北师大版 第1课时 指数函数的图像与性质
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在R上是单调增函数
a>1
0<a<1
当x>0时，0<y<1; 当x<0时，y>1
在R上是单调减函数
例 1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3
0.8
,
-0.1
3
0.7
(2) 0.75
,
0.75
0.1
科学计算器
解：方法一：
(1)因为30.8≈2.408 225,30.7 ≈2.157 669，所以
两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集R？
y 2 , x N 1 x y ( ) , x N 2
x
显然可以得到这样两个函数：
1x y2 ,y( ) , 2
x
xR
问题：大家还能举出形式和刚才差不多的函数吗？
1 y 3 , y 10 , y ... 10
x
（8） y (a 1)
x
（ a ＞1，且 a 2 ）
答案： （4） ， （8）是指数函数,其他不是指数函数.
1 x 怎样研究函数y 2 , y ( ) 的图像和性质呢？ 2
x
你能画出它们的图像吗？
函数y 2 的图像
x
x
3.00
1 8
2.00
1 4
1.00
1 2
0.00
1
-3 -2 -1
2
两个函数图像的相同点：
都位于 x 轴的上方，
都过点（0，1） ，
左右无限延伸
两个函数图像的不同点：
函数 y 2x 的图像是上升的，
1 x 函数 y ( ) 的图像是下降的. 2
指数函数的图像与性质
底数
图 像 定义域 值域 性 质 过定点 函数值的 变化 单调性 R (0, +∞) 过定点（0，1），即x=0时，y=1 当x>0时，y>1; 当x<0时，0<y<1
x 天剩下的长度 y 与 x 的函数关系式.
1 x y ( ) ( x N ) 2
1.掌握指数函数的概念、图像与性质.（重点）
2.能应用指数函数的图像与性质解决简单的应用问
题.（难点）
3.了解指数函数中的底数a的变化对函数值的影 响.(难点）
问题：我们在前面学习了分数指数幂,请问大家刚才
x 2 1.当a>1时,函数y=a 和y=(a-1)x 的图像只可能是( A )
解：由a>1知函数y=ax的图像过点(0,1), 分布在第一和第二象限,且从左到右是上升的.由a>1知函数 y=(a-1)x2的图像开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.综合 分析可知选项A正确.
2.已知指数函数 f(x) a x a 0, 且a 1 的图像 经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3). 解: 因为 f ( x) a x 的图像经过点(2, 4),所以 f(2)=4, 即 a2=4 ,
0.750.1 0.750.1
【变式练习】 比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.72.5与1.73;
(2) 0.8-0.1与0.8-0.2;
(3) 1.50.3与0.81.2
解： （1）考查函数 y 1.7 ,由 1.7 >1 得函数在实数集上是增函数
x
∵2.5 < 3
∴ 1.7
1
1.00
2
2.00
4
y 2x
y
y=2x
列表
描点
8
连线
4 2 1 -3 -2 -1
1 2
0 1
2
3
x
1 x 函数y （ ） 的图像 2
x
1 y ( )x 2
-3.00 8
2.00 1.00 0.00
4 2
y 8
1.00
1/2
2.00
1/4
1
1 x y （ ） 2
4 2 1 0 1 2 3 x
（2） 0.2
0.6
0.30.4 .
0.30.6 0.30.4 .
理由： 0.2
0.6
1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质.
3.比较大小.
对时间的价值没有深切认识的人，决不会
坚韧勤勉。
x
2.5
1.73
(2) 考查函数 y 0.8 ,由 0<0.8<1 得函数在实数集上是减函数 ∵-0.1 >-0.2 ∴ 0.8
0.3 0.1
0.80.2
0 1.2 0 0.3 1.2
(3)由指数函数的性质知 1.5 >1.5 =1 , 0.8 <0.8 =1 ,所以 1.5 >0.8
2 0.12 1073741824 0.12
30
128849018.88(mm) 128849.01888(m)
问题二
半 ， 万 世 不 竭 。
这 样 一 段 话 ： 一 尺 之 棰 ， 日 取 其
我 国 古 代 庄 子 《 天 下 篇 》 记 载 有
设棰（棍）的长度为１，请你写出
§3
第1课时
指数函数
指数函数的图像与性质
问题一
一张纸对折１次可得２张，对折２次可
得４张．．．请你写出一张纸对折后所得张数y与
折的次数x的函数关系式．若能将一张纸对折30次，
你敢从上面跳下来吗？
y 2 x (x N )
230 1073741824
教科书一页纸的厚度约为 0.12 mm
x
量 x 出现在指数的位置上，底数 a 是一个大于 0 且不 等于 1 的常量，函数的定义域是实数集 R.
定义是判
练习：下列函数是否是指数函数？
（1） y 2x 2 （4） y
x
断标准
（3） y 2x （6） y 4x
2
（2） y (2)x （5） y x
2
（7） y 2 4
解得 a=2 ,于是f(x)= 2 x ，
所以, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)= .
1 8
3.比较下列各数的大小，并写出理由. （1） 与 ；
2
（2）
与
.wenku.baidu.com
解析:（1） 0.3
0.33 .
x
理由: y 0.3 在 R 上单调递减， 又 2 3 ， 故 0.3
2
0.33 .
30.8＞30.7
（2）因为0.75-0.1 ≈ 1.029 186,0.750.1 ≈0.971 642
所以0.750.1＜0.75-0.1
利用指数函
方法二
(1)
数的性质
因为 y 3x 是 R 上的增函数， 0.7 0.8 ，所以
30.7 30.8
(2) 因为 y 0.75x 是 R 上的减函数， 0.1 0.1 ，所以
x x
x
请观察以上几个函数： 大家还能从这些特征中，概括出一个式子来表示 它们吗？
ya
思考:
x
这里的a可以取什么样的值？
当a 0 当 a 2
x 0,a 无意义
x
当a 1
1 x , 不存在 2
x
a 1, 没有研究价值
所以a 0且a 1
指数函数的定义:
函数 y a 叫作指数函数，在这个函数中，自变
a>1
0<a<1
当x>0时，0<y<1; 当x<0时，y>1
在R上是单调减函数
例 1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3
0.8
,
-0.1
3
0.7
(2) 0.75
,
0.75
0.1
科学计算器
解：方法一：
(1)因为30.8≈2.408 225,30.7 ≈2.157 669，所以
两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集R？
y 2 , x N 1 x y ( ) , x N 2
x
显然可以得到这样两个函数：
1x y2 ,y( ) , 2
x
xR
问题：大家还能举出形式和刚才差不多的函数吗？
1 y 3 , y 10 , y ... 10
x
（8） y (a 1)
x
（ a ＞1，且 a 2 ）
答案： （4） ， （8）是指数函数,其他不是指数函数.
1 x 怎样研究函数y 2 , y ( ) 的图像和性质呢？ 2
x
你能画出它们的图像吗？
函数y 2 的图像
x
x
3.00
1 8
2.00
1 4
1.00
1 2
0.00
1
-3 -2 -1
2
两个函数图像的相同点：
都位于 x 轴的上方，
都过点（0，1） ，
左右无限延伸
两个函数图像的不同点：
函数 y 2x 的图像是上升的，
1 x 函数 y ( ) 的图像是下降的. 2
指数函数的图像与性质
底数
图 像 定义域 值域 性 质 过定点 函数值的 变化 单调性 R (0, +∞) 过定点（0，1），即x=0时，y=1 当x>0时，y>1; 当x<0时，0<y<1
x 天剩下的长度 y 与 x 的函数关系式.
1 x y ( ) ( x N ) 2
1.掌握指数函数的概念、图像与性质.（重点）
2.能应用指数函数的图像与性质解决简单的应用问
题.（难点）
3.了解指数函数中的底数a的变化对函数值的影 响.(难点）
问题：我们在前面学习了分数指数幂,请问大家刚才
x 2 1.当a>1时,函数y=a 和y=(a-1)x 的图像只可能是( A )
解：由a>1知函数y=ax的图像过点(0,1), 分布在第一和第二象限,且从左到右是上升的.由a>1知函数 y=(a-1)x2的图像开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.综合 分析可知选项A正确.
2.已知指数函数 f(x) a x a 0, 且a 1 的图像 经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3). 解: 因为 f ( x) a x 的图像经过点(2, 4),所以 f(2)=4, 即 a2=4 ,
0.750.1 0.750.1
【变式练习】 比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.72.5与1.73;
(2) 0.8-0.1与0.8-0.2;
(3) 1.50.3与0.81.2
解： （1）考查函数 y 1.7 ,由 1.7 >1 得函数在实数集上是增函数
x
∵2.5 < 3
∴ 1.7
1
1.00
2
2.00
4
y 2x
y
y=2x
列表
描点
8
连线
4 2 1 -3 -2 -1
1 2
0 1
2
3
x
1 x 函数y （ ） 的图像 2
x
1 y ( )x 2
-3.00 8
2.00 1.00 0.00
4 2
y 8
1.00
1/2
2.00
1/4
1
1 x y （ ） 2
4 2 1 0 1 2 3 x
（2） 0.2
0.6
0.30.4 .
0.30.6 0.30.4 .
理由： 0.2
0.6
1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质.
3.比较大小.
对时间的价值没有深切认识的人，决不会
坚韧勤勉。
x
2.5
1.73
(2) 考查函数 y 0.8 ,由 0<0.8<1 得函数在实数集上是减函数 ∵-0.1 >-0.2 ∴ 0.8
0.3 0.1
0.80.2
0 1.2 0 0.3 1.2
(3)由指数函数的性质知 1.5 >1.5 =1 , 0.8 <0.8 =1 ,所以 1.5 >0.8
2 0.12 1073741824 0.12
30
128849018.88(mm) 128849.01888(m)
问题二
半 ， 万 世 不 竭 。
这 样 一 段 话 ： 一 尺 之 棰 ， 日 取 其
我 国 古 代 庄 子 《 天 下 篇 》 记 载 有
设棰（棍）的长度为１，请你写出
§3
第1课时
指数函数
指数函数的图像与性质
问题一
一张纸对折１次可得２张，对折２次可
得４张．．．请你写出一张纸对折后所得张数y与
折的次数x的函数关系式．若能将一张纸对折30次，
你敢从上面跳下来吗？
y 2 x (x N )
230 1073741824
教科书一页纸的厚度约为 0.12 mm
x
量 x 出现在指数的位置上，底数 a 是一个大于 0 且不 等于 1 的常量，函数的定义域是实数集 R.
定义是判
练习：下列函数是否是指数函数？
（1） y 2x 2 （4） y
x
断标准
（3） y 2x （6） y 4x
2
（2） y (2)x （5） y x
2
（7） y 2 4
解得 a=2 ,于是f(x)= 2 x ，
所以, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)= .
1 8
3.比较下列各数的大小，并写出理由. （1） 与 ；
2
（2）
与
.wenku.baidu.com
解析:（1） 0.3
0.33 .
x
理由: y 0.3 在 R 上单调递减， 又 2 3 ， 故 0.3
2
0.33 .
30.8＞30.7
（2）因为0.75-0.1 ≈ 1.029 186,0.750.1 ≈0.971 642
所以0.750.1＜0.75-0.1
利用指数函
方法二
(1)
数的性质
因为 y 3x 是 R 上的增函数， 0.7 0.8 ，所以
30.7 30.8
(2) 因为 y 0.75x 是 R 上的减函数， 0.1 0.1 ，所以
x x
x
请观察以上几个函数： 大家还能从这些特征中，概括出一个式子来表示 它们吗？
ya
思考:
x
这里的a可以取什么样的值？
当a 0 当 a 2
x 0,a 无意义
x
当a 1
1 x , 不存在 2
x
a 1, 没有研究价值
所以a 0且a 1
指数函数的定义:
函数 y a 叫作指数函数，在这个函数中，自变