312函数的极值与导数共78张解析精品PPT课件
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《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
3.3.2函数的极值与导数公开课ppt课件
-
+
求定义域—求导—求导数的零点— 列表—求极值
-
x 14
0
例3：已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x ＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值， 并求f(x)的单调区间．
结论：已知函数极值，确定函数解析式中参 数时：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组， 利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
（3） 极值点一定在区间的内打“√”，错误的打“×”) ①函数f(x)＝ 1x（x>0）有极值.( × ) ②函数 y x2 2x 的极大值点是（1，-1）. ( × ) ③在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.( √ ) ④导数值为0的点一定是函数的极值点.( × )
在 x＝d 附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.
3
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在 点 x＝a 附近其 他点 的函数值都小，f′(a)＝ 0 ，而且在点 x＝a 附近的左侧
f′(x) < 0，右侧 f′(x) > 0，就把 a 叫做函数 y＝f(x)的极小
f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，就把 b 叫做函数 y＝f(x)的极大
值点， f(b) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
y 函数取极大值时 f′(x) ，f(x)的变化f′情(况b:)=0
x
a左侧 x=a
a右侧 f′(x)<0
f′(x)
+ f′ 0(x)>0 -
f(x)
单调递增 极大值 单调递减
函数的极值与导数公开课精品PPT课件
（2）函数的极大值和极小值是惟一的吗？ （3）区间的端点能为极值点吗？ 3、导数为0的点一定是极值点吗？
展、评、检：
1、什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？ （1）极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点
的函数值__都_小__，且_f_′(a_)_＝_0_；而且在点x＝a的左侧__f′_(_x_)<_0___，
x (－∞，－1) －1
f′(x)
＋
0
(－1,3) －
3 (3，＋∞)
0
＋
f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增
因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值 为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极 小值为f(3)＝－22.
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；
极大值点，极大值为 f(2016年河南高考题节选)已知
f x
x3
ax2
bx
在
x 1 与
x2 3
时都取得极值.
（1）求 a,b 的值；
（2）求 f x 的极值.
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2.
庐山
1.3.2 函数的极值与导数
滑县第二高级中学：李丽娇
学习目标：
1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极 值的方法。
2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结 合的方法解决问题。
重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
思、议：
展、评、检：
1、什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？ （1）极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点
的函数值__都_小__，且_f_′(a_)_＝_0_；而且在点x＝a的左侧__f′_(_x_)<_0___，
x (－∞，－1) －1
f′(x)
＋
0
(－1,3) －
3 (3，＋∞)
0
＋
f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增
因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值 为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极 小值为f(3)＝－22.
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；
极大值点，极大值为 f(2016年河南高考题节选)已知
f x
x3
ax2
bx
在
x 1 与
x2 3
时都取得极值.
（1）求 a,b 的值；
（2）求 f x 的极值.
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2.
庐山
1.3.2 函数的极值与导数
滑县第二高级中学：李丽娇
学习目标：
1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极 值的方法。
2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结 合的方法解决问题。
重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
思、议：
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
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高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1
2．已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性．
精选ppt
7
题型三 函数极值的应用
例 3 当 a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实 根？有没有可能无实根？
精选ppt
5
题型二 已知函数的极值求参数的
值
例 2 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
解析：(1)易得 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数的极值点，
3．3.2 函数的极值与导数
精选ppt
1
精选ppt
2
题型一 求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝x3－12x 的极值．
解析：易知函数的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
－23ba＝0，
由根与系数的关系知：
3ca＝－1，
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，
当 x＜－1 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.
精选ppt
7
题型三 函数极值的应用
例 3 当 a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实 根？有没有可能无实根？
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5
题型二 已知函数的极值求参数的
值
例 2 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
解析：(1)易得 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数的极值点，
3．3.2 函数的极值与导数
精选ppt
1
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2
题型一 求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝x3－12x 的极值．
解析：易知函数的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
－23ba＝0，
由根与系数的关系知：
3ca＝－1，
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，
当 x＜－1 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.
3.3.2函数的极值与导数 (优秀经典公开课比赛课件)
8
1.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，则 f(x)在(a，b)内不是单 调函数
解析：根据极值的定义判断． 答案：D
9
2．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b
③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同，则 x0__不__是____极值点：
7
思考探究 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？ 提示：不一定．可导函数的极值点一定是导数为零的 点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分 条件是该点两侧的导数异号． 例如，y＝x3，y′＝3x2＝0 时，x＝0， 但因 3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，即 x＝0 使 y′＝0， 但 x＝0 却不是极值点．
y′
＋
0
－
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当 x＝－1 时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；
当 x＝3 时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
14
5．求函数 f(x)＝x＋1x的极值．
15
解：因为 f(x)＝x＋x1， 所以 f′(x)＝1－x12，f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． 令 f′(x)＝0，得 x＝1，或 x＝－1. 当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<0，或 0<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 因此，当 x＝－1 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(－ 1)＝－2； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(1)＝2.
1.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，则 f(x)在(a，b)内不是单 调函数
解析：根据极值的定义判断． 答案：D
9
2．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b
③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同，则 x0__不__是____极值点：
7
思考探究 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？ 提示：不一定．可导函数的极值点一定是导数为零的 点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分 条件是该点两侧的导数异号． 例如，y＝x3，y′＝3x2＝0 时，x＝0， 但因 3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，即 x＝0 使 y′＝0， 但 x＝0 却不是极值点．
y′
＋
0
－
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当 x＝－1 时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；
当 x＝3 时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
14
5．求函数 f(x)＝x＋1x的极值．
15
解：因为 f(x)＝x＋x1， 所以 f′(x)＝1－x12，f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． 令 f′(x)＝0，得 x＝1，或 x＝－1. 当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<0，或 0<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 因此，当 x＝－1 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(－ 1)＝－2； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(1)＝2.
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【知识点拨】 1.对极值概念的两点说明 (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的 左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会 是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
2.函数极大值与极小值的关系 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系， 即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比 极大值小.
3. 1 .2 函数的极值与导数
填一填·知识要点、记下疑难点
1.2
1．极大值点与极大值：如图，在包含 x0 的
一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何
一点的函数值 都小于或等于 x0 点的 函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的极大值点 为函数的 极大值 ．
，其函数值 f(x0)
填一填·知识要点、记下疑难点
3.极值点与导数为零的关系
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一
定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”
的
条件充分不必要
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0， 且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.
(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点.
解析 由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在 区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在 (x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递 减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小 值点为x＝x2.故填1.
【典型例题】
1.(2012·陕西高考)设函数f(x)= 2 +ln x，则( )
1
x
A.x= 2为f(x)的极大值点
1
B.x= 2 为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2
思考 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函 数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x) 在开区间(a，b)内有__1______个极小值点．
1.2
2．极小值点与极小值：如图，在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任
何一点的函数值 都大于或等于 x0 点
的函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的
极小值点 ，其函数值 f(x0)为函数的 极小值 ．
3．如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)
2.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3(2a-1)x2-6x(a∈R),
2
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))
处的切线方程.
(2)当a= 1时，求f(x)的极大值和极小值. 3
【解题探究】1.函数f(x)在x=a处取得极小值的条件是什么? 2.如何求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率?导数为0的点 一定是极值点吗? 探究提示： 1.f′(a)=0且在点x=a附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0. 2.(1)切线斜率为k=f′(-1). (2)不一定,若导数为0的点的左右两侧导数符号相同,则该点不是 极值点.
上是减少的，则 x0 是 极大值点 ，f(x0)是 极大值 ；如果
函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是
增加的，则 x0 是 极小值点 ，f(x0)是 极小值 .
一、函数极值的有关概念 1.极小值点与极小值： (1)函数特征:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点.( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行( ) (3)函数 f (x) 1无极值.( )
x
提示：(1)错误.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不 是充分条件.例如y=x3,当x=0时，f′(0)=0,但不是极值点. (2)正确.在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切 线与x轴平行. (3)正确.在定义域内f′(x)≠0,由极值的判断方法可知函数无极值. 答案:(1)× (2)√ (3)√
4.极值点的分布规律 (1)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有 规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同 样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函 数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现 的.
类型 一 求函数的极值点或极值
比它在点x=a附近其他点的函数值_都___小_,且
f′(a)=0.
(2)导数符号:在点x=a附近的左侧 f′(x)_＜__0,右侧f′(x)_＞__0.
(3)结论：点__a__叫做函数y=f(x)的极小
值点,_f_(_a_)_叫做函数y=f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值： (1)函数特征:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在 点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0. (2)导数符号:在点x=b附近的左侧f′(x)_＞__0, 右侧f′(x)＜___0. (3)结论：点__b__叫做函数y=f(x)的极大值点,f_(_b_)__叫做 函数y=f(x)的极大值.
二、函数在某点取得极值的条件及求极值的方法 1.可导函数在某点取得极值的必要条件： 可导函数y=f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件
是_f_′___(_x_)__=.0
2.求函数y=f(x)的极值的方法：
解方程f′(x0)=0，当f′(x0)=0时 (1)如果在x0附近的左侧__f_′__(_x_)_＞__0，右侧_f_′__(_x_)_＜__0_， 那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧_f_′__(_x_)_＜__0_，右侧_f_′__(_x_)_＞__0_， 那么f(x0)是极小值.
3.极值的定义： (1)_极__大__值__与极__小__值___统称为极值.
(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的 _大__小__情__况__,刻画的是函数的__局__部__性__质_.
思考：函数的极值点与函数单调性有什么关系？ 提示：极大值点是函数递增区间与递减区间的 分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间 的分界点.