常用地图投影转换公式
高斯投影6度和3度分带公式(一)
高斯投影6度和3度分带公式(一)高斯投影6度和3度分带公式介绍高斯投影是一种常用的地图投影方法，通过将地球表面上的点投影到平面上，实现地球表面的测绘和制图工作。
而在高斯投影中，存在两种常见的分带方式，即6度分带和3度分带。
下面将详细介绍这两种分带方式的相关公式和举例。
6度分带公式在6度分带方式中，地球被划分为60个纵向分带，每个分带占据经度范围为6度。
在每个分带内，利用高斯投影公式将地球上的经纬度点投影到平面上。
其公式如下：x = m0 * l * cos(B) + m0 * l^3 * cos(B)^3 * (1 - ta n(B)^2 + eta^2 * x^2) / 6 + (1)y = m0 * B + m0 * l^2 * cos(B)^2 * (1 + eta^2 * x^2) / 2 + (2)其中，x和y分别为经纬度点的投影平面坐标，B为纬度，l为经度差，eta为扁率的平方，m0为高斯投影系数。
公式(1)和(2)中的省略号表示高阶项，为了简化计算一般可以忽略。
下面以将经度为度、纬度为度的点投影为例进行说明。
首先，需要计算各个参数的值。
根据地理坐标系的定义，可以得到扁率的平方eta等于，经度差l等于度（经纬度一般采用度数表示）。
接着，根据所在纬度的带号（34度属于6度分带中的第6带），可以获得该带的高斯投影系数m0。
再根据公式(1)和(2)，将以上参数代入计算即可得到该点在投影平面上的坐标。
3度分带公式与6度分带不同，3度分带将地球划分为120个纵向分带，每个分带占据经度范围为3度。
其余的计算方法和6度分带类似，公式如下：x = m0 * l * cos(B) + m0 * l^3 * cos(B)^3 * (1 - tan(B)^2 + eta^2 * x^2) / 6 + ... (1')y = m0 * B + m0 * l^2 * cos(B)^2 * (1 + eta^2 * x^2) / 2 + ... (2')需要注意的是，参数的计算方法和6度分带相同，但是高斯投影系数m0的计算会有所不同。
墨卡托投影公式
墨卡托投影公式
墨卡托投影是由16世纪的荷兰地理学家墨卡托所发明的一种投影方式，也是
最早以及现在仍在使用的圆柱投影方式之一。
其公式为：
x= R*λ
y= R*ln[tan(π/4 + φ/2)]
在该公式中，“R”代表地球的半径，“λ”代表经度，“φ”代表纬度。
所有的角都
应转换为弧度。
墨卡托投影的主要特性是将经线和纬线都投影为直线，且经线与
纬线的交角保持为90度。
这种投影方式下，各地的形状可以保持不变，但各部分
之间的面积比例会发生变化，尤其是接近两极的地区，其面积会被大大放大。
墨卡托投影的主要优点是方便制作和阅读地图，因为在这种投影下，线段的方向（也就是角度）被保持不变。
这种特性使得墨卡托投影尤其适合用于海洋导航和航空航行图。
但其主要缺点是无法准确地表示大范围地区（尤其是纬度较高的地区）的相对大小。
因此，一些学者和研究者会使用其他类型的投影方式来弥补这一缺陷。
总之，墨卡托投影是地理信息系统中常用的一种地图投影方法，具有其独特的应用价值和局限性。
七参数四参数转化
七参数四参数转化七参数和四参数是地图投影参数的两种主要形式。
七参数转化为四参数意味着从包含更多参数的转换模型向包含更少参数的模型转换。
下面将详细介绍七参数和四参数的概念以及它们之间的转换方法。
1.七参数转换模型：七参数是指地图投影转换过程中需要考虑的七个参数，它们分别是平移X、平移Y、平移Z、旋转角度α、β、γ和尺度因子k。
这些参数用来描述两个坐标系之间的平移、旋转和尺度变换关系。
七参数转换模型的数学表达形式为：X' = X + tx + (-rz * Y) + (ry * Z) + dxY' = Y + rz * X + (-tx * Z) + dyZ' = Z + (-ry * X) + (tx * Y) + dz其中，(X', Y', Z')为转换坐标系中的坐标，在这个坐标系中，X轴指向东方，Y轴指向北方，Z轴指向上方。
而(X, Y, Z)为原始坐标系中的坐标，原始坐标系的坐标轴方向可能与转换坐标系不一致。
tx、ty、tz 为平移参数，表示坐标系之间的平移关系。
rx、ry、rz为旋转参数，表示坐标系之间的旋转关系。
dx、dy、dz为尺度参数，表示坐标系之间的尺度变换关系。
2.四参数转换模型：四参数是指地图投影转换过程中只需考虑的四个参数，它们分别是平移dx、dy、旋转角度θ和尺度因子m。
这些参数也用于描述两个坐标系之间的平移、旋转和尺度变换关系。
四参数转换模型的数学表达形式为：X' = m * (X * cosθ - Y * sinθ) + dxY' = m * (X * sinθ + Y * cosθ) + dy其中，(X', Y')为转换坐标系中的坐标，在这个坐标系中，X轴指向东方，Y轴指向北方。
而(X, Y)为原始坐标系中的坐标，原始坐标系的坐标轴方向可能与转换坐标系不一致。
dx、dy为平移参数，表示坐标系之间的平移关系。
高斯投影3度带计算公式
高斯投影3度带计算公式
高斯投影是一种常用的地图投影方法，广泛应用于地理信息系统和地图制作中。
其中，高斯投影3度带是指将地球划分为每3度经度为一个投影带，每个投影带都有其特定的计算公式。
以下是高斯投影3度带的计算公式。
1.计算中央子午线经度
中央子午线经度可以通过经度除以3再取整得到。
例如，经度120度所在的投影带的中央子午线经度为39度。
2.计算投影坐标系原点
投影坐标系原点的纬度可以通过将纬度分为北纬和南纬两个区间，再通过选择不同的公式计算得到。
北纬区间为0度到84度，南纬区间为0度到80度。
公式如下：
在北纬区间内，原点纬度等于3度带数乘以3度再减去1.5度；
在南纬区间内，原点纬度等于80度减去3度带数乘以3度再减去1.5度。
3.计算投影系数
投影系数是指将经纬度转换为XY平面坐标的转换参数。
根据不同的投影带和纬度区间，投影系数有不同的计算公式。
可以使用以下公式计算投影系数：
投影系数等于扁率乘以半长轴，再乘以纬度差值，再除以360。
4.计算辅助角度
辅助角度可以通过以下公式计算得到：
辅助角度等于经度差值乘以60等于输入经度减去中央子午线经度。
5.计算投影坐标
投影坐标由X和Y两个部分组成，可以通过以下公式计算得到：
X等于投影系数乘以辅助角度的正弦值；
Y等于投影系数乘以辅助角度的余弦值。
这就是高斯投影3度带的计算公式。
通过这些公式，可以将经纬度坐标转换为平面坐标，实现地图投影和测量分析等功能。
高斯投影3度带的计算公式是地图制作和测绘工作中的重要工具，具有广泛的应用前景。
高斯克吕格投影公式(一)
高斯克吕格投影公式(一)高斯克吕格投影公式高斯克吕格投影公式是一种常用的大规模地图投影方法，常用于地理信息系统和地图制作领域。
下面列举了相关的公式和例子，来解释说明这个投影方法的具体细节和应用。
公式一：高斯克吕格正弦公式公式：Y=a+R 1−cos(B−B0)2+P0R(B−B0)sin(B−B0)解释说明：在该公式中，Y表示投影坐标系中纵坐标的值，a表示一个常数，R表示椭球参数中的平均曲率半径，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，P0表示投影中心的纵坐标值。
这个公式用于将地理坐标系中的纬度转换为投影坐标系中的纵坐标。
示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为度，投影中心的纬度为度，投影中心的纵坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为$$ 米，常数a为500000米。
代入公式可以计算得到纵坐标的值为：Y=500000+1−cos()2+()sin()计算结果为Y≈.48米。
公式二：高斯克吕格余弦公式公式：X=X0+R(B−B0)cos(L−L0)解释说明：在该公式中，X表示投影坐标系中横坐标的值，X0表示投影中心的横坐标值，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，L表示地理坐标系中的经度，L0表示投影中心经度，R表示椭球参数中的平均曲率半径。
这个公式用于将地理坐标系中的经纬度转换为投影坐标系中的横纵坐标。
示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为$$ 度，经度为 $-$ 度，投影中心的纬度为 $$度，经度为−度，投影中心的横坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为 $$ 米。
代入公式可以计算得到横坐标的值为：X=0+..7749)cos((−.4194))计算结果为X≈.99米。
通过以上列举的高斯克吕格投影公式和示例，我们可以看到这些公式在将地理坐标系转换为投影坐标系时提供了一种简便而有效的方法。
不同的参数组合可以应用于不同的地理区域，以满足各种地图制作和地理信息系统的需求。
投影计算公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
常用地图投影转换公式
常用地图投影转换公式最近几乎天天都有Email跟我要这样、那样的坐标系转换或投影转换公式，或问我编的投影程序公式是哪来的，有没有专门介绍投影公式的书等等，让我越来越觉得有必要就此方面写点东西，一来我自己总结一下，二来对那些我没有回Email的同行也有个交代，因为那些公式实在太难敲了。
我在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”（ ）中用的公式来自我原来的积累，同时参考了POSC( ，国际石油技术软件开放公司)的文献“Coordinate Conversions and Transformation including Formulas”，该文献由EPSG( ,欧洲石油勘探组)编写，比较全面地介绍了各种地图投影与坐标系的转换方法及计算公式，而且最新更新到了2004年，是我目前看到的最全面、最新的相关文档了，只不过是英文的，我正在打算将它们翻成中文，到时与大家共享。
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”（1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”（ ）已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
常用地图投影转换公式
常用地图投影转换公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”（1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位臵关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
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高斯投影3度带计算公式
高斯投影3度带计算公式高斯投影是一种常用的地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标。
高斯投影采用的是平行圆柱投影的形式，在不同的区域采用了不同的投影方式，这些区域被称为投影带。
高斯投影3度带是根据经度每3度划分一个投影带，适用于中国境内。
1.确定投影带：首先需要确定要计算的点所在的投影带。
高斯投影3度带的标准经度线是经度的倍数，例如北京所在的投影带的标准经度线为120度。
2.确定坐标原点：每个投影带都有自己的坐标原点，原点的纬度为0度，经度为标准经度线的整数倍。
例如，北京所在的投影带的坐标原点为北纬0度，东经120度。
3.计算纬度差值：将待转换的点的纬度与坐标原点的纬度之差转换为弧度表示。
纬度差值可以通过以下公式计算：ΔB=(B-B0)×π/180其中，B为待转换点的纬度，B0为坐标原点的纬度，π为圆周率。
4.计算子午线弧长：子午线弧长是指从赤道到待转换点所在纬度圈的弧长。
子午线弧长可以通过以下公式计算：L = (M1 - M0) × sin(ΔB) + M1 × ΔB其中，M0为坐标原点的子午线弧长，ΔB为前一步计算的纬度差值，M1为纬度圈的平均子午线弧长。
5.计算投影坐标：通过以下公式计算待转换点的高斯投影坐标：X = M + N × tnα × [1 + (E^2 × cos^2α / (1 - E^2))] × ΔL × ΔL / 2Y = Y0 + N × [tnα × ΔL × (1 + ΔL × ΔL × (1 - E^2) / 6) + ΔL × ΔL × ΔL × ΔL × ΔL × tnα × (5 - tn^2α + 9 × E1^2 + 4 × E1^4) / 120]其中，X和Y分别为待转换点的投影坐标，M为坐标原点的子午线弧长，N为卯酉圈的卯酉弧长，α为纬度圈的中央子午线倾角，ΔL为待转换点的经度与标准经度之差转换为弧度表示，E为椭球的第一偏心率，Y0为投影带的Y轴坐标原点，E1为椭球的第二偏心率。
施工坐标换算公式大全
施工坐标换算公式大全1. 引言在施工过程中，经常需要进行不同坐标系之间的换算。
同时，施工坐标换算也是一项重要的技术，它能够保证施工工程的精确度和高效性。
本文将介绍施工中常用的坐标系，并提供了一些常用的施工坐标换算公式。
2. 坐标系介绍2.1. 大地坐标系（WGS84）大地坐标系是地理学中使用最广泛的坐标系，它基于地球椭球体建立，用经度、纬度和高程三个量来表示一个点的位置。
大地坐标系以世界大地测量系统第1984年修订版（World Geodetic System 1984, WGS84）为基础，是全球定位系统（GPS）使用的基准坐标系。
2.2. 投影坐标系（UTM）投影坐标系是将地球表面的经纬度坐标用X、Y坐标来表示的坐标系。
其中通用横轴墨卡托投影（Universal Transverse Mercator, UTM）是最常用的投影坐标系之一，主要用于地图绘制和工程测量。
3. 施工坐标换算公式3.1. 大地坐标系与投影坐标系之间的换算大地坐标系与投影坐标系之间的换算，常用的方法是通过坐标转换公式进行计算。
以下是大地坐标系（WGS84）与投影坐标系（UTM）之间的换算公式：•大地坐标系转投影坐标系公式：–X = f(L, B, H) - X0–Y = f(L, B, H) - Y0•投影坐标系转大地坐标系公式：–L = f(X + X0, Y + Y0, H)– B = f(X + X0, Y + Y0, H)–H = f(X + X0, Y + Y0, Z0)其中，X、Y表示投影坐标系下的坐标，L、B表示大地坐标系下的经度和纬度，H表示高程，X0、Y0表示投影坐标系的原点。
3.2. 坐标系之间的高程换算在施工过程中，经常需要进行不同坐标系之间的高程换算。
以下是常用的坐标系之间的高程换算公式：•大地水准面高程与正高差的换算公式：–H = N + h其中，H表示大地水准面高程，N表示大地法线高，h表示正高差。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
地理坐标系转换公式
地理坐标系转换公式以下是几种常用的地理坐标系转换公式：1.地球椭球体转平面：地球椭球体转平面是将地球椭球体上的点的经纬度坐标转换为平面坐标的过程。
常用的公式有墨卡托投影、高斯-克吕格投影等。
-墨卡托投影：墨卡托投影是一种等角圆柱投影，其转换公式如下：x = R * lony = R * log(tan(π/4 + lat/2))其中，R为地球半径，lon为经度，lat为纬度，x和y为平面坐标。
-高斯-克吕格投影：高斯-克吕格投影是一种正轴等角圆锥投影，其转换公式如下：λs=λ-λ0B = 1 / sqrt(1 - e² * sin²(φ))ρ = a * B * tan(π/4 + φ/2) / (1 / sqrt(e² * cos²(φ0 - B * λs)^2))E = E0 + k0 * ρ * sin(B * λs)N = N0 + k0 * [ρ * cos(B * λs) - a * B]其中，λ为经度，φ为纬度，λ0和φ0为中央经线和纬度原点，a 为长半轴，e为椭球体偏心率，E和N为平面坐标，E0和N0为偏移量，k0为比例因子。
2.平面转地球椭球体：平面转地球椭球体是将平面坐标转换为经纬度坐标的过程。
常用的公式有逆墨卡托投影、逆高斯-克吕格投影等。
-逆墨卡托投影：逆墨卡托投影是墨卡托投影的逆过程，其转换公式如下：lat = 2 * atan(exp(y / R)) - π/2lon = x / R其中，R为地球半径，x和y为平面坐标，lat和lon为经纬度。
-逆高斯-克吕格投影：逆高斯-克吕格投影是高斯-克吕格投影的逆过程，其转换公式如下：φ1 = atan[(Z / √(Z² + (N0 - N)²))]φ0 = φ1 + ((e² + 1)/ (e² - 1)) * [sin(2φ1) + ((e² / 2) * sin(4φ1)) + ((e⁴ / 8) * sin(6φ1)) + ((e⁶ / 16) * sin(8φ1))]B = 1 / sqrt(1 - e² * sin²(φ1))β=N/(a*B)φ = φ1 - (β / 2) * [sin(2φ1) + ((e² / 2) * sin(4φ1)) + ((e⁴ / 8) * sin(6φ1)) + ((e⁶ / 16) * sin(8φ1))]λ = λ0 + (at an[(E - E0) / (N0 - N)]) / B其中，Z=√((E-E0)²+(N0-N)²)，φ1为近似纬度，φ0为中央纬度，B为大地纬度变换系数，β为纬度差异因子，φ和λ为经纬度。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
第四、五章地图投影2三种常用投影
（正轴方位投影）
1、方位投影（正轴）的一般公式：
f z x cos y sin d 1
Rdz
2
R sin z P 1 2
a b sin 2 ab
a 或者： tan 45 4 b
16世纪荷兰地图学家墨卡托(Mercator)所创造的，故又称 为墨卡托投影，属于正轴等角圆柱投影，是广泛应用于航 海、航空方面的重要投影之一。
该投影赤道上的长度比为最小，两极的长度比为无穷大。 面积比是长度比的平方，所以面积变形很大。 例如，格林兰岛的实地面积仅是南美洲的1/8左右，但从等
课 后 作 业
掌握：三种几何投影（建立、经纬线形状、变形分布 特点和应用范围） 掌握：正轴等角割圆锥投影 了解：墨卡托投影的应用 论：圆锥 投影最适宜于作为中纬度处沿纬线伸展的制图区域 之投影。 圆锥投影在编制各种比例尺地图中均得到了广 泛应用，原因如下： 1）地球上广大陆地位于中纬地区； 2）这种投影经纬线形状简单，经线为辐射直线， 纬线为同心圆圆弧，在编图过程中比较方便，特别 在使用地图和进行图上计算时比较方便，通过一定 的方法，容易改正变形。
角圆柱投影图上看，它比南美洲还大（如图）。
切投影仅适合制作赤道附近沿纬线延伸地区的地图。 割投影适合制作沿纬线延伸地区的地图。 两者均不适合制作高纬度地区的地图。
等角航线是地面上两点间同所有经线构成相同方位 角的一条曲线。等角航线又名恒向线、斜航线。 在墨卡托投影中它成为两点之间的直线(墨卡托投影
2
横轴方位投影
东、西半球（横轴方位投影）
1．正轴方位投影: 切点在极点（φ =90。）经线为从一点 向外放射的直线束，纬线为以切点为圆心的同心圆。投影 中心为各经线的交点，所以投影后的夹角δ 与经差λ 相等 即δ =λ ，并且因为经线和纬线相互正交。主要作两极地 图。 2．横轴方位投影: 切点在赤道（φ =0。）除经过切点的经 线和赤道投影为直线外，其余经纬线都是曲线，主要用于 东、西半球图。 3．斜轴方位投影: 切点在任意纬度（0。＜φ ＜90。）除经 过切点的经线投影为直线外，其余经纬线都为曲线，主要 用于编大陆半球图、大洲图、大洋图，全球航空图以及机 场为中心的航行半径图，地震带的范围图，大城市交通图 等。
高斯克吕格投影公式
高斯克吕格投影公式
高斯克吕格投影公式（Gauss-Krüger projection formula）是一种常用的地理坐标投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标。
该投影方法是在高斯投影的基础上进行改进的，主要用于德国和其他一些欧洲国家的地图制作。
高斯克吕格投影公式的数学表达式如下：
X = C + k0 * N * (L - L0) + k0 * N * sin(L - L0) * cos(L + L0) * (A + (1 - T + C) * A^3 / 6 + (5 - 18 * T + T^2 + 72 * C - 58 * e2) * A^5 / 120)
Y = Y0 + k0 * N * (M - M0 + N * tan(L - L0) * (A^2 / 2 + (5 - T + 9 * C + 4 * C^2) * A^4 / 24 + (61 - 58 * T + T^2 + 600 * C - 330 * e2) * A^6 / 720))
其中，X和Y分别表示平面坐标系中的横坐标和纵坐标，L和M分别表示地理坐标系中的经度和纬度，L0和M0是中央经线和中央纬线的经度和纬度，C是投影坐标系的原点纵坐标，k0是比例因子，N是曲率半径，A是子午线弧长的差值，T是椭球的第一偏心率的平方，e2是椭球的第二偏心率的平方。
高斯克吕格投影公式的具体参数取值需要根据具体的地理坐标系和投影坐标系来确定。
各幅图按椭球面法线投影的计算公式和结果
3 按椭球面法线的投影公式
3.1 投影平面方程和法向量的表示式
若在椭球面上用规则的经纬格网覆盖整个制图区域，例如对应于 1：10000 图分幅，网
格的经纬度间隔 Δ B , Δ L 分别为 3′45″和 2′30″，文献[1]已证得 4 个经纬网格角点必
⎜⎜⎝⎛
x y
/ /
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
Y X
(3) (3)
⎟⎟⎠⎞
(13)
3.7 为统一各幅图坐标的坐标平移
( ) 若是采用上述的平面直角坐标系,每幅图的西南图廓点的平面直角坐标 x / y / 均为
零,不利于图幅的划分和拼图。为使各幅图之间的同名图廓点平面坐标相同, 图廓点坐标的 取值应统一基于新大地坐标系,故须再作坐标平移
=
⎜⎛ ⎜
cos 90o + (LE + LW )/ 2 − sin 90o + (LE + LW )/ 2
⎜ ⎝
Z
(2)
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
( ) sin 90o +(LE + LW )/ 2
0
0 ⎟⎞⎜⎛ 0 ⎟⎜
X Y
(1) (1)
⎟⎞ ⎟
=
定共面,且构成等腰梯形,将其作为各网格相应的投影平面。4 个网格角点作为该平面图幅的 4 个图廓点,由其已知的大地经纬度就能求得该投影平面的法线向量。设西南图廓点 (WS) 的
──────────────────────────── 基金项目：国家自然科学基金资助项目(40471114) ,地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金 资助项目（03-04-02） 作者简介：施一民(1942- ), 男 ,浙江宁波人, 教授，博士生导师,E-mail: yimshi@;
地投影变形计算公式
地投影变形计算公式地图投影变形计算公式。
地图投影是地理学和地图学中的一个重要概念。
地图投影是将地球表面上的三维地理空间坐标投影到一个二维平面上的过程。
在地图制图和空间分析中，地图投影是一个非常重要的问题，因为地球是一个三维的椭球体，而地图是一个二维平面。
因此，在将地球表面上的地理空间坐标转换为平面地图上的坐标时，会产生一定的变形。
地图投影的变形可以分为角度变形、面积变形和形状变形三种类型。
角度变形是指在地图投影过程中，地图上的角度与地球表面上的实际角度之间存在差异。
面积变形是指在地图投影过程中，地图上的面积与地球表面上的实际面积之间存在差异。
形状变形是指在地图投影过程中，地图上的形状与地球表面上的实际形状之间存在差异。
地图投影变形的存在对地图制图和空间分析有一定的影响，因此需要进行相应的变形计算。
地图投影变形的计算可以通过一些数学公式来实现。
目前常用的地图投影变形计算公式有兰伯特正形圆锥投影变形计算公式、墨卡托投影变形计算公式和极射赤面投影变形计算公式等。
这些公式可以通过一定的数学推导和计算得到，用来描述地图投影变形的特性和规律。
兰伯特正形圆锥投影是一种常用的地图投影方法，其变形计算公式为：x = ρsin(θ)。
y = ρ0 ρcos(θ)。
其中，x和y分别表示地图上的坐标，ρ表示地球表面上的点到投影中心的距离，ρ0表示地球表面上的标准纬度圈到投影中心的距离，θ表示地球表面上的点到投影中心的方位角。
通过这个公式，可以计算出地球表面上的点在地图上的坐标，进而分析地图投影的变形情况。
墨卡托投影是一种常用的等角圆柱投影方法，其变形计算公式为：x = R(λλ0)。
y = R ln[tan(π/4 + φ/2)]其中，x和y分别表示地图上的坐标，R表示地球的半径，λ表示地球表面上的点的经度，λ0表示地球表面上的标准经度，φ表示地球表面上的点的纬度。
通过这个公式，可以计算出地球表面上的点在地图上的坐标，进而分析地图投影的变形情况。
高斯投影3度带计算公式
高斯投影3度带计算公式高斯投影是一种常用的地图投影方法，广泛应用于地理信息系统中。
在高斯投影中，区域被划分为多个3度带，每个带都有一个中央经线作为起点。
本文将详细介绍高斯投影3度带的计算公式。
高斯投影3度带的计算公式主要包括纬度差、中央经线、椭球体参数等关键要素。
1. 纬度差的计算公式：纬度差是指目标点与中央经线之间的距离。
设目标点的纬度为B，中央经线的纬度为B0，则纬度差的计算公式为：△B = B - B02. 中央经线的计算公式：中央经线的计算方法比较简单，只需要将目标区域的经度坐标取整即可。
例如，若目标点的经度为L，则中央经线的经度为L0 = (L / 3) * 33. 椭球体参数的计算公式：在高斯投影中，椭球体参数需要进行计算。
椭球体参数用于描述大地水准面与球体之间的差异。
常用的椭球体参数有椭球扁率f、长半轴a和倒数的平均曲率半径n。
椭球扁率f的计算公式为：f = (a - b) / a其中，a表示地球的赤道半径，b表示地球的极半径。
长半轴a的数值可以根据所选的椭球体模型进行确定。
倒数的平均曲率半径n的计算公式为：n = a / √(1 - e²sin²B)其中，e表示椭球的第一偏心率，B表示目标点的纬度。
以上就是高斯投影3度带计算公式的全面介绍。
通过这些公式，我们可以准确地计算出目标点与中央经线之间的纬度差、中央经线的经度和椭球体参数。
这些计算结果在地理信息系统中非常重要，可以用于地图的绘制、距离的测量等应用中。
总之，高斯投影3度带计算公式是地理信息系统中重要的工具之一。
通过对公式的掌握，我们可以更加准确地进行地图投影和位置计算，为地理信息系统的研究与应用提供有力支持。
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常用地图投影转换公式作者：青岛海洋地质研究所戴勤奋 投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”（1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标,-- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。
基准纬线取至整度或整分。
3.2 墨卡托投影坐标系取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。
3.3 墨卡托投影正反解公式墨卡托投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，标准纬度B0，原点纬度 0，原点经度L0墨卡托投影反解公式：(X,Y) →（B,L），标准纬度B0，原点纬度0，原点经度L0公式中EXP为自然对数底，纬度B通过迭代计算很快就收敛了。
4．高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影4.1 高斯-克吕格投影与UTM投影异同高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM 投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM 投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
4.2 高斯-克吕格投影简介高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。
然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
高斯一克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。
高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，并能在图上进行精确的量测计算。
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。
我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。
我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用三度带的高斯-克吕格投影。
4.3 UTM投影简介UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。
UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。
与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。
UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。
我国的卫星影像资料常采用UTM投影。
4.4 高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。
以中央经线（L0）投影为纵轴X, 赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。
由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中21即为带号。
4.5 高斯-克吕格投影与UTM投影正反解公式高斯-克吕格投影和UTM投影公式从目前公开出版的教材、文献及网上我看到好几种版本，可归结为下列两组，我把原来教科书及国内文献上常见的一套公式列作高斯-克吕格投影公式，POSC(国际石油技术软件开放公司)及国外文献上见到的另一套公式列作UTM投影公式。
常常能看到两套投影公式混用的文献资料，文中谈论的是UTM投影，但列出的公式却是国内教材上的高斯-克吕格投影公式，让我很困惑。
为此，我设定比例因子都为1，用下列两组公式分别进行了同点的投影计算，计算结果在中高纬度时两套公式差异很小，小数后6位都是一致的；在低纬度时，投影结果差异拉大，横轴在小数第三位开始出现差异。
假如精确到厘米级，上述试验说明两套公式混用应该没问题。
不过，有可能会有其它极端的情况，毕竟是不同的投影公式。
高斯-克吕格投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0上面公式中东纬偏移FE = 500000米 + 带号 * 1000000；高斯-克吕格投影比例因子k0 = 1UTM投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0上面公式中东纬偏移 FE= 500000米；北纬偏移 FN北半球= 0，FN 南半球= 10000000米；UTM投影比例因子k0 = 0.9996，其它参数同高斯-克吕格投影正解公式高斯-克吕格投影反解公式：(X,Y) →（B,L），原点纬度 0，中央经度L0UTM投影反解公式：(X,Y) →（B,L），原点纬度 0，中央经度L0式中参数同高斯-克吕格投影反解公式5． 兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)；5.1 兰勃特等角投影简介兰勃特等角投影，在双标准纬线下是一“等角正轴割圆锥投影”，由德国数学家兰勃特（mbert）在1772年拟定。
设想用一个正圆锥割于球面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃特投影平面。
兰勃特等角投影后纬线为同心圆弧，经线为同心圆半径。
前面已经介绍的墨卡托(Mercator)投影是它的一个极端特例。
兰勃特投影采用双标准纬线相割，与采用单标准纬线相切比较，其投影变形小而均匀，兰勃托投影的变形分布规律是：a) 角度没有变形；b) 两条标准纬线上没有任何变形；c) 等变形线和纬线一致，即同一条纬线上的变形处处相等； d) 在同一经线上，两标准纬线外侧为正变形（长度比大于1），而两标准纬线之间为负变形（长度比小于1）。