常用概率分布

0 0.00 1 2 3 4 5 0 n=6, π=0.3
P 0 .2 8
0 .2 0
0 .1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 n=10, π=0.3
0 .0 0
0 .2 0 0 .1 8 0 .1 6 0 .1 4 0 .1 2 0 .1 0 0 .0 8 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 2 0 .0 0
摸球试验中摸到黑球的概率分布
X的可能取值
0
1
2
3
4
5
概率P(x) 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277
一是每次试验结果，只能是两种对立的结果之一。即每次摸 球只有两种可能结果，或黑球或白球。
二是每次试验的条件不变，发生某种结果的概率是固定不变 的。即每次试验摸到黑球的概率是固定的。
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 110 0 11
n=20, π=0.3
二项分布图的形态取决于π和n。
当π=1- π时，它呈对称分布。 当π≠1- π时，呈偏态分布。当π接近0.5时，图形接近对 称；当π离0.5愈远，对称性越差，但随着n的增大，分 布趋于对称。当n足够大，且π不太靠近0或1时，二项 分布逼近正态分布。
如果每一次试验只有阳性或阴性两种可能结果；
每次试验阳性结果的发生概率均为π，阴性结果的 发生概率为１－π；每次试验的结果是相互独立的， 那么重复n次实验，发生阳性结果的次数X的概率分 布为二项分布，记为B(X;n,π)。恰好有Ｘ例阳性结 果的概率为
P (X )C n x x1 n x
Cx n
一般来说，当nπ和n（1-π）都大于5时，二项分布近似
于正态分布 N n,n(1 ) 。
2 二项分布的均数和标准差
对于任何二项分布问题，如果每一次实验出现 阳性结果的概率均为π，进行n次独立重复实验， 出现X次阳性结果，则
X的均数 n X
X的方差2 n(1) X
X的标准差 n(1) X
P(X
5)
C
5 5
(0.8)5
0.3277
上例中离散型随机变量X的概率函数
X的可能取值
0
1
2
3
4
5
概率P(x) 0.0003 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.3277
例4-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为 60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率为多 大？
X k
X kX !(n X )!
二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为
P X k kP (X ) k n ! X (1 )n X
X 0
X 0X !(n X )!
例4-6 例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机 抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的 概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多 大？至少有20名感染钩虫的的概率有多大？
三是每次 试验独立，即一次试验出现什么样的结果与前面已 出现的结果无关。即各次摸球是彼此独立的。
Bernoulli试验序列：满足以上三个条件的n次试验构成的序 列。
实际上，医学研究中很多试验都能满足上述三个条件， 例如用同种属、同性别且体重相近的大白鼠作某药物一定剂 量的毒性试验；某新疗法临床试验观察患者是否治愈；观察 某指标的化验结果是否呈阳性。
p
150
三、二项分布的应用
（一）概率估计
例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机观 察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有 多大？
分析计算：
PX101!01155 !0010!0.13100.87140
0.0055
（二）单侧累计概率计算
二项分布出现阳性的次数至少为k次的概率为
P X k nP (X ) n n ! X (1 )n X
至多有2名感染钩虫的概率为
PX2 2 P(X) 2 n! X(1 )nX
X0
X0X!(nX)!
8.417-0101.90 1 082.1 11 07
例如，掷一枚骰子，出现的结果可能是1点，2点，…，6点， 其结局为一个随机变量。
例如，用针灸治疗头痛患者3人，治疗结果可能是1人有效， 2人有效，3人有效，也可能是无效。治疗结果为一个随机变 量。
表4-1 掷一枚骰子结局的概率分布 可能的结局 1点 2点 3点 4点 5点 6点
概率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是否 有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合 二项分布的条件。因此可用二项分布的概率函数来 求得两例有效的概率。
C 3 20.6210.63 20.432
二、二项分布的特征
1。二项分布的图形特征
0 .3 8 0 .3 0
0 .2 5 0 .2 4 0 .2 3
n!
X!n X!
则摸出黑球次数的可能结果及其概率如下表所示
P(X
0)
C
0 5
0.2
5
0 .0003
P(X
1)
C
1 5
0.8
0 .2
4
0.0064
P(X
2)
C
2 5
0 .8 2
0.2
3
0 .0512
P(X
3)
C
3 5
0.8
3
0.2
2
0.2048
P(X
4)
C
4 5
0 .8 4
0.2
0 .4096
第一节 二项分布（binomial distribution)及其应用
一、二项分源自文库的概念和特征
例：设有一口袋，内装形状、重量完全相同的黑球和白 球，各占80%和20%。搅匀后从该口袋中摸出一球，记 录颜色，放回搅匀，再摸一球，…，如此重复5次。 若把摸到黑球的次数作为一个随机变量X。求该随机变 量的概率分布。
0 .2 0
0 .2 0
0 .1 0
0 .1 0
n=3, π=0.5
n=10, π=0.5
π=0.5时，不同n值对应的二项分布
0 .0 0
0 .0 0 0
0 .4 6 0 .4 0
0 .3 0
0 .2 0
0 .1 0
01 23 n=3, π=0.3
0 .0 0 0
P 0.34 0.30
0.20
0.10
若以率表示，则
p
2 1
p
n
1
p
n
式中 p 是样本率的标准差，又称为样本率的
标准误，它反映率的抽样误差的大小。
例4-4 已知某地钩虫感染率为6.7%,如果随机抽查 该地150人，记样本钩虫感染率为p,求p的抽样误
差 。 p
本例n=150,π=0.067,
0 .06 10 7 .060 7 .02 2 .0%