武汉理工大学考试试题纸(A卷)(闭卷)

武汉理工大学考试试题纸(A 卷)(闭卷)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：武汉理工大学考试试题纸（A 卷）（闭卷）课程名称 概率统计 专业班级 题号 一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1．填空题（15分）（1）设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P （2）设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量2X Y =的概率密度函数为=)(y f Y .（3）设随机变量X 和Y 的期望分别为2-和2，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-，由切比雪夫不等式，(6)________P X Y +≥≤ ．（4）设某种清漆干燥时间),(~2σμN X （单位：小时），取容量为n 的样本,其样本均值和方差分别为2,X S ，则μ的置信度为1-α的单侧置信上限为： .（5）设),,,(21n X X X Λ为取自总体),(~2σμN X 的样本，参数2,σμ均未知，∑==n i i X n X 11，212)(X X Z n i i -=∑=，则对于假设00=μ：H 作t 检验时，使用 的检验统计量T ＝ （用X 与Z 等表示）.2．（10分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

3. （10分）设随机变量X 的概率分布为f xA x x ()=<<⎧⎨⎩，，其它010，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{}X ≤12出现的次数，试确定常数A ，并求概率PY {}=2。

4. （15分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ；（2）概率}1{≤+Y X P 。

5. （10分）已知随机变量X 、Y 分别服从正态分布)3,0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相关系数ρX Y =-12/，设Z X Y =+//32，求：（1）数学期望E Z ，方差D Z ；（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。

6. （10分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X ，满足0)(1lim 12=∑=∞→nk k n X D n 则对任给0>ε，有1)(11lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εn k k n k k n X E n X n P . 7. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21Λ是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2n S 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？8．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X K 是来自X 的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？答案1．（15分）（1）4/7；（2）104()4Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他;（3）112(4)上限为(1)SX t n nα+-; （5）)1(-n n ZX2．（10分）解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。

则A A A 123Y Y =Ω，且PA i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，（1） 由全概率公式得∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P 40013100541100441100221=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得 P A A (|)1=∑=3111)|()()|()(j jj A A P A P A A P A P 13440013100221=⨯= 3. （10分）解：由归一性⎰⎰∞+∞-===2)(110AAxdx dx x f 所以A =2。

即 ⎩⎨⎧<<=其它，，0102)(x x x f412)()21(}21{21021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P所以)413(~，B Y ，从而 }2{=Y P =64943)41(223=⨯C4. （15分）解：（1）x ≤0时，f x X ()=0； x >0时，f x X ()=fx y d y ed y e y xx(,)==--+∞-∞+∞⎰⎰ 故随机变量X 的密度函数f x X ()=e xx x -<≤⎧⎨⎩，，000（2）PX Y {}+≤1==--+≤⎰⎰⎰⎰f xy d x d y d x e d y y xxXY (,)10121=+---e e 112125. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得E Z 1221031)2()3()23(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E D Z =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232232C o v ， DY DX DY DX XY ρ21312213122⨯⨯++=324143)21(213124213312222=-+=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯+⨯=（2）C o v C o v C o v C o v ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，=+=+13121312=+=13120D X DXD Y X Y ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρX Z XZ D X D Z==C o v (,)6. （10分）证明： )(1)1(),(1)1(12111∑∑∑∑======nk k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ，由切贝雪夫不等式，得22111)(1)(11lim εεn X D X E n X n P nk k n k k n k k n ∑∑∑===∞→-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-，根据题设条件，当∞→n 时, 1)(11lim 11≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P ，但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立. 7. （15分）解：（1）由于)1(~)1(222--n S n χσ，又有21221)(1S nn X X n S n i i n-=-=∑=22)1(S n nS n-=，因此)1(~222-n nS nχσ；（2）由于)1(~/--n t nS X μ，又有1-=n S nS n ，因此)1(~1/---n t n S X n μ；（3）由),,2,1)(,(~2n i N X i Λ=σμ得：),,2,1)(1,0(~n i N X i Λ=-σμ，由2χ分布的定义得：)(~)(2212n Xni iχσμ∑=-.8．（15分）解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩K K ，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==K 。

（2） 因为1ˆ2E EX θθ==，所以1ˆθ为θ的无偏估计量。

又因为()n X 的概率密度函数为：1()1,0()0,n n x n x f x θθθ-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其它 所以1()011n n x n EX xn dx n θθθθ-⎛⎫==⎪+⎝⎭⎰因此2ˆθ为θ的有偏估计量，而3()1ˆn n X nθ+=为θ的无偏估计量。

（3） 221/12ˆ443D DX nnθθθ==⨯=，23(2)212202211ˆ11111ˆ(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n nθθθθθθθθ-+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=≥+⎰ 于是3()1ˆn n X nθ+=比1ˆ2X θ=更有效。