分式的恒等变形精讲精练

一、化分式为部分分式的和

【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛)

下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .

【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，

且一次项系数相同)，则p 的最大值是 .

【例3】 （5级）若213111

a M N

a a a -=+

--+，求M 、N 的值.

【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244

x

x -，求a ，b .

【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足111

4

a b +=，则a b +的最大值是 ．

【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，2

8339

m n x

x x x -=+--均成立，求mn .

【例7】 （5级）若关于x 的恒等式

222Mx N c x x x a x b +=-

+-++中，22

Mx N

x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .

【例8】 （4级）将2

6

9

x -化为部分分式.

分式恒等变形（竞赛部分）

【例9】 （4级）化21

(1)(2)

x x x ---为部分分式．

【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：234

2

x x x +--.

【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361

(1)(3)

x x x x x -++++.

【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：322

41338

(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.

【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2

10

4

x x ---．

【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231

(1)(1)

x x x x x ++-+-.

二、分式的恒等证明

【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）

求证：()()3322222222

22a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝

⎭⎝⎭

【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111

x y z y z x

+=+=+，求证：2221x y z =.

【例17】 （5级）已知：a c b d

=，求证：22222222

a b c d a b c d abcd ----++++++=.

【例18】 （5级）若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a

z c a

-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---

【例19】 （5级）若1abc =，求证：1111a b c

a a

b b b

c c ca

++=++++++.

【例20】 （5级）(2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题)

已知1111a b c

a a

b b b

c c ca

++=++++++，求证：1abc =.

【例21】 （6级）(1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题) 已知222

0a b c

bc a ca b ab c ++=---，

求证：()()()

222

2220a b c

bc a ca b ab c ++=---.

【例22】 （6级）已知

0a b c

b c c a a b

++=---，求证：222

0()()()a b c b c c a a b ++=---.

【例23】 (5级)(2002年北京市中学生数学竞赛初二复赛题二)已知0abc ≠，证明：下列四个数

3333

()()()(),,,

a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc

++------中至少有一个不小于6．

【例24】 （5级）已知

223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a b

x y

+=。

【例25】 （5级）（武汉等五市初中数学竞赛试题）已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，

且a b c d B b c d c d a d a b a b c

+++=++++++++。求证： （1）2222

77a b c d B b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++

（2）3333

4968a b c d B b c d c d a d a b a b c

+++=-++++++++

【例26】 （5级）已知222

0a b c

bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b c bc a ac b ab c ++=---

三、分式与数论

【例27】 （4级）将

a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a b

b a

+，求这两个式子。

【例28】 （6级）求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。