圆的一般方程及其特点
圆的方程与性质
圆的方程与性质圆是我们生活中常见的几何图形之一，其具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨圆的方程和性质，并以实例加以说明。
一、圆的方程圆的方程可以用多种形式来表示，下面将介绍三种常见的表示方法。
1. 一般方程：设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这是最常见且常用的圆的方程形式，通过给定圆心和半径，可以确定一个唯一的圆。
2. 标准方程：如果圆的圆心是原点(0,0)，则圆的方程可以简化为：x² + y² = r²这种形式适用于以原点为圆心的情况，简化了计算。
3. 参数方程：圆的方程还可以表示为参数方程的形式：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ在参数方程中，θ为角度，取值范围为0到2π。
通过不同的θ值，可以得到圆上的所有点。
二、圆的性质圆具有以下几个重要的性质，这些性质是圆的独特之处。
1. 圆的周长：圆的周长可以通过半径r和圆周率π来计算，公式为：C = 2πr。
周长是圆周上一周的长度。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径r和圆周率π来计算，公式为：A = πr²。
面积是圆内的区域大小。
3. 圆的对称性：圆具有无数个轴对称线和中心对称。
无论我们如何在圆内画线，都可以找到一个线与该线关于圆心对称。
4. 圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。
切线与圆的接触点处于圆的边界上，并且垂直于半径。
5. 弧长和扇形面积：圆的弧长是圆周上一段弧的长度。
扇形是由半径和圆周上一段弧所围成的区域，扇形面积可以通过弧长和半径来计算。
三、圆的实例分析下面通过一些实例来进一步说明圆的方程和性质。
实例一：已知圆心为(2,3)，半径为5，求圆的方程。
解：根据一般方程形式，代入给定的圆心和半径，可以得到方程为：(x-2)² + (y-3)² = 5²实例二：已知圆的方程为x² + y² = 9，求圆的面积和周长。
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1.正确理解圆的一般式方程及其特点，会求圆的一般方程；2.熟练圆的一般式方程与标准方程的互化；3.初步掌握求动点的轨迹方程的思想方法。
教学重难点重点：根据圆的一般方程，熟练地求出圆心和半径。
难点：能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。
复习回顾：圆的标准方程是什么？思考：若把圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开后，会得出怎样的形式？探究一、圆的一般方程思考：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆？一、圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程。
圆心为_⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2_，半径长为__D 2＋E 2－4F 2__. 圆的一般方程的特点：（1）x 2，y 2项的系数相等且不为零； （2）没有xy 项； （3）D 2＋E 2－4F ＞0.思考：给出二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的一般方程确定成立的条件？二、圆的一般方程与标准方程的关系（1）标准方程易于看出圆心与半径，一般方程突出了方程形式上的特点.（2）a ＝2D -，b ＝2E-，r ＝D 2＋E 2－4F 2.问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？探究二、圆的参数方程思考：如图，设⊙O 的圆心在原点，半径是r ，与x 轴正半轴的交点为P 0，在圆上任取一点P ，若将OP 0按逆时针方向旋转到OP 位置所形成的角∠P0OP ＝θ，求P 点的坐标.3.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ是参数）(2)圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）典例讲解题型一、圆的一般方程的概念例1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为（ ）A.(1，2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(－1，－2) 例2.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是（ ）A.14<m <1B.m >1C.m <14D.m <14或m >1 例3.已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围． (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．题型二、求圆的方程例4.根据下列条件求圆的方程：（1）过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)；（2）经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；（3）求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且截直线0=-y x 的弦长为72的圆的方程.题型三、圆的参数方程 例5.已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （0≤θ<2π），如果圆上点P 所对应的参数θ＝5π3，则点P 的坐标是________.例6.若直线y ＝x ﹣b 与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ∈[0，2π]）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2B.[2C.(,2(22,)-∞++∞D.(2例7.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ﹣23y ＝0.（1）求x 2＋y 2的最大值； （2）求x ＋y 的最小值.题型三、与圆相关的轨迹问题例8.已知：一个圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，证明：圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.例9.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x ＋1）2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.变式：如图，已知点A (－1，0)，与点B (1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．探究！到两定点的距离之比为定值的点的轨迹到两定点F 1、F 2的距离之比为定值λ（λ>0）的点的轨迹是圆.例10.已知一曲线是与两定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程.题型四、与圆相关的最值问题（数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”）例11.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.（1）求yx 的最大值与最小值；（2）求y －x 的最大值与最小值；（3）求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式：实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：（1）4-x y；（2）2x ＋y .课堂小结1.本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为⎪⎩⎪⎨⎧>-+=++++0402222F E D F Ey Dx y x 2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程配方得标准方程，标准方程（圆心，半径）展开得一般方程。
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
圆的一般方程1
教学难点
圆的一般方程特点的研究．
【引入】
圆的标准方程： x a2 y b2 r 2
把它展开得： x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0 任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x 2 y 2 Dx By F 0
教学目标
程，从而求出圆心和半径． （3）能用待定系数法，由已知条件求出圆 的一般方程． （4）通过本节课学习，进一步掌握配方法 和待定系数法．
教学重点
（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程， 求出圆心和半径 ． （2）用待定系数法求圆的方程．
2 2 （1）方程 x y Dx Ey F 0 表示的曲线是以（－2,3）
为圆心，4为半径的 圆．
求 D、 E 、 F 的 值．
4、C 4， 1、B1， 2 的圆的方 （2）求经过三点 A1， 程．
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径． （3）用待定系数法求圆的方程．
； / 河源整形医院 河源整形美容 河源激光整形美容 河源医学整形整容 望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物 是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消 化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在 不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝 光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得 不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这 京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应 该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有 她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由 自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛 堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真 诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂 里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大 丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚， 即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他 还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏 这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚 至
圆的一般方程
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以 ） ＜ 时 ）无实数解， 不表示任何图形。 不表示任何图形。
所以形如x Dx＋Ey＋ 4F>0） 所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
(D ) ( D)4,−6,−3
( A)4,−6,3
(2)
2 + y 2 − 2ax − y + a = 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x −10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是
1 ( D)a ≠ 2
把方程： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ D 2 E 2 D2 + E 2 − 4 F 配方可得： 配方可得：( x + ) + ( y + ) = 2 2 4 D E
为圆心， 为圆心，以(
1 D2 + E2 −4F 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ） 时 方程只有一组解X=-D/2
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系 圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 → 标准方程 圆心 半径 标准方程(圆心 半径) 圆心,半径 一般方程 ← 展开 (3)给出圆的一般方程 如何求圆心和半径 (用配方法求解) 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 给出圆的一般方程 如何求圆心和半径? (4)要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解
圆的一般方程
新课开始
展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得: X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0….(1) 若设D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,(1)式可写成 X2+y2+Dx+Ey+F=0,即任何一个圆的方程都可 以写成X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
问题 是不是每一个形如X2+y2+Dx+Ey+F=0的 方程表示的曲线都是圆?
可将方程配方得 ( x ) ( y )
D 2 2 E 2 2
1 2
D 2 E 2 4 F 4
....(2)则
E (1)当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）表示以（ D ， 2 2 ）为圆心，
D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
E （2）当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 2）只有实数解x D , y 2 2 ,
圆的一般方程
教学目标
掌握圆的一般方程及一般方程的特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程 能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力.
重点难点
重点:圆的一般方程及一般方程的特点 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法 求圆的方程.
课堂小结
圆的一般方程及特征;圆的一般方程与二元 二次方程一般式的关系. 用待定系数法求圆的方程时,注意根据已知 条件及圆的两种形式的特点,合理选择圆的 方程形式. 作业布置: 课本P82习题7.6的5,6,7,8.
例题讲解
例1 (1)A=C≠0是方程AX2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 ( B )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充 分也不必要. (2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( B )
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的一般方程及其特点
【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．1．圆的一般方程的定义(1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________．(3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0一、填空题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________．2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________．4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O与圆的位置关系为____________．6．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为__________．7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为________．二、解答题10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？11．如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围．能力提升12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．第2课时 圆的一般方程 答案知识梳理1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 (3)D 2＋E 2－4F <0 2．作业设计1．⎝⎛⎭⎫－32，1 192解析 由一般方程圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案． 2．m <1解析 表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0． 3．x －y －3＝0解析 过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线． 4． 2解析 先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之． 5．点O 在圆外 6．x ＋y －4＝0解析 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3．AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1．∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0． 7．(0，－1)解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2．当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)． 8．－2解析 由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0， 解得a ＝－2． 9．20 6解析 点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝206．10．解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D －5E －F ＝265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20．所以过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．将点D (－2，－1)代入上述方程等式不成立． 故A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上．11．解 (1)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆必须有：D 2＋E 2－4F ＝4(t ＋3)2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，即：7t 2－6t －1<0，∴－17<t <1．(2)该圆的半径r 满足：r 2＝D 2＋E 2－4F 4＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴r 2∈⎝⎛⎦⎤0，167，∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，477． 12．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2， 所以D ＋E ＝－2． ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．13．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y ．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1， 则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14． 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14．。
圆的一般方程1
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与 结构，更适合方程理论的运用．
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图 形．
（1） x2 y2 0
（2） x2 y2 2x 4 y 4 0
（3） x2 y2 2ax b2 0
为圆心，4为半径的 圆．
求 D、E、F 的 值．
（2）求经过三点 A1，1、B1，4、C4， 2 的圆的方
程．
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点．
（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径．
（3）用待定系数法求圆的方程．
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儿那波涛汹涌の身材,蓝雨那沧桑又宛如少女の幸运子,樱花の狂野,妖姬の妖魅无双…最后他想起了潘多拉,沉沉一叹,自己走后,这妮子の下场肯定会无比の悲惨吧,自己说过要守护她,看来这次要食言了…他虚弱の闭上眼睛,感觉到脑海内の黑线和白线再次开始缓缓蠕动起来,他却露出一些凄美の 微笑,最后呢喃了一声："再见了,这个世界,不要忘记不咋大的爷…曾经来过！"……【作者题外话】：最近书评很欢乐啊！声明一下！老妖还是原来の老妖,还建在,每顿能吃三碗,不用担忧！另外,智破还是原来の智破,激动会有,感动会有,热血会有,这是老妖の承诺！任你呀骂俺,怨俺,恨俺,爱俺, 俺自倘然！老妖会写下去,会完成俺最爱の智破！老妖会给他一些完美の结局！最后！晚上还有一章,为威鹰老总一万八打赏加更！在别人骂老妖の时候,总是有人默默の支撑の,老妖一直看到の,不多说,爱你呀们！呼叫一声,爱老妖の人在哪?本书来自聘熟当前第壹壹壹壹章不破不灭,破而后立！文 章阅读阵阵撕心裂肺の痛苦传来,白重炙の几个灵魂海洋再次成为了光明之力和黑暗之力の战场.大仙开战,
圆的一般方程
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
巩固：
１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时， m的取值范围是（ D ）
1 A. m1 B. m 1 4
1 1 D. m 或m 1 4 4
C.m
2 - 4 x - 8 y - 80 = 0 2 + y x (4)点 A(3,5) 是圆 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方 程是
设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 2 x + y - 6x - 8 3;(y-b)2=r2
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0 3、
D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
[简单的思考与应用] (1)已知圆
2 + Dx + Ey + F = 0 2 + y x
的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
(D) (D)4,-6,-3
( A)4,-6,3 ( B) - 4,6,3 (C) - 4,6,-3
圆的一般方程(用)
y=-E/2，表示一个点（
D 2
,
E 2
）.
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
所以 x x0 4 , y y0 3
整理得
x0
2
2x
4,
2
y0
2y
3.
又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足
y B
AM
o
x
方程，又有（x0+1）2+y02=4
所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
所以，点Ｍ的2轨迹是以2（ 3，3 ）为圆心，１为半径的圆
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
62 4 (9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）
圆的标准方程和一般方程圆的方程的三种形式确定圆的方程的方法和步骤
一、圆的方程的三种形式圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。
圆的标准方程形式为：（xa）^2+（yb）^2=r^2。
圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比来看，其实D=2a，E=2b，F=a^2+b^2r^2。
二、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：（xa）²+（yb）²=R²。
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（xa）²+（yb）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²2ax2by+a²+b²R²=0设D=2a，E=2b，F=a²+b²R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（xa1）（xa2）+（yb1）（yb2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r²。
圆的一般方程
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程。
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项。
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0 3、
D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 （3）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
y
O
A
x
r
知识回顾：
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
圆的一般方程圆心和半径公式
圆的一般方程圆心和半径公式圆的特点：1、圆有无数条半径和无数条直径，且同圆内圆的半径长度永远相同。
2、圆是轴对称、中心对称图形。
3、对称轴是直径所在的直线。
4、是一条光滑且封闭的曲线，圆上每一点到圆心的距离都是相等，到圆心的距离为R地点都在圆上。
一：求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2、圆心在任一弦的中垂线上．3、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的一般方程是x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2,-E/2），半径【根号（D+E-4F）】/2。
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
半径公式：直径是指通过一平面或立体图形中心到边上两点间的距离，通常用字母“d”表示，连接圆周上两点并通过圆心的直线称圆直径，连接球面上两点并通过球心的直线称球直径。
而半径就是直径的一半，所以半径=直径0.5。
圆的一般方程
圆的一般方程叶大颜教学目的：1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索教学重点：圆的一般方程的022=++++F Ey Dx y x 形式特征 教学难点：对圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的认识与圆的方程求法。
【温故知新】1.说出圆心坐标是（a,b ）半径为r 的圆的标准方程。
2.把圆的标准方程展开，那么它可以写成哪种形式的方程？【知识互动】022=++++F Ey Dx y x （1）问题1.形如（1）的方程都表示圆吗？（1） 当0422>-+F E D 时，方程表示圆心为)2,2(E D --半径为F E D r 42122-+=的圆。
（2） 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2,2(E D --。
（3） 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何曲线。
问题2.圆的标准方程与一般方程各有什么优缺点？圆的标准方程的优点在于图形特征一目了然：可由方程直接读出圆心与半径。
圆的一般方程突出了方程形式上的特点：（1）2x 与2y 系数相同，都不等于0；（2）没有xy 这样的二次项。
但要注意：以上两点是二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件，但不是充分条练习：（1）已知圆022=++++F Ey Dx y x 的圆心为（-2,3）半径为4，则D= E= F=（2）0222=+--+a y ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（3）圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b =【归纳探究】例1：已知ABC ∆的三个顶点坐标为)4,3(),2,1(),5,0(---C B A ，求其外接圆的方程。
比一比：若设出标准方程，再代入三点坐标，好不好？练一练：求过点O （0,0）、M （1,1）、N （4,2）的圆的方程。
圆的一般方程
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4.1.2
1．将圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 平分的直线是
本 课 时 栏 目 开 关
( B )
A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0
解析
B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
根据圆心在直线上求解．
因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
研一研·问题探究、课堂更高效
4.1.2
例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x ＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程． 解 设点 M 的坐标是(x， y)， 点 A 的坐标是(x0，
y0)，由于点 B 的坐标是(4,3)且 M 是线段 AB
(3)当 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形．
时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
填一填·知识要点、记下疑难点
4.1.2
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋
本 课 时 栏 目 开 关
E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内 代数关系
研一研·问题探究、课堂更高效
4.1.2
探究点二
圆的一般方程的应用
问题 1 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 答 圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出
本 课 时 栏 目 开 关
这三个系数，圆的方程就确定了． 问题 2 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求
D2＋E2－4F＝－1＜0，
圆的一般方程
圆的一般方程温州中学 黄 振教学目标：1． 圆的一般方程及一般方程的特点；2． 圆的一般方程和标准方程的互化；3． 待定系数法求圆的方程；4． 数形结合思想，方程思想，分析和解决问题的能力。
教学重点：圆的一般方程及特点。
教学难点：圆的一般方程的特点及待定系数法求圆的方程。
教学过程：一．复习引入1． 前面我们已经学习了圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，圆心),(b a ,半径r 。
问题1：确定一个圆，有哪些方法？① 圆心，半径； ②过不在同一直线上三点。
问题2：求过三点)2,4(),1,1()0,0(21M M O 的圆的方程。
生：可以求圆心和半径,再写出圆的方程。
师：对，但是比较麻烦，是否还有更简单的方法呢？圆的方程是否还有其他的形式呢？本节课我们就来学习圆的一般方程。
首先请同学们解决下列问题：练习1：试判断下列方程分别表示什么图形？（1）012222=++++y x y x（2）022222=++++y x y x（3）032222=++++y x y x（学生一般会用配方法进行判断，通过学生相互之间的补充完成。
）二．新课1．问题2：方程022=++++F Ey Dx y x 表示什么图形？（创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自己的观点，教师适当引导，如0422=-+F E D 时如何？0422>-+F E D 时如何？） 配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2) 当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2,2E y D x -=-=，所以表示一个点)2,2(E D --(3) 当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。
板书：圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ） 指出：①圆心)2,2(E D --，半径F E D 42122-+， ②标准方程的优点在于它明确指出了圆心及半径，而一般方程突出了形式上的特点。
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题
xa
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点（x,y) 到定点(a,b)的距离的最值问题 即 (x－a)2＋(y－b)2动点（x,y)到定点(a,b)的距离的平方
题型：判断点的个数问题
题型：最长弦、最短弦问题
定点与圆上的点的距离的最大值与最小值
定直线与圆上点的距离的最大值与最小值
|AB|最短、|AC|最长
|AB|最短、|AC|最长
圆上的点到直线（或点）的最近（远）距离为 圆心到直线（点）的距离减去（加上）半径
例 2 ： 已 知 P 是 圆 x2y21 上 一 点 ， Q 是 直 线 l:x2y50上 一 点 ， 求 P Q 的 最 小 值 。
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d
1
2
1 (1)2 2
| AB | 2 r 2 d 2 14
y B
r
A
d OxBiblioteka 题型：求圆的切线方程的常用方法
(1)若点P(x0,y0)在圆C外 过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距 离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0 求k的值.
当 2 E D 2 4 F 0时，方 D 2 , E 2 程 )为 表 D 圆 2 示 2 E 2 心 4以 为 F， ( 半径
圆的标准方程的定义：x a 2x b 2 r 2
表示a 圆 ,b 半 心径 r 为为
例题：求下列各圆的半径和圆心坐标：
（1）x2 y2 6x 0 （2）x2 y2 2by 0
例：已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k 1 . k1
例：求过一点P(-3,-2)的圆x2 + y2 +2x-4y+1=0的切线方程。
解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）代入圆方程使Δ＝０得Ｋ＝3/4
解：圆心C0,0,半径r1,
作CHl与H
求圆上一点P到Q的距离可以转化为 圆心C到Q的距离CQ，而CQ的最小 值就是圆心到直线的距离CH.
PQ CQ 1 CH 1
005
1 5 1
12 22
PQ的 最 小 值 为5-1
直线与圆的位置关系
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；
(x3)2y29
x2(yb)2b2
（3）x2 y2 2ax 2 3y 3a2 0 (xa)2(y3a)2a2
点和圆的位置关系
A B
C
d
设点到圆心的距离d， ⊙O 的半径为r
点A在圆内 点B在圆上 点 C在圆外
OA <r OB = r OC > r
三种位置关系
题型：到圆上一点距离的最值问题
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
（1）解法1： (x1)2(y2)225 消 y得 关 x的 于 一 元 二 次 方 0 程 (2m1)x(m1)y7m40
解析：曲线C：y＝(|x|≤1)．如图所示．
直线与圆的常考题型
元一：张松兵
直线方程的几种形式
1、点斜式 y-y1=k(x-x1) 2、斜截式 y=kx+b
3、两点式 y-y1 xx1 y2 y1 x2 x1
4、截距式 x y 1 ab
5、一般式 Ax+By+C=0
点到直线距离公式
d Ax0 By0 C A2 B2
圆的一般方程的定义： x2y2Dx E y F0
y B
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| A B | (1 k 2 )[( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 ]
A
O
x
(1 12 )[( 1) 2 4 ( 3 )] 1 4 2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
(2)若点P(x0,y0)在圆C上 过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.代入点斜式方程
结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.
②若点P(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程 是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
, x2
1 2
7
y1
1 2
7
, y2
1 2
7
B
A
O
x
A ( 1 7 ,1 7 ), B ( 1 7 ,1 7 )
2
2
2
2
| A B | 1 4
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
由
y x2
x y2
1
4
消
去
y
得 2x2 2x 3 0
（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
O
dr
A
B
| AB|2 r2d2
例：已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
由
y x1
x
2
y2
消 4
去
y
y
得 2x2 2x 3 0
x1
1 2
7
d 5 解法2：
|2 m 1 2 ( m 1 ) 7 m 4 | 9 m 2 6 m 1 9 m 2 6 m 1 ( 4 m 3 ) 2
( 2 m 1 ) 2 ( m 1 ) 2
5 m 2 6 m 2
5 m 2 6 m 2
解法3： 直线l的方程可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0
（2）解：若直线L交圆与B、D两点，则弦长
|B| D 2r2 d 2 22 5 d 2
当弦长|BD|最小时，d最大，则l⊥AC
由KAC12 得直线l的方程是2x-y-5=0
题型：数形结合问题
例：已知曲线C：y＝与直线l：y＝2x＋k，当k为何值时，l与C： ①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．
即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０
提问：上述解题过程是否存在问题？
X=-3是圆的另一条切线
注意：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线．
线性相关有关的最值问题的常用方法
yb
(1)形如u＝
型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率最值问
因为 m∈R 2xx yy 47 00 xy 3 1 即l过定点A（3，1）
因为圆心C（2，1） | AC | 5 5(半径) 所以点A在圆C的内部，从而直线l与圆恒交于两点
∴直线l与圆恒交于两点
例.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R） （1）证明不论m取何值，直线l与圆恒交于两点 （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程