二次函数与一元二次方程及不等式

二次函数与一元二次方程及不等式

一，二次方程基础概念

当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=

其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ∆=-

∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； ∆＝0时，方程有两个相等的实数根；

∆＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．

2． 根与系数的关系（韦达定理）

12b

x x a

+=-

12c x x a

=

二次方程根的分布

根的位置<=>图象位置<=>等价条件

20ax bx c ++=（0a >）

三、一元二次不等式

一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．

0∆> 0∆= 0∆<

x 0

y a ＞0

x 0

y x

0 y

x 1 x 2

x 0

1，例题：

选择题

①2

=++对任意实数t都有(2)(2)

()

f x x bx c

+=-，那么（ A ）

f t f t

A．(2)(1)(4)

<<

f f f

f f f

<

C．(2)(4)(1)

<<

<

f f f

f f f

② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a >

B ．11a -<<

C ．R a ∈且0a ≠

D ．1a <-或1a >

③ 已知函数y ＝log 2

1（x 2－6x ＋7），则y （ D ）

A ．有最大值没有最小值

B ．有最小值没有最大值

C ．有最大值也有最小值

D ．没有最大值也没有最小值 填空题

①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a =

则2

122(0)

2(0)

x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥，其函数图象如下：

②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________． 解：方程有实数根，

故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵ 3a -≤或3a ≥ ∴ 8y ≥（a ＝3时取等号） ∴ min 8y =

应用题：

1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3

x

a +|1|1a =-+的根的范围．

解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ） ＝－a 2－a ＋6∈（4

25,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈

（4，18）

综上所述：x ∈（4

9

，18）

2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）． （1）求a 、b 的值；

（2） 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值．

解：⑴a ＝1，b ＝1

y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1）

⑵|AB |的最大值为2．

3. 设实数a 、b 、c 满足

a 2－bc －8a ＋7＝0 …………①

b 2＋

c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………②

求a 的取值范围．

解：1≤a ≤9

4. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a

<<<． （1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ； （2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：1

02

x x <

． 解（2）．依题意知x 0＝－

2b a

．

因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2

＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a

-

x 0＝－

1212()11222a x x ax ax b a a a

+-+-== 因为21ax <，所以0x <

11

22

ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围．

解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2

根据题意得：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪

<⎨⎪>⎩

即

22

22028030p p p p p p ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩

解得：p ∈（－2，－1）∪（3，4）．

6. 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB•满足3（•OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB•的正切值4． （1）求m 的取值范围； （2）求这个二次函数的解析式； （3）确定直线y=kx+k 的解析式．

解 （1）m 2－4<0， －2

（2）二次函数的解析式为y=x 2－2x －3．