基本图形及其位置关系

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几何数学讲解

几何数学讲解
几何数学是数学的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质和运算。

以下是几何数学讲解的主要内容：
1. 几何基本概念：包括点、线、面、角、三角形、四边形等基本图形的定义和性质。

2. 几何图形的关系：研究图形之间的位置关系，如平行、垂直、相交等。

3. 几何图形的测量：包括长度、面积和体积的计算方法。

4. 几何图形的变换：研究图形在空间中的平移、旋转、对称等变换。

5. 几何推理与证明：通过逻辑推理和证明，探讨图形的性质和定理。

下面我们以直角梯形为例，进行几何数学的讲解：
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

它具有以下基本性质：
1. 两底平行且不相等，两腰不平行也不相等，一腰上的两角是直角。

2. 直角梯形的面积公式：S = (a + b)h / 2，其中a和b分别为上底和下底，h为高。

3. 直角梯形的中位线等于高。

4. 直角梯形斜腰的中点到直角腰的两端点距离相等。

在直角梯形中，我们可以根据已知条件进行计算和推理，例如，给定直角梯形的上底、下底和高，我们可以计算出其面积。

此外，我们还可以通过证明来了解直角梯形的性质，如证明直角梯形的两条腰长不相等。

总之，几何数学主要研究空间中的图形及其性质，通过计算、推理和证明来探讨图形的规律。

在学习几何数学时，要注重对基本概念的理解，掌握图形的性质和定理，并培养空间想象力和逻辑思维能力。

各种图形的属性与识别技巧

各种图形的属性与识别技巧一、图形的定义与基本属性1.1 图形：图形是由线段、射线、曲线等组成的几何对象。

1.2 基本属性：图形的基本属性包括形状、大小、位置、方向等。

二、基本图形的识别与属性2.1 点：点是图形的基本组成单位，没有长度、宽度和高度。

2.2 线段：线段是由两个端点确定的直线部分，具有长度。

2.3 射线：射线是由一个起点和一个方向确定的直线，延伸至无穷远。

2.4 直线：直线是没有端点的无限延伸的线。

2.5 三角形：三角形是由三条边和三个角组成的图形。

2.6 四边形：四边形是由四条边和四个角组成的图形。

2.7 矩形：矩形是一种四边形，对边平行且相等，四个角都是直角。

2.8 正方形：正方形是矩形的一种特殊情况，四条边相等，四个角都是直角。

2.9 圆形：圆形是由无数个等距离于圆心的点组成的图形。

2.10 椭圆形：椭圆形是由两个焦点和连接这两个焦点的线段组成的图形。

三、图形的识别技巧3.1 观察法：通过观察图形的形状、大小、位置等特征来识别图形。

3.2 测量法：通过测量图形的边长、角度等数值来识别图形。

3.3 画图法：通过画出图形的轮廓或模型来识别图形。

3.4 分解法：将复杂图形分解为基本图形，再进行识别。

3.5 计算法：通过计算图形的面积、体积等数值来识别图形。

四、图形的变换4.1 平移：将图形沿着某个方向移动一定的距离，不改变图形的形状和大小。

4.2 旋转：将图形绕着某个点旋转一定的角度，不改变图形的大小。

4.3 翻转：将图形沿着某条直线翻转，改变图形的方向。

4.4 缩放：将图形按照一定的比例放大或缩小，不改变图形的形状。

五、图形的应用5.1 平面几何：研究二维空间中的图形及其属性、相互关系和变换。

5.2 立体几何：研究三维空间中的图形及其属性、相互关系和变换。

5.3 几何建模：利用图形构建现实世界中的模型，如建筑设计、动画制作等。

5.4 几何证明：利用图形和几何性质证明数学定理和命题。

两直线的位置关系公式

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

《基本平面图形》基础知识点

十四、圆的认识
（1）圆的定义：定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．
（4）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC= ∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
或（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
九、角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

平面几何的基本图形

平面几何的基本图形平面几何是几何学中的一个分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。

在平面几何中，有一些基本图形是我们常见且重要的，它们是点、线、线段、射线、角、多边形、圆和曲线。

本文将会逐一介绍这些基本图形及其特征。

一、点（Point）点是平面上最基本的图形，用一个大写字母表示，如A、B、C。

点没有长度、面积和方向，只有位置。

点只有一个，不同的点可以有不同的位置。

在平面几何中，点是构成其他几何图形的基础。

二、线（Line）线由无数个点组成，无限延伸，没有宽度。

线段是有限的线，有两个端点。

线用两个大写字母表示，如AB、CD。

在平面几何中，线是连接两个点的直线路径。

三、线段（Line Segment）线段是两个点之间的有限线，有固定的长度。

线段用两个大写字母表示，并在两个字母之间加一条横线，如AB。

与线相比，线段具有确定的长度。

四、射线（Ray）射线起始于一个点，无限延伸，只有一个端点。

射线用一个大写字母及一个端点所在的小写字母表示，如OA，其中O为起点。

五、角（Angle）角是由两条射线共同起点组成的图形。

角用三个字母表示，中间的字母代表角的顶点，两边的字母分别代表两条射线。

例如∠ABC表示以点B为顶点，射线BA和射线BC所夹的角。

角可以根据其大小分为锐角、直角、钝角和平角。

六、多边形（Polygon）多边形是由多条线段连接而成的封闭图形。

多边形由至少三条线段组成，每个线段称为边，相邻边之间的交点称为顶点。

根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

最常见的多边形是三角形、四边形和五边形。

七、圆（Circle）圆是由一条曲线和平面上的一个点组成的图形，其中曲线称为圆周，点称为圆心。

圆周上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。

用一个大写字母表示圆心，用圆心字母上方加一个小写字母表示圆周，如O、OA。

八、曲线（Curve）曲线在平面上呈现出曲折或弯曲的形状，没有直线的性质。

曲线可以是闭合的，也可以是不闭合的。

三角形的位置关系三角形的重心

三角形的位置关系三角形的重心三角形的位置关系-三角形的重心三角形是几何学中最基本的图形之一，它的位置关系及其特点一直是数学研究的重点。

本文将讨论三角形的一个重要位置关系——三角形的重心。

一、三角形的定义与基本性质三角形是由三条线段组成的封闭图形，其具体定义为三个不共线的点所确定的图形。

三角形的基本性质包括内角和为180°、任意两边之和大于第三边、高度相等的两边成比例。

二、三角形的重心定义三角形的重心是指三角形三条线段的交点，也就是三条中线的交点。

中线是指连接一个顶点与对边中点的线段。

三、重心的性质1. 重心是三角形内部的点，它既在三角形的内部，也在三条中线上。

2. 三角形的三条中线交于一个点，即重心。

3. 重心到三个顶点的距离满足下列关系：GA/MA=GB/MB=GC/MC=2/1，其中GA、GB、GC表示重心到顶点A、B、C的距离，MA、MB、MC表示中线与对边的交点到对边起点的距离。

因此，重心到顶点的距离大于到对边中点的距离。

4. 重心将全体面积的三等分，即三角形被重心分成的三个小三角形的面积相等。

四、重心的意义与应用1. 重心是三角形的一个重要特征点，通过重心可以研究三角形的很多性质，如面积、周长、边长比、内角度量等。

2. 在工程学中，三角形的重心对于确定平衡和稳定性非常重要。

例如，在建筑设计中，确定物体的重心有助于合理布置家具、灯具等。

3. 三角形的重心还应用于平面几何的证明和计算中，可以通过构造重心来辅助推导和解题。

五、举例分析以一个具体的三角形为例，考察其重心的位置关系。

假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接中线GA、GB、GC后交于重心G。

通过计算可以得到重心到各顶点的距离，验证重心的特性。

六、总结本文介绍了三角形的一个重要位置关系——三角形的重心，重心具有许多独特的性质和应用。

通过研究重心，我们可以更好地理解和应用三角形的几何性质。

希望本文对读者对三角形位置关系的理解有所帮助。

用向量研究平行和垂直关系

用向量研究平行关系与垂直关系
现
现实中的几何模型问题
实生
欧氏几何中定理的证明
活
中
的
物
理
问
题
文化品读
立体几何演绎体系
向量代数乃是空间结构的全面而且美妙的代数，而空间的基本性质和基本定理的运用则转化为其运算律的系统运用。这就是学习向量几何，并用以探索大自然所要达到的境界！
——项武义
用向量研究平行关系与垂直关系
用向量研究
平行关系与垂直关系
用向量研究
平行关系与垂直关系
立体几何演绎体系
用向量刻画两个基本图形及其基本位置关系（平行与垂直）
1. 如何用向量刻画空间中的一条直线？ 2. 如何用向量刻画空间中的一个平面？
用向量研究平行关系与垂直关系
用向量刻画两个基本图形及其基本位置关系（平行与垂直）
两条直线平行的充要条件是它们的方向向量互相平行. 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量互相垂直. 一条直线与一个平面平行或一条直线在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量和这个平面的法向量互相垂直. 一条直线与一个平面垂直的充要条件是这条直线的方向向量和这个平面的法向量互相平行. 两个平面平行的充要条件是它们的法向量互相平行. 两个平面互相垂直的充要条件是这两个平面的法向量互相垂直.
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.
l
AB
注：这里 OA, OB,l 是空间的一个基底。
思考&体会
向量法解决问题的程序？
用向量研究平行关系与垂直关系
向量运用——现实中的几何模型问题
问题2：初探一个结晶体模型
如图，一个结晶体的形状为平行六面体.
其中，以顶点 A为端点的三条棱长都为

认识基本的几何图形：数学知识点

认识基本的几何图形：数学知识点几何学是数学中的一个重要分支，研究的是形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。

在几何学中，我们学习了很多基本的几何图形，它们在我们的生活中无处不在。

本文旨在介绍一些常见的基本几何图形及其数学知识点。

1. 点（point）：点是几何中最基本的概念之一，它没有大小和形状，只有位置。

我们可以用大写字母来表示一个点，例如，点A、点B等。

2. 线段（line segment）：线段由两个点A和点B之间所有的点组成，并在两端用端点A和端点B表示。

我们可以使用符号“AB”来表示线段。

3. 直线（line）：直线是由无数个点连在一起而成的，它没有长度，也没有宽度。

我们可以用一个小箭头来表示一条直线，例如，直线AB。

4. 射线（ray）：射线是由一个起点和一个方向组成的，它只有一个端点，却可以延伸到无穷远处。

我们可以使用符号“→”来表示一条射线，例如，射线AB。

5. 角（angle）：角是由两条射线的公共起点和它们的非公共部分组成的。

我们可以使用大写字母来表示一个角，例如，角ABC。

6. 直角（right angle）：直角是指两条相互垂直的直线所夹的角，它的度数为90°。

直角可以用一个小方框来表示，例如，∟ABC。

7. 三角形（triangle）：三角形是由三条线段组成的，每两条线段之间都有一个角。

三角形有不同的分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

8. 长方形（rectangle）：长方形是一种具有四个直角的四边形，它的对边相等，且相邻边互相垂直。

9. 正方形（square）：正方形是一种特殊的长方形，它的四条边长度相等，且四个角都是直角。

10. 圆（circle）：圆是由一个固定点到平面上所有其他点的距离都相等的点的集合。

圆由圆心和半径组成，圆心是圆上任意一点到圆心的直线的中垂线的交点。

11. 梯形（trapezoid）：梯形是一种四边形，它的两条边是平行边，且相邻边之间没有交点。

空间图形基本位置关系的认识 PPT

(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
置关系
点 B 在平面 α 外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
平行相交异面线在面内线面相交
线面平行
a∥b _a∩_b_＝_O____ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩_α_＝_A____
__a_∥_α _
平面与平面的位置关系
【例】用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

初中平面几何的基本概念

初中平面几何的基本概念初中平面几何是数学学科中的一部分，主要研究二维平面中的图形、位置关系以及计算方法。

本文旨在介绍初中平面几何的基本概念，帮助读者对该学科有一个清晰的了解。

一、点、线、面的概念平面几何中的基本概念包括点、线和面。

点是平面中最基本的元素，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

线由无数个点组成，它没有宽度，只有长度和方向。

面是由无数条线组成的，它有长度、宽度，但没有高度。

二、图形的分类平面几何中的图形可以分为两类：基本图形和复合图形。

基本图形包括点、线、线段、射线、角、多边形等，它们是平面几何中最基本的构成要素。

复合图形由多个基本图形组合而成，如矩形、圆、梯形等。

三、线段和射线线段是由两个端点确定的一条线段，在两个端点之间有且只有一条连续曲线。

射线是由一个起点和一个方向确定的一条线段，它可以延伸到无限远。

四、角的概念角是由两条射线的公共端点以及它们所在直线确定的图形。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度，平角等于180度。

五、平行线和垂直线当两条线段在同一平面内，且永远不相交，它们被称为平行线。

平行线之间的距离始终相等。

而垂直线是相交角为90度的线段。

六、三角形三角形是由三条线段组成的图形，它有三个顶点和三条边。

根据三角形边长的不同，可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

等边三角形的三条边都相等，等腰三角形的两条边相等，一般三角形三条边都不相等。

七、基本几何计算方法在平面几何中，经常需要计算图形的周长和面积。

周长是指封闭图形的边界长度，可以通过将图形的边长相加得到。

面积是指图形所占据的平面空间，可以通过不同的公式计算得到，如矩形的面积等于长乘以宽。

总结：初中平面几何的基本概念包括点、线、面的概念，图形的分类，线段和射线，角的概念，平行线和垂直线，三角形以及基本的几何计算方法。

了解这些基本概念对于掌握平面几何有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和应用于实际问题中。

小学的图形的概念

小学的图形的概念图形是由点、线、面等基本元素组成的各种形状。

在小学的学习中，图形是一个重要的数学概念，它可以帮助学生培养观察力、逻辑思维和几何直觉。

小学阶段的图形概念包括基本图形、二维图形的属性、位置关系等。

首先，我们来看基本图形。

小学阶段的基本图形包括点、线、线段、角、三角形、正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形和圆形等。

学生需要通过观察和实践，了解这些基本图形的特点和命名规则。

例如，点是没有长度和宽度的，线由无数个点连成，线段是有起点和终点的一段线，角是两条射线的端点在一起形成的形状。

其次，我们来看二维图形的属性。

小学阶段的学生需要学习了解二维图形的属性，例如边长、角的大小、面积和周长等。

他们可以通过测量和比较来判断二维图形的大小和形状。

例如，学生可以通过测量正方形的边长来比较不同正方形的大小，通过测量三角形的底和高来计算三角形的面积。

此外，学生还需要学习掌握图形之间的位置关系。

包括图形的重合、相切、相交和平行等关系。

例如，学生需要能判断两个图形是重合的还是相交的，他们可以通过观察图形的形状和边长来判断。

学生还需要学习平行线的概念，他们可以通过观察线段和边的方向来判断线段和边是否平行。

从小学开始学习图形的概念，有助于培养学生的观察力和几何直觉。

学生可以通过观察和实践，了解图形的特点和属性，进而提高他们的数学思维和解决问题的能力。

图形的概念也为学生学习其他数学知识和几何学打下坚实的基础。

总结起来，小学阶段的图形概念包括基本图形、二维图形的属性、位置关系等。

学生需要通过观察和实践来了解这些概念，并能在解决问题和进行几何推理时运用它们。

图形概念的学习是建立在实践和观察的基础之上的，因此，教师需要通过举例和实践活动来引导学生的学习，帮助他们理解和掌握这些概念。

同时，学生还需要通过解决问题和讨论来发现和应用图形概念，从而提高他们的数学思维和解决问题的能力。

通过系统地学习和运用图形概念，学生可以为今后的学习打下坚实的基础。

高中数学北师大版2019必修第二册空间图形基本位置关系的认识

[证明] (1)如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝
1 2
A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1
是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM 与∠D1A1C1均为锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
直线 a，b 所成的角(或夹角)
范围记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，则 0°<θ≤90°
特殊情况当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作： a⊥b
思考：1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定．可能相交、平行或异面．
2.如图，在长方体A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，则“直线 BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
[思路点拨]
利用中点平移直线
→
作出两异面直线所成的角
→ 在三角形内求角的大小
[解] 如图，取BD的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB．
所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF. 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.
(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是由异面直线所成角的范围是0°，90°决定的．

七年级数学第四章《图形的认识》知识要点解析

七年级数学第四章：图形的认识一、图形的构成：点→线→平面图形→立体图形二、点：1、最基本的几何图形构成元素2、常见的点：端点、中点、任意分点、交点、特殊位置的点3、探究内容：距离、位置关系（与点、线及其其它图形）三、线：最重要的图形研究对象分类：直类：直线、射线、线段；曲类：圆、圆弧、椭圆、抛物线、波形线、不规则曲线等。

（一）、直线：以任意点为基础，在其两个互逆方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其完全互逆的方向上运动的轨迹。

注意：1、它没有端点，向两方无限延伸，长度无限，无法测量。

2、直线一般用表示直线上任意两点的大写字母表示，或者用一个小写字母表示。

3、两点确定一条直线，4、同一平面内，两直线的位置关系：相交 {有一个公共点} 或者平行（无公共点）（重合所有点都为公共点，可以理解成特殊的相交或者平行）（二）、射线：以某一点为基础，在其一个方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其一个方向上运动的轨迹。

注意：1、它有一个端点，向一方无限延伸，长度无限，无法测量2、射线用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；或者用一个小写字母表示。

（三）、线段：直线或者线段上某两点及其之间的所有点的集合；或者说一个点从某一点出发，向着另外一点的方向运动，运动到那个点的轨迹。

注意：1、有两个端点，长度可以测量，线段之间可以进行长短的比较（度量法与叠合法）。

2、我们把两点之间线段的长度称为两点之间的距离。

两点之间线段最短。

3、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，或者说直线上到两个端点距离相等的点。

4、常见的线段：边、高、中线、角分线、中位线、对角线、半径、直径、弦、弦心距、切线等.5、线段上的点的个数n与这些点所组成的线段条数N之间的关系：N=()12 n n-四、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

图形与几何知识点整理

图形与几何知识点整理图形和几何是数学中的重要分支，它们研究了平面和空间中的形状、大小、位置关系以及变换等内容。

本文将对常见的几何图形以及相关的几何知识点进行整理和阐述。

一、点、线、面1. 点：在几何中，点是最基本的几何对象，没有大小和形状，仅有位置，用大写字母标记，例如A、B、C等。

2. 线：由无限个点连在一起形成，没有宽度和厚度，只有长度，用小写字母标记，例如a、b、c等。

根据两点之间的位置关系，线可以分为垂直、平行、相交等类型。

3. 面：通过线段围成的平面区域称为面，用大写字母标记，例如△ABC、矩形ABCD等。

根据边的形状和长度，面可以分为三角形、四边形、多边形等。

二、基本几何图形1. 三角形：三角形是由三条线段组成的面，是几何中最基本的多边形。

根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

2. 四边形：四边形是由四条线段组成的面，根据边的性质和角的关系，可以分为矩形、正方形、平行四边形等。

矩形的特点是四个内角都为直角，正方形具有相等的边长和四个直角。

3. 圆形：圆形是由等距离于圆心的点构成的平面图形。

圆的性质包括半径、直径、弧长、面积等。

4. 多边形：多边形是由多条线段组成的面，根据边的数量可以分为三边形、四边形、五边形等。

对于正多边形，其内角均相等。

三、相似与全等1. 相似形：当两个图形的形状相似，但尺寸不同，它们被称为相似的。

相似形具有相等的对应角度，对应边的比例也相等。

2. 全等形：当两个图形的形状和尺寸完全相同，它们被称为全等的。

全等形的对应边和对应角都相等。

四、几何知识点1. 角度：角度是由两条线段或者两个平面的相交部分所形成的。

角度的度量单位是度，常用符号为°。

根据角的大小，可以分为锐角、直角、钝角和平角。

2. 弧长：弧长是圆上两点间的弧所对应的圆周长度。

根据弧所夹的角度，可以计算出弧长。

3. 面积：面积是广义上的大小概念，用来表示平面图形围成的区域的大小。

基本图形及其位置关系

基本图形及其位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是的一部分。

线段是的一部分，也是的一部分．2.直线和线段的性质：(1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线；②两条直线相交，有交点.(2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即．3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°= ′，1′=″（2）角的分类：（3）相关的角及其性质：①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．⇔④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2∠3．⇔⑤互为补角的有关性质：①若∠A+∠B=180○∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B∠C．⑥对顶角的性质：．（4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．4.同一平面内两条直线的位置关系是：5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。

八年级数学下册人教版电子课本

八年级数学下册人教版电子课本八年级数学下册人教版电子课本第一单元图形与位置本单元主要内容是图形的基本概念与位置关系的初步学习，包括正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形、三角形、圆等图形的定义及其特征。

同时，还学习了图形在平面直角坐标系中的表示方法和坐标计算，正方形和长方形的面积和周长公式的探究。

1.1 图形的基本概念1.2 位置关系1.3 平面直角坐标系1.4 图形的周长1.5 平行四边形和矩形1.6 正方形和长方形的面积第二单元数据的整理与描述本单元主要内容是在学习统计数据的基础上，进一步学习数据的整理与描述，包括频数、频率、中位数、众数、极差、四分位数等统计概念的学习、数据图的绘制和解读等内容。

2.1 数据的整理2.2 数据的描述2.3 数据的图象表示第三单元方程与不等式本单元主要内容是方程与不等式的初步学习，包括一元一次方程、一元一次不等式的解法和应用、解方程与画图的联系、二元一次方程的解法和应用等内容。

3.1 一元一次方程3.2 一元一次不等式3.3 二元一次方程第四单元几何变换本单元主要内容是平面图形的基本变换，包括平移、旋转、翻折和对称等内容，通过学习这些基本变换，进一步加深对图形的认识和理解。

4.1 图形的对称性4.2 平移4.3 旋转4.4 翻折第五单元直线与角本单元主要内容是直线与角的初步学习，包括直线的定义与判定、直线的性质及其应用、角的定义、度数制与弧度制、角度制中角的度数、补角、余角、同位角和对顶角等内容。

5.1 直线的基本性质5.2 角的基本概念5.3 角度制中的角5.4 角的平分线和垂线第六单元三角形本单元主要内容是三角形的初步学习，包括三角形的定义、分类、性质及其应用、三角形中的中线、垂心、外心、内心、重心的定义及其应用，解决与角度、边长相关的应用问题。

6.1 三角形的定义和分类6.2 三角形的性质6.3 三角形中的中线6.4 三角形中的重心第七单元圆与圆的应用本单元主要内容是圆的初步学习，包括圆的定义和性质、圆周角、圆内角和圆外角的关系、正多边形内接圆和外接圆的性质、弧长公式与扇形面积公式等内容。

空间解析几何基础直线与平面的位置关系

空间解析几何基础直线与平面的位置关系直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系是解析几何的核心内容之一。

本文将介绍直线与平面的位置关系，包括直线与平面的相交、平行以及垂直关系。

一、直线与平面的相交关系直线与平面可以有不同的相交情况，主要包括直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条直线和直线与平面相交于两条直线三种情况。

1. 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。

该点既属于直线，也属于平面。

直线与平面相交于一点的情况比较常见，可以用许多实际生活中的例子来说明，比如一根针穿过一张纸的情况。

2. 直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与该平面相交于一条直线。

这种情况可能出现在直线与平面平行的情况下，例如一根笔放在桌子上的情况。

3. 直线与平面相交于两条直线当一条直线与一个平面相交于两条直线时，我们称这条直线与该平面相交于两条直线。

这种情况比较特殊，不太容易在实际生活中找到例子。

二、直线与平面的平行关系直线与平面的平行关系是指直线与平面在空间中没有任何交点的情况。

直线与平面平行的条件是直线上的任意一点到平面的距离等于直线上另一点到该平面的距离，也可以说直线的方向向量与平面的法向量平行。

例如，一根笔放在桌子上时，笔看起来与桌面平行。

三、直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是指直线与平面在空间中相互垂直的情况。

直线与平面垂直的条件是直线上的向量与平面上的向量垂直，也可以说直线的方向向量与平面的法向量垂直。

例如，一个立着的直角梯子放在地上时，梯子与地面垂直。

总结：直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系有相交关系、平行关系和垂直关系。

相交关系包括相交于一点、相交于一条直线和相交于两条直线三种情况，平行关系是指直线与平面没有任何交点，垂直关系是指直线与平面相互垂直。

理解直线与平面的位置关系对于解析几何的学习非常重要，它们的性质和应用将在进一步的学习中得到深入探讨。

最基本的图形--点和线(基础)知识讲解

最基本的图形--点和线（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解点和线是最基本的图形；2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.【要点梳理】要点一、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.（2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；图4端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．要点三、直线、线段的基本性质1. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线．要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O ；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P .（2）两条不同的直线相交只有一个交点.2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点四、线段的长短比较1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：图7图5法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.2.线段的比较：（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：类似于数，线段也可以相加减．3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【典型例题】类型一、点、线、面、体1．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．类型二、线段、射线、直线的概念及表示方法2.下列说法中，正确的是( ) .A．射线OA与射线AO是同一条射线.B．线段AB与线段BA是同一条线段.C．过一点只能画一条直线.D．三条直线两两相交，必有三个交点.【答案】B【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．举一反三：【变式1】以下说法中正确的是（）.A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.【答案】解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线：直线AC(或AB，BC).类型三、线段、射线、直线有关作图3．如图所示，线段a，b，且a＞b．用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．【答案与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．举一反三：【变式1】下列语句正确的是( ) .A ．画直线AB ＝10cm. B ．画直线AB 的垂直平分线.C ．画射线OB ＝3cm.D ．延长线段AB 到C 使BC ＝AB. 【答案】D【高清课堂：直线、射线、线段397363 按语句画图3（3）】【变式2】用直尺作图：P 是直线a 外一点，过点P 有一条线段b 与直线a 不相交. 【答案】解：类型四、有关条数及长度的计算4.如图，A 、B 、C 、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知，点A 与B,C,D 三点各确定一条直线，同理点B 与C 、D 各确定一条直线，C 与D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.【总结升华】平面上有n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：(1)123...(1)2n n n -++++-=．举一反三：【变式1】如图所示，已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E ． (1)图中共有几条线段？(2)如果在线段CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？【答案】解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；(2)如果在线段CD 上增加一点P ，则P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.（注解：若在线段AB 上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB 上增加到n 个点(即增加n －2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n －1)＝21n(n －1) .）【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．【答案】85. 如图所示，AB＝40，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E是BD的中点，且EB＝5，求CD的长．【思路点拨】显然CD＝CB－BD，要求CD的长，应先确定CB和BD的长．【答案与解析】解：因为AB＝40，点C为AB的中点，所以11402022CB AB==⨯=．因为点E为BD的中点，EB＝5，所以BD＝2EB＝10．所以CD＝CB-BD＝20-10＝10．【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．【高清课堂：直线、射线、线段397363画图计算例2】举一反三：【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4，如图所示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长.【答案】解：依题意，设AB＝2x cm，那么BC＝3x cm，CD＝4x cm．则有：MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15解得：52 x=所以AB=2x =5252⨯=cm.类型五、最短问题6.如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．。

直线和椭圆的位置关系知识点

直线和椭圆的位置关系知识点直线和椭圆是两个基本的几何图形，它们在平面几何中经常出现，并且在许多应用中都发挥着重要的作用。

学习它们的位置关系是初学几何的基本知识之一，本文将从定义、基本性质和实例等方面探讨直线和椭圆的位置关系知识点。

1. 直线和椭圆的定义和基本性质1.1 直线的定义和基本性质在平面几何中，直线是最基本的几何图形之一。

直线的定义是，由无数个点构成的一条无限长的、无宽度的几何对象。

直线可以用线段表示，线段起点和终点可以看作是直线上的两个点，线段两端点之间的线段长度即为直线的长度。

直线有一些基本的性质，例如：(1) 直线上的任意两点可以唯一地确定一条直线；(2) 直线上的任意一点与直线外的任意一点可以唯一地确定一条直线；(3) 直线上的点可以任意延伸，即直线是无限长的；(4) 直线上每一点的左右两侧都有无限多个点。

1.2 椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条固定点到平面上各点的距离之和等于常数的点的集合。

这个固定点叫做椭圆的焦点。

椭圆还有一个重要的参数，叫做离心率，表示椭圆的形状。

离心率越小，椭圆越矮胖，离心率越大，椭圆越扁平。

椭圆也有一些基本的性质，例如：(1) 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，称为椭圆的焦距；(2) 椭圆的长轴是椭圆上最远的两点之间的距离，短轴是两个焦点所在直线的中垂线上的两点之间的距离，长轴和短轴的长度之比即为椭圆的离心率；(3) 椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心点，椭圆上的任意一条直径的中点即为椭圆的中心点。

2. 直线和椭圆的位置关系2.1 直线与椭圆的位置关系在平面几何中，直线和椭圆的位置关系有以下三种情况：(1) 直线与椭圆相离；(2) 直线与椭圆相切；(3) 直线与椭圆相交。

2.1.1 直线与椭圆相离直线与椭圆相离是指这条直线没有和椭圆有任何交点。

这种情况下，直线与椭圆的距离是一个常数，被称为直线到椭圆的距离。

直线到椭圆的距离可以用以下公式计算：d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)其中，Ax + By + C = 0 是直线的方程，A、B、C 是实数，且A^2 + B^2 ≠ 0 。