圆的一般方程及其特点
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解析：曲线C：y＝(|x|≤1)．如图所示．
, x2
1 2
7
y1
1 2
7
, y2
1 2
7
B
A
O
x
A ( 1 7 ,1 7 ), B ( 1 7 ,1 7 )
2
2
2
2
| A B | 1 4
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
由
y x2
x y2
1
4
消
去
y
得 2x2 2x 3 0
（2）解：若直线L交圆与B、D两点，则弦长
|B| D 2r2 d 2 22 5 d 2
当弦长|BD|最小时，d最大，则l⊥AC
由KAC12 得直线l的方程是2x-y-5=0
题型：数形结合问题
例：已知曲线C：y＝与直线l：y＝2x＋k，当k为何值时，l与C： ①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．
(2)若点P(x0,y0)在圆C上 过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.代入点斜式方程
结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.
②若点P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程 是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
当 2 E D 2 4 F 0时，方 D 2 , E 2 程 )为 表 D 圆 2 示 2 E 2 心 4以 为 F， ( 半径
圆的标准方程的定义：x a 2x b 2 r 2
表示a 圆 ,b 半 心径 r 为为
例题：求下列各圆的半径和圆心坐标：
（1）x2 y2 6x 0 （2）x2 y2 2by 0
解：圆心C0,0,半径r1,
作CHl与H
求圆上一点P到Q的距离可以转化为 圆心C到Q的距离CQ，而CQ的最小 值就是圆心到直线的距离CH.
PQ CQ 1 CH 1
005
1 5 1
12 22
PQ的 最 小 值 为5-1
直线与圆的位置关系
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
O
dr
A
B
| AB|2 r2d2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
由
y x1
x
2
y2
消 4
去
y
y
得 2x2 2x 3 0
x1
1 2
7
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
（1）解法1： (x1)2(y2)225 消 y得 关 x的 于 一 元 二 次 方 0 程 (2m1)x(m1)y7m40
因为 m∈R 2xx yy 47 00 xy 3 1 即l过定点A（3，1）
因为圆心C（2，1） | AC | 5 5(半径) 所以点A在圆C的内部，从而直线l与圆恒交于两点
∴直线l与圆恒交于两点
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R） （1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点 （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
定点与圆上的点的距离的最大值与最小值
定直线与圆上点的距离的最大值与最小值
|AB|最短、|AC|最长
|AB|最短、|AC|最长
圆上的点到直线（或点）的最近（远）距离为 圆心到直线（点）的距离减去（加上）半径
例 2 ： 已 知 P 是 圆 x2y21 上 一 点 ， Q 是 直 线 l:x2y50上 一 点 ， 求 P Q 的 最 小 值 。
即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０
提问：上述解题过程是否存在问题？
X=-3是圆的另一条切线
注意：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线．
线性相关有关的最值问题的常用方法
yb
(1)形如u＝
型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率最值问
(x3)2y29
x2(yb)2b2
（3）x2 y2 2ax 2 3y 3a2 0 (xa)2(y3a)2a2
点和圆的位置关系
A B
C
d
设点到圆心的距离d， ⊙O 的半径为r
点A在圆内 点B在圆上 点 C在圆外
OA <r OB = r OC > r
三种位置关系
题型：到圆上一点距离的最值问题
d 5 解法2：
|2 m 1 2 ( m 1 ) 7 m 4 | 9 m 2 6 m 1 9 m 2 6 m 1 ( 4 m 3 ) 2
( 2 m 1 ) 2 ( m 1 ) 2
5 m 2 6 m 2
5 m 2 6 m 2
解法3： 直线l的方程可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0
例：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k 1 . k1
例：求过一点P(-3,-2)的圆x2 + y2 +2x-4y+1=0的切线方程。
解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）代入圆方程使Δ＝０得Ｋ＝3/4
题
xa
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点（x,y) 到定点(a,b)的距离的最值问题 即 (x－a)2＋(y－b)2动点（x,y)到定点(a,b)的距离的平方
题型：判断点的个数问题
题型：最长弦、最短弦问题
y B
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| A B | (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ]
A
O
x
(1 12 )[( 1) 2 4 ( 3 )] 1 4 2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
直线与圆的常考题型
元一：张松兵
直线方程的几种形式
1、点斜式 y-y1=k(x-x1) 2、斜截式 y=kx+b
3、两点式 y-y1 xx1 y2 y1 x2 x1
4、截距式 x y 1 ab
5、一般式 Ax+By+C=0
点到直线距离公式
d Ax0 By0 C A2 B2
圆的一般方程的定义： x2y2Dx E y F0
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d
1
2
1 (1)2 2
| AB | 2 r 2 d 2 14
y B
Biblioteka Baidu
r
A
d O
x
题型：求圆的切线方程的常用方法
(1)若点P(x0,y0)在圆C外 过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距 离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0 求k的值.
, x2
1 2
7
y1
1 2
7
, y2
1 2
7
B
A
O
x
A ( 1 7 ,1 7 ), B ( 1 7 ,1 7 )
2
2
2
2
| A B | 1 4
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
由
y x2
x y2
1
4
消
去
y
得 2x2 2x 3 0
（2）解：若直线L交圆与B、D两点，则弦长
|B| D 2r2 d 2 22 5 d 2
当弦长|BD|最小时，d最大，则l⊥AC
由KAC12 得直线l的方程是2x-y-5=0
题型：数形结合问题
例：已知曲线C：y＝与直线l：y＝2x＋k，当k为何值时，l与C： ①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．
(2)若点P(x0,y0)在圆C上 过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.代入点斜式方程
结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.
②若点P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程 是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
当 2 E D 2 4 F 0时，方 D 2 , E 2 程 )为 表 D 圆 2 示 2 E 2 心 4以 为 F， ( 半径
圆的标准方程的定义：x a 2x b 2 r 2
表示a 圆 ,b 半 心径 r 为为
例题：求下列各圆的半径和圆心坐标：
（1）x2 y2 6x 0 （2）x2 y2 2by 0
解：圆心C0,0,半径r1,
作CHl与H
求圆上一点P到Q的距离可以转化为 圆心C到Q的距离CQ，而CQ的最小 值就是圆心到直线的距离CH.
PQ CQ 1 CH 1
005
1 5 1
12 22
PQ的 最 小 值 为5-1
直线与圆的位置关系
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
O
dr
A
B
| AB|2 r2d2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
由
y x1
x
2
y2
消 4
去
y
y
得 2x2 2x 3 0
x1
1 2
7
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
（1）解法1： (x1)2(y2)225 消 y得 关 x的 于 一 元 二 次 方 0 程 (2m1)x(m1)y7m40
因为 m∈R 2xx yy 47 00 xy 3 1 即l过定点A（3，1）
因为圆心C（2，1） | AC | 5 5(半径) 所以点A在圆C的内部，从而直线l与圆恒交于两点
∴直线l与圆恒交于两点
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R） （1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点 （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
定点与圆上的点的距离的最大值与最小值
定直线与圆上点的距离的最大值与最小值
|AB|最短、|AC|最长
|AB|最短、|AC|最长
圆上的点到直线（或点）的最近（远）距离为 圆心到直线（点）的距离减去（加上）半径
例 2 ： 已 知 P 是 圆 x2y21 上 一 点 ， Q 是 直 线 l:x2y50上 一 点 ， 求 P Q 的 最 小 值 。
即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０
提问：上述解题过程是否存在问题？
X=-3是圆的另一条切线
注意：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线．
线性相关有关的最值问题的常用方法
yb
(1)形如u＝
型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率最值问
(x3)2y29
x2(yb)2b2
（3）x2 y2 2ax 2 3y 3a2 0 (xa)2(y3a)2a2
点和圆的位置关系
A B
C
d
设点到圆心的距离d， ⊙O 的半径为r
点A在圆内 点B在圆上 点 C在圆外
OA <r OB = r OC > r
三种位置关系
题型：到圆上一点距离的最值问题
d 5 解法2：
|2 m 1 2 ( m 1 ) 7 m 4 | 9 m 2 6 m 1 9 m 2 6 m 1 ( 4 m 3 ) 2
( 2 m 1 ) 2 ( m 1 ) 2
5 m 2 6 m 2
5 m 2 6 m 2
解法3： 直线l的方程可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0
例：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k 1 . k1
例：求过一点P(-3,-2)的圆x2 + y2 +2x-4y+1=0的切线方程。
解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）代入圆方程使Δ＝０得Ｋ＝3/4
题
xa
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点（x,y) 到定点(a,b)的距离的最值问题 即 (x－a)2＋(y－b)2动点（x,y)到定点(a,b)的距离的平方
题型：判断点的个数问题
题型：最长弦、最短弦问题
y B
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| A B | (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ]
A
O
x
(1 12 )[( 1) 2 4 ( 3 )] 1 4 2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
直线与圆的常考题型
元一：张松兵
直线方程的几种形式
1、点斜式 y-y1=k(x-x1) 2、斜截式 y=kx+b
3、两点式 y-y1 xx1 y2 y1 x2 x1
4、截距式 x y 1 ab
5、一般式 Ax+By+C=0
点到直线距离公式
d Ax0 By0 C A2 B2
圆的一般方程的定义： x2y2Dx E y F0
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d
1
2
1 (1)2 2
| AB | 2 r 2 d 2 14
y B
Biblioteka Baidu
r
A
d O
x
题型：求圆的切线方程的常用方法
(1)若点P(x0,y0)在圆C外 过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距 离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0 求k的值.