麦克斯韦速率分布律、三种统计速率习题11
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
麦克斯韦速率分布例题
麦克斯韦速率分布例题23/22/2()4π()2πm kT m f e kT-=v v v 麦克斯韦速率分布函数m 为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量k = 1.38×10-23 J / K23/22/2d ()d 4π()d 2πm kT N m f e N kT-==v v v v v 1. 平均速率8 1.59πm kT RT m M ==0()d f ∞=⎰v v v v 23 1.73mkT RT m M ==v 2. 方均根速率3. 最概然速率 22 1.41p m mkT RT RT m M M ===v例: 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。
解（1）氮分子平均速率（2）氢分子平均速率 ●以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级11888.31273m s 454m s 3.140.028m RT M π--⨯⨯==⋅=⋅⨯v 311.7010m s -=⨯⋅v根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率v p ~v p +Δv 区间内的分子数与温度成反比( 设Δv 很小)T 23/2/22()4π()2πm kT m f e kT -=v v v 2/322π4v v v v p e p --=11π4)(--=e f p p v v 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证v v v ∆=∆≈∆-12π4)(e kT m N Nf N p T N 1∝∆m kT 2p =v p v f (v )vO ( 速率分布曲线 )T例在温度为300K 时，空气中速率在 (1)v p 附近；(2)10v p 附近，速率区间Δv ＝1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为解式中v p 为最概然速率 mkT 2p =v 当T =300K 时，空气分子的最概然速率为p 3mol 2228.31300m/s 415m s 2910kT RT m M -⨯⨯====⨯v vv v v v v v v ∆∆∆2p 223p 22223π4π2π4--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e kT m N N kT m 相对于最概然速率的速率分布(1)在v= v p 附近，Δv ＝1m/s 内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为22p 213p Δ441e Δe 1415ππ 0.0020.2%N N --==⨯⨯==v v v v v (2)在v= 10v p 附近， Δv ＝1m/s 的速率区间内的分子数占分子总数的比率为22p p 2(10)p 3p 1004442(10)4e π4100e 1 2.010415π2.010%N N ----∆=∆=⨯⨯=⨯=⨯v v v vv谢谢大家！。
211-麦克斯韦速率分布律、三种统计速率
211麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题1，麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率（B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半[ ]2，麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是 （A ）它是气体分子处于v 附近单位速率区间的概率 （B ）它是气体分子处于v 附近的频率（C ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的分子数（D ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的相对分子数[ ]3，气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为 （A ）2v v v p >> （B ）2vv v p ==（C ）2vv v p << （D ）无法确定[ ]4，设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为 （A ）NdN v f =)( （B ）dv dN N v f 1)(= （C ）vdvdN N v f 1)(=（D ）dvv dNN v f 21)(=[ ]5，空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ]6，已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则xx dv v nf )(表示为（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数[ ]7，设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=v m/s ，321079.1⨯=v m/s （B ）311079.1⨯=v m/s ，221069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，221093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，321050.1⨯=v m/s ，[ ]8，设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311057.1⨯=p v m/s ，221049.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，321058.1⨯=p v m/s ，[ ]9，设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为21v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为22v ，则方均根速率21v 和22v 的大小分别为 （A ）3211078.1⨯=v m/s ，2221069.1⨯=v m/s （B ）3211058.1⨯=v m/s ，2221050.1⨯=v m/s（C ）3211093.1⨯=v m/s ，3221083.1⨯=v m/s（D ））3211093.1⨯=v m/s ，2221083.1⨯=v m/s ，[ ]（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ]11，理想气体的温度由27︒C 升高到927︒C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍[ ]12，已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数[ ]13，已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式中正确的是（A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，)(1p v f <)(2p v f[ ]则其方均根速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s[ ]15，某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为（A ）⎰⎰=2210)()(v v v dvv f dvv vf v （B ）⎰⎰∞=121)()(v v v dv v f dvv vf v（C ）⎰⎰∞=)()(21dvv f dv v vf v v v （D ）⎰⎰=2121)()(v v v v dvv f dvv vf v[ ]（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s [ ]2、判断题1，理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题题号：21111001分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B两部分面积相等，则该图表示<A）为最概然速率<B）为平均速率<C）为方均根速率<D）速率大于和小于的分子数各占一半[ ]答案：< D ）题号：21111002分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数的物理意义是，它是气体分子<A）处于附近单位速率区间的概率 <B）处于附近的频率<C）处于速率区间内的概率 <D）处于速率区间内的相对分子数[ ]答案：< A ）题号：21111003分值：3分难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率、平均速率、方均根速率，它们之间的大小关系为<A） <B）<C） <D）无法确定[ ]答案：< C ）题号：21111004分值：3分难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为，其中速率在区间内的分子数为，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为b5E2RGbCAP<A） <B）<C） <D）[ ]答案：< B ）题号：21112005分值：3分难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为<A） <B） <C） <D）无法确定[ ]答案：< A ）题号：21112006分值：3分难度系数等级：2已知n为单位体积分子数，为麦克斯韦速度分量的分布函数，则表示为<A）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量处于区间的分子数<B）单位体积内速度分量处于区间的分子数<C）速度分量在附近，区间内的分子数占总分子数的比率<D）速度分量在附近，区间内的分子数[ ]答案：< B ）题号：21112007分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的平均速率为，在温度为2.7 K<星际空间温度）时的平均速率为，则平均速率和的大小分别为p1EanqFDPw<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< B ）题号：21112008分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的最概然速率为，在温度为2.7 K<星际空间温度）时的最概然速率为，则最概然速率和的大小分别为DXDiTa9E3d<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< C ）题号：21112009分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的方均根速率为，在温度为2.7K<星际空间温度）时的方均根速率为，则方均根速率和的大小分别为RTCrpUDGiT<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< D ）题号：21112018分值：3分难度系数等级：2设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其最概然速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）5.00 m/s5PCzVD7HxA[ ]答案：< C ）题号：21113011分值：3分难度系数等级：3理想气体的温度由27︒C升高到927︒C，其最概然速率将增大到原来的<A） 2倍 <B） 4倍 <C）6倍 <D）34倍[ ]答案：< A ）题号：21113012分值：3分难度系数等级：3已知为单位体积的分子数，为麦克斯韦速率分布函数，则表示<A）速率附近，区间内的分子数<B）单位体积内速率在区间内的分子数<C）速率附近，区间内的分子数占总分子数的比率<D）单位时间内碰到单位器壁上，速率在区间内的分子数[ ]答案：< B ）题号：21113013分值：3分难度系数等级：3已知一定量的某种理想气体，在温度为和时分子的最概然速率分别为和，分子速率分布函数的最大值分别为和，已知>，则在下列几个关系式中正确的是jLBHrnAILg<A）>，><B）<，><C）>，<<D）<，<[ ]答案：< C ）题号：21113014分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其方均根速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）2.41 m/sxHAQX74J0X[ ]答案：< B ）题号：21113015分值：3分难度系数等级：3某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为，则速率分布在速率间隔内的气体分子的算术平均速率的计算式为<A） <B）<C） <D）[ ]答案：< D ）题号：21113016分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其平均速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）0.68 m/sLDAYtRyKfE[ ]答案：< A ）题号：21114017分值：3分难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是Zzz6ZB2Ltk<A）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<B）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<C）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<D）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且[ ]答案：< C ）题号：21114018分值：3分难度系数等级：4如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是dvzfvkwMI1<A）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<B）图中表示氢气分子的速率分布曲线，且<C）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<D）图中表示氢气分子的速率分布曲线，且[ ]答案：< D ）题号：21114019分值：3分难度系数等级：4一氧气瓶的容积为，充了气未使用时的压强为，温度为，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为，则使用前后分子热运动平均速率之比为 rqyn14ZNXI<A） <B） <C） <D）[ ]答案：< B ）题号：21115020分值：3分难度系数等级：5处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设表示最概然速率，表示速率分布在之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则EmxvxOtOco<A）减小，也减小 <B）增大，也增大<C）减小，增大 <D）增大，减小[ ]答案：< C ）2、判断题题号：21121001分值：2分难度系数等级：1理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法麦克斯韦速度分布律是量子力学中重要的一部分。
1860年，麦克斯韦发现在粒子系统中，粒子运动的速度都遵循一定的分布关系，即概率密度函数与速度成反比，这就是麦克斯韦速度分布律。
那么，如何推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律？
首先，考虑一个温度为T的系统，采用能量有限的情况下可以把粒子的运动视为马尔可夫链的形式。
由于能量有限，可以认为处在同一状态的粒子的总体数量就构成了该状态的热平衡状态。
由此可推出粒子的速度分布概率：
P(v) = e^(-mv^2/2kT)
其中，m为粒子的质量，T为温度，k为Boltzmann常数。
将此式作为粒子的速度分布函数，即可推出其速率分布函数。
即：
f(v) = e^(-mv^2/2kT) * Usqrt(m/2πkT)
此式也叫麦克斯韦分布，概率密度与粒子速率成反比，即概率密度随着粒子速率的增加而减少。
通过此式，可以推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律。
以上便是推导麦克斯韦速度分布律以及速率分布律的简单方法。
虽然在实际应用中，还有许多根据环境情况改变相关参数的变体，但基础思想是一致的：概率密度随着粒子运动速度的增加而减少。
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
14.6 麦克斯韦速率分布律
o
v1 v2
v
dN = Nf ( v )dv
v v1 → v2 区间的分子数 ∆N = ∫v 2 N f ( v )dv 速率位于 1
区间的分子数占总数的百分比： 速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比：
∆ N ( v1 → v 2 ) v2 ∆S = = ∫v f ( v )d v 1 N
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
2）平均速率 ）
v (mean speed)
∞ 0
∫ v=
N
0
vdN N
∫ =
vNf (v)dv N
8kT πm
f (v)
v = ∫ v f ( v )dv =
0
∞
=
8 RT πM mol
o
v
v ≈ 1 .6 0
kT = 1 .6 0 m
df (v) = 0 决定 (2)最概然速率由 最概然速率 dv v p
df (v) = A(v0 − 2v) v = 0 p dv vp
v0 vp = 2
v0
v0 6 2 平均速率： 平均速率： v = vf (v)dv = ∫ v (v0 − v)dv = 3 0 0 2 v0 ∞ v 6 3 2 3 2 2 v = v f (v)dv = ∫0 3 v (v0 − v)dv = v0 而 0 v0 10
三种统计速率 1）最概然速率 ）
vp
(most probable speed)
f max
f v)
df ( v) =0 dv v=vp
根据分布函数求得
v ∵Mmol = mNA , R = NA k
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
麦克斯韦速率分布律
0°C 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9以上
m/s
%
1.4
8.1
16. 5
21. 4
20. 6
15. 1
9.2
4.8
2.0
0.9
气体的速率从整体上看有统计规律性。
设速率 v v + dv 区间的分子数为dNv
vv f (v)dv N
v
N
例7 在Nf(v)~v曲线下的面积表示什么物理意义？ Nf(v)~v曲线下的面积为该速率区间内的分子数。
N f (v)
N f (v)
o v v dv
N f (v)dv dNv
v
v
o v v v
v v
v N f (v)dv N
vp
2
8.31 300 29 10 3
414
m/s
例5 试说明下列各式的物理意义。
(1)f (v)dv ,
(3
)v2 v1
f (v )dv ,
(2)Nf (v)dv ,
(
4
)v2 v1
Nf
(v )dv .
答：由速率分布函数可知 f (v) dNv Ndv
(1) f (v)dv dNv N
表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。
f (v) dNv Ndv
(2)Nf (v)dv dNv
表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。
(3
)v2 v1
f (v)dv
N N
表示在v1~v2速率区间内，分子出现的概率，或 在该速率区间内分子数占总分子数的百分数。
158-演示文稿-麦克斯韦速率分布律、三个统计速率
大学物理 - 气体分子运动论
24
24
分子数密度随高度的分布
n
n0e
mgz kT
问题：
n(v )
1 ）该分布规律特点？
1.0
0.8
答：与温度、海拔高 度和气体的种类有关
0.6 0.4 0.2
2 1
O 20 40 6080 z/km
2 ）若大气温度和重力加速度与高度无关在如图坐标
系中，氧气和氢气各对应哪条分布曲线？
3
麦克斯韦速率分布律
（ Maxwells law of distribution of speeds ）
1859 年麦克斯韦（ Maxwell ）导出了理想气体在 无外场的平衡态（ T ）下，分子速率分布函数：
f (v) m
T，m 一
定
0
大学物理 - 气体分子运动论
v 4
1 、麦克斯韦速率分布函数 (1859)
实验数据
速率区间 (m/s) 百分数
分 子
<100 100-200
1.4% 8.1%
速 200-300
率
分 300-400
16.5% 21.4%
布 400-500
实
验 500-600
20.6% 15.1%
数 600-700
9.2%
据
700-800
4.8%
800-900
2.0%
>900
0.9%
2) 、葛正权实验 （１８９６—１９８８） 葛正权，物理学家。在精确验证麦克斯韦速 率分布律方面取得国际公认的重大成就
课堂练习 #1a0801010d 图为某理想气体的速率分布曲线，则下面正确的说法
A. 速率为 v1 的分子数 比速率为 vp 的分子数少
大学物理05-5麦克斯韦速率分布律
抽气
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当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
麦克斯韦速率分布律
极大值在375m/s~400m/s速率区间，极大值为0.0022007。 取速率间隔为25m/s，直方 条更窄，顶部的阶梯更小。 速率间隔为100m/s的 分子数比例都可分为 四个间隔为25m/s的分 子数比例之和。 速率间隔越小，分子 数比例就越精确。
速率在0~100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.33%。
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
[解析](2)当v = 0时，f(v) = 0；当v→∞时，f(v)→0。 由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。 令df(v)/dt = 0，即
2 df (v) m 3/ 2 m 2 v mv 4 π( ) (2v v 2 ) exp( )0 dv 2πkT 2kT 2kT
(2)什么是最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间 (温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速 率是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的 分子量分别为2、4、20、28、32和38，这些气体分子在 300K时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
当分子以速率v运动时，速度的平方为v2 = vx2 + vy2 + vz2，“体积”元可表示为dvxdvydvz = v2dvsinθdθdφ。 对方位角φ从0到2π积分，对仰角θ从-π/2到π/2积分，“体积”元 就变为4πv2dv，这是半径为v，厚度为dv的球壳的“体积”。
dN m 3/ 2 2 mv 2 4 π( ) v exp( )dv. 上式可改写为 N0 2πkT 2kT
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
dN m 3/ 2 2 mv 2 4 π( ) v exp( )dv N0 2πkT 2kT m 3/ 2 2 mv 2 ) v exp( ) 取 f (v ) 4 π ( 2πkT 2kT
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题题号：21111001 分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半[ ] 答案：（ D ）题号：21111002 分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子（A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率（C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对分子数[ ] 答案：（ A ）题号：21111003 分值：3分难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为（A ）2..v v v p >> （B ）2v v v p ==（C ）2v v v p << （D ）无法确定[ ] 答案：（ C ）题号：21111004 分值：3分难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为（A ）N dN v f =)( （B ）dv dNN v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dvv dNN v f 21)(=[ ]答案：（ B ）题号：21112005 分值：3分难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ）题号：21112006 分值：3分难度系数等级：2已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表示为（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x xdv v v +~区间的分子数（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数[ ] 答案：（ B ）题号：21112007 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为（A ）211069.1⨯=v m/s ，321078.1⨯=v m/s （B ）311078.1⨯=v m/s ，221069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，221093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，321050.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ B ）题号：21112008 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311058.1⨯=p v m/s ，221050.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，321058.1⨯=p v m/s ，[ ] 答案：（ C ）题号：21112009 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为21v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为22v ，则方均根速率21v 和22v 的大小分别为（A ）3211078.1⨯=v m/s ，2221069.1⨯=v m/s （B ）3211058.1⨯=v m/s ，2221050.1⨯=v m/s （C ）3211093.1⨯=v m/s ，3221083.1⨯=v m/s （D ））3211093.1⨯=v m/s ，2221083.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ D ）题号：21112010 分值：3分难度系数等级：2（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ）题号：21113011 分值：3分难度系数等级：3理想气体的温度由27︒C 升高到927︒C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍 [ ] 答案：（ A ）题号：21113012 分值：3分难度系数等级：3已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数[ ]答案：（ B ）题号：21113013 分值：3分难度系数等级：3已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，)(1p v f <)(2p v f[ ] 答案：（ C ）题号：21113014 分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）1.002.003.004.005.00则其方均根速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）题号：21113015 分值：3分难度系数等级：3某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为（A ）⎰⎰=2210)()(v v v dv v f dvv vf v （B ）⎰⎰∞=121)()(v v v dvv f dvv vf v（C ）⎰⎰∞=0)()(21dv v f dvv vf v v v （D ）⎰⎰=2121)()(v v v v dvv f dvv vf v[ ]答案：（ D ）题号：21113016 分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）1.002.003.004.005.00则其平均速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s[ ] 答案：（ A ）题号：21114017 分值：3分难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=H p O p v v（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=Hp O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=Hp O p v v [ ] 答案：（ C ）题号：21114018 分值：3分难度系数等级：4如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v Op /2000)(2= （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H p /2000)(2= （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v Op /2000)(2= （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v Hp /2000)(2=[ ] 答案：（ D ）题号：21114019 分值：3分难度系数等级：4一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比21v v 为 （A ）212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）122p p [ ]答案：（ B ）题号：21115020 分值：3分难度系数等级：5处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设p v 表示最概然速率，p N ∆表示速率分布在v v v p p ∆+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则（A ）p v 减小，p N ∆也减小 （B ）p v 增大，p N ∆也增大（C ）p v 减小，p N ∆增大 （D ）p v 增大，p N ∆减小[ ] 答案：（ C ）2、判断题题号：21121001 分值：2分难度系数等级：1理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
大学物理学11.6 麦克斯韦分子速率分布律(2)-三种统计速率
o
v
v 1 .60 kT 1 .60 RT
m
M
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT
m
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
大学物理
第11章 气体动理论
§11.3 麦克斯韦速率分布律(2)
三种统计速率
主讲教师：郭进教授
三、 三种统计速率
1）最概然速率 vp
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o vp v
M mNA ,R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
2RT M
vp
2kT m
v 8kT
πm
v2 3kT
m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
都与 成正比， 与 （或 ）成反比 f(v)
v
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
f(vp2) f(vp3)
Mmol2 Mmol1
vp
v
(2)最可几速率由
决定，即
平均速率 方均速率 方均根速率为
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率习题11
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题题号：21111001分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中（A）v0为最概然速率（B）V0为平均速率（C）V0为方均根速率（D）速率大于和小于v0的分子数各占答案：（D）题号：21111002分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数f（v）的物理意义是，它是气体分子（A）处于v附近单位速率区间的概率（B）处于V附近的频率（C）处于v ~ v dv速率区间内的概率（D）处于v ~ v dv速率区间内的相对分子数[ ] 答案：（A）题号：21111003分值：3分难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率v p、平均速率v、方均根速率.v2，它们之间的大小关系为（A）v p. v. • v2（B）v p= v = - v2(C ) V p ::: v :::答案：（C ） 题号：21111004 分值：3分 难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在v ~ v dv 区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为答案：（B ） 题号：21112005 分值：3分 难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为（A ）V N 2V °2 （ B ）V N 2二 V °2（ C ） V N2：：：V °2题号：21112006 分值：3分 难度系数等级：2f （v x ）为麦克斯韦速度分量的分布函数，则 nf （v x ）dv x 表示为（A ） 单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量v x 处于v x 〜v x dv x 区间的分子数（B ） 单位体积内速度分量 v x 处于V x 〜v x ■ dv x 区间的分子数 （C ） 速度分量在V x 附近，dV x 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ） 速度分量在V x 附近，dv x 区间内的分子数答案：（B ）（D ）无法确定(A ) dN (B ) f(V )1 dN N dv (C )1 dN N vdv(D )1 dN N v 2dv[]答案：（A ）已知n 为单位体积分子数, （D ）无法确定题号：21112007 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的平均速率为V i，在温度为2.7均速率为v2，则平均速率V和V2的大小分别为（A）v^ 1.69 1 02m/s，v2 = 1.78 103m/s3 2（B）v^ 1.78 10 m/s，v2 =1.69 10 m/s（C）v^i =1.83 10 m/s，v2 = 1.93 10 m/s（D））w =1.58 乂10 m/s，v2 =1.50乂10 m/s，答案：（B）题号：21112008分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的最概然速率为v p1，在温度为的最概然速率为V p2，则最概然速率V p1和V p2的大小分别为2 3（A）v p1=1.69 10 m/s，v p2 =1.78 10 m/s3 2（B）v p1= 1.78 10 m/s，v p2 =1.69 10 m/s （C）v p1=1.58 103m/s，v p2= 1.50 102m/s（D））v p^ =1.50<102m/s，v p2 =1.58 汇103m/s，答案：（C）题号：21112009分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的方均根速率为V；，在温度为K （星际空间温度）时的平2.7 K （星际空间温度）时2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为，则方均根速率的大小分别为(B ) pv ：=1.58 =<103 m/s , ^v ； =1.5^<10； m/s(D)) Jv ；=1.93 x103 m/s , Jv ； = 1.83 x 10； m/s ,答案：（D ） 题号：21112010 分值：3分答案：（A ）题号：21113012 分值：3分 难度系数等级：3已知n 为单位体积的分子数， f （v ）为麦克斯韦速率分布函数，则（A ） （B ） （C ）(A )3= 1.78 10 m/s , .V ； =1.69 102 m/s(C )v ： =1.93 103 m/s ,v ； = 1.83 10’ m/s粒子数N j2 46 8 2 速率y （ m/s ）1.002.003.004.005.00(B ) 3.37 m/s(C) 4.00 m/s (D) 5.00 m/s[ ]答案：（C ） 题号：21113011 分值：3分 难度系数等级：3理想气体的温度由 （A ） 2 倍27 C 升高到927 C ,其最概然速率将增大到原来的 (B ) 4 倍 (C ) 6 倍 (D ) 34 倍[ ]nf (v)表示速率v 附近，dv 区间内的分子数单位体积内速率在 v ~ v dv 区间内的分子数 速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率 单位时间内碰到单位器壁上，速率在 v ~ v dv 区间内的分子数难度系数等级：2设有一群粒子按速率分布如下: 则其最概然速率为（A ） 3.18 m/s（D）答案：（B ） 题号：21113013 分值：3分 难度系数等级：3 已知一定量的某种理想气体， 分子速率分布函数的最大值分别为 中正确的是 （A ） v p1>v p2，fW pJ'fW ） （B ）v p1<v p2， f Wp1）> f 心2）（C ） v p1>v p2，f Wp1）< f 心2） （D ） v p1<v p2，f Wp1）< f 心2）答案：（C ） 在温度为T 1和T 2时分子的最概然速率分别为 v p1和v p2, f （v p1）和f （v p2），已知T ] >T 2，则在下列几个关系式 题号：21113014 分值：3分 难度系数等级：3 粒子数N j246 8 2 速率y （ m/s ） 1.00 2.003.004.005.00设有一群粒子按速率分布如下: 则其方均根速率为 (A ) 3.18 m/s ( B )3.37 m/s ( C ) 4.00 m/s ( D ) 2.41 m/s[ ]答案：（B ） 题号：21113015 分值：3分 难度系数等级：3 某理想气体处于平衡状态， 其速率分布函数为 f （v ），则速率分布在速率间隔 v 1 ~ v 2内 的气体分子的算术平均速率的计算式为A ) V 2 v vf (v)dvv 2vf (v) dv (B ) v 二-rf(v)dv1 4V2一 [Vf(v)dv (C )v0f(v)dv一 f v vf(v)dv (D ) v 丄f (v)dvv1答案：（D ） 题号：21113016 分值：3分 难度系数等级：3粒子数N j2 46 8 2 速率M （ m/s ） 1.002.003.004.005.00答案：（C ）(A ) 3.18 m/s (B) 3.37 m/s(C) 4.00 m/s(D) 0.68 m/s[ ]答案：（A ） 题号：21114017 分值：3分 难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气 和氢气分子速率分布曲线， （v p ）Q 和（v p ） H 2分别表示氧(A) 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线，且Wp )o 2 =4(B) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线，且(C ) 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线，且(D) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线，且Wp)H(v p )o 2Wp )H 2Wp )o 2Wp )H2(v p )o Wp )H2题号：21114018 分值：3分难度系数等级：4 如右图所示， 氢气分子速率分布曲线， 两条曲线分别表示在相同温度下氧气和 (V p )o 2 和(V p ) 和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是 （A ） 图中a表示氧气分子的速率分布曲线，且 （B ） 图中a表示氢气分子的速率分布曲线，且 （C ） 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且 （D ） 图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且 (V p )o 2 = 2000m/s (v p )H = 2000m/s(V p )Q = 2000m/s (V p )H 2二 2000m/s[ ]答案：（D ） 题号：21114019 分值：3分 难度系数等级：4 氧气瓶的容积为 V ，充了气未使用时的压强为p 1，温度为T 1，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为 P 2，则使用前后分子热运动平均速率之比 (A ) . 2p1 （B ）p1 （C ） p2 \ P 2 V2p 2 V2p 1 答案 :（B ）题号 :21115020分值 :3分难度系数等级：5 处于平衡状态的理想气体， 其分子的速率分布曲线如图所示, 设v p 表示最概然速率， N p 表示速率分布在 v p ~v p 「'v 之间 的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则 （A ）v p 减小， N p 也减小 （B ）v p 增大， N p 也增大](C) V p减小，N p增大(D) V p增大，.：Np减小[]答案：(C)2、判断题题号：21121001分值：2分难度系数等级：1 理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
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麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题题号：21111001 分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半[ ] 答案：（ D ）题号：21111002 分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子（A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率（C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对分子数[ ] 答案：（ A ）题号：21111003 分值：3分难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为（A ）2..v v v p >> （B ）2v v v p ==（C ）2v v v p << （D ）无法确定[ ] 答案：（ C ）题号：21111004 分值：3分难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为（A ）N dN v f =)( （B ）dv dNN v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dvv dNN v f 21)(=[ ]答案：（ B ）题号：21112005 分值：3分难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ）题号：21112006 分值：3分难度系数等级：2已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表示为（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x xdv v v +~区间的分子数（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数[ ] 答案：（ B ）题号：21112007 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为（A ）211069.1⨯=v m/s ，321078.1⨯=v m/s （B ）311078.1⨯=v m/s ，221069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，221093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，321050.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ B ）题号：21112008 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311058.1⨯=p v m/s ，221050.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，321058.1⨯=p v m/s ，[ ] 答案：（ C ）题号：21112009 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为21v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为22v ，则方均根速率21v 和22v 的大小分别为（A ）3211078.1⨯=v m/s ，2221069.1⨯=v m/s （B ）3211058.1⨯=v m/s ，2221050.1⨯=v m/s （C ）3211093.1⨯=v m/s ，3221083.1⨯=v m/s （D ））3211093.1⨯=v m/s ，2221083.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ D ）题号：21112010 分值：3分难度系数等级：2（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ）题号：21113011 分值：3分难度系数等级：3理想气体的温度由27︒C 升高到927︒C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍 [ ] 答案：（ A ）题号：21113012 分值：3分难度系数等级：3已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数[ ]答案：（ B ）题号：21113013 分值：3分难度系数等级：3已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，)(1p v f <)(2p v f[ ] 答案：（ C ）题号：21113014 分值：3分难度系数等级：3粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）1.002.003.004.005.00（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）题号：21113015 分值：3分难度系数等级：3某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为（A ）⎰⎰=2210)()(v v v dv v f dvv vf v （B ）⎰⎰∞=121)()(v v v dvv f dvv vf v（C ）⎰⎰∞=0)()(21dv v f dvv vf v v v （D ）⎰⎰=2121)()(v v v v dvv f dvv vf v[ ]答案：（ D ）题号：21113016 分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）1.002.003.004.005.00则其平均速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s[ ] 答案：（ A ）题号：21114017 分值：3分难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=H p O p v v（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=Hp O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=Hp O p v v [ ] 答案：（ C ）题号：21114018 分值：3分难度系数等级：4如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v Op /2000)(2= （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v H p /2000)(2= （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且s m v Op /2000)(2= （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且s m v Hp /2000)(2=[ ] 答案：（ D ）题号：21114019 分值：3分难度系数等级：4一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比21v v 为 （A ）212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）122p p [ ]答案：（ B ）题号：21115020 分值：3分难度系数等级：5处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设p v 表示最概然速率，p N ∆表示速率分布在v v v p p ∆+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则（A ）p v 减小，p N ∆也减小 （B ）p v 增大，p N ∆也增大（C ）p v 减小，p N ∆增大 （D ）p v 增大，p N ∆减小[ ] 答案：（ C ）2、判断题题号：21121001 分值：2分难度系数等级：1理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
[ ] 答案：对题号：21121002 分值：2分难度系数等级：1两容器都储有氢气，温度和体积都相同，但两者的气体质量不相等，所以它们的分子速率分布也不相同。
[ ] 答案：错（因两容器的分子质量和温度相等）题号：21122003 分值：2分难度系数等级：2两容器都储有氢气，温度相同，体积不相同，两者的气体质量也不相等，但它们的分子速率分布相同。
[ ] 答案：对（因两容器的分子质量相等、温度相等）题号：21122004 分值：2分难度系数等级：2气体处于平衡态时，具有某一速率的分子数是确定的，速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数的比值也是确定的。
[ ] 答案：错题号：21122005 分值：2分难度系数等级：2麦克斯韦速率分布函数NdvdNv f =)(是平衡态下理想气体质心的速率分布函数。