人教版数学高一-与名师对话课标A必修4课时作业1.4.3 正切函数的性质与图象

合集下载

人教新课标版数学高一- 必修4作业 1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．函数y ＝tan x 的性质与图象见下表：y ＝tan x图象定义域 __________________________值域______周期最小正周期为______奇偶性 __________单调性在开区间______________________内递增一、选择题1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________． 8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.9．已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________． 10．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心．能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )．正切函数无单调减区间．2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0) (k ∈Z )．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )为渐近线．1．4.3 正切函数的性质与图象答案知识梳理{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.C 3.A 4.B 5.D 6．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.] 7．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .8．±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.9．b <c <a解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. ∴b <c <a .10.⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z ) 解析由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )． 11．解由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . 13．D [当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.]14．B [∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.]。

高中数学必修四 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业新人教A版必修4

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域为( )A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z }B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z }C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z }[答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π2，x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，x ≠k π4，k ∈Z ，故选A.2．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( )A ．－π6 B.π6C ．－π12 D.π12[答案] A[解析] ∵函数的象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A.3．下列各式中正确的是( ) A ．tan735°>tan800° B ．tan1>－tan2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7[答案] D[解析] tan 9π8＝tan(π＋π8)＝tan π8.因为0<π8<π7<π2，y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数，所以tan π8<tan π7，即tan 9π8<tan π7.4．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A [解析]定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z . 又f (－x )＝tan(－x )＋1－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数．5．下列函数中，同时满足：①在(0，π2)上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[答案] A[解析] 经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π.6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是( )[答案] D[解析] ∵π2<2≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ，π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D.二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为________________．[答案] (k π4－π6，0)(k ∈Z ) [解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )， ∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )． 8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是________________．[答案] (2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .三、解答题9．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析] ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈k π，k π＋π2(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .能力提升一、选择题1．函数y ＝tan(12x －π3)在一个周期内的图象是()[答案] A[解析] 当x ＝2π3时，y ＝0，排除C 、D ；当x ＝0时，y ＝tan(－π3)＝－3，排除B ，选A.2．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[答案] D[解析] ∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°.即a <c <b .3．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.4．函数y ＝|tan(x ＋π4)|的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π，k π＋π2)(k ∈Z )D ．[k π－π4＋k π＋π4)(k ∈Z )[答案] D[解析] 令t ＝x ＋π4，则y ＝|tan t |的单调增区间为[k π，k π＋π2)(k ∈Z )．由k π≤x ＋π4<k π＋π2，得k π－π4≤x <k π＋π4(k ∈Z )．二、填空题 5．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数； (2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋π3的周期是π2； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是偶函数．其中正确命题的序号是________． [答案] (1)(3)(4)[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋π3的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．6．若tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题7．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tan π＝0.8．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

人教版高中数学A版必修4学案 1.4.3 正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象明目标、知重点 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．函数y ＝tan x 的性质与图象y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域R周期最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )内递增对称性对称中心(k π2，0)(k ∈Z )，无对称轴[情境导学] 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然．你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？探究点一正切函数的性质思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？答由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω.思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？答从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数．正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )．思考3 观察下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？答正切函数值随着增加，反映了函数的单调性．当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π2时，tan x →＋∞.所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R . 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) 上都是增函数．正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )．即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )．反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据三角函数线，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .探究点二正切函数的图象思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，具体应如何操作？答类比正弦函数图象的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2图象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线．(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点的位置． (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，如图所示．思考2 结合正切函数的周期性，如何画出正切函数在整个定义域内的图象？答我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无数条曲线组成的．思考3 直线x ＝π2和x ＝－π2与正切函数的图象的位置关系如何？一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？答直线x ＝π2和x ＝－π2是正切函数的图象的渐近线．一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期．例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 (k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间．解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z )．例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π.由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.反思与感悟比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数．跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小．(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°) ＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°，即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2 D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. [呈重点、现规律] 1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础过关1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0) 答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )答案 A3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π； ②由图象知，函数的周期T ＝π； ③T ＝π；④T ＝π2；综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4答案 A解析由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．二、能力提升8．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.9．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 答案 B解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝23 3. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3.∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]． 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2.从而f (x )＝tan(2x ＋φ)． ∵函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与拓展13．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？(2)求函数y ＝|tan x |的最小正周期．解 (1)因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]上的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]上有3个交点．(2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ；当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图象如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。

人教版高中数学高一A版必修4课后训练 1.4.3正切函数的性质与图象

课后训练1．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围是()．A.ππ5π()(π)424，， B.π(,π)4C.π5π()44， D.ππ5π3π()()4242，，2．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点之间的距离是()．A.πωB.2πωC．πD．与a的值有关3．函数1π3tan()23y x=+的图象的一个对称中心是()．A.π(0)6， B.2π(3-， C.2π(0)3-，D．(0,0)4．πtan()4y x=+的定义域是()．A.π|,R4x x x⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B.π|π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭C.π|,R4x x x⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭D.3π|2π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭5．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．6．若函数π2tan(2)5y ax=-的最小正周期为π5，则a＝__________.7．求函数πtan(3)3y x=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．8．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点坐标为π(,0)2-，π(,0)6，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．已知α、β都是锐角，且2tan3α=，9tan4β=，你能根据正切函数的增减性直接判断α＋β是否为锐角吗？参考答案1.答案：D解析：画出函数y＝tan x的图象，并作出直线y＝1，并观察其在直线上方的部分可知：x的取值范围是ππ5π3π()()4242，，，故选D.2.答案：A解析：直线y＝a与函数y＝tan x的图象的两相邻交点的距离实际上就是最小正周期的值．3.答案：C解析：∵y＝tan x的图象的对称中心为π(0)2k，，k∈Z，由1ππ232kx+=得2ππ3x k=-(k∈Z)，∴函数1π3tan()23y x=+的图象的对称中心为2π(π,0)3k-，k∈Z.令k＝0，得2π(0)3-，，故选C.4.答案：B解析：y＝tan x的定义域为π|π,Z2x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，由πππ42x k+≠+得ππ4x k≠+(k∈Z)．5.答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．ππ1cos122x-<-≤≤<，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.6.答案：5 2±解析：由ππ25a=得2a＝±5，∴52a=±.7.解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z.∴所求定义域为π5π|R,,Z318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且，值域为R，周期π3T=，是非奇非偶函数．在区间πππ5π(,)318318k k-+(k∈Z)上是增函数．8. 解：∵ππ2π()623T=--=，∴π32Tω==.由图象过点π(,0)6，代入3tan()2y A x ϕ=+，得3π0tan()26A ϕ=⨯+，得π4ϕ=-. 将(0，－3)代入3πtan()24y A x =-，得A ＝3.∴3π3tan()24y x =-.解：能根据正切函数的增减性直接判断α＋β不是锐角．∵2πtan tan 36α=>=，又α为锐角，∴π6α>.同理，9πtan tan 43β=>=，又β为锐角， ∴π3β>，故πππ632αβ+>+=， ∴α＋β不可能为锐角．。

高中数学必修4人教新课标a版1.4.3正切函数的图像与性质教案

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

2020高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业(含解析)新人教A版必修4

2020高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业（含解析）新人教A 版必修4一、选择题1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是( )A ．0 B.33C ．1D. 3解析：正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T ，从而πω＝π4，所以ω＝4，从而f (π12)＝tan(4×π12)＝tan π3＝ 3.答案：D2．函数y ＝3tan(12x ＋π3)的一个对称中心是( )A ．(π6，0)B ．(2π3，－33)C ．(－2π3，0)D ．(0,0)解析：由x 2＋π3＝kπ2得x ＝kπ－2π3(k ∈Z)，k ＝0时，x ＝－23π.答案：C3．函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域为( )A ．{x |x ∈R 且x ≠kπ4，k ∈Z}B ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π2，k ∈Z}C ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π4，k ∈Z}D ．{x |x ∈R 且x ≠kπ－π4，k ∈Z}解析：由tan x ≠0，得x ≠kπ，又x ≠kπ＋π2，2x ≠kπ＋π2，∴x ≠kπ且x ≠kπ＋π2且x ≠kπ2＋π4，∴x ≠kπ4，k ∈Z. 答案：A4．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：方法一：因为函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是单调函数，所以最小正周期T ≥π，即π|ω|≥π，所以0<|ω|≤1. 又函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，所以ω<0. 综上，－1≤ω<0.方法二：分别在各选项给出的区间上取特殊值来进行验证．如取ω＝1时，不符合题意，排除A 、C ；取ω＝－2时，π4∈(－π2，π2)，此时ωx ＝－π2，但－π2的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.故选B.答案：B5．与函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象不相交的直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：∵y ＝tan x 的图象与x ＝kπ＋π2，k ∈Z 不相交，∴2x ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)．∴x ＝kπ2＋π8(k ∈Z)．当k ＝0时，x ＝π8.答案：C 二、填空题6．函数y ＝1tan x (x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为________．解析：∵x ∈[－π4，π4]且x ≠0，∴－1≤tan x <0或0<tan x ≤1，∴1tan x ≤－1或1tan x≥1，∴y ＝1tan x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小：tan135°________tan138°.(填“<”或“>”)解析：∵90°<135°<138°<270°，又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数， ∴tan135°<tan138°. 答案：<8．已知正切函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过(0，－3)点，则它的表达式为________．解析：T ＝5π6－π6＝2π3，∴ω＝πT ＝32.所以⎩⎪⎨⎪⎧32×π6＋φ＝0，－3＝A ·tan 32×0＋φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，φ＝－π4.答案：y ＝3tan(32x －π4)三、解答题9．利用函数图象解不等式－1≤tan x ≤33. 解：作出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象，如图所示．观察图象可得：在(－π2，π2)内，自变量x 应满足－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为{x |－π4＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z}． 10．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．解：令t ＝3x －π3，则y ＝tan t .∵y ＝tan t 的定义域为t ≠kπ＋π2，k ∈Z ，∴3x －π3≠kπ＋π2，k ∈Z ，即x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z.∴所求定义域为{x |x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z}．∵y ＝tan t 的值域为R ， ∴y ＝tan(3x －π3)的值域为R.y ＝tan(3x －π3)的周期为T ＝π3.∵tan(－3x －π3)≠tan(3x －π3)，也不等于－tan(3x －π3)，∴y ＝tan(3x －π3)是非奇非偶函数．由kπ－π2<3x －π3<kπ＋π2，k ∈Z ，得 kπ3－π18<x <kπ3＋5π18，k ∈Z.∴函数在区间(kπ3－π18，kπ3＋5π18)(k ∈Z)上是增函数．。

人教A版高中数学必修4课后习题第一章 1.4.3 正切函数的性质与图象

第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象课后篇巩固探究1.函数f(x)=tan2xtanx的定义域为( )A.{x|x∈R,且x≠kπ4,k∈Z}B.{x|x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z}C.{x|x∈R,且x≠kπ+π4,k∈Z}D.{x|x∈R,且x≠kπ-π4,k∈Z}{x≠kπ,x≠kπ+π2,k∈Z,2x≠kπ+π2,即{x≠kπ2,x≠kπ2+π4,k∈Z,所以x≠kπ4(k∈Z),选A.2.若函数f(x)=tan(ωx-π4)与函数g(x)=sin(π4-2x)的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2g(x)的周期为2π2=π,∴π|ω|=π,∴ω=±1.3.函数y=tan (x +π5)的一个对称中心是( )A.(0,0)B.(π5,0)C.(4π5,0)D.(π,0)x+π5=kπ2,k ∈Z,得x=kπ2−π5,k ∈Z,所以函数y=tan (x +π5)的对称中心是(kπ2-π5,0).令k=2,可得函数的一个对称中心为(4π5,0).4.函数f(x)=tan (π4-x)的单调递减区间为( )A.(kπ-3π4,kπ+π4),k ∈ZB.(kπ-π4,kπ+3π4),k ∈ZC.(kπ-π2,kπ+π2),k ∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Zf(x)=tan (π4-x)=-tan (x -π4),所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan (x -π4)的单调递增区间.所以kπ-π2≤x -π4≤kπ+π2,k ∈Z,即kπ-π4≤x≤kπ+3π4,k ∈Z.故原函数的单调递减区间是(kπ-π4,kπ+3π4),k ∈Z.5.在区间(-3π2,3π2)范围内,函数y=tan x 与函数y=sin x 图象交点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4,首先作出y=sinx 与y=tanx 在(-π2,π2)内的图象,需明确x ∈(0,π2)时,有sinx<x<tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x ∈(-3π2,3π2)的两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.6.函数y=tan (π2-x)(x ∈[-π4,π4],且x ≠0)的值域为 .-π4≤x≤π4,且x≠0,∴π4≤π2-x≤3π4,且π2-x≠π2.∴由y=tanx 的图象知y=tan (π2-x)的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).∞,-1]∪[1,+∞)7.若函数f(x)=2tan (kx +π3)的最小正周期T 满足1<T<2,则自然数k 的值为 .1<πk <2,即k<π<2k.又k ∈N,所以k=2或k=3.或38.已知函数y=tan ωx 在(-π2,π2)内是减函数,则ω的取值范围为 .ω<0,又(π2ω,-π2ω)⊆(-π2,π2),故-1≤ω<0.9.关于x 的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法: ①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数; ②f(x)的图象关于(π2-φ,0)对称;③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称; ④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 其中不正确的说法的序号是 .φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tanx,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tanx 的图象,可知y=tanx 关于(kπ2,0)(k ∈Z)对称,令x+φ=kπ2,k ∈Z,得x=kπ2-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.10.方程(12)x-tan x=0在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的根的个数为 .y=(12)x与y=tanx 在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的图象,如图.易知y=(12)x与y=tanx 在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.11.求函数y=-tan 2x+4tan x+1,x ∈[-π4,π4]的值域.-π4≤x≤π4,∴-1≤tanx≤1. 令tanx=t,则t ∈[-1,1]. ∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即in =-4, 当t=1,即ax =4.故所求函数的值域为[-4,4].12.是否存在实数a,且a ∈Z,使得函数y=tanπ4-ax 在区间π8,5π8上单调递增?若存在,求出a 的一个值;若不存在,请说明理由. 解y=tanπ4-ax =tan -ax+π4,∵y=tanx 在区间kπ-π2,kπ+π2(k ∈Z)上为增函数,∴a<0, 又x ∈π8,5π8,∴-ax ∈-aπ8,-5aπ8,∴π4-ax ∈π4−aπ8,π4−5aπ8,∴{kπ-π2≤π4-aπ8(k ∈Z ),kπ+π2≥π4-5aπ8(k ∈Z ).解得-25−8k 5≤a≤6-8k(k ∈Z).由-25−8k 5=6-8k 得k=1,此时-2≤a≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意. 13.设函数f(x)=asin kx+π3和φ(x)=btan kx-π3,k>0,若它们的最小正周期之和为3π2,且fπ2=φπ2,fπ4=-√3φπ4+1,求f(x),φ(x)的解析式.解f(x)=asin kx+π3的最小正周期T=2πk.φ(x)=btan kx-π3的最小正周期T=πk.∵2πk+πk=3π2,∴k=2.∴f(x)=asin 2x+π3,φ(x)=btan 2x-π3,∴f π2=asin π+π3=-asin π3=-√32a.φπ2=btan π-π3=-btan π3=-√3b.f π4=asin π2+π3=acos π3=12a.φπ4=btanπ2−π3=√33b.∴{-√32a =-√3b ,12a =-√3×(√33b)+1.化简得{a =2b ,12a =-b +1,解得{a =1,b =12.∴f(x)=sin 2x+π3,φ(x)=12tan 2x-π3.。

人教新课标版数学高一- 人教A版必修4教案 1.4.3正切函数的性质与图象

河北武邑中学课堂教学设计备课人授课时间
课题 1.4.3正切函数的性质与图象
教学目标
知识与技能了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．过程与方法学习正切函数的性质与图象时，应类比正余弦函数研究方法情感态度价值观数形结合应用能力
重点准确地整体把握正切函数的图象，结合图象记忆正切函数的有关性质难点抓住正切函数的图象具有渐近线这一明显特征
教学设计
教学内容教学环节与活动设计一、y＝tan x正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，
x∈⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2图象的步骤：
(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点
O1，以O1为圆心作单位圆．
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边
的线．
(3)在x轴上，把⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2这一段分成8等份，依次确定
单位圆上7个分点在x轴上的位置．
(4)把角x的线向右平移，使它的起点与x轴上的
点x重合．
(5)用光滑的曲线
把正切线的终点
连接起来，就得到
y＝tan x，
x∈⎝⎛⎭⎫
－
π
2，
π
2的图
象，
教学内容教学环节与活动设计。

数学人教A版必修4 1.4.3 正切函数的性质和图像作业 Word版含解析

[.基础达标]．函数＝(＋)的定义域是( )．{≠π＋，∈}．{≠π－，∈}．{≠π＋，∈}．{≠π，∈}解析：选.由＋≠π＋(∈)，得≠π＋(∈)．．()＝－(＋)的单调区间是( )．(π－，π＋)，∈．(π，(＋)π)，∈．(π－，π＋)，∈．(π－，π＋)，∈解析：选.令－＋π＜＋＜＋π，∈，解得－＋π＜＜＋π，∈.所以函数()的单调减区间为(π－，π＋)，∈.．函数()＝ω(ω＞)的图象上的相邻两支曲线截直线＝所得的线段长为，则ω的值是()．．．．解析：选.由题意可得()的周期为，则＝，∴ω＝.．在下列给出的函数中，以π为周期且在(，)内是增函数的是( )．＝．＝．＝(－)．＝(＋)解析：选.由函数周期为π可排除.当∈(，)时，∈(，π)，＋∈(，π)，此时、中函数均不是增函数．故选.．函数＝的图象的一个对称中心是( )．()解析：选.因为＝的图象的对称中心为，∈.由＋＝，∈，得＝π－，∈，所以函数＝的图象的对称中心是，∈，令＝，得.．在(π)内，使>成立的的取值范围为．解析：利用图象＝位于＝上方的部分对应的的取值范围可知．答案：(，)∪(π，π)．－与(－)的大小关系是．解析：－＝－，(－)＝－＝－.∵＜＜＜＜π，∴＞，＜，∴－<－，即－＜(－)．答案：－＜(－)．＝满足下列哪些条件(填序号)．①在(，)上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为{≠＋，∈}．解析：令∈(，)，则∈(，)，所以＝在(，)上单调递增正确；(－)＝－，故＝为奇函数；＝＝π，所以③不正确；由≠＋π，∈，得{≠π＋π，∈}，所以④不正确．答案：①②．求函数＝的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为；值域为(－∞，＋∞)；周期为；对应图象如图所示：．若函数()＝(ω－)(ω＜)的最小正周期为π，求()的单调区间．解：因为()＝(ω－)(ω＜)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝.又因为ω＜，所以ω＝－.即()＝(－－)＝－(＋)．由π－＜＋＜π＋(∈)，得π－π＜＜π＋(∈)．所以函数()的单调减区间为(π－π，π＋)(∈)．[.能力提升]．函数()＝的定义域是( )(∈)(∈)(∈)(∈)解析：选()有意义时，(\\(≥＞))，∴≥，解得π＋≤＜π＋(∈)，∴()的定义域为(∈)．．已知函数＝ω在(－，)内是减函数，则( )．－≤ω＜．＜ω≤．ω≤－．ω≥解析：选.∵＝ω在(－，)内是减函数，∴ω＜且＝≥π.∴ω≤，即－≤ω＜.．使函数＝与＝同时单调递增的区间是．解析：由＝与＝的图象(图略)知，同时单调递增的区间为(∈)和(∈)．答案：(∈)和(∈)．函数＝＋－－在区间(，)内的图象是如图中的．解析：函数＝＋－－＝(\\(，(π)＜≤π，，π＜＜()π.))答案：④．函数()＝(＋φ)图象的一个对称中心是，其中＜φ＜，试求函数()的单调区间．。

人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象1．能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象．2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用．正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．正切函数y ＝tan x 的图象叫做________． (2)性质：如下表所示．(1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴． (2)正切曲线无限接近直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π|ω|.【做一做1－1】 y ＝tan x ( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数D ．在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数【做一做1－2】 f (x )＝tan 2x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【做一做1－3】函数y ＝3tan x －1的定义域是__________．答案：正切曲线 π2＋k π R π 奇－π2＋k π【做一做1－1】 C【做一做1－2】 B【做一做1－3】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z画正切函数的简图剖析：我们知道“五点法”可以快速画出正、余弦函数的图象的草图，正切函数的图象不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图象，需从正切函数的图象和性质上来分析，找出画简图的方法．由于正切函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以正切函数的图象被垂直于x 轴的无数条平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开．画正切函数的图象时，也是先画一个周期的图象，即函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，再把这一图象向左、右平移(每次平移π个单位长度)，从而得到正切函数的图象．通过函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的作图发现：函数的图象过⎝⎛⎭⎫－π4，－1，⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)三点，被直线x ＝±π2隔开，这样，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的简图．题型一求定义域和单调区间【例1】求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的定义域，并指出它的单调性．分析：把3x －π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．反思：求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，A ≠0，ω＞0的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把“ωx ＋φ(ω＞0)”看作一个整体．令ωx ＋φ≠k π＋π2(k ∈Z )可解得该函数的定义域．题型二比较大小【例2】比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－17π5的大小．分析：先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值，再比较大小．反思：运用正切函数单调性比较tan α与tan β大小的步骤：①运用诱导公式将角α，β化到同一单调区间内，通常是化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内；②运用单调性比较大小．题型三求周期【例3】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋35； (2)y ＝|tan x |.分析：(1)利用T ＝π|ω|求解；(2)画出函数图象利用图象法求解．反思：函数y ＝A tan(ωx ＋φ)与函数y ＝|A tan(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期均为T ＝π|ω|. 题型四解不等式【例4】观察正切曲线，解不等式tan x ＞1.分析：先确定在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的x 值的范围，再写出不等式的解集．题型五易错辨析易错点忽视正切函数的定义域【例5】求y ＝11＋tan x的定义域．错解：∵1＋tan x ≠0，即tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4(k ∈Z )，即y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z . 错因分析：错解忽略了tan x 本身对x 的限制．答案：【例1】解：要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 令k π－π2＜3x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18＜x ＜k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，不存在单调递减区间．【例2】解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－17π5＝－tan 2π5. ∵0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5.∴－tan π4＞－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－17π5. 【例3】解：(1)∵ω＝π3，∴最小正周期T ＝ππ3＝3.(2)函数y ＝|tan x |的图象是将函数y ＝tan x 图象x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，其余不变，如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.【例4】解：函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的图象如图所示．作直线y ＝1，则在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当tan x ＞1时，有π4＜x ＜π2.又函数y ＝tan x 的周期为π，则tan x ＞1的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例5】正解：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则应有⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z.1．函数y＝π2tan34x⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期是()A.π6B.π3C.π3D.2π32．函数f(x)＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的单调增区间为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.3πππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z D.π3ππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z3．函数f(x)的定义域为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z) B.πππ,π24k k⎛⎤-+⎥⎝⎦(k∈Z)C.πππ,π42k k⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k∈Z) D.πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)4．函数y＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域为__________．5．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．答案：1．B2．C利用整体思想，令kπ－π2＜x＋π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π4＜x＜kπ＋π4.3．B要使函数有意义，自变量x的取值应满足1tan0,ππ(Z),2xx k k-⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩≥解得kπ－π2＜x≤kπ＋π4(k∈Z)．4.π|π,Z4x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭要使函数有意义，自变量x的取值应满足x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)，解得x≠kπ＋π4 .5．解：∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又π2＜2＜π，∴π2-＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴π2-＜3－π＜0，∴π2-＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y＝tan x在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.。

高中数学必修四课时作业6：1.4.3 正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在每个区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )内是增函数 D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数2．函数y ＝tan(x ＋π5)，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B ．(π5，0)C ．(45π，0)D ．(π，0)3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是( )A ．0 B.33 C ．1D. 34．下列各式中正确的是( )A ．tan 4π7＞tan 3π7B ．tan(－13π4)＜tan(－17π5) C ．tan 4＞tan 3D ．tan 281°＞tan 665°5．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z ) B ．(k π－π2，k π＋π4)(k ∈Z ) C ．(k π－π4，k π＋π2)(k ∈Z ) D ．(k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z ) 二、填空题6．函数y ＝tan x 1＋cos x的奇偶性是________． 7．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.8．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围为__________．三、解答题9．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．10．利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.11．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．参考[答案]一、选择题1．C【[解析]】由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确．又y ＝tan x 在(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数，没有减区间，∴C 正确，D 错误．2．C【[解析]】由x ＋π5＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k 2π－π5，令k ＝2，得x ＝45π. 3．D【[解析]】正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T ，则πω＝π4，所以ω＝4，从而f (π12)＝tan(4×π12)＝tan π3＝ 3. 4．C【[解析]】对于A ，tan 4π7＜0，tan 3π7＞0. 对于B ，tan(－13π4)＝tan(－π4)＝－tan π4＝－1， tan(－17π5)＝tan(－2π5)＝－tan 2π5＜－tan π4. ∴tan(－13π4)＞tan(－17π5)．对于D ，tan 281°＝tan 101°＜tan 665°＝tan 125°.故选C.5．C【[解析]】由题意得1＋tan x ＞0，即tan x ＞－1，由正切函数的图象得 k π－π4＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．二、填空题6．奇函数【[解析]】由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π21＋cos x ≠0得：x ≠k π＋π2且x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z . ∴函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝tan(－x )1＋cos(－x )＝－tan x 1＋cos x ＝－f (x )，∴函数y ＝tan x 1＋cos x为奇函数． 7．－5【[解析]】 ∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，∴a sin 5＋b tan 5＝6，∵f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.8．－1≤ω<0【[解析]】由题意可知ω<0，又(π2ω，－π2ω)⊆(－π2，π2)．故－1≤ω<0. 三、解答题9．【解】由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . ∴所求定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z }．值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间(k π3－π18，k π3＋5π18)(k ∈Z )上是增函数． 10．【解】作出函数y ＝tan x 的图象，如图所示．观察图象可得：在(－π2，π2)内，满足条件的x 为－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x 的解集为{x |－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z }．11．【解】设tan x ＝t ，∵x ∈[π4，π3]，∴t ∈[1，3]， ∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，y min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，y max ＝103－4. ∴函数的值域为[8,103－4]．。

人教新课标A版高中数学高一必修4课件1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象
6
[预习导引] 正切函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象
1.4.3 正切函数的性质与图象
7
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋2π，k∈Z}
值域周期
R 最小正周期为 π
1.4.3 正切函数的性质与图象
8
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z) 内递增
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是 x|x≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是R.
1.4.3 正切函数的性质与图象
39
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)
(A，ω≠0)的周期为T＝|ωπ| . (3)正切函数在－2π＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.
1.4.3 正切函数的性质与图象
30
跟踪演练3 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解由y＝|tan x|得， y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2<＋kπk＋π<2πx<kk∈πZk∈，Z.
1.4.3 正切函数的性质与图象
31
其图象如图.
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
x≠π3＋kπ.
所以函数的定义域为
π4＋kπ，3π＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z).
1.4.3 正切函数的性质与图象
11
规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
1.4.3 正切函数的性质与图象

高中人教版数学必修4学案：第1章 1.4.3 正切函数的性质与图象【含答案】

1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点) 1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性奇函数对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，k π＋π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z C [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z.] 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→ 求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．[跟进训练]1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的周期为．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出． (3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上→ 根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4， tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”，结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的单调递增区间，令kπ＜2x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2＋π8＜x＜kπ2＋3π8(k∈Z)，故y＝lg tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2＋π8，kπ2＋3π8，k∈Z.1．求函数y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.- 11 - ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。

高中数学必修四课时作业2：1.4.3 正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D ．(π，0)[答案] C2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π) k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4 k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4 k ∈Z [答案] C3．下列函数中，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是 ( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x [答案] B4．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7[答案] D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4[答案] A[解析] 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4. ∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 [答案] B[解析] 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4， ∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]．二、能力提升8．函数y ＝tan(sin x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对[答案] C[解析] ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]．9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )[答案] D[解析] 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时， tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________. [答案] ±2[解析] T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2. 11．判断函数f (x )＝lgtan x ＋1tan x －1的奇偶性．解由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lgtan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的定义域，并讨论它的单调性．解由x ＋π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π＋π6(k ∈Z )． ∴y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π6，k ∈Z. 又由y ＝tan x 在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2k ∈Z 上是增函数可知：当k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，即k π－5π6＜x ＜k π＋π6(k ∈Z )时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3是增函数．∴y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π6，k π＋π6(k ∈Z )上是增函数．三、探究与创新13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]内有3个交点.。

【探究导学课】人教版高中数学必修4课时练：1.4.3 正切函数的性质与图象(含答案解析)

关闭Word文档返回原板块。

课后提升作业十一正切函数的性质与图象(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·遵义高一检测)函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期为()A. B.π C.2π D.4π【解析】选C.由正切函数的周期公式,得函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期为T==2π.2.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是()A.(0,0)B.C.D.(π,0)【解析】选C.由x+=,得x=-,k∈Z.令k=2,得x=π,故一个对称中心为.3.(2016·赤峰高一检测)若f(x)=tan,则()A.f(0)>f(-1)>f(1)B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1)D.f(-1)>f(0)>f(1) 【解析】选A.f(x)=tan在上是增函数,f(1)=f(1-π),又-π<1-π<-1<0<,所以f(1-π)<f(-1)<f(0).【补偿训练】(2016·合肥高一检测)tan(-40°),tan 38°,tan56°的大小关系是()A.tan(-40°)>tan 38°>tan 56°B.tan 38°>tan(-40°)>tan 56°C.tan 56°>tan 38°>tan(-40°)D.tan 56°>tan(-40°)>tan 38°【解析】选C.因为-40°<38°<56°,所以tan56°>tan38°>tan(-40°).故选C.4.(2016·吉林高一检测)在下列函数中,同时满足以下三个条件的是()(1)在上单调递减.(2)最小正周期为2π.(3)是奇函数.A.y=tanxB.y=cosxC.y=sin(x+3π)D.y=sin2x【解析】选C.A.y=tanx在上单调递增,不满足条件(1).B.函数y=cosx是偶函数,不满足条件(3).C.函数y=sin(x+3π)=-sinx,满足三个条件.D.函数y=sin2x的最小正周期T=π,不满足条件(2).5.(2016·包头高一检测)已知函数y=tanωx在内是减函数,则()A.0<ω≤1B.ω≤-1C.ω≥1D.-1≤ω<0【解析】选D.因为函数y=tanωx在内是减函数,且正切函数y=tanx在内是增函数,由复合函数的单调性可知,ωx在内是减函数,即ω<0且≥π,解得:-1≤ω<0.6.(2016·成都高一检测)关于函数f(x)=|tanx|的性质,下列叙述错误的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称D.f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增【解析】选A.由f(x)=|tanx|的图象可知,其最小正周期为π,A错误;又f(-x)=|tan(-x)|=|tanx|=f(x),所以f(x)为偶函数,B正确;由f(x)的图象可知,f(x)的图象关于直线x=,(k∈Z)对称,C正确;由f(x)的图象知,f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增;D正确.7.(2016·金华高一检测)关于函数y=tan,下列说法正确的是()A.是奇函数B.在区间上单调递减C.为图象的一个对称中心D.最小正周期为π【解析】选C.令f(x)=tan,则f(-x)=tan=-tan≠-f(x),故y=tan不是奇函数.由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),得-<x<+,k∈Z,所以y=tan在(k∈Z)上单调递增,无减区间,故B错.因为f=tan0=0,故为图象的一个对称中心,故C正确.因为y=tan的最小正周期T=,故D错误.8.(2016·济南高一检测)函数f(x)=2x-tanx在上的图象大致是()【解析】选D.定义域关于原点对称,因为f(-x)=-2x+tanx=-(2x-tanx)=-f(x),所以函数f(x)为定义域内的奇函数,可排除B,C;因为f=-tan>0,f=-=-(2+)<0,可排除A.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知函数f(x)=tanx+,若f(α)=5,则f(-α)=.【解析】因为f(-x)=tan(-x)+=-=-f(x),所以f(-α)=-f(α)=-5.答案:-510.(2016·南昌高一检测)已知函数f(x)=tanx-sinx,下列命题中正确的是(写出所有正确命题的序号).①f(x)在上有3个零点;②f(x)的图象关于点(π,0)对称;③f(x)的周期为2π;④f(x)在上单调递增.【解析】①错误.在同一坐标系中作出函数y=tanx和y=sinx在区间上的图象,由图象探知共有1个交点(或在该区间上解方程tanx-sinx=0,得仅有一个根x=0);②正确.因为f(π+x)+f(π-x)=tan(π+x)-sin(π+x)+tan(π-x)-sin(π-x)=tanx+sinx-tanx-sinx=0;③正确.因为f(x+2π)=tan(x+2π)-sin(x+2π)=tanx-sinx.f(x+2π)=f(x)恒成立,故f(x)的周期是2π;④正确.因为y=tanx在上单调递增,y=sinx 在上单调递减,所以函数f(x)=tanx-sinx单调递增.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-≤x≤,所以-≤tanx≤1,f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1,当tanx=-1即x=-时,f(x)有最小值1,当tanx=1即x=时,f(x)有最大值5.12.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间.(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【解析】(1)由-≠+kπ(k∈Z)得x≠+2kπ,所以f(x)的定义域是.因为ω=,所以T==2π.由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z),所以f(x)的单调增区间是(k∈Z).(2)由-1≤tan≤,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).所以不等式-1≤f(x)≤的解集是.(3)令-=0,则x=.令-=,则x=.令-=-,则x=-.所以函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=.从而得函数y=f(x)在区间内的简图(如图所示).【能力挑战题】已知函数f(x)=2tan(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.【解析】由题意知,函数f(x)的周期为2π,则=2π,由于ω>0,故ω=,所以f(x)=2tan.再由kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块。

高中数学第一章三角函数课时作业14 1.4.3 正切函数

课时作业(十四) 1.4.3 正切函数的性质与图像1．函数y ＝2tan(3x ＋π4)的最小正周期是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B2．以下函数中，不是奇函数的是( ) A ．y ＝sinx ＋tanx B ．y ＝xtanx －1 C ．y ＝sinx －tanx 1＋cosxD ．y ＝lg 1－tanx 1＋tanx答案 B3．函数y ＝tan(π4＋x)的定义域是( )A ．{x|x ≠π4，x ∈R }B ．{x|x ≠－π4，x ∈R }C ．{x|x ≠k π＋3π4，k ∈Z }D ．{x|x ≠k π＋π4，k ∈Z }答案 D解析 ∵π4＋x≠π2＋k π，k ∈Z ，∴{x|x ≠π4＋k π，k ∈Z }．4．在下列函数中满足：①在(0，π2)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tanxB ．y ＝cosxC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tanx 答案 C5．若f(x)＝tan(x ＋π4)，则( )A ．f(－1)>f(0)>f(1)B ．f(0)>f(1)>f(－1)C ．f(1)>f(0)>f(－1)D ．f(1)<f(－1)<f(0) 答案 D解析因为f(x)＝tan(x ＋π4)在区间(－34π，π4)上为单调递增函数，且－34π<－1<0<π4，所以f(－1)<f(0)，由于函数的周期为π，所以f(1)＝f(1－π)，又因为－34π<1－π<－1<0<π4，所以f(1)<f(－1)<f(0)．6．函数y ＝tan(12x －π3)在一个周期内的图像是( )答案 A解析函数y ＝tan(12x －π3)的周期是2π，可排除B 、D ；对于答案C ，图像为(π3，0)点，代入解析式不成立，可排除C.7．若tan(2x －π3)≤1，则x 的取值范围是( )A.k π2－π12≤x ≤k π12＋724π(k∈Z ) B ．k π－π12≤x ≤k π＋724π(k∈Z )C.k 2π－π12<x ≤k π2＋724π(k∈Z ) D ．k π＋π12<x ≤k π＋724π(k∈Z )答案 C解析 ∵kπ－π2<2x －π3≤k π＋π4，∴k π2－π12<x ≤k π2＋724π，k ∈Z .8．下列各式正确的是( ) A ．tan(－94π)<tan(－175π)B ．tan(－94π)>tan(－175π)C ．tan(－94π)＝tan(－175π)D ．大小关系不确定答案 B解析 tan(－94π)＝tan(－2π－π4)＝－tan π4，tan(－175π)＝tan(－3π－2π5)＝－tan(2π5)，∴－tan π4>－tan 25π，∴tan(－94π)>tan(－175π)．9．直线y ＝m(m 为常数)与正切函数y ＝tan ωx (ω>0且为常数)的图像相交的相邻两点间的距离是( ) A ．π B.2πωC.πω D ．与ω值无关答案 C 解析 T ＝πω.10．函数y ＝lgtan2x 的定义域为( ) A ．(k π，k π＋π2)(k∈Z )B ．(2k π，2k π＋π2)(k∈Z )C ．(12k π，12k π＋π2)(k∈Z )D ．(12k π，12k π＋π4)(k∈Z )答案 D解析 ∵tan2x>0，∴k π<2x<π2＋k π，k∈Z .∴{x|k π2<x<π4＋k π2，k ∈Z }．11．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1答案 B 12．函数y ＝3－tanx 的定义域为________，值域为________．答案 {x|－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z } [0，＋∞)13．y ＝tan(x ＋π3)的对称中心为________．答案 (k π2－π3，0)(k∈Z )解析 x ＋π3＝k π2，∴x ＝k π2－π3(k∈Z )．∴对称中心为(k π2－π3，0)(k∈Z )．14．函数f(x)＝sinx ＋tanx ，x ∈[－π4，π4]的值域是________．答案 [－22－1，22＋1] 解析 f(x)在[－π4，π4]上单增，∴f(x)min ＝f(－π4)＝－22－1，f(x)max ＝f(π4)＝22＋1.15．求函数y ＝－2tan(3x ＋π3)的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．解析 (1)3x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，∴定义域{x|x≠π18＋k π3，k ∈Z }．(2)值域为R (3)T ＝π3.(4)∵f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)， ∴非奇非偶．(5)－π2＋k π<3x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，∴－518π＋k π3<x<π18＋k π3，k ∈Z .∴减区间为(－518π＋k π3，π18＋k π3)，k ∈Z .1．函数f(x)＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．[k π，(k ＋1)π]，k ∈ZC ．(k π－34π，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋34π)，k ∈Z答案 C解析 k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，k π－3π4<x<k π＋π4，k ∈Z .2．当－π2<x<π2时，函数y ＝tan|x|的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C．关于y轴对称D．不是对称图像答案 C。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时作业(十)
一、选择题
1．函数y ＝tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －π4的定义域是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪
x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π
4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪ x ≠k π＋3π
4，k ∈Z
[解析] 函数有意义时x －π4≠k π＋π
2，k ∈Z ， ∴x ≠k π＋3π
4，k ∈Z .
∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋3π4，k ∈Z [答案] D
2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数
B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数
C ．y ＝tan x 在每个区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数
D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数
[解析] 由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确．
又y ＝tan x 在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，没有减区间，∴
C 正确，
D 错误．
[答案] C
3．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π
3所得线段长为2，则a 的值为( )
A.π2
B.12 C ．π
D ．1
[解析] 由已知得f (x )的周期为2，∴πa ＝2.∴a ＝π
2. [答案] A
4．函数f (x )＝tan x
2－cos x 的奇偶性是( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
[解析] f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π2，k ∈Z ， ∴f (－x )＝tan (－x )
2－cos (－x )＝－tan x
2－cos x ＝－f (x )．
∴f (x )是奇函数． [答案] A
5．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( )
A ．x ＝π
2
B ．y ＝π
2
C ．x ＝π
8 D ．y ＝π
8
[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝0得x ＝π
8. [答案] C
6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．[－1，＋∞)
[解析] ∵－π4≤x ≤π
4且x ≠0， ∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.
∴由y ＝tan x 的图象知y ＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋
∞)．
[答案] B 二、填空题
7．已知函数y ＝2tan(2x ＋φ)是奇函数，则φ＝________. [解析] 设f (x )＝2tan(2x ＋φ)， ∴f (－x )＝2tan(－2x ＋φ)． ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，
∴2tan(2x ＋φ)＋2tan(－2x ＋φ)＝0， ∴2tan(2x ＋φ)－2tan(2x －φ)＝0，
即tan(2x ＋φ)＝tan(2x －φ)． ∴2x ＋φ＝k π＋2x －φ， ∴φ＝k π
2(k ∈Z )． [答案] k π
2(k ∈Z )
8．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是________．
[解析] 由正切曲线可知，两个相邻交点间相差一个周期即π
ω. [答案] π
ω
9．满足tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．
[解析] 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π
3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π
6，k ∈Z .
故满足tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
k π－2π3≤x <k π＋π
6，k ∈Z
[答案] ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z 三、解答题
10．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <3
2，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．
[解] ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π
3<k <π. ∵k ∈N *
，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x －π3，
由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π
3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π
2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π
3，k ∈Z .
∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x －π3的单调增区间为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 11．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
[解] 由4x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π4＋3π
16，
∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π4＋3π16，k ∈Z .值域为R ，周期T ＝π4. 又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π16没有意义，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3π16＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16－π4＝0，
∴f (x )是非奇非偶函数．
令－π2＋k π<4x －π4<π
2＋k π，k ∈Z ，解得k π4－π16<x <k π4＋3π
16，k ∈Z .
∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π4－π16，k π4＋3π16(k ∈Z )，不存在单调递
减区间．
12．已知函数f (x )＝tan(3x ＋φ)0<φ<π2的对称中心为π
4，0，求f (x )的解析式及单调增区间．
[解] 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z .
故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π
4. 由于0<φ<π
2，所以当k ＝2时，φ＝π
4.
故函数解析式为f (x )＝tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x ＋π4.
由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π
2，解得k π3－π4<x <k π3＋π
12，k ∈Z ，
故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .。