中考数学重难点突破专题五：函数与几何综合运用试题(含答案)
中考专题复习函数综合题(含答案)
中考专题复习函数综合题1.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B 的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．2.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x ＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN 沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．3. 已知直线y ＝kx ＋3（k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒．（1）当k ＝－1时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ①直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；②若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． （2）当k ＝43错误！未找到引用源。
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型五利用三角函数解决与√2 ,√3,二分之一有关的问题
(3)Ⅰ)如图②，由(2)知△ADG∽△ACE， ∴DCGE＝AADC＝ 22，∴DG＝ 22CE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC＝8 2，AC＝ AB2＋BC2＝16， ∵AG＝ 22AD，∴AG＝ 22AD＝8，
∵四边形 AFEG 是正方形， ∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8， ∵C，G，E 三点共线， ∴CG＝ AC2－AG2＝ 162－82＝8 3， ∴CE＝CG－EG＝8 3－8，
(1)解：如图①中，设 AC＝CD＝x. 在 Rt△ACB 中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD＋BD＝x＋2， ∵AB2＝AC2＋BC2，∴102＝x2＋(x＋2)2， 解得 x＝6 或－8(舍弃)， ∵12AC·BC＝12AB·CE，
∴CE＝61×08＝254.
(2)证明：如图②中，作 DH⊥CF 于点 H. ∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∵∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠CAE＝∠DCH，∴△ACE≌△CDH，∴AE＝CH， 在 Rt△DHF 中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°， ∴HF＝DF·cos 30°＝ 23DF， ∴CF＝CH＋FH＝AE＋ 23DF.
(3)AB＝8 2，AG＝ 22AD，将正方形 AFEG 绕 A 逆时针方向旋转α(0°<α <360°)，当 C，G，E 三点共线时，请直接写出 DG 的长度．
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 AFEG 是正方形， ∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°， ∴AAEG＝ 2，EG∥CD，
若题中已知一条边，常以这条边为直角边或斜边构造等腰直角三角形， 就会出现 2倍数量关系．
方法二：构造含 30°角的直角三角形( 3，12倍数量关系)
中考数学复习课件几何图形载体下的函数与几何的综合问题 例题附答案
（2）求过点O，E，B的抛物线所表示的二次函数解析式；
解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．∴∠CAB＝45°． ∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称， ∴∠BAD＝∠CAB＝45°．∴∠CAD＝90°． （2）有（1）可知AN⊥AM， ∵点M、N关于AB所在直线对称，∴AM＝AN． ∵CM＝x，∴AN＝AM＝4－x． ∴S＝＝－12 C12M(·xA2－N＝4x)12＝x(－4－12x)(＝x－－2)122＋x22＋．2x ∴x＝2时，S有最大值．
（3）S的值最大时，过点C做EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN(如图 2).P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M、N、P、Q为顶点的四边形是 菱形时，请直接写出所有满足条件的NP的长.
【解题思路】分为三种情况：①MN为对角线时；②MN、 NP为菱形的边时；③MN为菱形的边，NP为对角线时.
设BE＝x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y． （3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
例3：（2013新疆乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，边长 为 2 的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD，BD，△BOD 的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌ △EAB； 【解题思路】（1）利用△BOD的外心I在中线 BF上，得到BF垂直平分OD，进而由三角形内 角和定理证明∠ADO＝∠ABE，最后由角边角 定理证明△OAD≌ △EAB．
中考数学专题复习： 几何与函数问题专项练习附答案
中考数学专题复习：几何与函数问题专项练习附答案【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】【例1】己知AB=2,AD=4f ZDAB=90\AD//BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段庞的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于工的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段况的长；(3)联结交线段AM于点N,如果以A N,D为顶点的三角形与任;相似,【思路点拨】(1)取AB中点H,联结MH;(2)先求出DE；(3)分二种情况讨论。
【例2】(山东青岛)己知：如图(1),在RtAACB中，ZC=90S AC=4cm, BC=3cm,点F由B出发沿HA方向向点A匀速运动，速度为lcm/s；点。
由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为f(s)(0<Z<2),解答下列问题：(1)当，为何值时，PQ//BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与，之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻使线段PQ恰好把Rt/\ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时/的值；若不存在，说明理由；(4)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻，，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由・刀图(1)图(2)P'【思路点拨】(1)设BP为t,则AQ=2t,证△4QQ s AABC；(2)过点P作PH A-AC 于H.(3)构建方程模型，求t;(4)过点P作PMA.A C于PNTBC于N,若四边形POP'C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应f的值。
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习(含答案解析)
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习（含答
案解析）
几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某
个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，难易程度多为难题、压轴题。
务必掌握求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、
定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造
二次函数等。
代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
特别注意如果所列方程为分式方程，需检验增根！
具体例题题型如下：。
中考数学复习专题：几何综合题(含答案解析)
几何综合题1.已知△ABC 中，AD 是的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ． （1）如图1，若①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE 3. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图1．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．BAC ∠60BAC ∠=︒（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．答案：（1）①补全的图形如图7所示．② ∠NCE =2∠BAM ．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD 为正方形ABCD 的对称轴，点A 与点C 关于直线BD 对称． ∵ 射线AM 与线段BD 交于点M ， ∴ ∠BAM=∠BCM=α． ∴ ∠1=∠2=90α︒-． ∵ CE ⊥AM ， ∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°． 又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5， ∴ ∠1=∠3．∴ ∠3=∠2=90α︒-．∵ 点N 与点M 关于直线CE 对称，∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM ︒-∠． （31CDBA图1备用图C DBAM3. 如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=. ∴120EPD ∠=. ∵DP PE =,6DP PE +=,∴30PDE ∠=,3PD PE ==. ∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.∴MK MD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵60MO MOL =∠=，∴sin 603ML MO =⋅=.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK ,∴MK ME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明． 答案：（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数； （3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；（2）45°；（3）结论：AM 2CN ．A BC E证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ．∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°，∴∠3=（180°∠ACD ）=（180°90°αα）=45°．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中，∠8=∠G ， ∠7=∠6， BC =CA ，BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt △AMG 中，∠G =90°，∠5=45°，∴AM AG ．∴AM CN ．答案：（1）补全图形略 （2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，12-12----αα又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ②BP AB =．7.如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ， 过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ． （1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间 的等量关系，并证明．答案：（1）证明 :∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴ ∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH . ∴ △ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所示． （2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ．EDCBAM H PDAC∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ． ∴∠FAC =∠APF ．（3）判断：FM =PN ．证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ． ∵正方形ABCD ，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD=90°． ∴∠BAE =∠CBQ ． ∴△ABE ≌△BCQ ． ∴AE =BQ ． ∴AE =MN ．∵∠FAC =∠APF ， ∴AF =FP ． ∵AF=AE ， ∴AE =FP ． ∴FP =MN ． ∴FM =PN ．9.如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒ ()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒∴∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，M H PDA CDAC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分 （3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴3= 3.BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+()32AD CD =+ 32=3.=-----------------------------------7分10.如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分3-图1 备用图② 0≤QL2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴ OA =，3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QL y =．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ， 可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D 与直线y =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ． 设直线y =与直线+33y x =的交点为F 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，224OE OA AE =-=．图13∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是 ；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示） （3）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.（1）DE DF =； （2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-.∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：GFE DCBA图15GFEDCBA连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=， 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =， ∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF .（1）∠CAD = 度； （2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.HGFEDCBA解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点，∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA . ∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分 （3）CE =)21CD . ……………………………………5分证明：∵90 EAD ∠=°，∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分 ∴DF =EF .由②可知，CF 2CD . …………………………7分 ∴CE =()21C D .13.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．GFAB DCAB CE D∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。
2023年全国各地中考数学真题分类汇编之函数与几何综合问题(含解析)
函数与几何综合问题一、填空题统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点直线与交于点轴交于点E段上，动点在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点2．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是．3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D 在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A ，B ，C 在上运动，满足，延长至点D ，使得，点E 是弦上一动点（不与点A ，C 重合），过点E 作弦的垂线，交于点F ，交的延长线于点N ，交于点M （点M 在劣弧上）．(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记的面积分别为，若，求的值；(3)若的半径为1，设，，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．6．（2023·湖南·统考中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函数的图像的对称轴；②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．统考中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．(1)求点的坐标；(2)随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由；②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)是线段上一点，连接，且．①求证：是直角三角形；②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．10．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）(1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示）(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．(3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．11．（2023·广东·统考中考真题）综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．(1)当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点，求的长；(3)如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．12．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；(2)如图1，当时，求点P的坐标；(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．①求m的值；②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．13．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．(1)直接判断的形状：是_________三角形；(2)求证：；(3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．14．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．(1)求关于的函数解析式；(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．15．（2023·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；(2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．16．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．(1)求的长和关于的函数表达式．(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．(3)延长交半圆于点，当时，求的长．17．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．①求点的坐标；②求直线的解析式；【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．【由数想形新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．【数形结合深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．19．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．证明：设，∵，∴，易证∴，∴∴，若时，当，则．同理：若时，当，则．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出的值；(3)求直线的解析式．20．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数的图象经过点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．21．（2023·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．(1)如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；(2)在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；(3)若抛物线经过点，，，且，求正整数m，n的值．22．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．24．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．25．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．参考答案一、填空题1．【答案】或【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，，∴是圆与直线的交点，当重合时，∵，则，∴，符合题意，∴，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，∴，∵，，∴，∴，∴，设，∴，，而，∴，解得：，则，∴，∴；综上：或．故答案为：或．【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2．【答案】【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，，∴有最小值，作轴于点P，则，，∵，∴，∴，∴，即，∴，则，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，联立，，解得，即；过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为，则，∴，∴，∴，即的最小值是，故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．【答案】或或【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，设直线解析式为，∴解得：∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，∵，∴，∴点必在内部．1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线的解析式为∴解得：则直线的解析式为①如图1，直线过中点，，中点坐标为，代入直线求得，不成立；②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，∴∴，∴，解得；⑤如图5，直线，，则∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如图6，直线，同理可得，∴，，，∴，解得；综上所述，或或．【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．【答案】(1)(2)(3)存在，等腰三角形的个数是8个，，，，【分析】（1）解方程得到，的长，从而得到点B的坐标；（2）由，，得．由，是中点，得到点M的坐标，代入直线中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得．过点C作于H，过点N作于K．从而，，进而得到，易证，可得，因此，由可得，，，从而通过解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最终可得结果；（3）分，，三大类求解，共有8种情况．【详解】（1）解方程，得，．，，．；（2），．四边形是平行四边形，，．是中点，．．将代入，得．．，．．过点C作于H，过点N作于K．，．∴∵∴∴∴∴∵∴，，∴在中，在中，∴∴（3）解：由（2）知：直线解析式为，，设，，①当时，，，解得或，或，∴，，，，如图，、、、都是以5为腰的等腰三角形，；②当时，由①知：，，∵，∴不可能等于5，如图，，都是以5为腰的等腰三角形，；③当时，由①知：，，当时，，解得（舍去），，∴，如图，当时，，解得（舍去），，∴，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为，，，【点拨】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．【答案】(1)是的切线，证明见解析(2)(3)【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解；（2）由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解；（3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解．【详解】（1）解：是的切线．证明：如图，在中，，∴．又点A，B，C在上，∴是的直径．∵，∴．又，∴．∴．∴是的切线．（2）由题意得，．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又，∴．∴．∴．由题意，设，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）设，∵，∴．如图，连接．∴在中，．∴，．∴在中，，．在中，．（∵，∴）．在中，，．∴．即．∵，∴最大值为F与O重合时，即为1．∴．综上，．【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6．【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2(2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析(3)能构成正方形，此时【分析】（1）根据题意得到即可解答；（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；（3）由题意可知，得到A.B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．【详解】（1）解：由题意可知：，∴．答：k的值为，m的值为3，n的值为2．（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，∴对称轴为，∴，∴，∴对称轴为．答：函数的图像的对称轴为．②，令，解得，∴过定点，．答：函数y2的图像过定点，．（3）解：由题意可知，，∴，∴，，∵且，∴；①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②若，则A.B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接、，根据菱形的性质以及已知条件可得为等边三角形，根据，可得为等腰直角三角形，则，，根据翻折的性质，可得，，则，；同理，，；进而根据，即可求解；（2）等积法求得，则，根据三角形的面积公式可得，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据即可求解．【详解】（1）如图，连接、，四边形为菱形，，，为等边三角形．为中点，，，，．，为等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如图，连接、，延长交于点．，，，．∵，，．，则，，，．∵，．【点拨】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8．【答案】(1)，；(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为；(3)【分析】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标；（2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②由，得当最小时，的长最大，即当时，的长最大，进而解直角三角形即可求解；（3）设的中点为点，连接，过点作于点，证四边形是菱形，得，进而证明得，再证，得即，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴顶点为，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不变，理由如下：在上取点，使得，连接，∵，∴抛物线对称轴为，即，∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，∴是等边三角形，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴是等边三角形，∴，即的大小不变；②，∵，∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，∵是等边三角形，∴∴，∴，∴，∴，∴，即线段的长度存在最大值为；（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，∵，∴四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中点为点，∴，∴，∴，∵，∴，，∵的中点为点，是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，∴，故答案为．【点拨】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9．【答案】(1)，，(2)①证明见解析，②点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设然后利用勾股定理求解，，过点作轴，垂足为．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得．分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，．（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，．求解即可．【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，当时，，当时，．∵直线交抛物线于两点，，，解得．∵点在点的左侧，∴点的横坐标为3，当时，．；（2）如图，①抛物线交轴于点A，当时，．,在中，，由勾股定理得，设，．，，，．，．是等腰直角三角形，．过点作轴，垂足为．，是等腰直角三角形，是直角三角形．②平分轴．，．设点的坐标为，根据题意得．（i）当点在直线的左侧抛物线上时，．过点作轴，垂足为．，．，在中，，，（舍去）．当时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，．过点作轴，垂足为．，在中，，，（舍去）．当时，∴点的坐标为或．【点拨】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可；（2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，，则，∵四边形是正方形，∴，∵点是正方形对角线的中点，∴，则四边形是平行四边形，∴，，∴，又，∴，∴，在中，，∴，∴故答案为：；．（2）解：当时，点在上，由（1）可得，同理可得，∵，，则；当时，如图所示，则，，，∴；综上所述，；（3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，解得：，当四边形是菱形时，则，∴，解得：（舍去）；②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，，解得，当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去），综上所述，当四边形是轴对称图形时，或．【点拨】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解；（2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C.F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵交直线于点，∴，∴，即；（2）过点A作轴，如图所示：∵，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴即，∴；（3）∵正方形，∴，∵直线，∴，∴，∴O、C.F、N四点共圆，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，过点N作于点G，交于点Q，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∵，，∴四边形为矩形，∴，∴，，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴。
2021年中考数学复习之专题突破训练《专题五：二次函数》解析
2021年中考数学复习之专题突破训练《专题五：二次函数》参考答案与试题解析一、选择题1．已知原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ．1m <-B ．1m <C ．1m >-D ．2m >-【考点】3H ：二次函数的性质【分析】由于原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m 的范围．【解答】解：原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点， 10m ∴+<，即1m <-． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次函数的性质．2．将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．2(2)5y x =++B ．2(2)5y x =+-C ．2(2)5y x =-+D ．2(2)5y x =--【考点】9H ：二次函数的三种形式 【专题】11：计算题【分析】把241y x x =--进行配方得到22445(2)y x x x =-+-=-，5-． 【解答】解：2241445y x x x x =--=-+-2(2)5x =--． 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠；顶点式2()y a x k h =-+，顶点坐标为(,)k h ；交点式12()()y x x x x =--，1x 、2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标．3．将抛物线22y x =向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A ．223y x =+B ．223y x =-C ．22(3)y x =+D ．22(3)y x =-【考点】6H ：二次函数图象与几何变换 【专题】1：常规题型【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线22y x =向左平移3个单位所得直线解析式为：22(3)y x =+； 故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．如图，以(1,4)-为顶点的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是( )A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<【考点】HB ：图象法求一元二次方程的近似根【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【解答】解：二次函数2y ax bx c =++的顶点为(1,4)-，∴对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．5．二次函数21y x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，下列说法错误的是( )A ．点C 的坐标是(0,1)B ．线段AB 的长为2C ．ABC ∆是等腰直角三角形D ．当0x >时，y 随x 增大而增大【考点】3H ：二次函数的性质；HA ：抛物线与x 轴的交点【分析】判断各选项，点C 的坐标可以令0x =，得到的y 值即为点C 的纵坐标；令0y =，得到的两个x 值即为与x 轴的交点坐标A 、B ；且AB 的长也有两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．【解答】解：A ，令0x =，1y =，则C 点的坐标为(0,1)，正确；B ，令0y =，1x =±，则(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，正确；C ，由A 、B 、C 三点坐标可以得出AC BC =，且222AC BC AB +=，则ABC ∆是等腰直角三角形，正确；D ，当0x >时，y 随x 增大而减小，错误．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质，需学会判定函数的单调性及由坐标判定线段或点之间连线构成的图形的形状等问题．6．已知二次函数2(1)4y x =--，当0y <时，x 的取值范围是( ) A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．13x -<<D ．3x <-或1x >【考点】3H ：二次函数的性质；HA ：抛物线与x 轴的交点 【专题】1 ：常规题型【分析】先求出方程2(1)40x --=的解， 得出函数与x 轴的交点坐标， 根据函数的性质得出答案即可 ．【解答】解：二次函数2(1)4y x =--，∴抛物线的开口向上， 当0y =时，20(1)4x =--，解得：3x =或1-，∴当0y <时，x 的取值范围是13x -<<，故选：C ．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点和二次函数的性质， 能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键 ．7．已知1(1,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 三点在抛物线22y x x m =-+上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( ) A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．231y y y <<【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征 【专题】11：计算题【分析】分别计算自变量为1-、1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：当1x =-时，212123y x x m m m =-+=++=+；当1x =时，222121y x x m m m =-+=-+=-+；当2x =时，23244y x x m m m =-+=-+=， 所以231y y y <<． 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是( ) A ．2(1)y a x =+B ．2(1)y a x =-C ．2(1)y x a =-+D ．2y x a =+【考点】HD ：根据实际问题列二次函数关系式 【专题】1：常规题型【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程． 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ， 依题意得第三个月第三个月投放单车2(1)a x +辆， 则2(1)y a x =+． 故选：A ．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1)a x b ±=．9．二次函数2y x mx =-+的图象如图，对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t -+-=为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．5t >-B ．53t -<<C ．34t <D ．54t -<【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；HB ：图象法求一元二次方程的近似根 【专题】68：模型思想【分析】如图，关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=的解就是抛物线2y x mx =-+与直线y t =的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=的解就是抛物线2y x mx =-+与直线y t =的交点的横坐标，由题意可知：4m =，当1x =时，3y =， 当5x =时，5y =-，由图象可知关于x 的一元二次方程20(x mx t t -+-=为实数）在15x <<的范围内有解， 直线y t =在直线5y =-和直线4y =之间包括直线4y =，54t ∴-<．故选：D ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题． 10．二次函数23(2)5y x =--与y 轴交点坐标为( )A ．(0,2)B ．(0,5)-C ．(0,7)D ．(0,3)【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征 【专题】2B ：探究型【分析】根据题目中的函数解析式，令0x =，求出相应的y 的值，即可解答本题． 【解答】解：23(2)5y x =--∴当0x =时，7y =，即二次函数23(2)5y x =--与y 轴交点坐标为(0,7)， 故选：C ．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y 轴交点的横坐标等于0．11．对于函数25y x =，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大 B ．图象开口向下 C ．图象关于y 轴对称D ．无论x 取何值，y 的值总是正的 【考点】3H ：二次函数的性质 【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：二次函数解析式为25y x =，∴二次函数图象开口向上，当0x <时y 随x 增大而减小，当0x >时y 随x 增大而增大，对称轴为y 轴，无论x 取何值，y 的值总是非负． 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论． 12．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( ) A ．(40)(50010)y x x =-- B ．(40)(10500)y x x =--C ．(40)[50010(50)]y x x =---D ．(40)[50010(50)]y x x =---【考点】HD ：根据实际问题列二次函数关系式 【专题】1：常规题型【分析】直接利用每千克利润⨯销量=总利润，进而得出关系式． 【解答】解：设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元， 则y 与x 的函数关系式为：(40)[50010(50)]y x x =---． 故选：C ．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键． 13．如图，抛物线21y x =+与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式210kx x-->的解集是( )A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<【考点】HC ：二次函数与不等式若二次函数22(1)31y a x x a =-++-的图象经过原点，则a 的值必为( ) A ．1或1-B ．1C ．1-D ．0【考点】8H ：待定系数法求二次函数解析式；1H ：二次函数的定义【分析】先把原点坐标代入二次函数解析式得到a 的方程，解方程得到1a =或1a =-，根据二次函数的定义可判断1a =-．【解答】解：把(0,0)代入22(1)31y a x x a =-++-， 得210a -=，解得1a =或1a =-， 因为10a -≠， 所以1a ≠，即1a =-． 故选：C ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，同时考查了二次函数的定义． 15．已知非负数a ，b ，c 满足2a b +=，34c a -=，设2S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为( )A ．9B ．8C ．1D ．103【考点】7H ：二次函数的最值【分析】用a 表示出b 、c 并求出a 的取值范围，再代入S 整理成关于a 的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m 、n 的值，再相减即可得解． 【解答】解：2a b +=，34c a -=， 2b a ∴=-，34c a =+， b ，c 都是非负数， ∴20340a a -⎧⎨+⎩①②，解不等式①得，2a ， 解不等式②得，43a -， 423a ∴-， 又a 是非负数，02a ∴，22(2)34S a b c a a a =++=+-++， 226a a =++，∴对称轴为直线2121a =-=-⨯， 0a ∴=时，最小值6n =，2a =时，最大值2222614m =+⨯+=，1468m n ∴-=-=．故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a 表示出b 、c 并求出a 的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s 关于a 的函数关系式．16．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(1,0)-，下列结论：①0ab <，②24b >，③02a b c <++<，④01b <<，⑤当1x >-时，0y >．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点】4H ：二次函数图象与系数的关系 【专题】31：数形结合【分析】利用抛物线开口方向得0a <，利用对称轴在y 轴的右侧得0b >，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得1c =，0a b c -+=，则1b a c a =+=+，所以01b <<，于是可对②④进行判断；由于1122a b c a a a ++=+++=+，利用0a <可得2a b c ++<，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在(1,0)和(2,0)之间，则1x =时，函数值为正数，即0a b c ++>，由此可对③进行判断；观察函数图象得到1x >-时，抛物线有部分在x 轴上方，有部分在x 轴下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：由抛物线开口向下， 0a ∴<，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴>，0ab ∴<，所以①正确；点(0,1)和(1,0)-都在抛物线2y ax bx c =++上， 1c ∴=，0a b c -+=，1b a c a ∴=+=+，而0a <，01b ∴<<，所以②错误，④正确； 1122a b c a a a ++=+++=+，而0a <，222a ∴+<，即2a b c ++<，抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，而抛物线的对称轴在y 轴右侧，在直线1x =的左侧，∴抛物线与x 轴的另一个交点在(1,0)和(2,0)之间，1x ∴=时，0y >，即0a b c ++>，02a b c ∴<++<，所以③正确；1x >-时，抛物线有部分在x 轴上方，有部分在x 轴下方，0y ∴>或0y =或0y <，所以⑤错误．故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时当函数2(1)2y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．0x >B ．1x <C ．1x >D ．x 为任意实数【考点】3H ：二次函数的性质 【专题】31：数形结合【分析】利用二次函数的增减性求解即可，并画出了图形，可直接看出． 【解答】解：对称轴是：1x =，且开口向上，如图所示，∴当1x <时，函数值y 随着x 的增大而减小； 故选：B ．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 18．将抛物线2y x =平移得到抛物线2(3)y x =+，则这个平移过程正确的是( ) A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位【考点】6H ：二次函数图象与几何变换 【专题】46：几何变换【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，抛物线2(3)y x =+的顶点坐标为(3,0)-， 点(0,0)向左平移3个单位可得到(3,0)-，∴将抛物线2y x =向左平移3个单位得到抛物线2(3)y x =+．故选：A ．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 19．把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为( )A ．320(1)y x =-B ．320(1)y x =-C ．2160(1)y x =-D ．2160(1)y x =-【答案】D【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1)x -，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1)(1)x x --，由此即可得到函数关系式． 【解答】解：第一次降价后的价格是160(1)x -， 第二次降价为2160(1)(1)160(1)x x x -⨯-=- 则y 与x 的函数关系式为2160(1)y x =-． 故选：D ．【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x 的二次函数． 20．下列函数中是二次函数的为( ) A ．31y x =-B ．231y x =-C ．22(1)y x x =+-D ．323y x x =+-【考点】1H ：二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A 、31y x =-是一次函数，故A 错误；B 、231y x =-是二次函数，故B 正确；C 、22(1)y x x =+-不含二次项，故C 错误；D 、323y x x =+-是三次函数，故D 错误；故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的定义，形如2(0)y ax bx c a =++≠是二次函数，要先化简再判断．21．函数21y ax =+和(y ax a a =+为常数，且0)a ≠，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【专题】推理能力；几何直观；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质【分析】由二次函数21y ax =+的图象顶点(0,1)可排除A 、B 答案；由一次函数y ax a =+的图象过点(1,0)-可排除C 答案．此题得解． 【解答】解：21y ax =+，∴二次函数21y ax =+的图象的顶点为(0,1)，故A 、B 不符合题意；当0y ax a =+=时，1x =-，∴一次函数y ax a =+的图象过点(1,0)-，故C 不符题意．故选：D ．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次函数图象经过定点排除A 、B 、C 选项是解题的关键．22．点(,)P m n 在以y 轴为对称轴的二次函数24y x ax =++的图象上．则m n -的最大值等于( ) A ．154B ．4C ．154-D ．174-【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【分析】根据题意，可以得到a 的值，m 和n 的关系，然后将m 、n 作差，利用二次函数的性质，即可得到m n -的最大值，本题得以解决．【解答】解：点(,)P m n 在以y 轴为对称轴的二次函数24y x ax =++的图象上， 0a ∴=，24n m ∴=+，222115(4)4()24m n m m m m m ∴-=-+=-+-=---，∴当12m =时，m n -取得最大值，此时154m n -=-， 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．已知抛物线22(26)3y x m x m =+-+-与y 轴交于点A ，与直线4x =交于点B ，当2x >时，y 值随x 值的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G ，M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若3t -，则m 的取值范围是( ) A ．32mB ．332m C ．3m D ．13m【答案】A【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【分析】根据题意，22bx a=-，2434ac b a --【解答】解：当对称轴在y 轴的右侧时，2226026224(3)(26)34m m m m ⎧⎪-<⎪-⎪-⎨⎪⎪----⎪⎩， 解得332m <， 当对称轴是y 轴时，3m =，符合题意，当对称轴在y 轴的左侧时，260m ->，解得3m >， 综上所述，满足条件的m 的值为32m ． 故选：A ．【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．24．若二次函数22y a x bx c =--的图象，过不同的六点(1,)A n -、(5,1)B n -、(6,1)C n +、D 1)y 、2(2,)E y 、3(4,)F y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．231y y y <<D ．213y y y <<【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点(1,)A n -、(5,1)B n -、(6,1)C n +求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．【解答】解：由题意22225513661a b c n a b c n a b c n ⎧+-=⎪--=-⎨⎪--=+⎩①②③②-①得，22461a b -=-④， ③-②得，2112a b -=⑤， ④6-⨯⑤得到，21342a =，可得5942b =， ∴抛物线的对称轴259226b x a -=-=， (2D ，1)y 、2(2,)E y 、3(4,)F y ，则213y y y <<， 故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．25．在同一平面直角坐标系中，若抛物线22y mx x n =+-与262y x x m n =--+-关于x 轴对称，则m ，n 的值为( )A ．6m =-，3n =-B ．6m =-，3n =C ．6m =，3n =-D ．6m =，3n =【答案】D【考点】6H ：二次函数图象与几何变换；3H ：二次函数的性质 【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力；69：应用意识 【分析】根据关于x 轴对称，函数y 是互为相反数即可求得．【解答】解：抛物线22y mx x n =+-与262y x x m n =--+-关于x 轴对称，22y mx x n ∴-=--+，22y mx x n ∴=--+与262y x x m n =--+-相同， 6m ∴-=-，n m n =-，解得6m =，3n =， 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x 轴对称的坐标特征把抛物线22y mx x n =+-化成关于x 轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．26．已知关于x 的二次函数24y x x m =-+在13x -的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是( ) A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】A【考点】二次函数的最值【专题】二次函数图象及其性质；运算能力【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当1x =-时，7y =，从而可解得m 的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【解答】解：24y x x m =-+2(2)4x m =-+-，∴对称轴为直线2x =，抛物线开口向上，二次函数在13x -的取值范围内最大值7， 当1x =-时，7y =，27(1)4(1)m ∴=--⨯-+， 解得：2m =，∴当2x =时，该二次函数有最小值，最小值为0242+-=-．故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．将二次函数2245y x x =-+的右边进行配方，正确的结果是( ) A ．22(1)3y x =-- B ．22(2)3y x =-- C ．22(1)3y x =-+ D ．22(2)3y x =-+【考点】9H ：二次函数的三种形式【专题】66：运算能力；535：二次函数图象及其性质【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式． 【解答】解：提出二次项系数得，22(2)5y x x =-+， 配方得，22(21)52y x x =-++-， 即22(1)3y x =-+． 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，一般式：2y ax bx c =++，顶点式：2()y a x h k =-+；两根式：12()()y a x x x x =--．28．二次函数y ＝x 2﹣x +a ﹣4的图象与x 轴有两个公共点，a 取满足条件的最小整数，将图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y ＝kx ﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k 的值不可能是 A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；数据分析观念．【答案】D【分析】由二次函数y＝x2﹣x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则△＞0且a≠1，得到a＝2．①当k＞0时，直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，此时直线过点B、C，故将点B的坐标代入y＝kx﹣2，即可求解；②当k＜0时，直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，进而求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则△＞0且a≠1，当△＝2﹣4＝8a﹣7＞0时，解得a＞，∵a取满足条件的最小整数，而a≠1，故a＝2，当a＝2时，y＝x2﹣x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2，故点A、B、C的坐标分别为、、，由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C，①当k＞0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过点B、C，将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2，解得k＝1；②当k＜0时，∵直线y ＝kx ﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A 、C 点或直线与y ＝x 2﹣x ﹣2只有一个交点， 当直线过点A 、C 时，将点A 的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k ﹣2， 解得k ＝﹣2，当直线与y ＝x 2﹣x ﹣2只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式得：x 2﹣x ﹣2＝kx ﹣2，即x 2﹣x ＝0， 则△＝2﹣4×1×0＝0， 解得k ＝﹣1，综上，k ＝1或﹣2或﹣1， 故选：D ．【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式等知识点，分类求解是本题解题的关键．29．已知二次函数2y ax bx c =++与自变量x 的部分对应值如表，下列说法错误的是( )A ．0a <B ．方程22ax bx c ++=-的正根在4与5之间C ．20a b +>D ．若点1(5,)y 、3(2-，2)y 都在函数图象上，则12y y <【答案】B【考点】抛物线与x 轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；根与系数的关系 【专题】推理能力；二次函数图象及其性质【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A 进行判断；利用抛物线的对称性可得1x =-和4x =的函数值相等，则可对B 进行判断；利用0x =和3x =时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C 进行判断；利用二次函数的性质则可对D 进行判断．【解答】解：二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，0a ∴<，故A 正确；1x =-时，3y =-，4x ∴=时，3y =-，∴二次函数2y ax bx c =++的函数值为2-时，10x -<<或34x <<，即方程22ax bx c ++=-的负根在1-与0之间，正根在3与4之间， 故B 错误；抛物线过点(0,1)和(3,1)，∴抛物线的对称轴为直线32x =， 3122b a ∴-=>， 20a b ∴+>，故C 正确；3(2-，2)y 关于直线32x =的对称点为9(2，2)y ，952<， 12y y ∴<，故D 正确； 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质．抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键． 30．在平面直角坐标系有一条抛物线241y x x =-+-，则在下列结论中： ①此抛物线的开口向下； ②此抛物线的对称轴是2x =； ③当12x x <时，则有12y y <；④当2x >时，若0m >，则有2()444x m x m -+++<； ⑤此抛物线中，当x 取任何实数时，y 值都不可能等于5； ⑥此抛物线与x 轴有两个交点．在下列给出的序号中，含有错误结论的是( ) A ．①②③ B ．①②④C ．①②⑤D ．①②⑥【答案】B【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数与不等式31．将函数224y x x =-+化为2()y a x h k =-+的形式为 2(1)3y x =-+ ． 【考点】9H ：二次函数的三种形式 【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：2224(21)3y x x x x =-+=-++，2(1)3x =-+， 所以，2(1)3y x =-+． 故答案为：2(1)3y x =-+．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．32．如果函数2(1)(y m x x m =-+是常数）是二次函数，那么m 的取值范围是 1m ≠ ． 【考点】1H ：二次函数的定义【专题】536：二次函数的应用；33：函数思想 【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可． 【解答】解：函数2(1)(y m x x m =-+为常数）是二次函数， 10m ∴-≠，解得：1m ≠，故答案为：1m ≠．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键． 33．如果函数232(3)1y x x -+=-++是二次函数，那么的值一定是 0 ．【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得：2322-+=，解得0=或3=； 又30-≠，3∴≠．∴当0=时，这个函数是二次函数．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a ≠的函数，叫做二次函数．34．设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是抛物线2242y x x =+-上的点，坐标系原点O 位于线段AB的中点处，则AB 的长为【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征【专题】11：计算题【分析】由于原点O 是线段AB 的中点得到A 点和B 点关于原点中心对称，则12x x =-，12y y =-，根据抛物线的位置可确定A 点和B 点在第一、三象限，设A 点在第一象限，再把点A 和B 点坐标代入解析式得到2111242y x x =+-，2111242y x x -=--，两式相加可得到11x =，则14y =，于是可确定A 点和B 点坐标，然后利用两点间的距离公式计算．【解答】解：原点是线段的中点，，与，关于原点中心对称，，，，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，点和点在第一、三象限，设点在第一象限，点坐标为，，，，，，与，．O AB 1(A x ∴1)y 2(B x 2)y 12x x ∴=-12y y =-222422(1)4y x x x =+-=+-∴1x =-(1,4)--A ∴B A B ∴1(x -1)y -2111242y x x ∴=+-2111242y x x -=--11x ∴=14y ∴=(1,4)A ∴(1,4)B --AB ∴=故答案为．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了两点间的距离公式．35．在一幢高的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度与时间大致有如下关系：． 5 秒钟后苹果落到地面．【考点】：二次函数的应用【分析】苹果落到地面，即的值为0，代入函数解析式求得的值即可解决问题．【解答】解：把代入函数解析式得，，解得，；答：5秒钟后苹果落到地面．故答案为：5．【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解答时注意结合图象解答．36．如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点【专题】二次函数图象及其性质【分析】根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，点的横坐标为，点的坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题125m ()h m ()t s 21255h t =-HE h t 0h =21255h t =-212550t -=15t =25t =-2y ax bx c =++1x =P Q x P (4,0)Q (2,0)-x P Q 1x =P (4,0)∴Q 1242⨯-=-∴Q (2,0)-(2,0)-x的关键．37．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点、，则点的坐标为 ．【考点】菱形的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征【专题】二次函数图象及其性质【分析】根据抛物线经过点、和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点的坐标．【解答】解：抛物线，该抛物线的顶点的横坐标是，当时，，点的坐标为：，，抛物线经过点、，轴，，，，，，，，，点的坐标为，故答案为：【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．ABCD A x B x 2108(0)y ax ax a =-+>C D B(4,0)2108(0)y ax ax a =-+>C D CD AO OB B 22108(5)258y ax ax a x a =-+=--+∴5x =0x =8y =∴D (0,8)8OD ∴=2108(0)y ax ax a =-+>C D ////CD AB x 5210CD ∴=⨯=10AD ∴=90AOD ∠=︒8OD =10AD=6AO ∴====10AB =101064OB AO ∴=-=-=∴B (4,0)(4,0)。
中考几何与函数的综合题与答案
一、典型例题讲解1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。
又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得：a=－1。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：k b02k b6+=⎧⎨-+=⎩，解得：k 2b2=-⎧⎨=⎩。
∴直线BC的解析式为y=－2x+2．∴点E的坐标为（0，2）。
∴()()222 2 2 2AE AO OE4225CE206225 =+=+==--+-=，。
∴AE=CE。
（3）相似。
理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则1114k b0b4-+=⎧⎨=⎩，解得：11k1b4=⎧⎨=⎩。
∴直线AD的解析式为y=x+4。
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：y x 4y2x2=+⎧⎨=-+⎩，解得：2x310y3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
∴点F的坐标为（21033-，）。
则()222221055210102 BF10AF410333333⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+-==---+-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，。
又∵AB=5，()()22BC21603 5=--+-=，∴BF5AB 5AB3BC3==，。
∴BF ABAB BC=。
又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b=时，直线l：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：当b=时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，【答案】解：（1）10；1025±。
中考数学核心考点强化突破函数与几何综合运用含解析
中考数学核心考点强化突破：函数与几何综合运用类型1 存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．1．如图,已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4,0),与y 轴的交点为B,过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．解：(1)将A(4,0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c,得－42＋134×4＋c ＝0,解得c ＝3.∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时,y 1＝3,∴点B 的坐标为(0,3)． (2)满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围是：x ＜0或x ＞4.(3)存在,理由如下：作线段AB 的中垂线l,垂足为C,交x 轴于点P 1,交y 轴于点P 2.∵A(4,0),B(0,3),∴OA＝4,OB ＝3.∴在Rt △AOB 中,AB＝OA 2＋OB 2＝5.∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB ,∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ,即AP 15＝524,解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78,∴点P 1的坐标为(78,0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA ,∴Rt △P 2CB∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ,即P 2B 5＝523,解得P 2B ＝256.而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76,∴点P 2的坐标为(0,－76)．∴所求点P 的坐标为(78,0)或(0,－76)．2．如图,抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A(2,－3),与x 轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上,且∠BDO＝∠BAC ,求点D 的坐标；(3)点M 在抛物线上,点N 在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：(1)由y ＝ax 2＋bx －3得C(0.－3),∴OC＝3,∵OC＝3OB,∴OB＝1,∴B(－1,0),把A(2,－3),B(－1,0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －3＝－3a －b －3＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2,∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)设连接AC,作BF⊥AC 交AC 的延长线于F,∵A(2,－3),C(0,－3),∴AF∥x 轴,∴F(－1,－3),∴BF＝3,AF ＝3,∴∠BAC＝45°,设D(0,m),则OD ＝|m|,∵∠BDO＝∠BAC ,∴∠BDO＝45°,∴OD＝OB ＝1,∴|m|＝1,∴m＝±1,∴D 1(0,1),D 2(0,－1)；(3)设M(a,a 2－2a －3),N(1,n),①以AB 为边,则AB∥MN ,AB ＝MN,如图2,过M 作ME⊥对称轴于E,AF⊥x 轴于F,则△ABF≌△NME ,∴NE＝AF ＝3,ME ＝BF ＝3,∴|a－1|＝3,∴a＝4或a ＝－2,∴M(4,5)或(－2,5)；②以AB 为对角线,BN ＝AM,BN∥AM ,如图3,则N 在x 轴上,M 与C 重合,∴M(0,－3),综上所述,存在以点A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(－2,5)或(0,－3)．类型2 几何最值、定值问题3．如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC 如图放置,将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3经过点A 、C 、A′三点．(1)求A 、A′、C 三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点,问点M 在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．解：(1)当y ＝0时,－x 2＋2x ＋3＝0,解得x 1＝3,x 2＝－1,∴C(－1,0),A′(3,0)．当x ＝0时,y ＝3,∴A(0,3)．(2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1,0),A(0,3),∴B(1,3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32.又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A′B′OC′, ∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO ,∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB ,∴△C′OD∽△BOA.∴S △C′OD S △BO A ＝(OC′OB )2＝(110)2.∴S △C′OD ＝320. (3)设M 点的坐标为(m,－m 2＋2m ＋3),连接OM.S △AMA′＝S △MOA′＋S △MOA －S △AOA′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m－12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0＜m ＜3)当m ＝32时,S △AMA′取到最大值278,∴M(32,154)．4．如图,已知抛物线y ＝ax 2－23ax －9a 与坐标轴交于A,B,C 三点,其中C(0,3),∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D,交BC 于点E,过点D 的直线l 与射线AC,AB 分别交于点M,N.(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD 为等腰三角形,求出点P 的坐标；(3)证明：当直线l 绕点D 旋转时,1AM ＋1AN 均为定值,并求出该定值．解：(1)∵C(0,3)．∴－9a ＝3,解得：a ＝－13.令y ＝0得：ax 2－2x －9a ＝0,∵a≠0,∴x 2－2x －9＝0,解得：x ＝－3或x ＝33.∴点A 的坐标为(－3,0),B(33,0)．∴抛物线的对称轴为x ＝ 3. (2)∵OA＝3,OC ＝3,∴tan∠CAO＝3,∴∠CAO＝60°.∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠DAO＝30°.∴DO ＝33AO ＝1.∴点D 的坐标为(0,1)设点P 的坐标为(3,a)． 依据两点间的距离公式可知：AD 2＝4,AP 2＝12＋a 2,DP 2＝3＋(a －1)2.当AD ＝PA 时,4＝12＋a 2,方程无解．当AD ＝DP 时,4＝3＋(a －1)2,解得a ＝2或a ＝0,当a ＝2时,点A,D,P 三点共线,不能构成三角形,∴a≠2,∴点P 的坐标为(3,0)．当AP ＝DP 时,12＋a 2＝3＋(a －1)2,解得a ＝－4.∴点P 的坐标为(3,－4)．综上所述,点P 的坐标为(3,0)或(3,－4)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3,将点A 的坐标代入得：－3m ＋3＝0,解得：m ＝3,∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3.设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1得：kx ＋1＝0,解得：x ＝－1k ,∴点N 的坐标为(－1k ,0)．∴AN＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立解得：x ＝2k －3.∴点M 的横坐标为2k －3.过点M 作MG⊥x 轴,垂足为G.则AG ＝2k －3＋3.∵∠MAG＝60°,∠AGM＝90°,∴AM＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32类型3 反比例函数与几何问题5．如图,P 1,P 2是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点,点A 1的坐标为(4,0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形,其中点P 1,P 2为直角顶点．①求反比例函数的解析式．②(Ⅰ)求P 2的坐标．(Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时,经过点P 1,P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值．解：①过点P 1作P 1B⊥x 轴,垂足为B,∵点A 1的坐标为(4,0),△P 1OA 1为等腰直角三角形,∴OB＝2,P 1B ＝12OA 1＝2,∴P 1的坐标为(2,2),将P 1的坐标代入反比例函数y ＝k x (k ＞0),得k ＝2×2＝4,∴反比例函数的解析式为y ＝4x；②(Ⅰ)过点P 2作P 2C⊥x 轴,垂足为C∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形,∴P 2C ＝A 1C,设P 2C ＝A 1C ＝a,则P 2的坐标为(4＋a,a),将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中,得a ＝44＋a,解得a 1＝22－2,a 2＝－22－2(舍去),∴P 2的坐标为(2＋22,22－2)；(Ⅱ)在第一象限内,当2＜x ＜2＋22时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．6．如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,点C 的坐标为(0,3),点A 在x 轴的负半轴上,点D,M 分别在边AB,OA 上,且AD ＝2DB,AM ＝2MO,一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M,反比例函数y ＝m x的图象经过点D,与BC 的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上,且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,求点P 的坐标．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C(0,3),∴OA＝AB ＝BC ＝OC ＝3,∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°,∵AD＝2DB,∴AD＝23AB ＝2,∴D(－3,2),把D 坐标代入y ＝m x 得：m ＝－6,∴反比例函数解析式为y ＝－6x,∵AM＝2MO,∴MO＝13OA ＝1,即M(－1,0),把M 与D 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得：k ＝b ＝－1,则直线DM 解析式为y ＝－x －1 (2)把y ＝3代入y ＝－6x得：x ＝－2,∴N(－2,3),即NC ＝2,设P(x,y),∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等,∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|,即|y|＝9,解得：y ＝±9,当y ＝9时,x ＝－10,当y ＝－9时,x ＝8,则P 坐标为(－10,9)或(8,－9)．。
九年级数学函数与几何综合(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系中处理问题的原则是什么？充分利用_________的线，_________、_________互转．问题2：什么是“关键点”？问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？问题4：几何特征与函数特征结合的两种常见方式是什么？函数与几何综合一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义2.在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C(0，n)是y轴正半轴上一点．若把坐标平面沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴上，则点C的坐标是( )A. B.C.(0，3)D.(0，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）3.如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与平移变换4.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点．若半径为的圆内切于△ABC，则k的值为( )A.2B.-2C.1D.-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数综合题5.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线交于E，F两点．若AB=2EF，则k的值为( )A.-4B.4C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，正方形ABCD的顶点B，C均在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点A(m，2)和CD边上的点，过点E的直线l交x轴于点F，交y 轴于点G(0，-2)，则点F的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合。
中考数学函数与几何结合问题练习题
中考数学：函数与几何结合问题练习题1. 题目：已知函数f(x)=2x+3，求函数f(x)在直线y=2x-1上的截距。
解析：截距就是函数与直线相交的点的纵坐标。
所以我们只需要将函数f(x)与直线y=2x-1联立，解方程即可。
将函数f(x)代入直线方程，得到2x+3=2x-1，化简得到3=-1，显然等式不成立。
所以函数f(x)与直线y=2x-1没有交点，因此没有截距。
2. 题目：已知函数f(x)=3x-2，求函数f(x)在直线y=x+1上的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=x+1联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x-2=x+1，化简得到2x=3，解得x=3/2。
将x=3/2代入直线方程，得到y=3/2+1=5/2。
所以函数f(x)在直线y=x+1上的截距为(3/2, 5/2)。
3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x，求函数f(x)在直线y=2x的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=2x联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到x^2+2x=2x，化简得到x^2=0，解得x=0。
将x=0代入直线方程，得到y=2(0)=0。
所以函数f(x)在直线y=2x上的截距为(0, 0)。
4. 题目：已知函数f(x)=3x^2-4x+1，求函数f(x)在直线y=3的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=3联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x^2-4x+1=3，化简得到3x^2-4x-2=0。
解方程得到x≈-0.732和x≈1.065。
将x≈-0.732代入函数f(x)，得到f(-0.732)=3(-0.732)^2-4(-0.732)+1≈3.529。
将x≈1.065代入函数f(x)，得到f(1.065)=3(1.065)^2-4(1.065)+1≈1.126。
所以函数f(x)在直线y=3上的截距为(-0.732, 3.529)和(1.065, 1.126)。
2021年中考数学核心考点强化突破函数与几何综合运用含解析
2021年中考数学核心考点强化突破：函数与几何综合运用类型1 存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．1．如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)将A(4，0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c ，得－42＋134×4＋c ＝0，解得c ＝3.∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时，y 1＝3，∴点B 的坐标为(0，3)． (2)满足y 1＜y 2的自变量x 的取值范围是：x ＜0或x ＞4.(3)存在，理由如下：作线段AB 的中垂线l ，垂足为C ，交x 轴于点P 1，交y 轴于点P 2.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB ＝3.∴在Rt △AOB 中，AB＝OA 2＋OB 2＝5.∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB，∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ，即AP 15＝524，解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78，∴点P 1的坐标为(78，0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA，∴Rt △P 2CB∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ，即P 2B 5＝523，解得P 2B ＝256.而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76，∴点P 2的坐标为(0，－76)．∴所求点P 的坐标为(78，0)或(0，－76)．2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A(2，－3)，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D 的坐标；(3)点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由y ＝ax 2＋bx －3得C(0.－3)，∴OC＝3，∵OC＝3OB ，∴OB＝1，∴B(－1，0)，把A(2，－3)，B(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －3＝－3a －b －3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)设连接AC ，作BF⊥AC 交AC 的延长线于F ，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x 轴，∴F(－1，－3)，∴BF＝3，AF ＝3，∴∠BAC＝45°，设D(0，m)，则OD ＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB ＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D 1(0，1)，D 2(0，－1)；(3)设M(a ，a 2－2a －3)，N(1，n)，①以AB 为边，则AB∥MN，AB ＝MN ，如图2，过M 作ME⊥对称轴于E ，AF⊥x 轴于F ，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF ＝3，ME ＝BF ＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a ＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)；②以AB 为对角线，BN ＝AM ，BN∥AM，如图3，则N 在x 轴上，M 与C 重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．类型2 几何最值、定值问题3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3经过点A 、C 、A′三点．(1)求A 、A′、C 三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．解：(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴C(－1，0)，A′(3，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)．(2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1，0)，A(0，3)，∴B(1，3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32.又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A′B′OC′， ∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA.∴S △C′OD S △BOA ＝(OC′OB )2＝(110)2.∴S △C′OD ＝320. (3)设M 点的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，连接OM.S △AMA′＝S △MOA′＋S △MOA －S △AOA′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m－12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0＜m ＜3)当m ＝32时，S △AMA′取到最大值278，∴M(32，154)．4．如图，已知抛物线y ＝ax 2－23ax －9a 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C(0，3)，∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N.(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；(3)证明：当直线l 绕点D 旋转时，1AM ＋1AN 均为定值，并求出该定值．解：(1)∵C(0，3)．∴－9a ＝3，解得：a ＝－13.令y ＝0得：ax 2－2x －9a ＝0，∵a≠0，∴x 2－2x －9＝0，解得：x ＝－3或x ＝33.∴点A 的坐标为(－3，0)，B(33，0)．∴抛物线的对称轴为x ＝ 3. (2)∵OA＝3，OC ＝3，∴tan∠CAO＝3，∴∠CAO＝60°.∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO＝30°.∴DO ＝33AO ＝1.∴点D 的坐标为(0，1)设点P 的坐标为(3，a)． 依据两点间的距离公式可知：AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2.当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝2或a ＝0，当a ＝2时，点A ，D ，P 三点共线，不能构成三角形，∴a≠2，∴点P 的坐标为(3，0)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4.∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：－3m ＋3＝0，解得：m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3.设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1得：kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)．∴AN＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立解得：x ＝2k －3.∴点M 的横坐标为2k －3.过点M 作MG⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋3.∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32类型3 反比例函数与几何问题5．如图，P 1，P 2是反比例函数y ＝k x(k ＞0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1，P 2为直角顶点．①求反比例函数的解析式．②(Ⅰ)求P 2的坐标．(Ⅱ)根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1，P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x的函数值．解：①过点P 1作P 1B⊥x 轴，垂足为B ，∵点A 1的坐标为(4，0)，△P 1OA 1为等腰直角三角形，∴OB＝2，P 1B ＝12OA 1＝2，∴P 1的坐标为(2，2)，将P 1的坐标代入反比例函数y ＝k x(k ＞0)，得k ＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；②(Ⅰ)过点P 2作P 2C⊥x 轴，垂足为C∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形，∴P 2C ＝A 1C ，设P 2C ＝A 1C ＝a ，则P 2的坐标为(4＋a ，a)，将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中，得a ＝44＋a，解得a 1＝22－2，a 2＝－22－2(舍去)，∴P 2的坐标为(2＋22，22－2)；(Ⅱ)在第一象限内，当2＜x ＜2＋22时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D ，M 分别在边AB ，OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝m x的图象经过点D ，与BC 的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C(0，3)，∴OA＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°，∵AD＝2DB ，∴AD＝23AB ＝2，∴D(－3，2)，把D 坐标代入y ＝m x 得：m ＝－6，∴反比例函数解析式为y ＝－6x，∵AM＝2MO ，∴MO＝13OA ＝1，即M(－1，0)，把M 与D 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得：k ＝b ＝－1，则直线DM 解析式为y ＝－x －1 (2)把y ＝3代入y ＝－6x得：x ＝－2，∴N(－2，3)，即NC ＝2，设P(x ，y)，∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|，即|y|＝9，解得：y ＝±9，当y ＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则P 坐标为(－10，9)或(8，－9)．。
九年级中考数学难点突破训练之函数与函数的综合(含答案)
中考数学难点突破训练之函数与函数的综合☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如图，已知点A （m ，m+3），点B （n ，n ﹣3）是反比例函数y ＝kx（k ＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB ．将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ，则△ABC 的面积为（ ）A ．92B ．6C ．152D ．92．函数y ＝kx与y ＝kx 2﹣k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于A ，B 两点，且点A 的横坐标是2-，点B 的横坐标是3，则以下结论：①抛物线2(0)y ax a =≠的图象的顶点一定是原点；②0x >时，一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当32x -<<时，2ax kx b +<.其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④4．小雨利用几何画板探究函数y =||()ax c x b --图象，在他输入一组a ，b ，c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足( )A ．a ＞0，b ＞0，c =0B ．a ＜0，b ＞0，c =0C ．a ＞0，b =0，c =0D ．a ＜0，b =0，c ＞0☆填空题5．如图，直线l 与反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象在第二象限交于B 、C 两点，与x 轴交于点A ，连接OC ，∠ACO 的角平分线交x 轴于点D ．若AB ：BC ：CO ＝1：2：2，△COD 的面积为6，则k 的值为______．6．如图，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形ABCD 的顶点D ，直线112y x =-经过点C ，分别交x 轴、反比例函数图象于点E 、F ，连接OF ．若3AB =，1BC =，则OEF ∆的面积为______．7．定义：数x 、y 、z 中较大的数称为max{x ，y ，z}．例如max{﹣3，1，﹣2}=1，函数y=max{﹣t+4，t ，3t}表示对于给定的t 的值，代数式﹣t+4，t ，3t中值最大的数，如当t=1时y=3，当t=0.5时，y=6．则当t=_________时函数y 的值最小．☆解答题8．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．9．已知，抛物线21(2)1y x m x m =++++，直线2(0)y mx m m =+<． (1)当2m =时，求抛物线与x 轴交点的坐标；(2)直线是否可能经过抛物线的顶点，如果可能，请求出m 的值，如果不可能，请说明理由； (3)记21S y y =-，当13x m -+时，求S 的最大值．10．如图1，已知A 1(4,)2-，B (1,2)-是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数(0)my m x=<图象的两个交点．(1) 根据图象回答：当x 满足 ，一次函数的值小于反比例函数的值； (2) 将直线AB 沿y 轴方向，向下平移n 个单位，与双曲线my x=有唯一的公共点时，求n 的值； (3) 如图2，P 点在my x=的图象上，矩形OCPD 的两边OD 、OC 在坐标轴上，且OC=2OD ，M 、N 分别为OC 、OD 的中点，PN 与DM 交于点E ，直接写出四边形EMON 的面积为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）交于A （1，0），B 两点，与y 轴交于C （0，3），对称轴为直线x ＝2． （1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，在对称轴右侧的抛物线上有一点G ，若12AF FB =，且S △BAG ＝6，求点G 的坐标； （3）若在直线12y上有且只有一点P ，使∠APB ＝90°，求k 的值．12．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x=()0k ≠与直线y ax b =+()0a ≠交于A 、B 两点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，E 为x 轴上一点．已知OA OC OE ==，A 点坐标为()3,4．（1）将线段OE 沿x 轴平移得线段O E ''（如图1），在移动过程中，是否存在某个位置使BO AE ''-的值最大？若存在，求出BO AE ''-的最大值及此时点O '的坐标；若不存在，请说明理由；（2）将直线OA 沿射线OE 平移，平移过程中交ky x=(0)x >的图象于点M （M 不与A 重合），交x 轴于点N （如图２）．在平移过程中，是否存在某个位置使MNE ∆为以MN 为腰的等腰三角形？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:,l y x =-点()1,A t 在抛物线24y x x=-5+上，求点A 到直线l 的距离d ．如图1，他过点A 作AB l ⊥于点,//B AD y 轴分别交x 轴于点,C 交直线l 于点D ．他发现OC CD =，45ADB ∠=︒，可求出AD 的长，再利用Rt ABD △求出AB 的长，即为点A 到直线l 的距离d ．请回答：（1）图1中，AD = ，点A 到直线l 的距离d = ． 参考该同学思考问题的方法，解决下列问题:在平面直角坐标系xOy 中，点M 是抛物线245y x x =-+上的一动点，设点M 到直线l 的距离为d ． （2）如图2，①:2l y x d =-=，，则点M 的坐标为 ； ②:l y x =-，在点M 运动的过程中，求d 的最小值；（3）如图3，:27l y x =-，在点M 运动的过程中，d 的最小值是 ．14．如图，抛物线1C :2y x ax =+与2C :2y x bx =-+相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点. （1）求ab的值； （2）若OC AC ⊥,求OAC ∆的面积；（3）抛物线2C 的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线2C 对称轴l 上一动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；②如图12.2，点E 在抛物线2C 上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．A2．D3．B4．B 5．﹣15267．28．（1）y=x+3；y=-x 2-2x+3；（2）M 的坐标为（-1，2）；（3）P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1）或（-1． 9．（1）抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)-和(3,0)-；（2）直线不可能经过抛物线的顶点；（3）S 的最大值为4． 10．(1)x <4-或1-<x <0；(2) 12n =或92；(3) 四边形EMON 的面积为25． 11．（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）G （5，8）；（3）k12．（1）|BO ′﹣AE ′|的最大值为132，此时点O ′的坐标（﹣585，0）； （2）存在，点M的坐标为（52+，103）或（8，32）13．（1）3，2（2）①（0，5）或（3，2）；②8；（314．（1）12a b =-；（2）3）①P23）。
中考专题训练05：函数与几何图形的综合(含答案)
专题训练(五)[函数与几何图形的综合]1.已知函数y=mx2-(2m-5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围,并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为C1.①当n≤x≤-1时,y的取值范围是1≤y≤-3n,求n的值;②函数C2:y=m(x-h)2+k的图象由函数C1的图象平移得到,其顶点P落在以原点为圆心,半径为√5的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M,求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.2.如图5-1,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).图5-1(1)求抛物线的解析式;(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值.(3)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.3.如图5-2,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过点P且垂直于AB的直线与☉O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC∶CE=1∶2.图5-2(1)求点P的坐标;(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.4.如图5-3,抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).图5-3(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值;(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.5.如图5-4①,在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y=34x+m 与x 轴,y 轴分别交于点A 和点B (0,-1),抛物线y=12x 2+bx+c 经过点B ,且与直线l 的另一个交点为C (4,n ).图5-4(1)求n 的值和抛物线的解析式.(2)点D 在抛物线上,且点D 的横坐标为t (0<t<4),DE ∥y 轴交直线l 于点E ,点F 在直线l 上,且四边形DFEG 为矩形(如图②).若矩形DFEG 的周长为p ,求p 与t 的函数关系式及p 的最大值.(3)M 是平面内一点,将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后,得到△A 1O 1B 1,点A ,O ,B 的对应点分别是点A 1,O 1,B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A 1的横坐标.6.如图5-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=√33x 2-2√33x-√3与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点E (4,n )在抛物线上.图5-5(1)求直线AE 的解析式.(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE.当△PCE 的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是线段CP 上的一点,点N 是线段CD 上的一点,求KM+MN+NK 的最小值.(3)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y=√33x 2-2√33x-√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过点D ,y'的顶点为点F .在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q ,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)由题意可得:{m ≠0,[-(2m -5)]2-4m (m -2)>0.解得:m<2512,且m ≠0.当m=2时,函数解析式为y=2x 2+x.(2)①函数y=2x 2+x 图象开口向上,对称轴为直线x=-14,∴当x<-14时,y 随x 的增大而减小. ∵当n ≤x ≤-1时,y 的取值范围是1≤y ≤-3n , ∴2n 2+n=-3n.∴n=-2或n=0(舍去). ∴n=-2.②∵y=2x 2+x=2x+142-18,∴函数C 1的图象顶点M 的坐标为-14,-18.由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时,距离最大.∵点P 在直线OM 上,由O (0,0),M -14,-18可求得直线的解析式为y=12x. 设P (a ,b ),则有a=2b.根据勾股定理可得PO 2=(2b )2+b 2=(√5)2,解得b=1(负值已舍). ∴a=2.∴PM 最大时函数C 2的解析式为y=2(x-2)2+1. 2.解:(1)由题意得{32+3b +c =0,c =3,解得{b =-4,c =3.∴抛物线的解析式为y=x 2-4x+3.(2)方法1(代数法):如图①,过点P 作PG ∥CF 交CB 于点G ,由题意知∠BCO=∠CFE=45°,F (0,m ),C (0,3), ∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形,∴EF=√22CF=√22(3-m ),PE=√22PG. 又易知直线BC 的解析式为y=-x+3.设x P =t (1<t<3),则PE=√22PG=√22(-t+3-t-m )=√22(-m-2t+3). 又∵t 2-4t+3=t+m ,∴m=t 2-5t+3.∴PE+EF=√22(3-m )+√22(-m-2t+3)=√22(-2t-2m+6)=-√2(t+m-3)=-√2(t 2-4t )=-√2(t-2)2+4√2, ∴当t=2时,PE+EF 取最大值4√2.方法2:(几何法)如图②,由题易知直线BC 的解析式为y=-x+3,OC=OB=3,∴∠OCB=45°. 同理可知∠OFE=45°, ∴△CEF 为等腰直角三角形.以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F'CE ,作PH ⊥CF'于点H 则PE+EF=PF'=√2PH. 又PH=y C -y P =3-y P .∴当y P 最小时,PE+EF 取最大值.∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴当y P=-1时,(PE+EF)max=√2×(3+1)=4√2.(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC上方D1位置时, 由勾股定理得C D12+BC2=B D12,即(2-0)2+(n-3)2+(3√2)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC下方D2位置时, 由勾股定理得B D22+BC2=C D22,即(2-3)2+(n-0)2+(3√2)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点坐标为(2,5)或(2,-1).3.解:(1)过点E作EF⊥x轴于点F,∵CD⊥AB,∴CD∥EF,PC=PD.∴△ACP∽△AEF, △BPD∽△BFE.∵AC∶CE=1∶2, ∴AC∶AE=1∶3.∴APAF =CPEF=13,DPEF=PBB F=13.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB.∴3AP-3PB=AB.又∵☉O的半径为3,设P(m,0),∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0).∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP,∴APCP =CP BP.∴CP2=AP·BP=4×2=8.∴CP=2√2(负值已舍).∴EF=3CP=6√2.∴E(9,6√2).∵抛物线的顶点在直线CD上,∴CD 是抛物线的对称轴, ∴抛物线过点(5,0).设抛物线的函数表达式为y=ax 2+bx+c. 根据题意得{0=9a -3b +c ,0=25a +5b +c ,6√2=81a +9b +c ,解得{a =√28,b =-√24,c =-15√28,∴抛物线的函数表达式为y=√28x 2-√24x-15√28.4.解:(1)由抛物线y=a (x-2)2-1过点C (4,3), 得3=a (4-2)2-1,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,顶点M 的坐标为(2,-1). (2)如图,连接OM ,∵OC 2=32+42=25,OM 2=22+12=5,CM 2=22+42=20, ∴CM 2+OM 2=OC 2, ∴∠OMC=90°.OM=√5,CM=2√5,tan ∠OCM=OMCM =√52√5=12.(3)如图,过C 作CN 垂直于对称轴,垂足N 在对称轴上,取一点E ,使EN=CN=2,连接CE ,EM=6.当y=0时,(x-2)2-1=0,解得x 1=1,x 2=3,∴A (1,0),B (3,0). ∵CN=EN ,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°, ∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM , ∴∠EPC=∠PBM ,∴△CEP ∽△PMB ,∴EPMB =CEPM ,易知MB=√2,CE=2√2, ∴√2=2√2PM ,解得PM=3±√5,∴P 点坐标为(2,2+√5)或(2,2-√5). 5.解:(1)∵直线l :y=34x+m 经过点B (0,-1),∴m=-1,∴直线l 的解析式为y=34x-1. ∵直线l :y=34x-1经过点C (4,n ), ∴n=34×4-1=2.∵抛物线y=12x 2+bx+c 经过点C (4,2)和点B (0,-1),∴{12×42+4b +c =2,c =-1,解得{b =-54,c =-1,∴抛物线的解析式为y=12x 2-54x-1. (2)令y=0,则34x-1=0,解得x=43,∴点A 的坐标为43,0, ∴OA=43. 在Rt △OAB 中,OB=1, ∴AB=√OA 2+OB 2=√(43) 2+12=53. ∵DE ∥y 轴,∴∠ABO=∠DEF ,在矩形DFEG 中,EF=DE ·cos ∠DEF=DE ·OB AB =35DE ,DF=DE ·sin ∠DEF=DE ·OA AB =45DE , ∴p=2(DF+EF )=2×45+35DE=145DE ,∵点D 的横坐标为t (0<t<4),∴D t ,12t 2-54t-1,E t ,34t-1,∴DE=34t-1-12t 2-54t-1=-12t 2+2t , ∴p=145×-12t 2+2t =-75t 2+285t ,∴p=-75(t-2)2+285,且-75<0,∴当t=2时,p 有最大值285.(3)∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°,∴A 1O 1∥y 轴,B 1O 1∥x 轴.设点A 1的横坐标为x ,如图①,点O 1,B 1在抛物线上时,点O 1的横坐标为x ,点B 1的横坐标为x+1, ∴12x 2-54x-1=12(x+1)2-54(x+1)-1,解得x=34.如图②,点A 1,B 1在抛物线上时,点B 1的横坐标为x+1,点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大43, ∴12x 2-54x-1=12(x+1)2-54(x+1)-1+43, 解得x=-712.综上所述,点A 1的横坐标为34或-712. 6.解:(1)令y=0,得√33x 2-2√33x-√3=0, 解得x 1=-1,x 2=3,∴点A (-1,0),B (3,0).∵点E (4,n )在抛物线上,∴n=√33×42-2√33×4-√3=5√33, 即点E (4,5√33), 设直线AE 的解析式为y=kx+b ,则{-k +b =0,4k +b =5√33,解得{k =√33,b =√33, ∴直线AE 的解析式为y=√33x+√33.(2)令y=√33x 2-2√33x-√3中x=0,得y=-√3,∴C (0,-√3).由(1)得点E (4,5√33),∴直线CE 的解析式为y=2√33x-√3. 过点P 作PH ∥y 轴,交CE 于点H ,如图①, 设点P t ,√33t 2-2√33t-√3,则H t ,2√33t-√3,∴PH=2√33t-√3-(√33t 2-2√33t -√3)=-√33t 2+4√33t , ∴S △PCE =S △PHC +S △PHE =12·PH ·|x E -x C | =12×(-√33t 2+4√33t)×4 =-2√33t 2+8√33t =-2√33(t 2-4t ) =-2√33(t-2)2+8√33. ∵-2√33<0, ∴当t=2时,S △PCE 最大,此时点P (2,-√3). ∵C (0,-√3),∴PC ∥x 轴.∵B (3,0),K 为BC 的中点,∴K 32,-√32.如图②,作点K 关于CP ,CD 的对称点K 1,K 2,连接K 1K 2,分别交CP ,CD 于点M ,N.此时KM+MN+NK 最小,易知K 132,-3√32.∵OC=√3,OB=3,OD=1,∴∠OCB=60°,∠OCD=30°, ∴CD 平分∠OCB ,∴点K 2在y 轴上.∵CK=OC=√3,∴点K 2与原点O 重合, ∴KM+MN+NK=K 1M+MN+NO=OK 1=√(32)2+(-3√32)2=3, ∴KM+MN+NK 的最小值为3.(3)存在.如图③,点Q的坐标分别为Q1(3,2√3),Q23,-4√3+2√213,Q33,-2√35,Q43,-4√3-2√213.。