同济大学02-08结构力学

取 CFG 分析， 由
∑M
xE
G
= 0 ⇒ − FxC × 2 + FyC × 2 = 0 ⇒ FxC = 8kN
∑X =0⇒ F
= 4kN
由此可绘出刚架的 M 图如图 d 所示。 (3)对整个刚架进行分析，
∑X =0⇒ F
RB
= 24 2kN （
） 。
三、试求图示移动荷载组作用时C截面上的最大弯矩MC(max)。 （19 分）
⋅ 3 13 − P = 0 ⇒ N AF = 13 P； 3
∑ X = 0即N
2
AF
∑ Y = 0即N
+
13 2 5 P× + P = 0 ⇒ N2 = − P 3 3 13
二、试作出图示连续梁剪力VBC的影响线大体图形，并画出引起此剪力最大值时的可间断均布荷 载。
(a) B A
a EI a EI a
将以上系数和自由项代入位移法方程，解得 Z 1 = 弯矩图如下：
213/344
123/344 9/43 131/344 10/43
77/172 M 图(
59/172
qa2 )
四、 图示刚架若支座A下沉a且顺时针转动θ，支座B右移b，取力法基本结构如图b，求力法方程中 的常数项Δ2P，Δ1C，Δ2C，Δ1，Δ2。
的系数，得 ⎜ − mθ +
2
⎛ ⎝
EI ⎞ ⎟ A = 4.5 ⇒ A = 36 ⎠
4.5 − mθ 2 + EI 36
=
4.5 81 =− EI EI 4 EI − m× + 4m 36
因此，柱顶最大动位移ymax＝ A ＝ 质点的运动方程为： y =
81 4 EI
81 sin θt 。将惯性力和动荷载都作用于原结构，并取幅值，可画出 4 EI
1 EI ，忽略柱子质量。 2 m
(b)
D
(a)
C
m
-my
ky
C
F 1P
6m
EI 1 =∞ EA=∞
F 1P
q(t)
EI A
EI B
q(t)
A
(c)
1
k
(d)
81/16
2
EI/12
EI/12
37.69
M 1图
最大动弯矩图
28.69
解： 用刚度法列振动微分方程， 质点受力图见图 b。 由 （图 c） ， F1P＝
同济 2002 年硕士生入学考试试题 一、求图示桁架杆 1 和 2 的轴力N1、N2。
Fp
Fp E Fp C A 6m 1 F D Fp 2m 2
E Fp C A
1
F 2 D Fp
I
B 2m
B
I
解：如图取截面Ⅰ－Ⅰ， 以 ADF 为隔离体，
∑ X = 0即N
考虑结点 F：
1
+ 2 P − P = 0 ⇒ N1 = − P ；
R 2P
R 2P
q
qa2/2
qa2/8
MP 图
并求出系数和自由项。 r11 = 11i, r12 = r21 = −
6i ， a
r22 =
12i 3i 15i qa 2 qa 2 5qa 2 + = ; R = − − = − ; R2 P = −qa ； 1P 2 8 8 a2 a2 a2 41qa 2 59qa 3 , Z2 = ，根据叠加原理可绘出 344i 516i
最大动力弯矩图，见图 d，图中虚线表示反向弯矩。
七、若用矩阵位移法中后处理法求解图示刚架，结构标识如图 a，箭头表示局部坐标 x 轴。已知各 杆 E、A、I 均相同，试回答： （1）○ 2 单元刚度矩阵中第 2 行第 6 列的那个元素的值是多少？（2） 该元素送至原始总刚第几行第几列？（3）处理边界条件时应删除原始总刚的第几行第几列？
C
EI a
D
EI a
E
(b)
q 1 B C
EI
F QBC F QBC 的影响线
解：画出FQBC的影响线如图b，当均布荷载在影响线为正值的范围内布置时，引起的FQBC最大。 三、试用位移法求解图示刚架，并作出弯矩图。已知各杆 EI 相同。
qa
F a
qa
F
q C D E
z1
C
z2
q E
A
a a
B
a
A 基本体系
m
l
l
过程略。
l
同济大学 2004 试题 一、求图示桁架指定杆的内力FN1、FN2。 （18 分）
(a)
FP
(b) 3 C 1 D
FP
O
N3
C FP
d/2 d/2
D
N4 XA
4 A d/2 d/2 d d/2 d/2
2 B
d
A
YA
N2
提示：上部结构几何组成按两刚片规则分析，故受力分析先拆除最后组装的杆件，即先拆 2、3、 4 杆，见图 b。 答案： FN 2 = −
2 2 FP (压力)； FN 1 = − FP (压力)。 2 3
（19 分） 二、试求图a所示刚架的弯矩图，并求出B支座的反力FRB。 O (a) (b) 3kN/m 12kN I F yC H F G
12kN C D E
F RI
F yE
2m
F xC
D
F xE
F xA
A 2m 2m 2m
B
2m
F xA
（2）求自振频率ωc。
l
可将图 c 体系看成图 f 所示的三部分并联。先求每一部分的刚度： 第一部分的刚度系数k1＝ k a = m ⋅ wa = m ⋅ 第三部分为二力杆与竖柱的串联，其刚度为
2
48 EI 48 EI 3EI ，第二部分的刚度系数k2＝ ， = 3 3 7 ml 7l l3
1 1 1 3EI = + ⇒k 3= 3 。 k 3 EA 3EI 2l 3 l l
A
B
FR
F RB
(c) 3kN/m 12kN F
F xC
(d)
16
1.5
22 14 8
G
F xE
H E
F yE
I
F RI
16
C
F yC
M 图(kN m)
解：由整体
ห้องสมุดไป่ตู้∑M
0
= 0 ⇒ FxA × 6 + FR Ι × 6 + 12 × 2 + 12 × 4 − 3 × 4 × 4 = 0
⇒ FR Ι = − FxA − 4
同济大学 2003 年 一、试作结构 M 图，并求轴力杆轴向力。
qa
结构力学
a
a/2
a/2
二、作反力RA、剪力QA左、和弯矩MA的影响线，并求出在任意分布的均布活载q作用下RA的最大 值。
F P=1
A
a
B
a
a
a
a
三、用力法求出轴力杆CD的轴向力。设各杆EI为常数，CD杆EA=EI／a2。
q qa E G EA C D a F a
(a) 3 (b) 3 (7,8,9) y q 2 h
2EI/l (4,5,6)
③
② ①
1 y M,θ x
l
4
2
②
②
h
4
(10,11,12) k26
x
1 4EI/l
1
(1,2,3)
(2 ) 解： （1）②单元的局部坐标与整体坐标一致，故不需坐标变换，根据图 b 不难得到 k 26 =
6 EI ； l2
答案
50.5 37.57 108 12 12
25.25
M图
六、试不经计算，画出图示刚架弯矩图的大致形状，各杆 EI＝常数。
(a) (b) E
FP
FP
A
G
B
D
F
C
变形图
(c)
M 图的形状
解：先画出变形图，再根据变形图中的受拉侧画出M图形状。(注意：BD杆弯矩为常数是因为C 支座反力至BD杆的距离处处相等；AG段弯矩为常数因为A支座无剪力；MBG上侧受拉可由B结点弯 矩平衡得到。) 七、图（a）所示体系自振频率ωa=4
（1）对下半部分进行分析（图b） 。由于FRB沿杆轴作用，故BE段无弯矩，又由铰D弯矩为零， 进一步可得DE、CD、AC段均无弯矩。因此有FxA＝0，带入上式可得 FR Ι = −4kN (↓) 。 （2） 再对上半部分进行分析（图 c）
∑M
E
= 0 ⇒ 4 FyC − 12 × 2 − 4 × 2 = 0 ⇒ FyC = 8kN
∑ X = 0 ⇒ m&y& + ky = F
其中， 1P ，
k=
EI 36
9 q (t ) EI &+ = 4.5 sin θt 。带入微分方程整理得： m& y y = 4.5 sin θt 。 4 36
设微分方程的解 y = A sin θt ，代入上式得： ⎜ − mθ 2 +
⎛ ⎝
EI ⎞ ⎟ A sin θt = 4.5 sin θt ,比较两边 sinθt 36 ⎠
M C的影响线
解： （1）用机动法画出MC的影响线(图b)。 （2）求临界荷载 经分析，FP1、FP5不是临界荷载，只需分析其余三个荷载。 当FP2位于影响线顶点E，荷载左移 临界荷载。 当FP3位于影响线顶点, 荷载左移 不是临界荷载。FP4也不是临界荷载。
20 + 100 100 × 2 + 20 20 100 × 3 + 20 ，右移 ，故FP2是 < > 4 12 4 12