海南大学2011高等数学上期末试卷A卷
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试 卷分析
一、填空题：
0
答 本题考查的是分段函数的连续性，注意分段函数在分段点上的连续 性、可导性、可积性的判别。
在x=1处右连续，主要看在此点的左连续。由于 f (1) 4
所以 lim (x m) 4, 从而解得 m 3. x1
答 本题考查的是重要极限2或洛必达法则。
k
lim (1 2x) x
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (b) F ( )
即 f (b) f (a) f ( )
b2 a2
2
于是 f ( ) 2 f b f a
b2 a2
证：令 t x;dx dt; x 0,t ; x ,t 0
2
22
cos( t)
原式
0
2
x 1 x2
= ln(x 1 x2 ) x x ln(x 1 x2 )
1 x2 1 x2
当 x 0 时， f (x) 0 ，故 f (x) 为单调递增函数，于是有
f (x) f (0) 而 f (0) 0 ，故 f (x) 0 即
1 xln(x 1 x2 ) 1 x2 01 xln(x 1 x2 ) 1 x2
分析 本题考察原函数的理解，以及定积分的换元法，记得边积边代限。
解
e 1
xf
(
x)dx
e 1
xd
(
x
ln
x)
x2
ln
x
|1e
e 1
x
ln
xdx
e2 1 2
e 1
ln
xdx2
e2
1 2
(x2
ln
x
|1e
e 1
xdx)
e2
1 e2 2
1 4
x2
e 1
3 e2 4
1 4
分析 本题考查的是一阶非齐次线性微分方程的求解。
同时有 y x0 3x2 2ax b x0， 0（极值存在的必要条件），得 b 0
又因为点(1, 1)是曲线的拐点，故
y x1 6x 2ax1 0 得 a 3
（也可以把点 (1, 1) 代入曲线方程求出 a 3）
四、应用题
y
分析 一定要注意本题有两个问。本题考查的是定积分 在几何上的应用。
原式=
(t 2
1 1
2)t
2tdt
2
t
2
1
1
dt
2arctant C
2 arctan x 1 C
分析 本题考查的是函数的连续，可导的定义。
解
(1)
由于 lim f x 1 1 ，得
x0
x
lim f x 1 0 lim f x 1 f 0 1
x0
x0
(2)
f ' 0 lim f x f 0 lim f x 1 1
解
y
e
1dx
x[
sin
x
e
1dx x
dx
c]
x
1 x
[
sin
xdx
c]
1 x
[
cos
x
c]
Q y |x 1 c 1
y 1 ( 1 cos x)
x
分析 本题考查函数的性质以及图形特性。
解 y 3x2 2ax b ， y 6x 2a 因为曲线在 x 0 处有极值为1，故有
1 03 a 02 b 0 c 得 c 1
所以方程的通解为 y C1ex C2e3x
二、单项选择题
A
本题考查的是零点定理 A
本题考查的是间断点的判别
由函数的表达式知，x=1，x=2都是没有定义的点，所以x=1为间断 点。又由于
lim
x1
x2
x2 1 3x
2
lim
x1
x 1 x2
2
所以为可去间断点
Baidu Nhomakorabea B
本题考查的是变限函数求导问题。 B
2x 3
y (n)
1 (n) 2x 3
1
1
3
1 2x 3
(n)
1
1
3
1
2x 3
(n)
1 3
(1)n n! (1 2x )n1
2 3
n
3
故
yn (0) = (1)n 2n n!
3n1
分析 本题考察的是不定积分的换元法。记住：换元一定还原。
解 令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt
解 所围成的面积为
S 2 x3dx. 1 x4 2 4.
0
40
0
绕x轴旋转所成旋转体的体积为：
V1
2 0
x6dx
7
x7
|02
128
7
(2,8)
2
x
五、证明题（20题必做，21、22题任选做一题 ）
分析 本题考查的是微分中值定理。
解 设 F (x) x 2 ，由柯西中值定理有，存在 a,b ，使
x0 x 0
x0
x
所以 f x在x 0点可导
分析 本题考查参数方程的高阶导数，一定要注意是对哪个变量的二阶导。
解
xt'
2t 1t2
,
yt'
1 1 1 t2
Q
dy
1
1
1 t
2
t
dx 2t 2
1 t2
dy dy . dt 1 .1 t 2 1 t 2 dx dt dx 2 2t 4t
sin(
2
t) cos(
(dt) t)
2
2
2
sin t
dt
0 cost sin t
2
sin x
dx
0 cos x sin x
得证
分析 本题考查导数的应用。
证：设 f (x) 1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2
f (x) ln(x
1
1 x2 ) x x
x 1 x2 1 x2
.
本题考查的是定积分的性质。
c
D 注意广义积分收敛的定义！
三 、计算题
分析 本题主要考察罗比达法则
解
lim x sin x lim x sin x
x0 x 2 sin x x0 x3
lim 1 cos x x0 3x 2
lim
1 x2 2
1
x0 3x 2 6
分析 本题高阶导数的求法
解 先求 y 1 的 n 阶导数，得
1 (2k )
lim (1 2x)2x
e2k
e2
x0
x0
所以 k 1
答 本题考查的是导数的几何意义。
y' x0 (ex 1) x0 2
所以切线方程为 y 1 2x
答 本题考查的是定积分的“偶倍奇零” 被积函数是奇函数，所以此积分为零
答 本题考查的是常系数齐次线性微分方程求解
特征方程为 r2 2r 3 0 特征根为 r1 3, r2 1
一、填空题：
0
答 本题考查的是分段函数的连续性，注意分段函数在分段点上的连续 性、可导性、可积性的判别。
在x=1处右连续，主要看在此点的左连续。由于 f (1) 4
所以 lim (x m) 4, 从而解得 m 3. x1
答 本题考查的是重要极限2或洛必达法则。
k
lim (1 2x) x
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (b) F ( )
即 f (b) f (a) f ( )
b2 a2
2
于是 f ( ) 2 f b f a
b2 a2
证：令 t x;dx dt; x 0,t ; x ,t 0
2
22
cos( t)
原式
0
2
x 1 x2
= ln(x 1 x2 ) x x ln(x 1 x2 )
1 x2 1 x2
当 x 0 时， f (x) 0 ，故 f (x) 为单调递增函数，于是有
f (x) f (0) 而 f (0) 0 ，故 f (x) 0 即
1 xln(x 1 x2 ) 1 x2 01 xln(x 1 x2 ) 1 x2
分析 本题考察原函数的理解，以及定积分的换元法，记得边积边代限。
解
e 1
xf
(
x)dx
e 1
xd
(
x
ln
x)
x2
ln
x
|1e
e 1
x
ln
xdx
e2 1 2
e 1
ln
xdx2
e2
1 2
(x2
ln
x
|1e
e 1
xdx)
e2
1 e2 2
1 4
x2
e 1
3 e2 4
1 4
分析 本题考查的是一阶非齐次线性微分方程的求解。
同时有 y x0 3x2 2ax b x0， 0（极值存在的必要条件），得 b 0
又因为点(1, 1)是曲线的拐点，故
y x1 6x 2ax1 0 得 a 3
（也可以把点 (1, 1) 代入曲线方程求出 a 3）
四、应用题
y
分析 一定要注意本题有两个问。本题考查的是定积分 在几何上的应用。
原式=
(t 2
1 1
2)t
2tdt
2
t
2
1
1
dt
2arctant C
2 arctan x 1 C
分析 本题考查的是函数的连续，可导的定义。
解
(1)
由于 lim f x 1 1 ，得
x0
x
lim f x 1 0 lim f x 1 f 0 1
x0
x0
(2)
f ' 0 lim f x f 0 lim f x 1 1
解
y
e
1dx
x[
sin
x
e
1dx x
dx
c]
x
1 x
[
sin
xdx
c]
1 x
[
cos
x
c]
Q y |x 1 c 1
y 1 ( 1 cos x)
x
分析 本题考查函数的性质以及图形特性。
解 y 3x2 2ax b ， y 6x 2a 因为曲线在 x 0 处有极值为1，故有
1 03 a 02 b 0 c 得 c 1
所以方程的通解为 y C1ex C2e3x
二、单项选择题
A
本题考查的是零点定理 A
本题考查的是间断点的判别
由函数的表达式知，x=1，x=2都是没有定义的点，所以x=1为间断 点。又由于
lim
x1
x2
x2 1 3x
2
lim
x1
x 1 x2
2
所以为可去间断点
Baidu Nhomakorabea B
本题考查的是变限函数求导问题。 B
2x 3
y (n)
1 (n) 2x 3
1
1
3
1 2x 3
(n)
1
1
3
1
2x 3
(n)
1 3
(1)n n! (1 2x )n1
2 3
n
3
故
yn (0) = (1)n 2n n!
3n1
分析 本题考察的是不定积分的换元法。记住：换元一定还原。
解 令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt
解 所围成的面积为
S 2 x3dx. 1 x4 2 4.
0
40
0
绕x轴旋转所成旋转体的体积为：
V1
2 0
x6dx
7
x7
|02
128
7
(2,8)
2
x
五、证明题（20题必做，21、22题任选做一题 ）
分析 本题考查的是微分中值定理。
解 设 F (x) x 2 ，由柯西中值定理有，存在 a,b ，使
x0 x 0
x0
x
所以 f x在x 0点可导
分析 本题考查参数方程的高阶导数，一定要注意是对哪个变量的二阶导。
解
xt'
2t 1t2
,
yt'
1 1 1 t2
Q
dy
1
1
1 t
2
t
dx 2t 2
1 t2
dy dy . dt 1 .1 t 2 1 t 2 dx dt dx 2 2t 4t
sin(
2
t) cos(
(dt) t)
2
2
2
sin t
dt
0 cost sin t
2
sin x
dx
0 cos x sin x
得证
分析 本题考查导数的应用。
证：设 f (x) 1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2
f (x) ln(x
1
1 x2 ) x x
x 1 x2 1 x2
.
本题考查的是定积分的性质。
c
D 注意广义积分收敛的定义！
三 、计算题
分析 本题主要考察罗比达法则
解
lim x sin x lim x sin x
x0 x 2 sin x x0 x3
lim 1 cos x x0 3x 2
lim
1 x2 2
1
x0 3x 2 6
分析 本题高阶导数的求法
解 先求 y 1 的 n 阶导数，得
1 (2k )
lim (1 2x)2x
e2k
e2
x0
x0
所以 k 1
答 本题考查的是导数的几何意义。
y' x0 (ex 1) x0 2
所以切线方程为 y 1 2x
答 本题考查的是定积分的“偶倍奇零” 被积函数是奇函数，所以此积分为零
答 本题考查的是常系数齐次线性微分方程求解
特征方程为 r2 2r 3 0 特征根为 r1 3, r2 1