4.高阶导数
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式
回顾数学中的函数，函数就是将输入的值映射到输出的值的关系，它们被广泛用于解决各种数学问题，其中包括几何、分析、统计等等。
其中，初等函数，也就是一元函数，是最基本也是最常见的函数。
关于初等函数，其中一个重要的概念就是高阶导数。
高阶导数是指函数导数的导数，可以有效地解决非线性函数的极大值或极小值的搜索问题，也可以用来比较函数的变化程度。
那么，初等函数的高阶导数公式是什么？
一般来说，初等函数的高阶导数公式可以表示为：d^nf/dx^n = n! * f^(n-1)(x)，其中n为高阶导数的次数，f(x)为函数，以x为变量。
关于初等函数的高阶导数，可以简单列举几个例子。
1、零阶导数：d^0f/dx^0=f(x)，即0次导数函数表示函数本身。
2、一阶导数：d^1f/dx^1=f(x)，即1次导数函数表示函数的斜率，也就是函数的切线的斜率。
3、二阶导数：d^2f/dx^2=f(x)，即2次导数函数表示函数的二
阶导数，可以用来表示函数的弯曲程度。
4、三阶导数：d^3f/dx^3=f(x)，即3次导数函个数表示函数的
三阶导数，可以用来表示函数的高次变化，例如函数的极大值和极小值。
从上面可以看出，高阶导数有助于我们分析函数的变化情况，即求解函数的极大值和极小值。
但是，对于复杂的多元函数，计算高阶导数的公式也非常复杂，需要有深入的数学知识才能解决更多的问题。
因此，运用高阶导数公式进行函数分析，是一项非常有价值的技术，也可以帮助我们更好地理解复杂的函数。
总之，初等函数的高阶导数公式可以有效地帮助我们求解函数的导数问题，为我们解决复杂的数学问题提供了有效的帮助。
4 高阶导数
例4
设 y sin x, 求y (n) . cos x sin( x ) 解 y 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
思考题解答
不对．
d dy dt ( t ) 1 y y x x x dx dt dx ( t ) t ( t )
2.2 函数的微分
一、问题的提出
二、微分的定义
三、可微的条件
四、微分的几何意义
五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、小结 思考题
(1) ( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0 x在这区间内, 如果
ey ey ey y 于是 1 xe y 1 ( y 1) 2 y 上式两边再对x求导 得
e y y(2 y) e y ( y) e y (3 y) y e2 y (3 y) y 2 2 (2 y) (2 y) (2 y)3
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
高等数学：高阶导数的概念
高阶导数一、 高阶导数的概念定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim))((0存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为2222)(,),(dxx f d dx yd y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数, 三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数，…，一般地, )(x f 的（1-n ）阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)(x f '''，)()4(x f，…，)()(x f n ；或y '''，)4(y，…，)(n y；33dx y d ，44dx y d ，…，n n dx y d ；33)(dx x f d ，44)(dx x f d ，…，nn dx x f d )(。
注:函数)(x f 具有n 阶导数，也常说成函数)(x f n 阶可导。
若函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那么函数)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，)(x f 称为零阶导数，)(x f '称为)(x f 的一阶导数。
二、求高阶导数的方法由高阶导数的定义可以知道，求高阶导数就是多次接连地求导数，故仍可应用前面求一阶导数的方法。
【例1】求下列函数的n 阶导数：（1）nx y =，（n 为正整数）； （2）xy 1=； （3）x a y =，（0>a 且1≠a ）； （4）x y sin =。
解：（1）1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n xn n n y ，…，一般地，可得k n k x k n n n n y -+---=)1()2)(1()( （n k <<0）即 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<+---=-n k n k n n k x k n n n n x k n k n 0!0,)1()2)(1()()( （2）21)1()(---='='xx y ， 323!2)1()2)(1(---=--=''x xy ，434!3)1()3)(2)(1(---=---='''x x y ，545)4(!4)1()4)(3)(2)(1(---=----=x x y ，…，一般地，可得1)1()1()(!)1(!)1())](1([)3)(2)(1(++-+--=-=------=n nn n n n x n x n x n n y 即 1)(!)1()1(+-=n nn xn x（3）a a y xln ='，a a y x2ln =''，a a y x3ln ='''，a a yx 4)4(ln =…，一般地，可得a a yn x n ln )(=， 即 a a a n x n x ln )()(=当e a =时，有xn x e e =)()(（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2sin cos d d πx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2cos d d 22ππx x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos d d 33ππx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos d d 44ππx x x y ，…， 一般地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin d d πn x x y n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin )(sin )(πn x x n类似地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(cos )(πn x x n上例各题我们得到了几个常见函数的高阶导数公式，此外高阶导数也有运算法则，这里我们来看几个常用的法则。
同济版高数知识点归纳总结大全
同济版高数知识点归纳总结大全# 同济版高数知识点归纳总结大全## 一、极限与连续1. 极限的定义：数列极限、函数极限、无穷小量。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性、夹逼定理。
3. 无穷小的比较：高阶无穷小、同阶无穷小。
4. 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。
5. 连续性：连续点、连续函数、间断点的分类。
6. 连续函数的性质：局部有界性、最值定理、零点定理。
## 二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
2. 基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
3. 导数的运算法则：和差法则、积商法则、链式法则。
4. 高阶导数：二阶导数、三阶导数及其应用。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数求导、参数方程求导。
6. 微分：微分的定义、微分与导数的关系。
## 三、中值定理与导数的应用1. 罗尔定理：定理条件、几何意义。
2. 拉格朗日中值定理：定理条件、几何意义、应用。
3. 柯西中值定理：定理条件、应用。
4. 泰勒公式：泰勒展开、麦克劳林公式。
5. 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线、弧长、曲率。
6. 导数在物理上的应用：速度、加速度、变速运动。
## 四、不定积分1. 不定积分的定义：原函数、积分号。
2. 基本积分公式：基本积分表。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法。
4. 分部积分法：分部积分公式、应用。
5. 有理函数的积分：部分分式分解、积分。
6. 三角函数的积分：正弦函数、余弦函数的积分。
## 五、定积分1. 定积分的定义：黎曼和、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值、物理意义。
4. 反常积分：无穷区间上的积分、无界函数的积分。
## 六、多变量函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、高阶偏导数。
2. 全微分：全微分的定义、全微分与偏导数的关系。
3. 多元函数的极值：拉格朗日乘数法、条件极值。
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
常见高阶导数8个公式
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的核心概念之一，它是用来描述一个函数的变化趋势的。
导数被广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域，因此理解导数的定义和性质是非常重要的。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的切线斜率。
这个定义是通过极限的概念来实现的。
假设f(x)是定义在R上的一个函数，如果它在x=a处可导，那么导数f’(a)的定义如下：f’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)其中x是趋向于a的一个实数。
这个极限表达式表示当x接近a时，f(x)和f(a)之差除以x-a的商会趋向于一个特定的实数，这个实数就是导数。
注意，这个定义只能在限定的点上使用。
对于连续的函数，可以求得每个点的导数，从而知道函数整体的单调性，极值等重要信息。
二、导数的性质导数具有许多有用的性质。
以下是其中一些：1. 导数的可加性如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)+g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)+g(x)]’|x=a = f’(a) + g’(a)这个性质表明如果一个函数可以写成两个函数的和，那么它的导数是两个函数的导数之和。
2. 导数的乘法规则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)g(x)]’|x=a = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)这个性质是求导时最常用的，它叫做导数的乘法规则。
它表明如果一个函数可以写成两个函数的乘积，那么它的导数可以通过这两个函数及其导数的乘积来计算。
3. 链式法则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么f(g(x))在x=a处也可导，且有：[f(g(x))]’|x=a = f’(g(a))g’(a)这个性质是一个很重要的求导方法，叫做链式法则。
它表明如果一个函数有一个内部函数，那么它的导数可以通过内部函数的导数和外部函数的导数的乘积来计算。
4. 高阶导数如果f(x)在x=a处具有导数，那么f(x)也可以在x=a处具有二阶导数、三阶导数等。
高 阶 导 数
一、 高阶导数的定义
【例30】
求幂函数y=xα(α∈R)的n阶导数. 解y′=αxα－1 y″=α(α－1)xα－2 y″=α(α－1)(α－2)xα－3 y(4)=α(α－1)(α－2)(α－3)xα－4 .
y(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n
xα(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n . 当α=n xn(n)=n•(n－1)•(n－2)•…•3•2•1=n!,而xn(n+1)=0.
［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x) ［u(x)v(x)］ ″ =u ″(x)v(x)+3u″(x)v′(x)+3u′(x)v″(x)+u(x)v ″(x).
二、 莱布尼兹公式
上式称为莱布尼兹公式.
二、 莱布尼兹公式
【例34】
设y=x2sin x,求y (20). 解设u(x)=sinx,vx=x2,则由莱布尼兹公式知
一、 高阶导数的定义
【例31】
设y=ln(1+x)，求y(n).
一、 高阶导数的定义
【例32】
一、 高阶导数的定义
【例33】
设f(x)具有任意阶导数，且f′(x)=f2(x)，求证：f(x) 的n阶导数f(n) (x)=n!fn+1(x).
证由f′(x)=f2(x) f″(x)=2f(x)f′(x)=2!f3(x) f (x)=2!×3f 2(x)f′(x)=3!f4(x). 假设f(n－1)(x)=(n－1)!fn(x) f(n)(x)=(n－1)!·nfn－1(x)f′(x)=n!fn+1(x), 所以原命题成立.
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
高数上第二章-高阶导数
5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 )； 6、207360；
7、n ! ；
8、(n 1)! .
二、1、4
3
5
x2
8 x 3 ；
4
2、
2cos 2x
ln
x
2sin 2x x
cos 2 x2
x
；
3、
x.
3
(1 x 2 )2
六、1、( 2)n e x cos(x n )；
例4 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
2. 高阶导数的运算法则:
1、 y e x cos x；
2、y 1 x ； 1 x
3、 y
x2
x3 3x
; 2
4、y sin x sin 2x sin 3x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ；
2、2 sec2 x tan x ；
3、2arctan x 2x ； 1 x2
4、2 xe x2 (3 2 x 2 ) ；
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an
大学数学常用导数公式
大学数学常用导数公式在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
为了求解各种函数的导数，在数学领域中发展了许多导数公式。
本文将介绍一些大学数学中常用的导数公式，帮助读者更好地理解和运用导数。
1. 基本导数公式在导数的计算中，有一些基本的导数公式是不可或缺的。
这些公式可以帮助我们更快速地求解函数的导数。
以下是一些常用的基本导数公式：（1）常数函数的导数公式：若f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
（2）幂函数的导数公式：若f(x) = x^n，其中n为任意实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式：若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
（4）对数函数的导数公式：若f(x) = ln(x)，其中x > 0，则f'(x) = 1/x。
2. 基本函数的导数公式在微积分中，有一些函数的导数是经常使用的，它们在问题求解中起到了重要的作用。
以下是一些基本函数的导数公式：（1）三角函数的导数公式：- 正弦函数的导数公式：(sinx)' = cosx。
- 余弦函数的导数公式：(cosx)' = -sinx。
- 正切函数的导数公式：(tanx)' = sec^2(x)。
（2）反三角函数的导数公式：- 反正弦函数的导数公式：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数公式：(arccosx)' = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数公式：(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
（3）双曲函数的导数公式：- 双曲正弦函数的导数公式：(sinhx)' = coshx。
- 双曲余弦函数的导数公式：(coshx)' = sinhx。
- 双曲正切函数的导数公式：(tanhx)' = sech^2(x)。
§4 高阶导数
§3高阶导数一、高阶导数的概念我们知道，当函数)(x f 在区间I 上可导时，其导函数)(x f '仍然是x 的函数，它可能仍然存在导数．也就是说，我们将面临对导函数求导的问题，这种导数称为高阶导数．定义 若函数)(x f y =的导数)(x f '在点x 处可导，则称)(x f '在点x 处的导数为函数)(x f y =在点x 处的二阶导数，记作)(x f ''，22dx f d ，y ''或22dxyd ． 即22()d y d dy y f x dx dx dx ⎛⎫''''=== ⎪⎝⎭．依此类推，定义)(x f 的三阶导数：3232()d y d d y y f x dx dx dx ⎛⎫''''''=== ⎪⎝⎭；四阶导数：43(4)(4)43()d y d d y yfx dx dx dx ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．一般地，)(x f 的n 阶导数定义为：1()()1().n n n n n n d y d d y y fx dx dx dx --⎛⎫=== ⎪⎝⎭由此可见，求高阶导数就是多次连续求导，所以仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数．二、高阶导数的计算1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 设2(1)arctan ,(1).y x x y ''=+求解 2212arctan (1)2arctan 1,1y x x x x x x '=++⋅=++ 22122arctan 22arctan ,11xy x x x x x''=+⋅=+++ (1) 1.2y π''=+例2 设n 为自然数，求nx y =的各阶导数．解 1)(-='='n n nx x y ，21)1()()(---='=''=''n n x n n nx y y ，32)2)(1(])1([)(----='-='''='''n n x n n n x n n y y ，………………………………………………………，!)(n y n =，0)2()1(===++ n n y y ．例3 求xy a =的各阶导数．解 ()ln ,xxy a a a ''==,ln ln ln )ln (2a a a a a a a y xxx=⋅='='' 由归纳法可得()()ln .x n x n a a a =特别地()().x n x e e =例4 求x y sin =的各阶导数．解 x x y cos )(sin ='='，x x y y sin )(cos )(-='=''=''， x x y y cos )sin ()(-='-='''='''， x x y y sin )cos ()()4(='-=''''=，由归纳法可得()(sin )sin().2n n x x π=+用同样的方法可得()(cos )cos().2n n x x π=+例5 设1y x a=+，求y 的n 阶导数． 解 123(),(1)(),(1)(2)()y x a y x a y x a ---'''=+=-+=--+，由归纳法可得.)(!)1())(()2)(1(11)1()(++-+-=+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n a x n a x n a x 例3.),1ln()(n yx y 求设+=解 xy +='11， 2)1(1x y +-=''，3)1(!2x y +='''， 4)4()1(!3x y +-=)1!0,1()1()!1()1(1)(=≥+--=-n x n y nn n例5.),,(sin )(n axyb a bx e y 求为常数设=解 bx be bx ae y axaxcos sin +=')c o s s i n (bx b bx a e ax+=)arctan ()sin(22a b bx b a e ax =++⋅=ϕϕ)]cos()sin([22ϕϕ+++⋅+=''bx be bx ae b a y ax ax )2sin(2222ϕ++⋅⋅+=bx b a e b a ax)sin()(222)(ϕn bx e b a y ax n n +⋅+=注意: 求n 阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n 阶导数.(数学归纳法证明)例6 若)(x f 存在二阶导数，求函数)(ln x f y =的二阶导数． 解 xx f x x f y )(ln ))(ln (ln '=''='， 21)(ln 1)(ln )(ln x x f x x x f x x f y ⋅'-⋅''='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=''2)(ln )(ln x x f x f '-''=． *例7 已知隐函数()y y x =由方程1yxy e =-确定，求(0).y ''．解 方程两边对x 求导，得.y y xy e y ''+=-故.yyy x e'=-+ (1) 两边再对x 求导，得.)()1()(2y y y e x y e y y e x y +'+-'+-='' 由方程1yxy e =-可知当0x =时0y =，代入(1)得(0)0,y '=再代入上式，得(0)0.y ''=*例8 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=321tt y tx 所确定的函数的一阶、二阶导数． 解 tt t t t t t dx dy 213231)1()(2223-=--='-'-=， 由复合函数和反函数求导法则，有dtdx dt t t d dx dt dt dx dy dx dx dy d dx y d 1)213()(222⋅-=⋅==3222413214)13(226tt t t t t t +-=-⋅--⋅=． 2. 高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,n v u )()()()()1(n n n v u v u ±=± )()()()2(n n Cu Cu =)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(k k n n k k n n k k n n n n n vu C uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u -=---∑=+++--+''-+'+=⋅ 莱布尼兹公式例6.,)20(22ye x y x 求设=解 则由莱布尼兹公式知设,,22x v e u x== 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(+''⋅-+'⋅+⋅=x e x e x e y x x x 22!21920222022182192220⋅⋅+⋅⋅+⋅=xx x e x e x e )9520(22220++=x x e x3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n 阶导数. 常用高阶导数公式)0(ln )()1()(>⋅=a a a a n x n x x n x e e =)()()2sin()(sin )2()(π⋅+=n kx k kx n n)2cos()(cos )3()(π⋅+=n kx k kx n nn n x n x -+--=ααααα)1()1()()4()(n n n x n x )!1()1()(ln )5(1)(--=- 1)(!)1()1(+-=n n n xn x 例7.,11)5(2y x y 求设-=解：)1111(21112+--=-=x x x y])1(!5)1(!5[2166)5(+----=∴x x y ])1(1)1(1[6066--+=x x例8.,cos sin )(66n y x x y 求设+=解：3232)(cos )(sin x x y +=)cos cos sin )(sin cos (sin 422422x x x x x x +-+= x x x x 22222cos sin 3)cos (sin -+=x 2sin 4312-=24cos 1431x-⋅-= x 4cos 8385+= ).24cos(483)(π⋅+⋅⋅=∴n x y n n三、综合例题例题1设)(x g '连续，且 )()()(2x g a x x f -=，求)(a f ''解答：)(x g 可导)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-='∴)(x g '' 不一定存在，故用定义求)(a f '' )(a f ''ax a f x f ax -'-'=→)()(lim， （0)(='a f ）a x x f ax -'=→)(lim)]()()(2[lim x g a x x g ax '-+=→)(2a g =例题2 设⎪⎩⎪⎨⎧≠>>≤-+=),1a ,0a (0x ,xx sin 0x ,a 21a a 2)x (f x求：)x (f/解：当2/x/x xsin x cos x )x (f ,0x a a ln a2)x (f ,0x -=>⋅=<x 1a 21a a 2lim 0x )0(f )x (f lim )0(f x 0x 0x _/--+=--=--→→ a ln a 2x )1a (a 2limx0x =-=-→ x 1x xsin lim x )0(f )x (f lim )0(f 0x 0x /-=-=++→→+0x 21x cos lim x x x sin limx 20x =-=-=++→→)0(f )0(f //+-≠∴ )0(f /不存在，故⎪⎩⎪⎨⎧><=0x 0x )x (f /例题3 ．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x fn （ A ）（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）nx f n 2)]([!.例题 4 2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导数，且1)0(=ϕ.(1) 确定a 的值，使)(x f 在点0=x 处可导，并求)(x f '；(2)讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.解：（1）欲使)(x f 在点0=x 处可导，)(x f 在点0=x 处必须连续，于是有)0(1sin )(limcos )(lim)(lim 0ϕϕϕ'=+'=-=→→→xx xxx x f x x x即当)0(ϕ'=a 时，)(x f 在点0=x 处连续.当0≠x 时，2]cos )([]sin )([)(xx x x x x x f --+'='ϕϕ； 当0=x 时，2000)0(cos )(lim )0(cos )(lim )0()(lim )0(x x x x x x xx x f x f f x x x ϕϕϕϕ'--='--=-='→→→ ]1)0([212cos )(lim 2)0(sin )(lim 00+''=+''='-+'=→→ϕϕϕϕx x x x x x x故：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0],1)0([210,]cos )([]sin )([)(2x x xx x x x x x f ϕϕϕ（2）因为200cos )(]sin )([lim)(lim xxx x x x x f x x +-+'='→→ϕϕ x xx x x x x x x 2sin )(]cos )([sin )(lim 0-'-+''++'=→ϕϕϕ21)0(2cos )(lim 0+''=+''=→ϕϕx x x 所以，)(x f '在点0=x 处连续.例题5. 设函数)(x f 在0=x 的某领域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.解：因为 11()1()()300()()lim 1lim 1f x x f x xx x x xx x f x f x e x x x x ++→→⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 01()lim13x f x x x x →⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.3)(lim 0=+→xx x f x x ，从而20()lim 2x f x x →=从而2()2f x xα=+，其中0lim 0=→αx . 即：)(2)(22x o x x f +=， 2222000()(0)2()(0)2()lim lim lim 0(0)00x x x f x f x o x f x o x f x x x→→→-+-+'====-- 20()lim2x f x x →=，所以0()lim 22x f x x →'=，所以，0()lim 4x f x x →'=，0()(0)lim 40x f x f x →''-=-所以由此可得0)0(=f ，0)0(='f ，4)0(=''f并且 212201)(21lim )(1lim e x x o x x x f xx xx =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+→→. 例题 6 . 设函数)(x f 具有连续的二阶导数，且0)(lim 0=→xx f x ，且4)0(=''f ，求xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→. 解：由题设可推知0)0(=f ，0)0(='f ，于是有22)(lim 2)(lim )(lim002=''='=→→→x f x x f x x f x x x 故 2)(1ln )(lim)()(010)(202)(1lim )(1lim e ex x f x x f x f xx x x f x x f x x f x f x x xx ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→→→三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n 阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.。
高阶导数的计算技巧
高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而高阶导数则是对函数导数的导数，它可以提供更多关于函数曲线的信息。
在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。
本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。
一、基本概念回顾在开始介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。
对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以写成dy/dx。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。
如果对导数再求导数，就得到了函数的二阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2，它表示函数的斜率变化率。
同理，对二阶导数再求导数，就得到了函数的三阶导数，以此类推，可以得到函数的高阶导数。
二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。
例如，如果要计算函数f(x)的n阶导数，可以先求出f'(x)的导数，然后再对f''(x)求导，以此类推，直到求得f(x)的n阶导数。
这样可以逐步简化计算过程，减少出错的可能性。
2. 使用Leibniz符号Leibniz符号是一种表示导数的符号，它可以简化高阶导数的计算。
对于函数y=f(x)，它的n阶导数可以表示为dy/dx，d^2y/dx^2，d^3y/dx^3，...，d^n y/dx^n。
Leibniz符号可以帮助我们清晰地表示出导数的阶数，从而更方便地进行计算。
3. 应用链式法则在计算高阶导数时，经常需要应用链式法则。
链式法则是导数的一个重要性质，它描述了复合函数导数的计算方法。
如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中u=g(x)。
通过链式法则，我们可以简化复合函数的高阶导数计算过程。
高阶导数十个常用公式
高阶导数十个常用公式1. 一阶导数：如果函数 y=f(x)，则其一阶导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h2. 二阶导数：如果函数 y=f(x)，则其二阶导数定义为：f''(x)=lim(h→0)(f'(x+h)-f'(x))/h3. 三阶导数：如果函数 y=f(x)，则其三阶导数定义为：f'''(x)=lim(h→0)(f''(x+h)-f''(x))/h4. 四阶导数：如果函数 y=f(x)，则其四阶导数定义为：f''''(x)=lim(h→0)(f'''(x+h)-f'''(x))/h5. 五阶导数：如果函数 y=f(x)，则其五阶导数定义为：f'''''(x)=lim(h→0)(f''''(x+h)-f''''(x))/h6. 六阶导数：如果函数 y=f(x)，则其六阶导数定义为：f''''''(x)=lim(h→0)(f'''''(x+h)-f'''''(x))/h7. 七阶导数：如果函数 y=f(x)，则其七阶导数定义为：f'''''''(x)=lim(h→0)(f''''''(x+h)-f''''''(x))/h8. 八阶导数：如果函数 y=f(x)，则其八阶导数定义为：f''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''(x+h)-f'''''''(x))/h9. 九阶导数：如果函数 y=f(x)，则其九阶导数定义为：f'''''''''(x)=lim(h→0)(f''''''''(x+h)-f''''''''(x))/h10. 十阶导数：如果函数 y=f(x)，则其十阶导数定义为：f''''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''''(x+h)-f'''''''''(x))/h。
高阶导数的计算技巧
高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而高阶导数则是对函数的导数连续求导多次得到的结果。
在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。
本文将介绍一些计算高阶导数的技巧，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。
一、基本概念回顾在开始介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。
对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以记作dy/dx。
导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。
如果对导数再求导，就得到了函数的二阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2，它表示函数的斜率的变化率。
同理，对二阶导数再求导，就得到了函数的三阶导数，以此类推，可以得到高阶导数。
二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。
例如，如果函数是多项式函数，那么它的高阶导数可以通过对每一项分别求导得到。
另外，利用导数的加法性和乘法性，可以将复杂函数的高阶导数拆分成简单函数的导数相乘或相加的形式，从而简化计算。
2. 使用Leibniz公式Leibniz公式是计算高阶导数的重要方法之一。
对于一个函数y=f(x)，它的高阶导数可以通过Leibniz公式表示为：f^(n)(x) = d^n(y)/dx^n = ∑(k=0 to n) C(n,k) * f^(k)(x)其中，C(n,k)表示组合数，f^(k)(x)表示函数f的k阶导数。
利用Leibniz公式可以将高阶导数的计算转化为对低阶导数的计算，从而简化问题。
3. 递归法递归法是计算高阶导数的另一种常用方法。
通过递归的方式，可以从低阶导数逐步推导出高阶导数。
具体做法是先计算一阶导数，然后利用一阶导数计算二阶导数，再利用二阶导数计算三阶导数，以此类推，直到计算出所需的高阶导数。
4. 应用泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
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§ 4 高阶导数
高阶导数的概念：
加速度高阶导数
定义:
注意区分符号和
以函数为例介绍高阶导数计算方法.
高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为
相应的阶导数记为
二. 几个特殊函数的高阶导数:
1.多项式: 多项式的高阶导数.
例1 求和.
2. 正弦和余弦函数: 计算
、、、的公式.
3．和的高阶导数：
4．的高阶导数：
5．的高阶导数：
6．分段函数在分段点的高阶导数：
以函数为例，求.
三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则
1．
2．
3．乘积高阶导数的Leibniz公式：
例设求
利用萊布尼兹公式，取
注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。
例2 求
解
例3 求
解
例4 其中二阶可导. 求
例5 验证函数满足微分方程
并依此求
解
两端求导即
对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程.
在上式中令得递推公式
注意到和, 就有时,
时,
四. 参数方程所确定函数的高阶导数:
例6 求
解
习题课
一. 可导条件:
例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.
例2 设函数在点可导, 则
在点不可导.
例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内
例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件
并有
证设存在, 定义
易验证函数在点连续, 且
设又在点连续. 则有
即存在且
二. 求导数或求切线:
例4 求和
例
5 求
例6 求
解
设
其中为的多项式. 注意到对任何正整
数则有
所以，对有
例7 抛物线方程为求下列切线:
⑴过点( 该点在抛物线
上 ) ( )
⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和
)
一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.
例8 设
确定、和的值，使函数在点可
导. )
四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：
例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)
例10 设是偶函数且在点可导, 则.
证
即
由存在，
简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.
五. 关于可导性的一些结果:
1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.
2.存在仅在一点可导的函数. 例如
该函数仅在点可导.
3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—
5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere
differentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.
近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.
小结：
莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）
生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。
55岁入来比锡大学学法律，20 岁获博士学位，以法律和国际政治为职业，作法律顾问。
1672 年因外交事务到巴黎，接触了一些数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自学成才的。
他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩。
他一方面从事政治、外交活动，一方面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。
被誉为德国的百科全书式天才。