三垂线定理及其应用

已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α ,
a在平面α内且垂直PO的射影AO.
P
求证:a⊥PO
a
证明:
PA⊥α ①
Ao α
aα
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PA∩AO=A
PO 平面PAO
③
a⊥PO
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
说明：
1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系.
又因为AG为A1G在平面ABCD 上的射影.(由三垂线定理)
D F
∴ EF⊥A1G,则∠A1GA为二面角的平 面角.
A
G E
B1 C
B
计算得:二面角的大小为:60o
四、小 结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言, 2.定理的主要应用:证明线线垂直,线面垂直,
∵BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC (三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。
A
B
90°
C
再在道路边取一点D，使∠CDB=45°, 则CD=CB
可测得C、D的距离等于a米, ∴BC= a米，
在直角△ABC中, AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2 米
答：电塔顶A与道路的距离是 152 a2米。
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是对同一个平面而言.
2°定理的关键找“平面的垂线”.
三、知识运用
例1. 如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求 证AB⊥PC.
证明: ∵ PD⊥平面ABC,
∴ DC为PC在平面的射影,
而△ABC为等腰三角形, A
D为AB的中点,
三垂线定理及其应用
P
oa
α
A
一、三线概念: 平面的斜线、垂线、射影
P
oa
α
A
如图PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影.
二、三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。
2、a与PO可以相交，也可以异面.
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内
两直线的垂直问题.
P
oa
α
A
练习：判定下列命题是否 正确
α
P
oa A
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
A
B
90°
C
45° ●D
例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 2 ,
AA1= 3, E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF
和平面ABCD所成二面角的大小?
解: 连接BD,AC,AC交EF于G, 连接A1G
D
1
C1
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD, A1 而E,F为AB和AD中点, ∴EF∥BD, ∴ EF⊥AC
求点到线的距离,二面角大小, 3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”,
计算程序分三个步骤:“一作二证三算”.
P C
D
B
∴ AB ⊥ CD
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∴ AB ⊥PC
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结 BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD、 A1B
D1
∵DD1⊥平面ABCD
A1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影
∵ABCD是正方形∴AC⊥BD
C1 B1
(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1
D
C
A
B
同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C
例3.道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的 距离？(测角器只能测水平面角) 解：在道路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，