微分几何第二章(1)

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2.1平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
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2.1 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数， 则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是 曲线的法向量． 令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上 的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．
n
a
b
a
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2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式
因 a ∙ // n，所以可令 a ∙ (s) = kr (s) n(s)．我 们称 kr 为曲线的相对曲率． 注意：相对曲率可正可负． 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a ∙ = krn , n ∙ = – kra .
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2.1 平面曲线-相对曲率计算公式
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2.1 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得 ab k (t ) . 3/ 2 2 2 2 2 a si n t b co s t
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2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
C
a ( s)
α ( s s) α ( s ) β ( s) s
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பைடு நூலகம்
2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
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练习题 1．求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率． 2．求曲线 y = 2px2 的相对曲率．
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2.1 平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似 于一条近似立方抛物线．（看证明）
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2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲率 为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
2 2 x (t ) y (t )
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 2 1 ( y ) 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．
X x(t0 ) Y y (t0 ) Z z (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) z (t0 ) 0. x(t0 ) y(t0 ) z (t0 )
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2.2空间曲线
内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷 内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平 面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从 切平面方程、伏雷内公式的应用
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2.2 空间曲线-密切平面
过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)．当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称 为曲线 C 在 P 点的密切平面． 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线 的平面），而密切平面则是在 P 点附近最 贴近于曲线的平面． 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的 平面，而直线的密切平面不确定，或者说直 线有无穷多个密切平面．
定理. 在一般参数下，相对曲率为 xy xy kr . 3/ 2 2 2 ( x ) ( y ) 特别地，当用自然参数时，相对曲率为
kr = x ∙ y ∙ ∙ – y ∙ x ∙ ∙ ；
如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为 y kr . 3/ 2 2 1 ( y )
第二章 曲线论 微分几何
第二章 曲线论
平面曲线 空间曲线
本章补充习题
第二章内容概要
本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性 质．内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲 率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理 等． 重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计 算、伏雷内公式的应用． 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进 行讨论．
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练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
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2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
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2.2 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为： (R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：