相似三角形经典讲义

相似三角形

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理：

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性

如果△∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△∽A 2B 2C 2 三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。

c

d a b = d

b c a a c b d ==或 合比性质：d

d

c b b a ±=

± ⇒=⇔=bc ad d c

b a （比例基本定理） b

a n d

b m

c a n

d b n m d c b a =++++++⇒≠+++===ΛΛΛΛ:)0(等比性质

在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AE

AC

==

，每个比的前项是同一个三 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AE

EC

==的错误。

2、 相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型。

Ⅰ.相交线型

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k ;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

相似三角形测试卷

一、选择题

1．下列命题中，正确的是（ ）

A ．任意两个等腰三角形相似

B ．任意两个菱形相似

C ．任意两个矩形相似

D ．任意两个等边三角形相似 2、．已知点C 在直线上，且线段2，则（ ）

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 1或3

3、如图，在长为8 、宽为4 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 2

B ． 4 2

C ． 8 2

D ． 16 2

4、Δ中，，且S Δ梯形1:2，则的值是（ ） A ．1:2

B ．1:3

C ．1:2

D ．1:3

5、如图□中是上的点，交于点P ，交的延长线于点R ，若4:3，则（ ） A ．4:3

B ．4:7

C ．3:4

D ．3:7

6、如图，梯形的对角线相交于点O ，有如下结论：①Δ∽Δ，②Δ∽Δ，③S ΔΔ，④S ΔΔ；其中一定正确的有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7 、如图，□中，E 为的中点．已知△的面积为S ，则△的面积为（ ） A ．S B ．2S C ．3S D ．4

8、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20，则它的宽约为 A ．12.36 B.13.6 C.32.36 D.7.64c

C

E

D

B A

C

A

D

B.

C

B

E

A

O

C

D Q

P

D

A

第3题 第5题 第6题 第7题 9、如图，Rt ABC △中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，P 是BC 上一点， 作PE AB ⊥于E ，PD AC ⊥于D ，设BP x =，则PD PE +=（ ）

A ．35

x +

B ．45

x

-

C ．72

D ．2

1212525

x x -

10、如图，在□中，E 是的中点，且∠∠，下列结论不正确．．．的是( ) A 、

2

1

B 、S △2S △

C 、四边形是等腰梯形

D 、∠∠ 二、填空题

11、如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形，则：

ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度

12、一张等腰三角形纸片，底边长l5，底边上的高长22．5．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第张．

13、如图ABC ∆中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ∆是直角三角形的有 （只填序号）。 ①ο

90=∠+∠B A ②2

2

2

BC AC AB += ③

BD

CD AB AC =

④BD AD CD ⋅=2

14、如图，点M 是△内一点，过点M 分别作直线平行于△的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△的面积是

第11题 第12题 第13题 第14题

三、解答题

15、（1）已知：15

1110a

c c b b a +=

+=+，求 c b a ::的值

16、如图，在平行四边形中，过点A 作⊥，垂足为E ，连接，F 为线段上一点，且∠＝∠B.①求证：△∽△②若＝4＝33＝3,求的长.

17、已知ABC △，延长到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．

A D

C

P

B

E

A B

C

D

E

F H

G F E

D C B A

D C

A