人教版数学高一-与名师对话课标A必修4课时作业1.4.3 正切函数的性质与图象

课时作业(十)

一、选择题

1．函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x －π4的定义域是( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪⎪⎪

x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≠k π＋π

4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪⎪ x ≠k π＋3π

4，k ∈Z

[解析] 函数有意义时x －π4≠k π＋π

2，k ∈Z ， ∴x ≠k π＋3π

4，k ∈Z .

∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≠k π＋3π4，k ∈Z [答案] D

2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数

B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数

C ．y ＝tan x 在每个区间⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数

D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数

[解析] 由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确．

又y ＝tan x 在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，没有减区间，∴

C 正确，

D 错误．

[答案] C

3．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π

3所得线段长为2，则a 的值为( )

A.π2

B.12 C ．π

D ．1

[解析] 由已知得f (x )的周期为2，∴πa ＝2.∴a ＝π

2. [答案] A

4．函数f (x )＝tan x

2－cos x 的奇偶性是( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数

[解析] f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (－x )＝tan (－x )

2－cos (－x )＝－tan x

2－cos x ＝－f (x )．

∴f (x )是奇函数． [答案] A

5．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( )

A ．x ＝π

2

B ．y ＝π

2

C ．x ＝π

8 D ．y ＝π

8

[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝0得x ＝π

8. [答案] C

6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( )

A ．[－1,1]

B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]

D ．[－1，＋∞)

[解析] ∵－π4≤x ≤π

4且x ≠0， ∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.

∴由y ＝tan x 的图象知y ＝tan ⎝

⎛⎭

⎪⎫

π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋

∞)．

[答案] B 二、填空题

7．已知函数y ＝2tan(2x ＋φ)是奇函数，则φ＝________. [解析] 设f (x )＝2tan(2x ＋φ)， ∴f (－x )＝2tan(－2x ＋φ)． ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＋f (－x )＝0，

∴2tan(2x ＋φ)＋2tan(－2x ＋φ)＝0， ∴2tan(2x ＋φ)－2tan(2x －φ)＝0，

即tan(2x ＋φ)＝tan(2x －φ)． ∴2x ＋φ＝k π＋2x －φ， ∴φ＝k π

2(k ∈Z )． [答案] k π

2(k ∈Z )

8．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是________．

[解析] 由正切曲线可知，两个相邻交点间相差一个周期即π

ω. [答案] π

ω

9．满足tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．

[解析] 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π

3≤x ＋π3

6，k ∈Z .

故满足tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

k π－2π3≤x

6，k ∈Z

[答案] ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

k π－2π3≤x

10．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1

2，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．

[解] ∵1

3

，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x －π3，

由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π

3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π

2＋k π得－π18＋k π3

3，k ∈Z .

∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x －π3的单调增区间为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 11．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．

[解] 由4x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π4＋3π

16，

∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ≠k π4＋3π16，k ∈Z .值域为R ，周期T ＝π4. 又f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π16没有意义，

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－3π16＝tan ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16－π4＝0，

∴f (x )是非奇非偶函数．

令－π2＋k π<4x －π4<π

2＋k π，k ∈Z ， 解得k π4－π16

16，k ∈Z .