求均匀带电球体的场强分布

1.求均匀带电球体的场强分布。电势分布。已知球体半径为R ，带电量为q 。 解：

(运动学3册）例1—1 质点作平面曲线运动，已知m t y tm x 2

1,3-==，求：（1）质点运动的轨道方程；（2）s t 3=地的位矢；（3）第2s 内的位移和平均速度；（4）s t 2=时的速度和加速度；（5）时刻t 的切向加速度和法向加速度：（6）s t 2=时质点所在处轨道的曲率半径。

解：（1）由运动方程消去t ，得轨道方程为：

（2）s t 3=时的位矢j i j y i x r 89)3()3()33(-=+=，大小为

m r 126481|)3(|≈+=，方向由)3(r 与x 轴的夹角'︒-==3841)3()3(arctan

x y a 表示。 （3）第2s 内的位移为j i j y y i x x r 33)]1()2([)]1()2([-=-+-=∆，大小

m r 2399||=+=∆，方向与与x 轴成︒-=∆∆=45arctan

x y a ，平均速度v 的大小不能用v 表示，但它的y x ,分量可表示为t

y v t x v y x ∆∆=∆∆=,。 （4）由,,23当时tj i j dt

dy i dt dx v -=+= 大小'︒-=-=⋅=+=-853)34arctan(

,5169)2(1a s m v 方向为。 即a 为恒矢量，.,21轴负方向沿y s m a a y -⋅-==

（5）由质点在t 时刻的速度22249t v v v y x +=+=，得切向加速度

2494t t dt dv a +==τ，法向加速度222496t

a a a n +=-=τ。 注意：||dt dv dt dv ≠，因为dt dv 表示速度大小随时间的变化率，而||dt

dv 表示速度对时间变化率的模，切向加速度τa 是质点的（总）加速度a 的一部分，即切向分量，其物理

意义是描述速度大小的变化；法向加速度n a 则描述速度方向的变化。

（6）由s t v a n 2,2==ρ时所求的曲率半径为

【例6】求无限长均匀带电圆柱体内外的电场分布。已知圆柱体半径为R ，电荷密度为ρ。

【解】

均匀带电圆柱体的电场分布具有轴对称性（如下图），对圆柱体外场强的分析

与上题中对均匀带电圆柱面的分析相同，若以表示沿轴线方向的电荷线密

度，其结果的形式也一样，即有

无限长的均匀带电圆柱体的场强

对圆柱体内的高为l 的圆筒形高斯面S .，与上一例题同理可得，通过S 面的E

通量为

高斯面内包围的电荷

由高斯定理有

由此得

无限长均匀带电圆柱体内、外的电场分别为

可见无限长均匀带电圆柱体外面的场强也等于其全部电荷集中于轴线上时的场

强，其内部的场强与场点到轴线的距离成正比。

12．11 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．

[解答]方法一：高斯定理法．

（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．

在

板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，

场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e S Φ=⋅⎰E S `02ES E S ES =++=，

高斯面内的体积为 V = 2rS ，

包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ，

根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①

（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，

高斯面在板内的体积为V = Sd ，

包含的电量为 q =ρV = ρSd ，

根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②

6-5 速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度，N 为系统总分子数)．

（1）v v f d )( （2）v v nf d )( （3）v v Nf d )(

（4）⎰v v v f 0d )( （5）⎰∞0d )(v v f （6）⎰2

1d )(v v v v Nf 解：)(v f ：表示一定质量的气体，在温度为T 的平衡态时，分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

(1) v v f d )(：表示分布在速率v 附近，速率区间v d 内的分子数占总分子数的百分比. (2) v v nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数密度． (3) v v Nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数．

(4)⎰v

v v f 0d )(：表示分布在21~v v 区间内的分子数占总分子数的百分比．

(5)⎰∞0d )(v v f ：表示分布在∞~0的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

(6)⎰21d )(v v v v Nf ：表示分布在21~v v 区间内的分子数. 6-21 1mol 氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

平动动能 3=t 5.373930031.82

3

=⨯⨯=t E J

转动动能 2=r 249330031.822=⨯⨯=r E J 内能5=i 5.623230031.825

=⨯⨯=i E J