不确定下的选择

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,1) 48Fra bibliotek• 三、不确定条件下选择的公理
G1 次序完全公理（完备性和传递性）：对于两个不同
的结果 A 和 B，消费者的偏好序或者是 A f B ,或者是 %
B f A，或者是 A : B。并且，如果 A f B ，并且B f C ，
%
%
%
那么，必有 A f C 。 %
G2 连续性公理：如果 A f B，并且 B f C ，那么必存
i 1
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二、人们对风险的主观态度
１、效用函数凹性及其经济含义
u(x)
E
16
D
15
13 C
A 10
O 10
15
20 x
凹的效用函数（ u(x) 0,u(x) 0 ）表示风险规避者（risk-averse)
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2.效用函数凸性及其经济意义
2.期望效用这一工具可以使我们很方便的分析许 多问题。(不确定性问题、博弈问题、委托-代理 问题）
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（二）、期望效用理论的不足之处
1.阿莱斯悖论(Allais Paradox)：它是对期望 效用理论最古老、也是最著名的挑战。 一等奖 250 万美元；二等奖 50 万美元；三 等奖 0 美元。决策者面临两个测验： 先在如下两个彩票间进行选择：
表示为：u250,u50 ,u0 ,选择 1 意味着
u50 0.10u250 0.89u50 0.01u0
不等式两边同时加上：0.89u0 0.89u50得到
0.11u50 0.89u0 0.10u250 0.90u0
因此，任何具有 VNM 效用函数的个人都必然有
L2 f%L2。也就是说 VNM 预测的结果与人们的实际 选择不相同，即悖论。
有期望效用形式的效用函数 U: 称为冯·诺依
曼 - 摩 根 斯 坦 期 望 效 用 函 数 （ von
Neumann-Morgenstern
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or
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二、期望效用定理
足用假连形设续式彩性 的票和 效空独 用间立 表性示，，上则也的就f%理是容性说许偏，一好我个关们期系可望f以%效满赋 予每个结果n=1,…,N一个数值，使得对于任 意两个彩票 L=(p1,L , pN )和L=(p1,L , pN ) ,我们 有，当且仅当
0.08
0.08
雨量中（50％） 0.10
0.20
0.20
雨量小（30％） 0.06
0.12
0.12
例二：如果我们用 y={P; A, C}表示一种彩票，其中 A 事件出现的概率为 P，
C
事件出现的概率为（1－P）。假设消费者在选择了行动
a
之后，首先以
1 2
的
概率出现情况 y1,
1 的概率
2
y2。进一步，如果
L1 (1,0,0),
L2
(1 4
,
3 8
,
3), 8
L3
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(1 4
,3, 8
3), 8
p1 p2 p3
1
3 1
3
1
3
(1 , 1 , 1)
L4
(1 2
244
L5
(1 2
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, 1 ,0), 2 ,0, 1),
2
p4 p5
1 2 1 2
(1 2
,
u(x)
E
20
15
13
A
10
O
10
D C
15
20 x
凸效用函数( u(x) 0,u(x) 0 ) 表示风险爱好者(risk-loving)
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3.效用函数线性及其经济意义
u(x)
E 20
D 15
A 10
10
15
20 x
线性效用函数（ u(x) cons tan t,u(x) 0 ）表示 风险中立者（risk-neutrial )
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2.马金纳悖论(Machina’s paradox)
• 考虑三个结果：“到威尼斯旅行”、“看一部很 棒的关于威尼斯的电影”、以及“呆在家里”。
假定你认为第一个结果好于第二个，第二个好于 第三个。
• 有两个彩票：
彩票1:有99.9%的概率“到威尼斯施行”，0.1%的 概率“看一场关于威尼斯的电影”
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约简彩票的定义(reduced lottery)
对于任何复合彩票 L＝(L1,L , Lk ;a1,L ak ),都可以 计算一个约简彩票。约简彩票是一个简单彩票 L＝
( p1 ,L , pN )，它将导出与复合彩票相同的最终结果分
布。其中Pn 1 p1n L K pnK
不确定下的选择 Choice Under Uncertainty)
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内容提要：
第一节：不确定性与不确定条件下选择的公理
一.不确定性的概念 二.简单彩票和复合彩票 三.不确定条件下选择的公理
第二节VNM效用函数
一.VNM效用函数的定义 二.期望效用理论 三.期望效用理论的讨论
１、期望的概念
n
E[ X ] xi pi i 1
E[ X ] xf (x)dx
２、期望效用函数
如果我们可赋予 N 个结果一组数值 (u1,L , uN ) 使
得对于每个简单彩票L ( p1,L , pN ) ，我们都有
U(L) u1 p1 L uNpN 我们就称效用函数 U: 具有期望效用形式，具
第三节风险度量、确定性等价与风险溢价
一.风险的客观度量 二.人们对风险的主观态度 三.绝对风险规避系数 四.相对风险规避系数 五.确定性等价、风险溢价及其应用。
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第一节 不确定性与不确定条件下选择的公理
• 一、不确定性的概念 • 所谓不确定性，是指行动的结果以某种概率Ｐ出现。 • 不确定性的产生是缘于自身能力的不确定性、行为的
L
一样好，当反面
时，两个彩票得出相同的结果。独立性公理要求我们得出
这样一个合理的结论：
彩票
1 2
L+
1 2
L
至少和彩票
1 2
L+
1 2
L
一样好
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G4 不 相 等 公 理 ： 假 设 消 费 者 有 A f B , 令 L1 (P1, A, B) P1A (1 P2 )B,令 L2 (P2, A, B) P2 A (1 P2 )B，
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例如：假定
L
f L, %
=
1 2
，则
1 2
L+
1 2
L
可以看作抛硬币复合彩票：
如果正面得到
L，如果反面得到
L
，类似的
1 2
L+
1 2
L
也可以
看作一个抛硬币复合彩票，正面朝上得到 L ，反面得到 L。
当正面时，彩票
1 2
L+
1 2
L
至少和彩票
1 2
L+
1 2
有：当且仅当L (1)L f L (1)L时，L f L
%
%
我们就称简单彩票空间 上的偏好关系f 满足独立性公
% 理。
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关于独立性公理的进一步说明
• 独立性公理是不确定性选择理论的核心。对于期望效用
函数的存在性至观重要。
• 独立性公理是指，如果我们将两个彩票中的每个部分别
彩票2:有99.9%的概率“到威尼斯施行”，0.1%的 概率“呆在家里”。
按照独立性公理告诉我们应该偏好前者，但是如果
你预期到一旦不能到威尼斯旅行，选择彩票2就是
理性的：你将感到极度的失望，而观看有关威尼
斯的电影只会使你更加悲伤
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第三节 风险度量、确定性等值与风险溢价
• 一、 风险的客观度量 • 通常以实际结果与人们对该结果的期望值之间
的离差来度量某一事件的风险程度的大小。
• 事件A的风险度量
| a1 E(A) | P1 | a2 E(A) | P2 L | an E(A) | Pn
• 在实际中，风险通常用“方差”或者“标准差”
来表示
n
2 Pi xi E(xi )2
不独立性、信息的不对称等等。
• 对不确定性的讨论早在17世纪就出现了，当时伯努利 就讨论了赌博和投机活动(gamble)。 但是真正对不确定性分析作出开创性贡献的是 冯·诺依曼和摩根斯坦的名著《博弈理论与经济行为》
(Theory of Games and Economic Behavior， Princeton University Press，1944）
知道如何在彩票集合中进行选择，那么，他就知
道如何在不确定的条件下进行选择了。
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香港
澳洲
桂林
新马泰
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• 定义，复彩：凡是奖品本身又具有不确定性的 彩票称为复合彩票。