⎰，其中区域D 是整个平面．一方面，我们利用直角坐标系计算，可将积分区域D 表示为{}(,)|,D x y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞，则22()d d xy De x y -+⎰⎰2222()2d d d d y =I x y x y x ey e xe +∞+∞+∞+∞-+---∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰．另一方面，我们利用极坐标系进行计算，可将积分区域D 表示为{}(,)|02,0D r r θθπ=≤≤≤≤+∞．于是22()d d xy De x y -+⎰⎰22220d d |lim (1)r r R re r r e e πθπππ+∞--+∞-→+∞==-=-=⎰⎰． 综上，我们有2I π=，所以I =。
第二节 二重积分的计算
的 f (x, y)都成立, 只须D是x—型区域即可.
注2. 习惯上常将右端的二次积分记作
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
即
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x)
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx
111y2122围成的平面区域及是由直线其中计算????????yx?xyddxdyxeidyx利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的不过重积分的情况比较复杂在运用对称性是要兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面不可误用
第八章 重积分 第二节 二重积分的计算
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的 上 下 限 ：
1
x
(x
y)d
0
dx ( x x2
y)dy
D
x
1 xy 1 y2 dx
0
2 x2
1 3 x 2 x 3 1 x4 dx
02
2
1
3 x3 1 x4 1 x5 3
6
4
10 0 20
方法2： 先对 x 积分.
y 2(x)
D
y 1(x)
a x0 b
x
从而, V
b
A( x)dx
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx,
a
a 1 ( x)
故
f ( x, y)d
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第二节二重积分的计算
教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）重点：直角坐标和极坐标下二
重积分的计算。
难点：1、坐标系的选取。
2、直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。
课时安排：6学时。
教学法：讲授法
一•直角坐标下的计算:
1 •计算方法
V z = f x y D: l.a, b\ lc, d 1
d
在点^x0处，薄片的体积：dv=Ax0dx A Xo j： _| f Xo,y dy
C 2
b b b d b d
V「a dv’a A x dx = ：a c f八 dy dx =〜dx°f x, y dy
d b
=c dy a f x,y dx
2 z = f x y “ X - 型”区域：D: a _ x _ b, V x _ y _ 2 x
3 积分区域的要求：
①、“X-型”区域:
A、特点：a乞x乞b, V x岂y乞2 x ;
在点X =x g处，薄片的体积：
b b
.V dv A x dx =
-a y
dv =A X。
dx A & i kJ 'f
b 2 X
U )*(x, y My dx = J a dx【
x°,y dy
i
x
b 2 x —1 x
f X, y dy
A 、特点：c 乞x 乞d, ;:
i y 乞x 乞；2 y ;
③、非“ X -型”非“丫 -型”：
变成“ X -型”和“ 丫-型”（将D 分块） 4 总结：穿刺法。
② 、有无奇偶对称性
③ 、交换积分次序： i 、 题目本有要求；
ii 、 出现 e ax dx 或 Sinx dx ^ — dx;
' x 'I n x
iii 、 二重积分恒等式证明。
④ 、积分原则：与定积分计算基本一致；
（对x 积分，视y 为常量，对y 积分，视x 为常量） ⑤ 、何时不得不将积分域 D 分块？穿入穿出不唯一。
3、例题分析：
B 、限的确定： b
Qf x \
° f x,y d 、. =.a dx — f x,y dy.
y
②、“ 丫一型”区
域: d
c
B 、限的确定：JJ f (x, y )d § = [ dy (x, y )dx.
2.计算中的技巧（问题）：
①、先画图； ..f x, y dxdy 二
D
f x, y 关于x 奇，D 关于y 轴对称, f x, y 关于y 奇，D 关于x 轴对称;
2. f x, y dxdy,
D i
丄关于x
偶, 关于y 偶,
D 关于y 对称, D 关于x 对称.
X
=丄 12 1 x 2-y 2
2 J 3
f dx
x
例
1 .计算1= 11 xydxdy ，其中D 是由y = x —2,y
2 = x 围成;
D r 2 _
解：画图：交点y =x = 1,_1 , 4,2 , ly=x-2 1 衣 4 •取 45 1= 0dx _x xydy 计 dx x ^x y d
y §，
2 y+2 2 1 2 匸」dy y 2 xydx = /2x 2 y+2 y 2
y 2 dy dy
罟 2 例 2.求 1= e 」dxdy,D:y 轴，y =1,y =x 围成;
D
1 1 y 2
“ X 型 ”：dxJe^dyC 积不出)
“Y 型”区域更好：
I= 0dy 0 e 『dx = QLydy —*
解：10
画图,2°定限: 经分析，视为
1 y .,2
例3.
求 I= i iy .J x 2 - y 2
dxdy, D : y = x, x = -1,y = 1 围成; D 解：l=.：dx.：y ・..1
1
1
2
2
= *dx x 1 x-y
x 2 -y 2dy 先做dy
务-1 d 1 x 2 — y 2
1
例4. 解: 求 I= I ixy ... 1 x 2 -y 2
dxdy, D : y =x, x = -1,y =1 围成;
D
被积函数：关于
1 = 1 1+1 2二 H + ! !
D
1
D 2
x 奇，关于y 奇
=0+0=0. 例5. 求 1=
11
ixy y cosx dxdy;
xMy 2<
解: ①、画图；②、y 奇，D 关于x 轴对称，二1=0
例6. _______ 2
求 1=
11
[x 「神1 y 2 dxdy.
x 2 y 2 1
4
y
\ 6
X
2°、匸 _i_|[x 2 • 1 • y 2 -2x ・.1 • y 2 dxdy 可用极坐标
D
2 2 2 2
= x 1 y dxdy = x y dxdy 亠 11 Idxdy
D
D
D
分析： x 2 y 2 dxdy 二 x 2dxdy 亠 11 y 2dxdy
D
D
D
2 2 2
=y dxdy 亠 11 y dxdy = 2 y dxdy
D
D
D
22 2
1 2 ff(x +y pxdy =2JJ x dxdy =2J 」dx J
dy D
D _
1
=2」X 2L 1_X 2 .. .. .1_X 2 ijdx=….
例 7 :求 1= JJ(|x | +|y | dxdy,D: |x | +|y | M;
D
比较： x y dxdy 二 xdxdy 亠 i iydxdy=O
D
D
D
式4 JJ(x +y dxdy. D: x +|y <1,
D 1
解：1=2
+|y| dxdy = 4 口(|x +|y pxdy
D 右
D 1 1
-x 1
二 4\ i i ：x y dxdy == 4 dx (x y)dy
D 1
=4 [xy 2y 2] - 1d^4
2 3
1
J y
1
例 8:证明：设 f(x)在[0 ,1]上连续，贝U : ° dy ° e y f x
dx
e-e x f x dx.
证明：如图，f x 为抽象，e y 、f x 积不出,
dy
1-—
X /[
X
y
e
2
1 X
X
d
1—0
dy
10
dx
2
1 X y
e
,, ,、 1 <2x-x 2
2 2-x ,,
例 9：改变 pdxp f x, y dy 1 dx ° f x, y dy 的 次序。
解：积分区域：0乞x乞1,0乞y空.2x-x2= x2-2x+y2=0,
2 2
1 _x _2,0 _y _2-x, x-1 +y =1.
1 2」
如图：原式二0dy x,y dx.
ex: p95 1(2) 2(124) 6(2.3)。