(完整版)不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳
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第九章不等式与不等式知识点归纳
一、不等式及其解集和不等式的性质
用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。
注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。
②方向：大于向右画，小于向左画。
不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；
②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变；
③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。
作差法比较a 与b 的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a＜b；若a-b=0, 则a=b。例1 、下列式子中哪些是不等式？
①0a+b=b+a; ②a＜b－5; ③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。
例2、若a a b a +1 b +122 ①a－b 0; ②a－5 b－5; ③－－;④；⑤am bm 2 2 3 2 ⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a²b²；⑨am bm。 例3、①由ax 1可得a ；②由ax ③由mx - 2 ≤ 2x -m可得x ≥-1 ，那么m 。 例4、不等式5(x + 2) ≤ 28 - 2x 的非负整数解是。 二、一元一次不等式及其实际问题 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不 等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数） （2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项） （4）合并同类项（5）将x 项系数化为1（系数为负数要变号）。 一元一次不等式与实际问题（审设列解验答） 常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。 （1）审（找表示不等关系的关键词）; （2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。 三、不等式组及其解集，与实际问题 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答） （1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）; （2）设（设其中一个 未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。 一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例） 类型（设 a>b ） 不等式组的解集 数轴表示 1. （同大型，同大取大） x>a 2. （同小型，同小取小） x 3. （一大一小型，小大之间） b 4. （比大的大，比小的小空集） 无解 特殊： ⎧x ＞3＞ ⎧x ≥ 3 ⎧x 3 ⎧x ≥ 3 ⎨x ＜3无解，⎨无解无解有⎨解 3 ⎨x ≤ 3 ⎩ ＜；；⎩；x 3 ⎩x ≤ ⎩ 专题 解决含参数的一元一次不等式（组） 类型一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口) 方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组） 例 1、若不等式 的解集为 ，求 k 值。 解：化简不等式，得 x≤5k ①，比较已知解集 ，得 ②，∴ ③。 例 2、若不等式组 的解集是-1 解：化简不等式组，得 ① ∵ 它的解集是-1 也为其解集，比较得 ② ∴(a+1)(b - 1)=-6. ③ ⎩ ⎩ ⎧ 2x + b > 0 练习、不等式组⎨- 3x + 5 ≥ a 的解集为： - 1 < x ≤ 3 ，则 a = , b = 。 类型二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口) 方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式 例 1、 若关于 x 的不等式 3x-a ＞4（x-1）的解集是负数，求 a 的取值范围？ 解：化简不等式得：x ＜4-a ①，∵ 它的解集是负数，∴只要 4-a ≤0 均可满足②∴a≥4③ 练习、若关于 x 的不等式-3（x+2）＞m+2 的解集是正数，求 m 的取值范围？ 方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。 例 1、已知关于 x 的不等式 x-a ＞0，的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是 。 例 2、已知关于 x 的不等式组 的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是 。 解：化简不等式组，得 有解①，将其表在数轴上，② 如图 1，其整数解 5 个必为 x=1,0,-1,-2,-3。由图 1 得：-4 ⎧- x + m > 0 练习、不等式组⎨ 2x + 5 > 1 ； 的整数解只有-2 和-1，则 a ，b 的取值范围