正四棱台体积公式

一则基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※

朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）

对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。

1 教学案例：正四棱台体积公式

1.1提出问题

师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ，上底面边长为b ，高为h ，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。

生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x ，则V V =大正四棱锥V -小正四棱锥=

=-+=-+x b a h a x b x h a )(3

1

3131)(3122222……）

。我做不下去了。 1.2类比、猜想、实验

师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。

生2：我想()

h b a V 2221+=

，因为梯形面积公式为()h b a S +=2

1

。 生3：我觉得应该是()

h b a V 2

231+=，因为正四棱锥体积公式中有系数3

1，且当0=b 时，

()

h b a V 2231+=h a 23

1

=,即为正四棱锥体积公式。

师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长2.0米，下底

边长3.0米，高2.0米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.02

1

=+=V 立方

米，由生3的公式得()00867.02.009.004.03

1

≈+=V 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱

形容器，量一下，高为多少？约为315.0米，体积约为0126.0立方米。看来上面两个公式都不是很准确。

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※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。

生4：梯形面积公式中系数是

2

1

，是因为括号内只有b a 、两项。那么，如果正四棱台体积公式系数取31，则括号内应有三项，除了2a 、2b 我想还应有ab ，也即()

h b ab a V 2

231++=，计算()0126.02.009.006.004.031≈++=V 。这与我们的实验结果一致。另外，当0=b 时，h a V 23

1

=是正

四棱锥的体积公式；当a b h ==时，3

a V =是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。

1.3推导公式

师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。

生5：(如图1)S S 21=

平行四边形=()h b a +2

1

。 b

a h a b

x

a

h

b

（图1） （图2）

生6：（如图2）设小三角形高为x ，大三角形高为h x +，因为这两个三角形相似，所以h

x x

a b +=

，即b a bh x -=

。()x b a ah bx h x a S )(21212121-+=-+=h b a b a bh b a ah )(2

1

))((2121+=--+= 。 生7：（如图3）bh ah S 2121+= h b a )(2

1

+=。

h

b

h a

h

b a

+

=

（图3）

生8：（如图4）h b a bh h b a S )(2

1

)(21+=+-=

。 a-b

+=

h

b

h

h b a

h

b

a

b （图 4） （图5）

师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？

生9：（如图5）S S =三角形=

h b a )(2

1

+。 师：接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上底面边长分别为b a 、，下底面边长分别为d c 、，高h ，求其体积。） 1.4展示成果

第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。 第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。（继续 +=--+=

h a b a bh b a h a 22223

1

))((3131 h b ab a bh b a )(3

1

)(3122++=+。 第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A 、B 、C 、D 、E ：（如图6）

D A D'

B

A'

C'

B'

C

D

D '

B'D '

B'

C

B

A

D '

A

C

A

C

D '

C 'C

B'

A

A'

（A ） （B ） （C ） （D ） （E ）

（图6）

其中h a V V V A B A 2312=

=+，h b V V V D E D 23

1

2==+。对于锥体C （如图7）

，我们取AC 中点O ，连结B`O 、D`O,容易看出AC ⊥ 面B`OD`。取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。所以，S V C 3

1

=三角

形B`OD`31=AC 21B`D`hAC=3121abh b ah 3

1

22=。由此得E D C B A V V V

V V V ++++= h b ab a )(3

1

22++=。

C

A

G

H

B F E D I

（图7） （图8） 第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E ，其底面是边长为b 的正方形，高为h ，体积为h b 2

.(2)四个棱锥A 、C 、G 、I ，可以拼成一个大的四棱锥J ，起底面是边长为)(b a -的正方形，高为h ，体积为h b a 2

)(3

1

-。(3)四个直角三棱柱B 、D 、F 、H ，可以拼成两个长、宽、高分别为b 、

2)(b a - 、h 的长方体K 和L ，体积均为h b a b )(21

-。所以，（如图9）L K J E V V V V V +++= h b a b h b a h b )()(3122-+-+=，整理得 h b ab a V )(3

1

22++=。

（E ） (J) (K) (L)

（图9）

生13：同样方法可以求出思考题中四棱台体积

ah b d bh a c h a c b d abh V )(2

1

)(21))((31-+-+--+=