矩估计法最大似然估计法

估计量, 这个估计量称为矩估计 量. 2018/10/9矩估计量的观测值称为矩估计值.
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例2
设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中
( 0) 未知,(X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体 X 的样本, 求 的矩估计量.
解
因为 1 E ( X ) , 2
1 2 n 1 2 n
来估计未知参数 .
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ 简记为 . ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值.
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在某纺织厂细纱机上的 断头次数 X 是一个 例1 随机变量, 假设它服从以 0 为参数的泊松分布, 参数 为未知, 现检查了150只纱锭在某一时间段 内断头的次数, 数据如下, 试估计参数 .

根据矩估计法,
令

2
A1 X ,
ˆ =2 X 是所求 的矩估计量. 所以
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例3
设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布,其中
a , b 未知, (X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体X的样本,
a b 解 1 E ( X ) , 2 2 2 a b a b 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 , 12 4
7
k
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题.
常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法 最大似然估计法
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7.1.1 矩估计法
设 X 为连续型随机变量 , 其概率密度为 f ( x;1 , 2 ,, k ), 或 X 为离散型随机变量 , 其分布律为 P { X x } p ( x;1 , 2 ,, k ), 其中 1 , 2 ,, k 为待估参数 ,
求a , b 的矩估计量.
ab 令 A1 , 2 ( a b )2 ( a b )2 A2 , 12 4
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a b 2 A1 , 即 2 b a 12( A2 A1 ) .
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
3 n 2 ˆ A1 3( A2 A1 ) X a ( X X ) , i n i 1
断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk
0
1
2
3 4 5 6
45 60 32 9 2 1 1 150
解 因为 X ~ P ( ), 所以 E ( X ). 用样本均值来估计总体的均值 E(X).
1 x xi n i 1
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n
kn
k 0 6
6
k
n
k 0
1.133 . 的估计值为 1.133.
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矩估计法的基本思想
用样本矩来估计总体矩, 用样本矩的连续函数来 估计总体矩的连续函数, 这种估计法称为矩估计法. 矩估计法的步骤
1 1 (1 , 2 , , k ) A1 1 1 ( A1 , A2 , , Ak ) ( , , , ) A 2 源自文库 2 ( A1 , A2 , , Ak ) 2 1 2 k 2 令 , 解出 . k k ( A1 , A2 , , Ak ) k k (1 , 2 , , k ) Ak ˆ1 , ˆ2 ,, ˆk 分别作为 1 , 2 ,, k 的 用方程组的解
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参数估计的类型
点估计 — 估计未知参数的值. 区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值.
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§7.1 点估计
矩估计法
最大似然估计法
小结
练习
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设总体 X 的分布函数形式已知, 但 它的一个或多个参数为未知, 借助于总 体 X 的一个样本来估计总体未知参数的 值的问题称为点估计问题.
第7章 参数估计
点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计
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什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量. 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计 . 例如，X ~N ( , 2). 若 , 2未知，通过构造样本的函数，给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.
若 X1 , X 2 ,, X n 为来自 X 的样本，
假设总体 X 的前 k 阶矩存在,
且均为 1 , 2 ,, k 的函数, 即
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l E ( X ) x l f ( x;1 , 2 ,, k )dx (X为连续型)
l

或 l E ( X l )
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点估计问题的一般提法
设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已 知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点 估 计 问 题 就 是 要 构一 造个 适 当 的 统 计 量 ˆ ( X , X , , X ), 用 它 的 观 测 值 ˆ( x , x , , x )
xRX
l x p( x;1 , 2 ,, k ), (X为离散型)
其中 RX 是 x 可能取值的范围, l 1,2,, k 1 n l 因为样本矩 Al X i 依概率收敛于相应的 n i 1
总体矩 l ( l 1, 2,, k ),
Al l
P P
样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数. g( A1 , A2 , , Ak ) g( 1 , 2 , , k )