用平方差公式分解因式

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利用完全平方差公式进行因式分解

因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

4.用平方差公式分解因式课件

4.3.1 用平方差公式分解因式
1 课堂讲授直接用平方差公式分解因式
先提取公因式再用平方差公式分解因式
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
1．分解因式：2x2－4x＝_2_x_(_x_－__2_)_.
复 2．利用乘法公式计算：
(1)(x＋2)(x－2)＝___x_2_－__4____;
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
3 分解因式：16－x2＝( )
A．(4＋x)(4－x)
B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x)
D．(4－x)2
知1－练
4 将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
知1－练
差的乘积.
知1－讲
例1 把下列各式因式分解: (1)25－16x2；
解： (1) 25－16x2 ＝ 52－(4x)2 ＝(5＋4x)(5－4x)；
(2)9a2－
1 4
b2.
(2)9a2－ 1 b2 4
＝ (3a)2－( 1 b)2
2
＝(3a＋
1
b)(3a－
1 b)
2
2
总结
知1－讲
利用平方差公式分解两项式的一般步骤： 1.找出公式中的a、b; 2.转化成a2－b2的情势； 3.根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．
知2－练
1 分解因式a2b－b3结果正确的是( )
A．b(a＋b)(a－b)

因式分解“平方差公式”教学反思

因式分解“平方差公式”教学反思因式分解“平方差公式”教学反思篇1用平方差公式分解因式，先从整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a-b)=a2-b2引入，把公式反过来：a2-b2=(a＋b)(a-b)就成了因式分解了。

让学生观察公式左右两边的结构特点，在这一环节有点着急，应该让学生多观察，让学生发现并说出公式左右两边的结构特点，我再加以归纳和总结，会让学生印象深刻。

紧接着，辨一辨，下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2想要通过这一环节，让学生进一步明白平方差公式的结构特征。

在学生辨析中第（4）个，学生们说出了两种方法：方法一：-x2+y2=y2-x2；方法二：-x2+y2=-(x2-y2)因为在前一节课中，学因式分解时，强调：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

这个时候我对说出两种分解方法的同学及时表扬，并强调两种分解因式的结果是相等的，分解因式是多项式的'恒等变形。

由此，只有具备平方差公式特征的多项式（即是二项式）才能用平方差公式分解因式，否则，不能用平方差公式分解因式。

同学们判断以下两道题目能用平方差公式分解因式吗？学习例1.例1.把下列各式分解因式。

（1）25-16x2（2）9(m+n)2-(m-n)2由于是20分钟的微课，所以我对例题进行了删减与重组。

一个是公式的a,b 代表单项式的题目，一个代表多项式的题目。

讲解时先分析，分清公式里的a,b 是题中的哪一项。

（1）让学生尝试去做，（2）老师一边板书一边讲解。

讲完之后师引导学生总结：（1）公式里的两个数指的是a,b而不是a2,b2 （2）其中a,b可以是单项式，也可以是多项式（3）分解因式必须分解到不能再分解为止。

并结合具体例子给学生强调，刚好以上两个例题中有这个问题的体现。

为了检验同学们学的如何，老师再随机出一题：9a2-0.25b2正如我所预想的，学生很快集体口答出了结果。

因式分解的五个公式

因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。

应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。

13.5.2 用平方差进行因式分解(第2课时)-

式,那么先提公因式，再进一步分解。（2）因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解为止.
用平方差公式进行简便计算:
1)38² -37² 2) 213² -87² 3)229² -171² 4) 91×89
课堂练习：
(1) a2 - 0.25x2 (3) 4x2 - 9y2 (5) 36n2 - 1 (2) 36 - m2 (4) 0.81a2 - 16b2 (6) 25p2 - 49q2
a2
-
b2 = ( a + b ) ( a - b )
注意：
平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，而且可以代表代数式。
例1
(1) 1 2 2 2 (2) x y - z
(3)
2 0.25m 2 0.01n
2 25b
(1) 1 -
2 25b
解：原式= 12 - ( 5b )2
a 2 - b2
(7) 4a2 - ( b + c )2 (8) (3m+2n)2-(m-n)2
课堂小结：
1.具有的两式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
根据平方差公式得：
原式=（ 1 + 5b )( 1 - 5b )
例2
(1) ( x + p )2 - ( x + q )2 (2) 16(a-b)2-9(a+b)2
(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2
例3
(1)
5 3 x -x
4 4 x -y

4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的记忆和应用这两个重点。对于难点部分，比如识别平方差结构，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。

用完全平方差公式因式分解

x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2

15.5.2 利用平方差公式因式分解(二)

问题1. 分解因式的方法有哪些? 1.提公因式法 2.用平方差公式
问题2. a2+2ab+b2能用平方差公式分解因式吗？你能将a2+2ab+b2分解因式吗?
完全平方公式：
(a b)
2
a 2ab b
2
2
完全平方公式因式分解特征：
(1)必须是三项式 (2)两个数都可写成平方形式 (3)另一数必需是两数积的两倍你能用完全平方公式将x2+4xy+4分解因式吗?
2
[例2]分解因式：（1）（a+b）2-12（a+b）+36 （2）3ax2+6axy+3ay2 (3) a4-2a2b2+b4 (4) (x+4)2+2x(x+4)+x2 (5)（x2+3x）2-（x-1）2
[例3]：用简便方法计算： 19992 - 3998×1998 + 19982
1、分解因式：（1）x3-9x （2）-3x2+6xy-3y2 （3）（a2+b2）2-4a2b2 （4）（y2-6）2-6（y2-6）+9 （5）(m-1)(m+3)+4
2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
2 2
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
问题3. a2+2ab+b2能分解成 (a+b)2.
那么 a2-2ab+b2能分解因式吗?

40运用平方差公式因式分解教案

运用平方差公式因式分解一、教学目标(一)知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力.(二)过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.(三)情感态度与价值观：培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值.二、教学重点、难点重点：利用平方差公式分解因式.难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.三、教学过程知识回顾平方差公式(α+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.填一填：(1)(x+5)(χ-5)=(2)(3x+y)(3x-y)=(3)(l+3a)(l-3a)=比一比，看谁算得快(1)982-22=(2)己知α+从4,a~b=2f则a2-l>2=你能说说算得快的原因吗？把整式乘法的平方差公式U+W(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到运用平方差公式因式分解a2-b2=(a^b)(a~b)t两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.辨一辨下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？⑴X2+/ ( ) (2)x2-y2( ) ；⑶-JC2+y2( ) (4)-χ2-y2( )例3分解因式：(1)4X2-9(2)(x+p)2-(X+q)2分析：在(1)中，4x2=(2x)2,9=32,4X2-9=(2X)2-32;在(2)中，把Cr+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+片小，x+q=n,则原式化为序-〃2.解：⑴4Λ2-9=(2X)2-32=(2X+3)(2X-3)(2)(x+p)2-(χ+q)2=[(χ+p)+(χ+q)][(χ+p)-(x+q)]=(2x+p+g)(pp)例4分解因式：(1)√-/ (2)a3b-ab分析：对于(1),f-y4可以写成(f)2γy2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；对于(2),苏6必有公因式应先提出公因式，再进一步分解.解：⑴产卢(x2+y2)Cr2-y2)=(f+y2)(x+y)(x~y)(2)a3b-ab=ab(a2-l)=ab(a+∖)(α-1)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.练习2.分解因式：(1)cτ~—b2(2)9a2~4h2(3)x2∖'~4y(4)一/+1625解：(1)cr~—h2=(Λ+-h)(a--b)25 5 5(2)9a2~4b2=(3a+2b)(3a~2b)(3)√r4y=y(√-4)=j(x+2)(x-2)(4)-Λ4+16=16-a4=(4+α2)(4-<J2)=(4+α2)(2+«)(2-a)课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数，然后再确定公式.如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底.最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.。

平方差公式法分解因式

利用平方差公式进行因式分解
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回顾与思考
x2-4 y2-25
探究新知两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
课堂小结平方差公式： a2-b2 =(a+b)(a-b) 用平方差公式因式分解步骤：一变、二分解
作业课本p171 2题
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（2）（x+p)2-(x+q)20503Fra bibliotek0104
02
课堂练习
01
02
03
04
05
06
07
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课后练习分解因式: a2- b2; (2)9a2-4b2; x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
(x+4)(x-4)
(3+t)(3-t)
×
√
√
×
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式:
4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:
在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. 解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)

运用平方差公式因式分解[下学期] 浙教版

= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式 2a(a2解原式原式=
4)
=2a(a+2)(a-2)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式先提取公因式 2.再应用平方差公式分解再应用平方差公式分解
3.每个因式要化简，并且要分解彻底。每个因式要彻底。
运用平方差公式分解因式
池淮中学傅兴益
计算：计算： (1) (a+1) (a-1)
平方差公式：平方差公式：整式乘法 (a+b)(a-b) = a²-b² 反之：反之：因式分解 a²-b² = (a+b)(a-b) 即：两个数的
(2) (-2x-3y) (2x-3y) (4) 20062－20052
项式。项式。
式，那么这个多项式就可以用平方差公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解因式。公式分解因式。
平方差公式:a =(a+b)(a平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式 (1)16a²- 1 (2) -m²n²+4x² (3)
9 — 25 1 4 -—y 16
x²
把下列各式因式分解: 把下列各式因式分解 2-4 2b4 (1) 25x (2) 121 - 4a 4 - 4b4 2+49y2 (3) a (4) -x 3-12mn4 (6) 4 (5) 3m a − 81 2 2 (7) 4( x + y ) − ( y − z )
(4)( x + z )²- ( y + z )²
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b) 平方差公式:a =(a+b)(a-