第五节 线性变换的矩阵表示式
第五节线性变换的矩阵表示式
= T[(1, ···, n)P] =T[(1, ···, n)]P
= (1, ···, n)AP = (1, ···, n)P-1AP ,
因为 1, ···, n 线性无关, 所以
B = P-1AP .
证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的
过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , ···, n 下的坐标分别为
x1
x2
xn
,
x1
T
( )
A
x2
xn
,
即按坐标表示, 有
T() = A .
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , ···, n , 如果这个基
在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1) a111 a212 an1n ,
T
(2 )
a121 a222
an 2 n
,
T (n ) a1n1 a2n2 annn ,
a2n
ann
,
那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , ···,
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), ···, T(n)
唯一确定.
如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , ···, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
0 1
0 0 .
0 0 0
(2)
TTTiijj
线性变换及其矩阵表
层图：
传统机械按键设计要点
按
PCB
键
A
： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键
设计间隙建议留
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要考虑成型工艺，合
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
x
dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是 JD(f(x))=f(x)-f(a)。
因此DJ≠JD。
6
下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3 中，T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2．在 Pn[ x] 中，T f ( x) f 2( x). × 3．在线性空间V中，T , V 非零固定. √ 4．在 C nn中，T X AX , A C nn 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T( x) x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间， T( x) x . 7
例6 设线性空间R3中的线性变换T为：
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I：设fP0n[x]1中, f的1 线x性, f2变换x2T2! 为, ：, fTn(f(xxn)n)!=,f ’(x)，
基II： g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
组基下的矩阵为 A
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
线性变换的矩阵表示式
§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式()T x Ax =()n x R ∈ 简单明了地表示出中的一个线性变换. 我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换有关系式()Ax x T =，那么矩阵应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么必有关系式()11122(),,()n n n T x T e e x T x e x e x e ==+++⎡⎤⎣⎦1122()()()n n x T e x T e x T e =+++()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα===总之，中任何线性变换，都能用关系式()()nR x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =.把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基n αα,,1 ，如果这个基在变换下的象（用这个基线性表示）为11112121212122221122(),(),(),n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为11(,,)(,,)n n T A αααα=， （5）其中1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么，就称为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵 .显然，矩阵由基的象()()n T T αα,,1 唯一确定.如果给出一个矩阵作为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的象，那么根据变换保持线性关系的特性，我们来推导变换必须满足的关系式：中的任意元素记为in i i x αα∑==1，有 11()()n n i i i i i i T x x T ααα====∑∑121((),,())n n x x T T x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121(,,)n n x x A x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即112211(,,)(,,)n n n n x x x x T A x x αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （6）这个关系式唯一地确定一个变换，可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。
《线性变换的矩阵》课件
3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。
线性变换的矩阵表示式
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表⽰千⾥之⾏始于⾜下，重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是⼀个相对抽象的概念，先给出相关定义定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到⾃⾝的⼀个映射，使对任意向量x ∈V ，V 中都有唯⼀的向量y 与之对应，则称T 是V 的⼀个变换或者算⼦，记Tx =y ，称y 为x 在T 下的象，⽽x 是y 的原象（象源）这个T 类似于数学分析中的函数y =f (x )，不过那⾥是数量函数，这⾥是向量函数。
如果变换T 满⾜⼀定的线性变换要求T (kx +ly )=kT (x )+lk (y )，则T 为V 的⼀个线性变换。
概念类⽐到数量函数，线性变换T 的也是很好理解的。
但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表⽰。
从定义⼊⼿的话，如果需要确定线性变换T ，则需要找到V 中所有向量在T 下的象。
事实上不需要这么⿇烦的。
V 中所有向量都可以由V 的基向量组(x 1,x 2,……,x n )线性表⽰，加上T 是V 的线性变换，则V 中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表⽰。
设T 是线性空间V n 的线性变换，x ∈V n ,且x 1,x 2,……,x n 是V n 的⼀个基，则x =a 1x 1+a 2x 2+……+a n x n Tx =a 1(Tx 1)+a 2(Tx 2)+……+a n T (x n )令Tx 1=a 11x 1+a 21x 2+……+a n 1x n Tx 2=a 12x 1+a 22x 2+……+a n 2x n ……Tx n =a 1n x 1+a 2n x 2+……+a nn x n 在处理具体问题时，采⽤矩阵乘法的形式表⽰上述公式组：T (x 1,x 2,……,x n )=(Tx 1,Tx 2,……,Tx n )=(x 1,x 2,……,x n )A 这个A 称为线性变换T 在V n 的基x 1,x 2,……,x n 下的矩阵，简称A 为T 的矩阵。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示分布图示★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则AP P B 1-=.定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.例题选讲线性变换与其矩阵的关系例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.解 ,03003002020001100000432124432134321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。
线性映射(线性变换)的矩阵表示
§3 线性映射(线性变换)的矩阵表示教学目的 通过2学时的讲授，使学生基本掌握有限推向量空间线性映射的矩阵表示定理及矩阵相似的基本概念．教学内容有限维向量空间的线性映射，可以通过基下的矩阵来刻画，这就是这一节要学习的矩阵表示．3.1 矩阵表示定理设V 和W 都是数域F 上的有限维向量空间，dim V =n ，dim W =m ，σ∈Hom(V ，W )．由命题7.1.1知道，σ完全被它在V 的一个基上的作用所决定．因此在V 中取一个基n αα,,1 ；同时，在W 中取一个基m ββ,,1 ，则)(,),(1n ασασ 由m βββ,,,21 线性表示为⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=mmn n n n m m a a a a a a βββασβββασ 221112211111)()(． (1)将此写成矩阵形式，并令σ(n ααα,,,21 )=()(,),(),(21n ασασασ )，则得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n n m n a a a a a a 122111111),,(),,(ββαασ， (2) 其中矩阵A =n m mn ij F a ⨯∈)(，叫做线性映射σ在V 的基{j α}和W 的基{i }下的矩阵．在V 、W 中分别取定一个基{j α}、{i }以后，对于V 到W 的每一个线性映射σ，有唯一确定的m ×n 矩阵A 与它对应．因此，这个对应给出了Hom(V ，W )到n m F ⨯的一个映射ϕ．设τ∈Hom(V ，W )，则ϕ(τ)=B 是τ在基{j α}和基{i }下的矩阵．若B =A ，则)()(j j ασατ=，n j ,,1 =．由命题7.1.1，有τ =．这表明ϕ是单射．任给C ∈n m F ⨯，W 中以C 的第j 列作为在基{i }下的坐标的向量记作j γ，n j ,,1 =．由命题7.1.2，存在V 到W 的一个线性映射ρ，使得ρ (j α)=j γ，n j ,,1 =．从而ρ (n αα,,1 )=(n γγ,,1 )=(m ββ,,1 )C ．于是，C 是ρ在基{j α}和基{i }下的矩阵．因此ϕ (ρ)=C ．这表明ϕ是满射．故ϕ是Hom(V ,W )到mxn F 的一个双射．进一步，我们来证明定理7.3.1 设V 和W 都是数域F 上有限维向量空间,其中dim V =n , dim W =m ．在V 中取一个基n αα,,1 ，在W 中取一个基m ββ,,1 ．则V 到W 的每一个线性映射与它在基{j α}和基{i }下的矩阵的对应ϕ是向量空间Hom(V ，W )到n m F ⨯的同构映射，记作Hom(V ，W )n m F ⨯≅．证 前面已证ϕ是到Hom(V ，W )到n m F ⨯的双射．现在来证明ϕ保持加法与纯量乘法运算．任取,τ∈Hom(V ，W )，设ϕ ()=A , ϕ (τ)=B ，即A m n ),,(),,(11ββαασ =，B m n ),,(),,(11ββαατ =，则)))((,,))(((),,)((11n n ατσατσαατσ++=+)3())(,,(),,(),,())(,),(())(,),((11111．B A B A m m m n n +=+=+=ββββββατατασασ 这表明+τ在基{j α}和基{i }下的矩阵是A ＋B ．因此ϕ (+τ)=A ＋B =ϕ ()+ϕ (τ)．类似可证)()(σϕσϕk kA k ==，其中k ∈F ．因此，ϕ是Hom(V ，W )到n m F ⨯的同构映射．再注意到定理7.1.2，则有推论7.3.1 设dim V =n ，dim W =m ，则Hom(V ，W )是有限维的，并且dimHom (V ，W )=dim V ·dim W ． (4)当知道V 到W 的线性映射在基{j α}和基{i }下的矩阵A 之后，V 中任一向量α在下的象很容易求出，即有命题7.3.1 设n αα,,1 是V 的一个基，m ββ,,1 是W 的一个基，∈Hom(V ，W )，且在基{j α}和基{i }下的矩阵为A ．又∀α∈V ，设α在基{j α}下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1，则)(ασ在基{βi }下的坐 标为A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1． 证 我们有=++=)()()(11n n x x ασασασ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m n m n n x x A x x A x x 111111)()),,((),,(ββββαασ，，．因此，A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1是)(ασ在基m ββ,,1 下的坐标． 推论7.3.2 设V 到W 的线性映射 在基{j α}和基{βi }下的矩阵为A ，V 中任一向量α在基{j α}下的坐标为X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1，W 中向量γ 在基{βi }下的坐标为Y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y 1，则Y AX =⇔=γασ)(． 现在我们来讨论n 维向量空间V 上的线性变换与矩阵的关系．设∈End V ，我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到V 上的线性变换中．这时，只需在V 中取定一个基n αα,,1 ，把基向量j α在下的象 (j α)仍然用这个基线性表出，即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a 122111111),,(),,(αααασ， (5) 右端的n 阶矩阵A =nn ij a )(叫做线性变换在基n αα,,1 下的矩阵． 定理7.3.2 设V 是数域F 上n 维向量空间，在V 中取定一个基n αα ,1，则V 上的每一个线性变换与它在基n αα,,1 下的矩阵的对应是向量空间End V 到M n (F )的同构映射，也是环End V 到M n (F )的同构映射．证 结论的前半部分已在定理7.3.1中证明．后半部分中是双射，保持加法也已证明，剩下只要证保持乘法．设线性变换，在基n αα,,1 下的矩阵分别是A ，B ，则 A n n ),,(),,(11αααασ =，B n n ),,(),,(11αααατ =． 因为．))(,,()),,(())(,,)(())(,,)((),,()),,(()),,((),,)((111111111111AB B A B b b b b B n n n n i i in n i i i n i i in n i i i n n n ααααασασασασαασαασαατσααστ =======∑∑∑∑==== 所以在基n αα,,1 下的矩阵是AB ．于是 )()()(τϕσϕστϕ==AB ． 从而也是环End V 到M n (F )的同构映射．由此进一步得到推论7.3.3 设数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换在V 的一个取定的基下的矩阵是A ．则可逆的充分且必要条件是A 可逆，并且其逆变换1-σ在这个基下的矩阵就是1-A ．证 设可逆．令1-σ关于所取定的基的矩阵是B ，则)1()(1V AB ϕσσϕ==-n I =．同理BA =I n ．所以B =A －1．反过来，设A σ，而A 可逆，则有End V 使1-A τ．于是)(1στϕ==-AA I n ，从而易见V 1=στ．同理可证V 1=τσ．所以可逆，且τσ=-1．命题7.3.2 设V 是数域F 上n 维向量空间，∈End V ．若在V 的基n αα,,1 下的矩阵为A ，α∈V 在基n αα ,1下的坐标为X ，则)(ασ在基n αα,,1 下的坐标为AX ．证 从命题7.3.1立即得到．3.2 矩阵相似的概念一个线性变换在取定基下的矩阵依赖于这个基的选择．同一个线性变换在不同的基下的矩阵自然不一定相同．我们来考察一个线性变换在两个基下的矩阵有什么关系．设V 是数域F 上的一个n 维向量空间，∈End V ．假设在V 的两个基{n ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }下的矩阵分别是A 与B ，即 A n n ),,,(),,,(2121αααααασ =,B n n ),,,(),,,(2121ββββββσ =. 令T 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，即(n βββ,,,21 )=(n ααα,,,21 )T ．则(n βββ,,,21 )B =(n βββ,,,21 )= ((n ααα,,,21 )T ) =σ(n ααα,,,21 )T =(n ααα,,,21 )AT =(n βββ,,,21 )T －1AT ．因此AT T B 1-=． (6) 等式(6)说明一个线性变换在两个基下的矩阵的关系．于是引进 定义1 设A ，B ∈M n (F )．若存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使等式(6)成立，则称B 与A 相似，记作A ~B ．n 阶矩阵的相似关系具有下列性质：1)反身性 A ~A ．因为A =n n AI I 1-．2)对称性 若A ~B ，则B ~A ．因为由AT T B 1-=得1111)(----==BT T TBT A ．3)传递性 若A ~B 且B ~C ，则A ~C ．事实上，由AT T B 1-=和BU U C 1-=得ATU T U C 11--== )()(1TU A TU -．等式(6)表明，n 维向量空间的一个线性变换在两个基下的矩阵是相似的．反过来，设A 和B 是数域F 上两个相似的n 阶矩阵，则由定理7.3.2，存在F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，它在V 的一个基{n ααα,,,21 }下的矩阵就是A ．于是(n ααα,,,21 )=(n ααα,,,21 )A ．因为B 与A 相似，所以存在一个可逆矩阵T ，使得AT T B 1-=．令(n βββ,,,21 )=(n ααα,,,21 )T ，则由定理6.4.1，{n βββ,,,21 }也是V 的一个基．容易看出，在这个基下的矩阵就是B ．因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换在不同基下的矩阵． 最后，容易证明以下等式成立：,)(12111211T A T T A T T A T T A A A T r r ----+++=+++t t AT T T A T )(11--=．因此，寻找彼此相似的矩阵的简单形式，往往可以化简矩阵计算．课外作业：P355－356：1；3；4；9．。
线性变换的矩阵表示与坐标变换
线性变换的矩阵表示与坐标变换线性变换是线性代数中非常重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的向量按照一定的规则进行变换的操作。
线性变换可以通过矩阵进行表示，并且与坐标变换之间存在着紧密的联系。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指满足以下两个性质的向量空间之间的映射：1. 对于任意的两个向量u和v，线性变换T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，线性变换T(ku) = kT(u)。
线性变换具有一些重要的性质：1. 零向量的线性变换结果仍为零向量：T(0) = 0；2. 线性变换保持向量空间中向量间的线性组合关系；3. 线性变换将向量空间中所有向量的零向量映射到目标向量空间的零向量。
二、矩阵表示线性变换线性变换可以通过矩阵来表示。
假设V和W是两个向量空间，维数分别为n和m，线性变换T: V→W可以表示为一个m×n的矩阵A。
对于向量v∈V，其在基底B={b1,b2,...,bn}下的坐标表示为[v]B =[x1,x2,...,xn]^T，T(v)在基底B'={b1',b2',...,bm'}下的坐标表示为[T(v)]B'= [y1,y2,...,ym]^T，则矩阵A表示了从基底B到基底B'的坐标变换关系。
具体而言，矩阵A的第j列为T(bj)在基底B'下的坐标表示的列向量。
通过矩阵向量乘法，可以得到变换后向量的坐标表示。
即：[T(v)]B' = A[v]B三、从坐标变换到线性变换以上我们讨论了线性变换如何通过矩阵表示，现在我们来看看如何从给定的坐标变换得到对应的线性变换矩阵。
考虑二维向量空间的坐标变换示例。
假设向量空间V的基底为B={e1,e2}，向量空间W的基底为B'={e1',e2'}。
将V中的向量v表示为[v]B = [x1,x2]^T，W中的向量T(v)表示为[T(v)]B' = [y1,y2]^T。
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，可以用来描述向量空间中的变换关系。
而矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵的形式，便于计算和分析。
线性变换
线性变换是指保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换。
具体地，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T满足以下条件：
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
这意味着线性变换保持向量加法和数乘的运算结果不变。
矩阵表示
线性变换可以通过矩阵表示来进行计算和分析。
对于向量空间V中的一个线性变换T，选择向量空间V的一组基{e1, e2, ..., en}，对于每个向量ei，线性变换T(ei)可以表示为一个线性组合：
T(ei) = a1i * e1 + a2i * e2 + ... + ani * en
其中aij为标量。
将向量空间V的基按列组成一个矩阵A：
A = [e1, e2, ..., en]
那么对于向量空间V中的任意向量x，线性变换T(x)可以表示为：
T(x) = A * x
其中x为列向量。
通过选择合适的基和矩阵A，可以将线性变换T表示为矩阵的形式，通过矩阵乘法进行计算和分析。
总结
线性变换是保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换，矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵形式。
通过选择合适的基和矩阵，线性变换可以方便地用矩阵乘法进行计算和分析。
对于线性代数的学习和应用，理解线性变换和矩阵表示是非常重要的基础知识。
线性变换的矩阵
线性变换可以用矩阵表示，矩阵 的行数和列数分别与输入和输出 空间的维数相等。
线性变换的性质
01
02
03
线性变换具有齐次性，即对于任 意标量k和任意向量x，有 kT(x)=T(kx)。
线性变换具有加法性质，即对于 任意两个向量x和y，有 T(x+y)=T(x)+T(y)。
线性变换具有数乘性质，即对于 任意标量k和任意向量x，有 T(kx)=kT(x)。
04
线性变换的矩阵表示方法
向量空间中的线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法不变的映射。
线性变换的性质
线性变换具有传递性、加法性质、数乘性质和结合性质。
线性变换的分类
根据映射的性质，线性变换可以分为可逆线性变换和不可逆线性 变换。
向量空间中的矩阵表示
矩阵的定义
矩阵是数学中一个重要的概 念，它由数字组成，按照一 定的排列顺序形成。
线性变换的几何意义
线性变换可以理解为在向量空间中，将一个向量 进行平移、旋转、缩放等几何变换。
线性变换可以用来描述物理现象，如力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
线性变换可以用来解决实际问题，如图像处理、 信号处理、控制系统等领域。
02
矩阵与线性变换的关系
矩阵表示线性变换
01
矩阵是线性变换的一种简洁表示形式，可以将线性变换中的 变换关系用矩阵的形式表示出来。
矩阵乘法的结果是一个新的向量，这个向量的坐标值是原向量在新的基下 的坐标值。
线性变换的矩阵表示
01
对于一个给定的线性变换，可 以找到一个矩阵，使得该矩阵 左乘任意向量时，等价于对该 向量进行该线性变换。
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-10】
在上一节【例5-7】的平面解析几何中，定义了将平面 绕原点O逆时针旋转θ角的线性变换Tθ.取定R2中的基 ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，则容易验证Tθ在这组基下的矩阵即为
(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根据定理52，则存在V上的一个线性变换σ，满足
σ(αi)=vi,i=1,2,…,n 由于 ［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］ =(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A 故矩阵A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.因此 φ(σ)=A.这样φ是一个满射.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-11】
在空间R3中，取定一个直角坐标系{O;e1,e2,e3}.对于R3 中的任意一个向量xe1+ye2+ze3，令 ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，显然ρ是R3的一个线性变换.又 e1,e2,e3是R3的一组基，直接验证可得ρ关于这组基的矩阵 表示为
称式（5-8）的矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
提示
σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示A是式（5-7） 右端α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置；矩阵A的第j 列(a1j,a2j,…,anj )T就是σ(α j)在基α1,α2,…,αn下 的坐标向量，j=1, 2,… ,n.
线性变换的矩阵表示 及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
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这个关系式唯一地确定一个变换 T, 可以验证 所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换. 总之, 以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式 (1) 唯一确定.
定义 6 和上面一段讨论表明, 在 Vn 中取定一
个基以后, 由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵 A , 由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换 T , 这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的 关系. 由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , · · ·,
由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下 有不同的矩阵. 一般地, 我们有
定理 2 设线性空间 Vn 中取定两个基
1 , 2 , · · ·, n ; 1 , 2 , · · ·, n .
由基 1 , 2 , · · ·, n 到基 1 , 2 , · · ·, n 的过渡 矩 阵为 P, Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵 依次为 A 和 B , 那么 B = P-1AP.
= x1T(e1) + x2T(e2) + · · ·+ xnT(en)
= (T(e1), T(e2), · · ·, T(en))x
= ( 1 , 2 , · · ·, n)x = Ax .
总之 , Rn 中任何线性变换 T 都能用关系式 T(x) = Ax ( x Rn ) 表示, 其中 A = (T(e1), · · ·, T(en)). 把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们
即
x1 x1 x2 x2 T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) A . x x n n
(1)
a22 a 12 a21 . a11
定义 7 线性变换 T 的像空间 T(Vn) 的维数,
称为线性变换的秩.
显然, 若 A 是 T 的矩阵, 则 T 的秩就是 R(A).
若 T 的秩为 r , 则 T 的核 ST 的维数为 n - r.
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记 T(1 , 2 , · · ·, n) = (T(1), T(2), · · ·, T(n)), 上式可表示为
T(1 , 2 , · · ·, n) = (1 , 2 , · · ·, n)A ，
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 其中 A , a a a n2 nn n1 那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , · · ·,
3
p2 x ,
2
p3 x,
求微分运算 D 的矩阵.
p4 1 ,
解
Dp1 3x2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 ,
Dp2 2x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 , Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1p4 , Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
证 按定理的假设, 有
(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)P , P 可逆;
及 T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)A ,
T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)B .
于是 ( 1, · · ·, n)B = T(1, · · ·, n)
所以 D 在这组基下的矩阵为
0 3 A 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
0 0 . 0 0
例 13 在 R3 中, T 表示将向量投影到 xOy
平面的线性变换, 即
T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为 i , j , k , 求 T 的矩阵;
例 14 设 V2 中的线性变换 T 在基 1 , 2 下
的矩阵为
a11 A a 21
a12 , a22
求 T 在基 2 , 1 下的矩阵.
解
即
0 1 ( 2 , 1 ) (1 , 2 ) 1 0 ,
0 1 P 1 0 ,
(2)
T i , T j , T i j ,
1 0 1 即 T ( , , ) ( , , ) 0 1 1 . 0 0 0
三、线性变换在不同基下的矩阵的关系
= T[(1, · · ·, n)P] =T[(1, · · ·, n)]P
= ( 1, · · ·, n)AP = (1, · · ·, n)P-1AP ,
因为 1, · · ·, n 线性无关, 所以
B = P-1AP . 证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的 过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
第五节
线性变换的矩阵表示式
主要内容
线性变换在基下的矩阵 举例
线性变换在不同基下的矩阵的关系
一、线性变换在基下的矩阵
上节例 11 中, 关系式 T(x) = Ax ( x Rn )
简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换. 我们 自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的 关系式来表示. 为此, 考虑到 1 = Ae1, 2 = Ae2 , · · ·, n = Aen (e1 , e2 , · · ·, en 为单位坐标向量), 即
n 下的坐标分别为
x1 x2 , T ( ) x n
即按坐标表示, 有 T() = A .
x1 x2 A , x n
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
p1 x ,
求得
Hale Waihona Puke 0 1 P 1 0 ,
1
于是 T 在基 (2 , 1) 下的矩阵为
0 1 a11 a12 0 1 a21 a22 0 1 B 1 0 a a a a 1 0 1 0 21 11 12 22
i = T(ei)
( i = 1, 2, · · ·, n )，
可见如果线性变换 T 有关系式 T(x) = Ax, 那么矩 阵 A 应以 T(ei) 为列向量. 反之, 如果一个线性变 换 T 使 T(ei) = i ( i = 1, 2, · · ·, n ), 那么 T 必有关 系式 T(x) = T[(e1 , · · ·, en)x] = T(x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen)
i , 求 T 的矩阵. (2) 取基为 j , i j k ,
解
(1)
T i i , j , T j T k 0 ,
1 0 0 即 T (i , j , k ) (i , j , k ) 0 1 0 . 0 0 0
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), · · ·, T(n) 唯一确定. 如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , · · ·, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
变换 T 下的像, 那么, 根据变换 T 保持线性关系的 特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式.
Vn 中的任意元素记为
xi i ,
i 1
n
于是有
T ( xi i ) xiT ( i )
i 1 i 1
n
n
x1 x2 (T (1 ),T ( 2 ), , T ( n )) x n x1 x2 (1 , 2 , , n ) A , x n
有
定义 6 设 T 是线性空间 Vn 中的线性变换,
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , · · ·, n , 如果这个基 在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1 ) a111 a21 2 an1 n , T ( ) a a a , 2 12 1 22 2 n2 n T ( n ) a1n1 a2 n 2 ann n ,