案例2：生产计划制定

⏹ 案例：生产计划的制定

某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。已知制造甲产品需要A 型配件5个，B 型配件3个；制造乙产品需要A 型配件2个，B 型配件4个。而在计划期内该工厂只能提供A 型配件180个，B 型配件135个。又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙产品可获利润15元。问在计划期内甲、乙产品应该各安排生产多少件，才能使总利润最大?

⏹ 求解过程：

？ 首先找出关键变量，设21,x x 分别表示生产甲、乙产品的件数，其次找出目标函数，该工厂每生产1x 件甲产品可获利润120x 元，生产2x 件乙产品可获利润215x 元。

若设总利润为Z ，则

211520x x Z +=

上式称为目标函数，要使总利润最大，只要在满足给定约束条件的情况下，确定出21,x x 的值使Z 最大即可。

然后，确定约束条件，在该例中生产受配件总数的限制。

生产甲、乙两种产品共需要A 型配件2125x x +个，而在计划期内该厂只能提供A 型配件180个，从而

1802521≤+x x

需B 型配件2143x x +个，而在计划期内该厂只能提供B 型配件135个，从而

1354321≤+x x

同时注意到产品数不能为负数，从而有

0,

021≥≥x x

综上所述，可以归纳为如下数学模型：

均为整数且212121212

1,0

,0135

4318025..1520max x x x x x x x x t s x x Z ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥≤+≤++=

⏹ 求解程序

可以用MATLAB 命令linprog 求解：

格式为：X=LINPROG(f,A,b) 其中参数含义如下

min f ’x s ．to : A*x <= b

程序： f=[20,15]';

A=[5 2;3 4;-1 0;0 -1]； b=[180 135 0 0]'；

X=LINPROG(-f,A,b)；

求得当9,3221==x x 时为最优，此时总利润为775（元） ⏹ 线性规划的图形求解：

由图可知：直线1802521=+x x 和直线1354321=+x x 的交点即为所求的最优解。代入利润函数211520x x Z +=中可求解最大利润。

⏹ 求解结果可能出现的几种情况：

1. 唯一解

约束条件 缺乏必要的无界解(无最优界解3.有无穷无穷多最优解2.

) ⎭

⎬⎫

4．无可行解 约束条件相矛盾

⏹ 线性规划问题的一般形式

线性规划模型的结构

()

1

1

max(min)

..

(,)(1,2,,)

(,)0

1,2,,n

j j

j n

ij

j

i

j j Z c x s t a x

b i m x undefined j n ===≥=≤=≥≤=∑∑

目标函数 ：max ，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, 未定义, ≤0

⏹ 线性规划问题的标准形式

⏹ 线性规划的标准形式

目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0

标准形式的矩阵表示法：

其中，称T n x x x X ),...,(21=为决策向量，T m b b b b ),...,(21=称为资源向量，),...,(21n C C C C =称为价值向量，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212212111111为系数矩阵

⏹ 化为规划标准形的方法：

1．目标函数：CX Z CX Z -=⇒='max min

2．约束方程：加入松弛变量（≤）或减去剩余变量（≥）（不会影响目标函数）

3．决策变量：'0k k k x x x -=⇒≤， k x 无约束 '''k k k x x x -=⇒，

其中0'','≥k k x x 。

()

1

1

max ..

(1,2,,)

1,2,,n

j j

j n

ij j

i

j j Z c x s t a x

b i m x j n =====≥=∑∑ max ..

Z CX

s t AX b X ==≥

案例：配料问题

某炼油厂生产三种规格的汽油：70号、80号、85号，它们各有不同的辛烷值与含硫量的质量要求。这三种汽油由三种原料油调和而成。每种原料油每日可用量、质量指标及生产成本见表1，每种汽油的质量要求及销售价格见表2。假定在调和中辛烷值和含硫量指标都符合线性可加性。问该炼油厂如何安排生产才能使其利润最大？