高数A下册复习总结

第八章 向量与解析几何

向量代数

定义 定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示

向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=

,,x x y y z z a Prj a a Prj a a Prj a ===

模

向量a 的模记作a

a 222x y z a a a =++

和差

c a b =+ c a b =－

=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b

单位向量

0a ≠，则a a

e a

=

a e 2

2

2

(,,)=

++x y z x y z a a a a a a

方向余弦

设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos

cos y x z a a a a

a

a

αβγ==

=

，cos ，cos

cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）

θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹

角

z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a

叉乘（向量积）

b a

c ⨯=

θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直

z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

b a =⨯ 定理与公式

垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=

平行

//0a b a b ⇔⨯=

//y z

x x y z

a a a a

b b b b ⇔==

交角余弦

两向量夹角余弦b

a b

a ⋅=θcos

222222

cos x x y y z z

x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=

++⋅++

投影

向量a 在非零向量b 上的投影

b a b

Prj a a a b b

∧⋅==cos() x x y y z z

b x y z

a b a b a b Prj a b b b ++=

++2

2

2

第九章 多元函数微分法及其应用

x x y y z x

==∂∂00

=相当于一元函数求导数，对某一自变量求偏导，把其余变量均视为常数即可同一元函数求高阶导数

可微一定可导（偏导存在）可导不一定可微＋dv z ∂

法向量

000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或

00(((,x y n f x f x =

,

第十章 重积分

积分类型

计算方法

二重积分

()σ

d ,⎰⎰=D

y x f I

平面薄片的质量

质量=面密度

⨯面积

（1） 利用直角坐标系

X —型 ⎰⎰

⎰⎰

=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ

Y —型

⎰⎰

⎰⎰

=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(ϕϕ

（2）利用极坐标系 使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α

+, α为实数 )

21()()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

ϕθα

ϕθρθρθρρθ

θρθρθρρ

=⎰⎰⎰⎰

02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）

110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy

f x y x f x y f x y D D ⎧

⎪⎪-=-⎪⎪

=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩

⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分

计算步骤及注意事项

1． 画出积分区域

2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法

投影法

投影

⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

=Ω

b a

y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f )

,()

,()

()

(2121d ),,(d d d ),,(