有关图的染色问题的研究
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nj j 1
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引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色， 所以对任意图 G 的边色数有 ' G ， 其中 指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了 简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理： 任意(简单， 无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里， 人们一直在为解决简单图的分类问题做着不 懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分 类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类 的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多 面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长 度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。 平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是 第一类的。 对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。 而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论 首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为 临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为 的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为 的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为 临界图( ≥3) ,则 n 2
(5) 若 7 ,则 e 5v / 2 . 定理 4 对实数 (0 3) ,满足 (G) 3 1 和
e(G)
4k 3 2k v(G) 2) v (G)k , k 1 3(k 2) k 2
的图 G 是第一类的. 定理 5 设 G 为一连通的平面图,如果 G 的任何两个长为 3 的面都不相 邻 ( 即 不 共 边 ) , 且 只 含 有 长 为 3 , k , k 1 , … 的 面 ( k ≥ 4) , 则 有
（二） 研究目标：
对关于图的染色问题进行全面系统的研究。
（三） 研究方法：
主要以阅读相关书籍和论文为主。
（四） 研究的主要内容：
图的染色问题
（五） 研究成果：
1.图的染色问题介绍及其背景
图论发展到现在已有许多分支，着色理论是其中之一，且有着极其重要的地 位。它起源于 150 年前的“四色猜想” ，即在一个平面或球面上的任何地图都能 够只用四种颜色着色，使得每个国家用一种颜色，且没有两个相邻的国家有相同 的颜色。1976 年 K.Apple 和 w.Haken 在 J.Koch 的协助下用计算机检验了“四色 猜想”是正确的，从而“四色猜想” 被“四色定理” 所代替，在 1997 年， N.Robertson 等又给出了一个简化的计算机证明。尽管迄今为止仍没有得到非计 算机的理论性证明，但人们在冲击“四色猜想”的过程中所创造的新的思想、方 法和技巧为图论宝库增添了一个又一个精彩结果。 图着色理论的意义远不止如此。众所周知，生活及科学领域中许多问题的数 学模型都可以图的形式来建立，然后对图中某些对象按照一定规则进行分类，而 所谓着色只是对其中分类方法的一种简单而直观的表达方式。 所以着色问题是解 决诸如时间表问题、排序问题、排课表问题、交通状态、运输安排、电路设计和 贮藏问题等涉及任务分配的实际问题的基本方法。 再者，图着色理论在离散数学领域有着非常重要的地位，其中许多貌似无关 的问题都可以转化为图着色问题。例如，极图理论中的 Erdos 和 Simonovits 定 理:给定图 G ， 不包含子图 G 的具有 n 个顶点的图的边的最大数 f (n, G) 的性态取 决于 G 的色数 (G) : lim
e(G) 3k (v(G) 2) 2k 3 定理 6 设 G 为一连通的平面图,如果 G 的任何两个长度为 3 的面都不关
联于同一个顶点,且只有长为 3 , k , k 1 , …的面( k ≥4) .则有
e(G)
定理 7
4k 3 2k v(G) 3(k 2) k 2
Байду номын сангаас
设 G 为 6 的平面图.若 G 不含长为 4 的圈或任何两个长为 3 的
面不关联于同一个顶点,则 G 是第一类的. 定理 8 设 G 为 ≥7 的平面图.若 G 的任何两个长为 3 的面都不相邻,
则 G 是第一类的. 定理 9 一类的: (1) ≥5 ,且 G 没有长为 4 和 5 的圈; (2) ≥4 ,且 G 没有长在 4 和 14 之间的圈; (3) ≥5 , G 没有长为 4 的圈,且任何两个长为 3 的面不关联于同一个顶 点; (4) ≥4 , G 没有长在 4 和 6 之间的圈,且任何两个长为 3 的面不关联于 同一个顶点. 设 G 是最大度为 的平面图 .如果下列条件之一成立, 则 G 是第
2.关于边染色问题
图的染色理论是图论中的一个重要分支。 图的染色种类有很多， 诸如边染色、 点染色、面染色和全染色等。其中研究最多，结果也较完善的就是图的边染色。 而其中关于正常边染色的图的分类问题一直是研究的热点。 图的正常的边染色就 是把图的边集分解为一些互不相交的边的独立集的并的方法。 2.1 基本理论 定义 1 ：对图 G 的边进行着色，且相邻的边没有相同的颜色，称为图 G 的一 个边着色。 一个 n 边着色是用 n 种颜色的一个着色。 定义 2 ：使图 G 的 n 边着色最小的 n ，称为图 n 的边色数，记作 ' G 。 考虑图 G 的边色数与度的关系， 由于与任何一个顶点关联的边都必须着以不
' G 有： ' G 1 。
2.2 分类定理 定义 3 ：由 Vizing 定理可知 ' G 或 ' G 1 。若 ' G ，称图
G 为第一类，记作 G C1 ；否则 ' G 1 ，称图 G 为第二类，记作 G C 2 。
百多年前的 1852 年，英国格色里提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染 色的猜想。即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可 对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。
2．研究与发展： “四色猜想”提出后，一些数学家着手研究这个猜想，
力图给出证明。时隔二十七年后，1897 年肯普给出了 “四色猜想”的第一个证 明，又过了十一年，1890 年希伍德发现肯普的证明是错误的。但他指出，肯普 德证明方法虽然不能证明地图染色用四种颜色足够， 却可以证明用五种颜色就够 了。此后, “四色猜想”一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。
3.关于列表染色问题
列表染色起源于图的点染色，在实际生活中应用很广，如运输问题、时间表 问题等。唯一列表染色是对列表染色的进一步的研究，由于唯一性的限制，研究 起来难度较大。列表着色的概念既是图着色概念的一个推广,又与图着色的概念
有许多不同之处。 列表着色主要研究的问题是确定图的列表色数 然而,这项工作 似乎是比较困难的,即使是对二部图,也没有成熟的结果。 列表染色问题提出是在大约 30 年前， 最早是分别由 Vizing 和 Edros、 Rubin、 Taylor 独立提出来的。 Vizing 是因为要研究全染色而引入列表染色的， 而 Edros、 Rubin、 Taylor 是因为 Dnitiz 猜想而介入这个问题的。简单来讲，列表染色问题 就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表， 要求给顶点染色时要染的颜色必须 从列表中选取，那么这个图还能不能正常染色?事实上，列表染色问题是一般染 色问题的推广。如果只知道列表的长度，那么能不能肯定图一定能或一定不能被 列表染色了?这是自然而然引出了的问题。从上个世纪九十年代开始，列表染色 领域的研究繁荣起来，并越来越吸引更多的研究者。 3.1 基本理论 列表染色问题就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表， 要求给顶点染色 时要染的颜色必须从列表中选取，那么这个图还能不能正常染色 ?事实上，列表 染色问题是一般染色问题的推广。 令 G 为一个图， f 是从 V (G ) 到 N 的函数。图 G 的 f 列表 L 是指对每一个 顶点 v 满足 L(V ) f (v) 。如果存在一个 f 列表 L ，使得 G 具有一个唯一列表染 色，则称图 G 是唯一 f 列表可染的，或 UFLC 的。 3.2 相关概念 定义 1 给图 G 的每个顶点 x 一个列表 L(x)，称 G 是 L 可染的，是指对每个 顶点 x V(G)，都可从其对应列表 L(x)中找到一种染色 c x L(x)，使得 c 是 G 的正常染色。 定义 2 一个图 G 的 k- 列表是指 G 每个顶点的列表长度都为 k。如果对任意 的 k- 列表，图 G 都有一个列表染色，则称 G 为 k- 可选的(k-choosable)。使得 G 为 k- 可选的的最小无称为列表色数(list chromatic number)， 或选择数(choosability)， 记为 i (G)或 ch(G)。 定义 3 假设对图 G 的任意一个顶点 v， 存在 v 的一个长为 k 的颜色列表 L(v)， 使得图 G 存在唯一 L- 染色，那么我们称图 G 是唯一 k- 列表可染色图，具有简称 为 UkLC(uniquely- list colorable)图，或者说 G 是 UkLC 的。 定义 4 如果一个图不是 UkLC 的，我们就说 G 具有 M k 性质。使得 G 具 有 M k 性质的最小 k 称为 G 的 m 数，记为 M G 。 定义 5 令 G 为一个图，f 为一个从 V(G)到 N 的函数。图 G 的 f- 列表 L 是指 对每一个顶点 v 满足 L V = f v 。如果存在一个 f- 列表 L，使得 G 具有一个唯 一列表染色，则称图 G 是唯一 f- 列表可染的，或 UfLC 的。
f (n, G) (G) 2 。因此，TR.Jense。和 B.Toft 断言: n2 2 (G) 2
图着色理论在离散数学中处于中心地位。 近年来，关于图着色文体的研究得到了许多有趣而实用的结果，同时又拓展 出一些新的着色分支，比如，除了经典的点着色、边着色之外，(点边)全着色、 列表着色(可选择性)、强边着色(有两种不同的着色使用了这一名词)、邻强边着 色、关联着色、圈着色、无圈着色、距离面着色、区间着色、子着色、(平面图) 边面着色、点边面完备着色及动态着色等，已成为现在图着色领域新的热点。许 多新的着色是一些过去未解决的问题转化而来，使原问题变得更加简单易懂，便 于研究。研究范围的拓宽给着色领域增加了许多尚未解决的问题。由此可见，图 着色理论有着旺盛的生命力和广阔的发展前景。
校级科研计划结题报告
项目名称：有关图的染色问题的研究 指导老师：王萃琦 参与成员： 田 静 信息与计算科学 06-1
陈广军 信息与计算科学 07 李晨曦 数学与应用数学 07-4 谷红平 数学与应用数学 07-2 王 琪
（一）序言：
应用物理 07-1
1.问题的提出：图的染色问题起源于著名的“四色猜想”问题。早在一
nj j 1
.
引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色， 所以对任意图 G 的边色数有 ' G ， 其中 指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了 简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理： 任意(简单， 无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里， 人们一直在为解决简单图的分类问题做着不 懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分 类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类 的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多 面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长 度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。 平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是 第一类的。 对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。 而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论 首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为 临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为 的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为 的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为 临界图( ≥3) ,则 n 2
(5) 若 7 ,则 e 5v / 2 . 定理 4 对实数 (0 3) ,满足 (G) 3 1 和
e(G)
4k 3 2k v(G) 2) v (G)k , k 1 3(k 2) k 2
的图 G 是第一类的. 定理 5 设 G 为一连通的平面图,如果 G 的任何两个长为 3 的面都不相 邻 ( 即 不 共 边 ) , 且 只 含 有 长 为 3 , k , k 1 , … 的 面 ( k ≥ 4) , 则 有
（二） 研究目标：
对关于图的染色问题进行全面系统的研究。
（三） 研究方法：
主要以阅读相关书籍和论文为主。
（四） 研究的主要内容：
图的染色问题
（五） 研究成果：
1.图的染色问题介绍及其背景
图论发展到现在已有许多分支，着色理论是其中之一，且有着极其重要的地 位。它起源于 150 年前的“四色猜想” ，即在一个平面或球面上的任何地图都能 够只用四种颜色着色，使得每个国家用一种颜色，且没有两个相邻的国家有相同 的颜色。1976 年 K.Apple 和 w.Haken 在 J.Koch 的协助下用计算机检验了“四色 猜想”是正确的，从而“四色猜想” 被“四色定理” 所代替，在 1997 年， N.Robertson 等又给出了一个简化的计算机证明。尽管迄今为止仍没有得到非计 算机的理论性证明，但人们在冲击“四色猜想”的过程中所创造的新的思想、方 法和技巧为图论宝库增添了一个又一个精彩结果。 图着色理论的意义远不止如此。众所周知，生活及科学领域中许多问题的数 学模型都可以图的形式来建立，然后对图中某些对象按照一定规则进行分类，而 所谓着色只是对其中分类方法的一种简单而直观的表达方式。 所以着色问题是解 决诸如时间表问题、排序问题、排课表问题、交通状态、运输安排、电路设计和 贮藏问题等涉及任务分配的实际问题的基本方法。 再者，图着色理论在离散数学领域有着非常重要的地位，其中许多貌似无关 的问题都可以转化为图着色问题。例如，极图理论中的 Erdos 和 Simonovits 定 理:给定图 G ， 不包含子图 G 的具有 n 个顶点的图的边的最大数 f (n, G) 的性态取 决于 G 的色数 (G) : lim
e(G) 3k (v(G) 2) 2k 3 定理 6 设 G 为一连通的平面图,如果 G 的任何两个长度为 3 的面都不关
联于同一个顶点,且只有长为 3 , k , k 1 , …的面( k ≥4) .则有
e(G)
定理 7
4k 3 2k v(G) 3(k 2) k 2
Байду номын сангаас
设 G 为 6 的平面图.若 G 不含长为 4 的圈或任何两个长为 3 的
面不关联于同一个顶点,则 G 是第一类的. 定理 8 设 G 为 ≥7 的平面图.若 G 的任何两个长为 3 的面都不相邻,
则 G 是第一类的. 定理 9 一类的: (1) ≥5 ,且 G 没有长为 4 和 5 的圈; (2) ≥4 ,且 G 没有长在 4 和 14 之间的圈; (3) ≥5 , G 没有长为 4 的圈,且任何两个长为 3 的面不关联于同一个顶 点; (4) ≥4 , G 没有长在 4 和 6 之间的圈,且任何两个长为 3 的面不关联于 同一个顶点. 设 G 是最大度为 的平面图 .如果下列条件之一成立, 则 G 是第
2.关于边染色问题
图的染色理论是图论中的一个重要分支。 图的染色种类有很多， 诸如边染色、 点染色、面染色和全染色等。其中研究最多，结果也较完善的就是图的边染色。 而其中关于正常边染色的图的分类问题一直是研究的热点。 图的正常的边染色就 是把图的边集分解为一些互不相交的边的独立集的并的方法。 2.1 基本理论 定义 1 ：对图 G 的边进行着色，且相邻的边没有相同的颜色，称为图 G 的一 个边着色。 一个 n 边着色是用 n 种颜色的一个着色。 定义 2 ：使图 G 的 n 边着色最小的 n ，称为图 n 的边色数，记作 ' G 。 考虑图 G 的边色数与度的关系， 由于与任何一个顶点关联的边都必须着以不
' G 有： ' G 1 。
2.2 分类定理 定义 3 ：由 Vizing 定理可知 ' G 或 ' G 1 。若 ' G ，称图
G 为第一类，记作 G C1 ；否则 ' G 1 ，称图 G 为第二类，记作 G C 2 。
百多年前的 1852 年，英国格色里提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染 色的猜想。即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可 对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。
2．研究与发展： “四色猜想”提出后，一些数学家着手研究这个猜想，
力图给出证明。时隔二十七年后，1897 年肯普给出了 “四色猜想”的第一个证 明，又过了十一年，1890 年希伍德发现肯普的证明是错误的。但他指出，肯普 德证明方法虽然不能证明地图染色用四种颜色足够， 却可以证明用五种颜色就够 了。此后, “四色猜想”一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。
3.关于列表染色问题
列表染色起源于图的点染色，在实际生活中应用很广，如运输问题、时间表 问题等。唯一列表染色是对列表染色的进一步的研究，由于唯一性的限制，研究 起来难度较大。列表着色的概念既是图着色概念的一个推广,又与图着色的概念
有许多不同之处。 列表着色主要研究的问题是确定图的列表色数 然而,这项工作 似乎是比较困难的,即使是对二部图,也没有成熟的结果。 列表染色问题提出是在大约 30 年前， 最早是分别由 Vizing 和 Edros、 Rubin、 Taylor 独立提出来的。 Vizing 是因为要研究全染色而引入列表染色的， 而 Edros、 Rubin、 Taylor 是因为 Dnitiz 猜想而介入这个问题的。简单来讲，列表染色问题 就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表， 要求给顶点染色时要染的颜色必须 从列表中选取，那么这个图还能不能正常染色?事实上，列表染色问题是一般染 色问题的推广。如果只知道列表的长度，那么能不能肯定图一定能或一定不能被 列表染色了?这是自然而然引出了的问题。从上个世纪九十年代开始，列表染色 领域的研究繁荣起来，并越来越吸引更多的研究者。 3.1 基本理论 列表染色问题就是说给定一个图的每个顶点一个颜色列表， 要求给顶点染色 时要染的颜色必须从列表中选取，那么这个图还能不能正常染色 ?事实上，列表 染色问题是一般染色问题的推广。 令 G 为一个图， f 是从 V (G ) 到 N 的函数。图 G 的 f 列表 L 是指对每一个 顶点 v 满足 L(V ) f (v) 。如果存在一个 f 列表 L ，使得 G 具有一个唯一列表染 色，则称图 G 是唯一 f 列表可染的，或 UFLC 的。 3.2 相关概念 定义 1 给图 G 的每个顶点 x 一个列表 L(x)，称 G 是 L 可染的，是指对每个 顶点 x V(G)，都可从其对应列表 L(x)中找到一种染色 c x L(x)，使得 c 是 G 的正常染色。 定义 2 一个图 G 的 k- 列表是指 G 每个顶点的列表长度都为 k。如果对任意 的 k- 列表，图 G 都有一个列表染色，则称 G 为 k- 可选的(k-choosable)。使得 G 为 k- 可选的的最小无称为列表色数(list chromatic number)， 或选择数(choosability)， 记为 i (G)或 ch(G)。 定义 3 假设对图 G 的任意一个顶点 v， 存在 v 的一个长为 k 的颜色列表 L(v)， 使得图 G 存在唯一 L- 染色，那么我们称图 G 是唯一 k- 列表可染色图，具有简称 为 UkLC(uniquely- list colorable)图，或者说 G 是 UkLC 的。 定义 4 如果一个图不是 UkLC 的，我们就说 G 具有 M k 性质。使得 G 具 有 M k 性质的最小 k 称为 G 的 m 数，记为 M G 。 定义 5 令 G 为一个图，f 为一个从 V(G)到 N 的函数。图 G 的 f- 列表 L 是指 对每一个顶点 v 满足 L V = f v 。如果存在一个 f- 列表 L，使得 G 具有一个唯 一列表染色，则称图 G 是唯一 f- 列表可染的，或 UfLC 的。
f (n, G) (G) 2 。因此，TR.Jense。和 B.Toft 断言: n2 2 (G) 2
图着色理论在离散数学中处于中心地位。 近年来，关于图着色文体的研究得到了许多有趣而实用的结果，同时又拓展 出一些新的着色分支，比如，除了经典的点着色、边着色之外，(点边)全着色、 列表着色(可选择性)、强边着色(有两种不同的着色使用了这一名词)、邻强边着 色、关联着色、圈着色、无圈着色、距离面着色、区间着色、子着色、(平面图) 边面着色、点边面完备着色及动态着色等，已成为现在图着色领域新的热点。许 多新的着色是一些过去未解决的问题转化而来，使原问题变得更加简单易懂，便 于研究。研究范围的拓宽给着色领域增加了许多尚未解决的问题。由此可见，图 着色理论有着旺盛的生命力和广阔的发展前景。
校级科研计划结题报告
项目名称：有关图的染色问题的研究 指导老师：王萃琦 参与成员： 田 静 信息与计算科学 06-1
陈广军 信息与计算科学 07 李晨曦 数学与应用数学 07-4 谷红平 数学与应用数学 07-2 王 琪
（一）序言：
应用物理 07-1
1.问题的提出：图的染色问题起源于著名的“四色猜想”问题。早在一