2021高一数学竞赛试题

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2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

高一数学下学期竞赛试题

一中2021年下学期高一数学竞赛试题一、选择题〔一共8题，每一小题4分〕1．集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，那么集合{}1|≥x x =〔〕A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃2．假设函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于直线x y =对称，那么=)(x f 〔〕 A ．12-x eB ．x e 2C ．12+x eD ．22+x e3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，那么不等式0)()(<--xx f x f 的解集为〔〕 A ．),1()0,1(+∞⋃-B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．假设直线0=++c by ax 通过第一、二、三象限，那么〔〕 A ．0,0>>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0><bc abD ．0,0<<bc ab5．设有直线n m ,和平面βα,，以下四个命题中正确的选项是〔〕 A ．假设,//,//ααn m 那么n m //B ．假设,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂那么βα//C ．假设,,a m ⊂⊥βα那么β⊥mD ．假设,,,αββα⊄⊥⊥m m 那么α//m 6．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，那么BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为〔〕 A ．36B ．552 C ．515 D ．510 7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为34,72，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于M 。

2021年全国高中数学联赛一试试卷(完美WORD)

1全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}Bx x A x A ．则集合B 中所有元素的和为____________．2．在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFBS S ∆∆_____________.3．在ABC ∆中，已知sin 10sin sin ,cos 10cos cos A B C A B C ，则tan A 的值为______. 4．已知正三棱锥PABC 底面边长为1________.5．设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为_____________.6．从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7．若实数,x y 满足42xyxy ，则x 的取值范围是____________.8．已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i ia a ，则这样的数列的个数为__________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本题满分16分）给定正数n x 满足12,2,3,nn S S n，这里1n n S x x .证明：存在常数0C，使得2,1,2,n nx C n .10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点. 若平面中两个点Q R 、满足11221122,,,QA PA QA PA RF PF RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11．（本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有 ()()()()f xy f xy f x f y .。

高一数学竞赛试卷试题_1

SA潮南区晓升中学2021-2021学年度第二学期高一数学竞赛试卷制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

第I 卷本次考试试卷分为第I 卷和第II 卷两局部，学生应把试题中的各个小题答在答题卷相应的位置上，不能答在第I 卷或者第II 卷上。

本卷满分是150分，答卷时间是120分钟一、选择题：本大题一一共10题，每一小题5分，一共50分。

在每一题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．答题卷中．．．．。

1、yy y y x x y x x x ---<>=+则且,0,1,22的值等于〔〕A.2或者－2B.－2C.22、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ＡＢ、ＣＤ在原正方体中的位置关系是〔〕A 、平行B 、相交且垂直C 、相交成600D 、异面直线3、.函数)2,(21-∞-+=在x ax y 上为增函数,那么实数a 的取值范围是〔〕 A.21->a B.21>a C.21<a D.21-<a4、如图:正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，假如E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于〔〕A.90°B.45°C.60°D.30°FBCE5、如图：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，交于顶点A 的三条棱长别为AD=3，AA 1=4,AB=5。

一天，小强观察到在A 处有一只蚂蚁,发现顶点C 1处有食物,于是它沿着长方体的外表爬行去获取食物,那么蚂蚁爬行的最短路程是〔〕A 、74B 、25C 、54D 、1036、x 1，x 2是方程4x 2-4mx+m+2=0的两个实根，当x 12+x 22取最小值时，实数m 的值是〔〕 A 、2 B 、41 C 、41- D 、-1 7、定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应以下图形那么以下图形中可以表示A*D ，A*C 的分别是 .A ．〔1〕、〔2〕B ．〔1〕、〔3〕C ．〔2〕、〔4〕D ．〔3〕、〔4〕 8,以下恒等式不正确的选项是 .A,cos 1sin 1sin cos αααα+=- B,4422sin cos sin cos αααα-=- C,2222tan sin tan sin αααα-=⋅ D,1sin cos tan 1cos sin 2ααααα+-=++ 9. 盒子中有10Ａ．恰有１只是坏的概率Ｂ．恰有２只是好的概率Ｃ．至多２只是坏的概率Ｄ．４只全是好的概率〔1〕〔2〕〔3〕〔1〕〔2〕〔3〕10.右图输出的是〔〕Ａ．2021 B ．65 Ｃ．64 Ｄ．63二、填空题：本大题一一共有5小题，每一小题4分，满分是20分11.某公司消费三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进展检验，那么这三种型号的轿车应依次抽取、、辆．12、拟定从甲地到乙地通话m 分钟的费为[])150.0(06.1)(+⨯⨯=m m f ，其中m ＞0，[]m 为元13.,函数121log sin()23y x π=+,的单调递增区间是 .14,当02x π≤≤时,函数2()22cos f x x x m =++的最大值为2021,那么它的最小值等于 .)2(,3)2(,2)(235-=++++=f f bx x ax x x f 则若的值等于 .第II 卷三、解答题：〔一共80分〕16.〔此题满分是12分〕f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0(1)0(0)0(1x x x ,解不等式x+2＞(2x －1)f(x)17、〔此题满分是12分〕如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3AD ，E ，F 为AB 的两个三等分点，AC ，DF 交于点G ，建立适当的直角坐标系，证明：EG ⊥DF18.〔此题满分是12分〕求证：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 最多有两个不相等的根.19．〔本小题满分是14分〕正四棱锥R —ABCD 的底面边长为4，高为6，点O 是底面ABCD 的中心，点P 是RO 的中点，点Q 是△RBC 的重心. 〔1〕求证：面ROQ ⊥面RBC ；〔2〕求直线PQ 与底面ABCD 所成的角；〔3〕求异面直线PQ 与BR 所成的角的余弦值.20.〔此题满分是15分〕某工厂拟建一座平面图〔如下图〕为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.假如池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元〔池壁厚度忽略不计，且池无盖〕.〔1〕写出总造价y 〔元〕与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域; 〔2〕求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.21.〔此题满分是15分〕函数.2222)(xxxx x f --+-= （1）求函数的定义域；（2）该函数是奇函数，还是偶函数，还是非奇非偶函数，〔3〕试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB 恰好与y 轴垂直,假设存在,求出A,B 两点的坐标；假设不存在,说明理由并加以证明.[参考答案]一、选择题答案表：〔本大题一一共8题，每一小题5分，一共40分〕二、填空题答案：〔本大题一一共有5小题，每一小题4分，满分是20分〕 11、 6，30，10 12、 3.71 13、 (4,4]33k k ππππ-+14、 2021. 15、 9三、解答题：(本大题一一共有5小题，一共80分) 16．〔此题满分是12分〕解：原不等式等价于〔Ⅰ〕⎩⎨⎧->+>)12(20x x x 1分或者〔Ⅱ〕⎩⎨⎧->+=)12(20x x x 0 2分或者〔Ⅲ〕⎩⎨⎧->+<)12(20x x x -1 3分解〔Ⅰ〕得30<<x 5分〔Ⅱ〕得0=x 7分〔Ⅲ〕得04333<<--x 10分把三局部合并起来得不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<+-34333x x 12分17. 〔此题满分是12分〕解：以AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，建立直角坐标系设AD=1〔单位〕那么D 〔0，1〕A 〔0，0〕，E 〔1，0〕，F 〔2，0〕C 〔3，1〕，求得直线AC 的方程为x y 31=，直线DF 的方程为022=-+y x解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02231y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5256y x 所以点G 坐标)52,56(所以直线GE 的斜率K=2156052=--，直线DF 的斜率K=212001-=--，K GE K DF =-1∴ＥＧ⊥ＤＦ。

2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准(精华版)

2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准（精华版）（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，【答案】 D【解答】依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B xx +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。

所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（）A B ．2 C D 【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。

∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。

因此，(11)P -，，线段OP。

3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

则二面角A PC B --的余弦值为（）A．3 B．3 C．3 D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。

高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案

高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

2021年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题

2021年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一班级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格依据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2021 项的和为 1209 ．2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)(x f 在),0(+∞上的最小值为－4 ．3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．4．设∈-==n n b a n nn (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a sin =-，则2sin 2sinBC A +-的值为1 ．6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f －186 ．7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，27tan =∠CAP ．8． ︒+︒10sin 110sin 82的值为 6 ． 9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为10．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f y xf -=．（1）试推断函数)(x f 的单调性；（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围．解（1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(12>x xf ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）（2）由于)2()4()24()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分）即)34()(-≤t f t f ，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>->.34,03,0t t t t ………………………………………（15分）解得 43≤<t ．故t 的取值范围是]4,3(． ………………………………………（20分）12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(b ca c ++的最小值．解设ααcos ,sin ⋅=⋅=c b c a ，)2,0(πα∈，则ααααααcos sin 1cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）令ααcos sin +=x ，则)4sin(2πα+=x ，21≤<x ． …………………（10分）又21cos sin 2-=x αα，所以12121112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）。

2021年高一上学期六科联赛数学试卷 Word版含答案

2021年高一上学期六科联赛数学试卷 Word版含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.若13(1)ln2ln lnx e a x b x c x-∈===，，，，，则（）A．<< B．<< C．<< D． <<4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ).A. B.C. D.7.函数的值域是（）A．B．C．D．8.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误．．的为( ). . ∥截面. . 异面直线与所成的角为P MNAD俯视图222正(主)视图22侧(左)视图9.设，函数的图像可能是（）（第8题）10.定义在上的函数满足（），，则等于（）A．6 B．9 C．2 D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.11.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________12.已知(a>0) ，则 .13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，。

14.已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.15．如图，在正方体中，则二面角正切值是三．解答题：本大题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题6分)—－+-17.(本小题6分)已知集合，，并且,计算的值。

18.(本小题8分)渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于，以便留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为（1）写出关于的函数关系式，并指出该函数的定义域。

高一数学竞赛试题含解析试题

2021年高一年级数学竞赛试卷第一卷〔一共60分〕一、填空题〔每一小题10分，一共80分.〕1. 假设是单位向量，且，那么__________．【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________．【答案】【解析】时，x-1时，1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，，，图象的交点数一共有__________．【答案】5故答案为54. 假设，那么__________．【答案】0.........5. ，，，那么__________．【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，∵=1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)= −，∵0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或者.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或者②。

cos(γ−α)= −;解得：γ−α=或者③。

∵0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值是.点睛：此题主要考察了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的根本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，假设，称甲乙“心相近〞，现任意两人玩这游戏，那么他们心相近的概率为__________．【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，假设，那么__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，那么的最大值不小于__________．【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题〔一共70分〕9. 函数〔〕是偶函数，假设对一实在数都成立，务实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数〔〕是偶函数得出，证明出当时，为增函数，，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：〔〕是偶函数，当时，，得对一切都成立，所以，.于是设，，所以，当时，为增函数.，，于是，即，所以即对一实在数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，，〔〕，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由〔〕知，数列化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由〔〕知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此，故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，，由射影定理，得，因为，所以，四点一共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析：连，设为，的交点，因为，，由射影定理，得因为，所以，四点一共圆.由圆幂定理，得所以，即〔定值〕，所以，为定长.12. 有〔〕个整数：，，…，，满足，，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，假设为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，假如中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，假设为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.假如中仅有一个偶数，那么中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2021年高一数学下学期知识竞赛试题

2021年高一数学下学期知识竞赛试题一、选择题（本小题共10题，每小题3分，共30分）1．设，且，则（）A. B. C. D.2．直线的倾斜角是（）A. B. C. D.3．点到直线的距离等于则点的坐标是（）A. B. C. D.4．已知满足则的最大值为（）A. B. C. D.5．设为公差不为零的等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.6．在中，, 那么满足条件的（）A.有一个解B. 有两个解C.无解D.不能确定7．若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（）A.1B. 2C. 3D. 48．已知向量a，b，且a//b，则的值为（）A. B. C. D.9．已知，将绕点逆时针转得到，则（）A. B. C. D.10．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为xx，那么数列2，，，……，的“理想数”为（）A.xxB.2004C.xxD.xx二、填空题（本小题共7题，每小题4分，共28分）11．若，则_____________．12．已知等差数列的前项和为，若则．13．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a-b|等于____________．14．在中，则________________．15．若不等式有解，则的取值范围是___________________．16．在中，分别是所对应的边，若，则的取值范围是___________．17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为____________．三、解答题（本小题共4题，21题12分，其余每题10分，共42分）18．设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值.(1)直线的斜率为1；(2)直线在轴上的截距为.19．已知关于的不等式(1)若写出不等式的解集；(2)若写出不等式的解集．20．在中，内角满足(1)求角的大小；(2)求的取值范围.21．已知数列的前项和，且满足.(1)求证数列是等比数列；(2)若数列满足,为数列的前项和，求证.温州二外xx学年第二学期学科知识竞赛高一数学参考答案一．选择题DACCA BCBAA二．填空题11. 12. 39 13. 14.15. 16. 17.三、解答题：18.(10分）...................................5分 ...................................10分 19.(10分）（1）．…………………..4分（2）若．…………………..6分若．…………………..8分若．…………………..10分 20.(10分）（1）…………………..4分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+6sin 3cos 23sin 2332sin sin sin sin ππA A A A A C A…………………..7分 ………………….10分21.(12分）（1） ……………….2分是以4为首项，2为公比的等比数列……………….6分（2）……………….8分……………….9分……………….12分530176 75E0 痠/m`39721 9B29 鬩31600 7B70 筰;y37404 921C 鈜30345 7689 皉+O。

2021年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及解析

2021年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}0432≤--=x x x A ，{}41<<∈=x N x B ，则=B A ()A.），（41B.[]41，-C.{}32，D.{}4321，，，2.已知空间中两个不同的平面βα，及两条不同的直线b a ,，且b a ,不垂直，则下列说法正确得是（）A.若α⊂a ，则b 可能垂直αB.若βα⊂⊂b a ,，则α可能垂直βC.若α⊥a ，则b 可能平行αD.若α//a ，则b 可能垂直α3.若复数z 满足044=--+--i z i z ，则z 在复平面上对应的点集所组成的图形面积为()A.π2B.π4C.π8D.π164.已知正实数b a ,满足42=++b ab a ，则b a 1-的最大值为（）A.262- B.1 C.21 D.625-5.在ABC ∆中，”“AC B =是”“c b b b a +>的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.小东同学参加一次答题活动，答题规则如下：本次答题共3道题，只有答对前1题，才能接下来答下一道题，答错题目，则答题结束；答对题目，则继续答下一题。

若小东答题的准确率与题号成反比，且第一题的答题准确率0.6，小东至少答对两导体的准确率为（）A.0.18 B.0.27C.0.6D.0.77767.已知Z b a ∈,，满足()b a =-- 50sin 50sin 89，则b a +的值为（）A.1B.2C.3D.48.已知*N n ∈，()πθ2,0∈i ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=，且+≥+⋅⋅⋅++2020sin sin sin 21n θθθn θθsin sin 1⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（）A.2018 B.2019 C.2020 D.2021二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.再一次数学考试中，高三（1）班中的8位同学的成绩分别为107,103,125,111,96,111,106,118高三（2）班中的8位同学的成绩分别为144,120,82,99,108,119,108,125，则下列说法正确的有（）A.高三（1）班8位同学成绩的极差小于高三（2）班8位同学的极差B.高三（1）班8位同学成绩的方差小于高三（2）班8位同学的方差C.高三（1）班8位同学成绩的众数小于高三（2）班8位同学的中位数D.高三（1）班8位同学成绩的平均数小于高三（2）班8位同学的平均数10.已知实数c b a ,,满足11232>==c b a ，则下列说法正确得有（）A.02>-b a B.02>-c b C.c b a 112=+ D.223+≥+cb a 11.已知H 为ABC ∆的内心，且CA y CB x CH +=，AC n AB m AH +=，13=+y x ，14=+n m ，则下列选项正确的是（）A.4π=∠=∠=∠CBA HAB HCB B.6π=∠=∠=∠CBA HAB HCB C.3:1:=∆∆BHC AHC S S D.2:1:=∆∆BHC AHC S S 12.四面体，又叫三棱锥，是一种简单多面体。