微分几何第二章(1)
微分几何 2-1曲面的概念
微分方程: A(u, v)du2 +2B(u, v)dudv + C(u, v)dv 2 =0
当 [B(u, v)]2 A(u,v) C(u,v) >0时
表示曲面上的两族曲线——曲线网。
当 A C 0时，方程变为
dudv 0
它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网
谢谢观看！ 2020
v (1,2)
1 3,1,2
14
, ,2
|
4 2 (1,2)
过点（1，2）的切平面方程是
[R r(1,2)] n(1,2) 0.
即 3x+y-2z-4=0.
3. 曲面上的曲线族和曲线网
曲面 r r(u,v)S上的曲线用方程 u(t),v v(t)
或 r r[ut , vt ] rt
ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0
此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如
z = z(x, y)的表示 因为 ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0，至少有一分量不为零
假设 （ （xu， ，yv） ） 0， 一对单值连续函数
则有隐函数存在定理有唯一
u和v称曲面上的点的曲纹坐标曲面上的点的曲纹坐标uu常数或常数或v常数在曲面上的常数在曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲坐标曲u常数而常数而vv变动的曲线叫变动的曲线叫vv线v常数而常数而uu变动的曲线叫变动的曲线叫uu成的网称为曲面上的成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网坐标曲线坐标曲线曲线z常数即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线它们都是圆
u （ u x，y），v （v x，y）
代入则有z = z(x, y)
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何公式
第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。
第四版微分几何第二章.课后答案解析
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
范文 范例 学习 指导 word 整理版
第四版微分几何第二章课后习题答案
证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
微分几何梅向明黄敬之编第二章课后题答案
第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。
解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二2 24 .求椭圆柱面 务•岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面a bx 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :-a cos 二 sin :y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0法线方程为§2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式 解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =打=a 2 b 2 4v 2,F = r u r v = a 2- b 24uv, G = r v 2二 a 2b 24u 2,1 = (a 2b 24v 2)du 22(a 2-b 24uv)dudv (a 2b 24u 2)dv 2。
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何曲面局部理论
那么对于 P 点附近的任意一个正则参数表示 x (u , v )
有
nu nv 0.
由连通性可以得出 n 是常向量，即曲面是平面。
■
第二章 曲面：局部理论
例1 M是半径为 ，a 中心在原点的的球面，则
在局部参数表示下Gauss映射为
n 1 x(u, v). a
它的形状算子满足
S P (x u ) n u 1 a x u, S P (x v ) n v 1 a x v .
也都是渐近线。
第二章 曲面：局部理论
事实上，如右图所示，在点 P
处的沿圆柱螺线单位切向量的
法截线在点 P 为拐点。因此，
圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近 线。
具体计算为作业。
第二章 曲面：局部理论
假设 ( s为) 曲面 上M 一条弧长参数曲线，满足
(0)P , (0)V.
那么由之前的计算得到 P(V,V)Nn.
第二章 曲面：局部理论
定义 曲面 M在点 处P 的主曲率满足 则称为点 P 为曲面 的M 脐点。 特别的，k1 k2 称 0为平P 点。
k1 k2
如果 K ，0 且 不P是平点，则称 为抛P 物点； 如果 K ，0 则称 为P椭圆点； 如果 K ，0 则称 为P双曲点。
第二章 曲面：局部理论
曲面在任意点 P 的两个主方向是正交的，于是
我们可以选择了切平面 T p M的一个正交基底恰
好由主方向向量构成。
第二章 曲面：局部理论
定理（Euler公式）令 e 1 , e为2 曲面 在M 点 的单P 位
主方向，分别对应主曲率 和 k 。1 假设k 2 切向
量
Vco，s其e1中sine2。 [0,2)
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式
2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不 需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向 定义 已给曲面 称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角 为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形 式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本 量. 对于曲面S : z z( x, y )， 有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .
微分几何第二章(1)
2.2 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为： (R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
返回章首
2.2空间曲线
内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷 内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平 面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从 切平面方程、伏雷内公式的应用
返回章首
2.2 空间曲线-密切平面
过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)．当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称 为曲线 C 在 P 点的密切平面． 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线 的平面），而密切平面则是在 P 点附近最 贴近于曲线的平面． 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的 平面，而直线的密切平面不确定，或者说直 线有无穷多个密切平面．
返回章首
g a
伏雷内 标架
2.2 空间曲线-三棱锥
切向量和主法向量决定的平面就是密切平面
切向量和副法向量决定的平面叫从切平面
主法向量和副法向量决定的平面是法平面
a
P C
b g
返回章首
2.2 空间曲线-基本向量的计算公式
设 C: r = r(t) 由一般参数给出，则三个基本 向量的计算公式为 a = r' / | r' | , g = (r' × r'' ) / | r' × r'' | , b = g ×a .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
C
a ( s)
α ( s s) α ( s ) β ( s) s
返回章首
2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
n
a
b
a
返回章首
2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式
因 a ∙ // n，所以可令 a ∙ (s) = kr (s) n(s)．我 们称 kr 为曲线的相对曲率． 注意：相对曲率可正可负． 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a ∙ = krn , n ∙ = – kra .
返回章首
2.1 平面曲线-相对曲率计算公式
返回章首
2.2 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为： (R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
第二章 曲线论 微分几何
第二章 曲线论
平面曲线 空间曲线
本章补充习题
第二章内容概要
本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性 质．内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲 率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理 等． 重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计 算、伏雷内公式的应用． 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进 行讨论．
返回章首
2.2空间曲线
内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷 内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平 面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从 切平面方程、伏雷内公式的应用
返回章首
2.2 空间曲线-密切平面
过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)．当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称 为曲线 C 在 P 点的密切平面． 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线 的平面），而密切平面则是在 P 点附近最 贴近于曲线的平面． 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的 平面，而直线的密切平面不确定，或者说直 线有无穷多个密切平面．
X x(t0 ) Y y (t0 ) Z z (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) z (t0 ) 0. x(t0 ) y(t0 ) z (t0 )
返回章首
练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
返回章首
2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
定理. 在一般参数下，相对曲率为 xy xy kr . 3/ 2 2 2 ( x ) ( y ) 特别地，当用自然参数时，相对曲率为
kr = x ∙ y ∙ ∙ – y ∙ x ∙ ∙ ；
如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为 y kr . 3/ 2 2 1 ( y )
返回章首
练习题 1．求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率． 2．求曲线 y = 2px2 的相对曲率．
返回章首
2.1 平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似 于一条近似立方抛物线．（看证明）
返回章首
2.1 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得 ab k (t ) . 3/ 2 2 2 2 2 a si n t b co s t
返回章首
2.1平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
返回章首
2.1 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数， 则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是 曲线的法向量． 令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上 的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．返回章首源自2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲率 为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
2 2 x (t ) y (t )
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 2 1 ( y ) 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．