正四棱台体积公式

一则基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。

本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。

1 教学案例：正四棱台体积公式1.1提出问题师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。

如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。

假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ，上底面边长为b ，高为h ，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。

生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x ，则V V =大正四棱锥V -小正四棱锥==-+=-+x b a h a x b x h a )(313131)(3122222……）。

我做不下去了。

1.2类比、猜想、实验师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。

我们把这一问题放一边，先来猜想一下 正四棱台体积的公式。

大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。

生2：我想()h b a V 2221+=，因为梯形面积公式为()h b a S +=21。

生3：我觉得应该是()h b a V 2231+=，因为正四棱锥体积公式中有系数31，且当0=b 时，()h b a V 2231+=h a 231=,即为正四棱锥体积公式。

师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。

我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长2.0米，下底边长3.0米，高2.0米，里面装满沙子。

由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.021=+=V 立方米，由生3的公式得()00867.02.009.004.031≈+=V 立方米。

我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱形容器，量一下，高为多少？约为315.0米，体积约为0126.0立方米。

看来上面两个公式都不是很准确。

———————※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。

生4：梯形面积公式中系数是21，是因为括号内只有b a 、两项。

那么，如果正四棱台体积公式系数取31，则括号内应有三项，除了2a 、2b 我想还应有ab ，也即()h b ab a V 2231++=，计算()0126.02.009.006.004.031≈++=V 。

这与我们的实验结果一致。

另外，当0=b 时，h a V 231=是正四棱锥的体积公式；当a b h ==时，3a V =是正方体的体积公式。

我想这个公式应该是正确的。

1.3推导公式师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。

用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。

生5：(如图1)S S 21=平行四边形=()h b a +21。

ba h a bxahb（图1） （图2）生6：（如图2）设小三角形高为x ，大三角形高为h x +，因为这两个三角形相似，所以hx xa b +=，即b a bh x -=。

()x b a ah bx h x a S )(21212121-+=-+=h b a b a bh b a ah )(21))((2121+=--+= 。

生7：（如图3）bh ah S 2121+= h b a )(21+=。

hbh ahb a+=（图3）生8：（如图4）h b a bh h b a S )(21)(21+=+-=。

a-b+=hbhh b ahbab （图 4） （图5）师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？生9：（如图5）S S =三角形=h b a )(21+。

师：接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。

第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。

如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。

（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。

当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。

上底面边长分别为b a 、，下底面边长分别为d c 、，高h ，求其体积。

） 1.4展示成果第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。

第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。

（继续 +=--+=h a b a bh b a h a 222231))((3131 h b ab a bh b a )(31)(3122++=+。

第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A 、B 、C 、D 、E ：（如图6）D A D'BA'C'B'CDD 'B'D 'B'CBAD 'ACACD 'C 'CB'AA'（A ） （B ） （C ） （D ） （E ）（图6）其中h a V V V A B A 2312==+，h b V V V D E D 2312==+。

对于锥体C （如图7），我们取AC 中点O ，连结B`O 、D`O,容易看出AC ⊥ 面B`OD`。

取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。

所以，S V C 31=三角形B`OD`31=AC 21B`D`hAC=3121abh b ah 3122=。

由此得E D C B A V V VV V V ++++= h b ab a )(3122++=。

CAGHB F E D I（图7） （图8） 第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E ，其底面是边长为b 的正方形，高为h ，体积为h b 2.(2)四个棱锥A 、C 、G 、I ，可以拼成一个大的四棱锥J ，起底面是边长为)(b a -的正方形，高为h ，体积为h b a 2)(31-。

(3)四个直角三棱柱B 、D 、F 、H ，可以拼成两个长、宽、高分别为b 、2)(b a - 、h 的长方体K 和L ，体积均为h b a b )(21-。

所以，（如图9）L K J E V V V V V +++= h b a b h b a h b )()(3122-+-+=，整理得 h b ab a V )(3122++=。

（E ） (J) (K) (L)（图9）生13：同样方法可以求出思考题中四棱台体积ah b d bh a c h a c b d abh V )(21)(21))((31-+-+--+=)333322226(61ba da ba bc ba da bc dc ab h -+-++--+=[]c b d a d b h ba da bc dc h )2()2(61)22(61+++=+++=。

当c d b a ==、时，[]h c ac a ac c ac a h c a c a c a h V )(31)22(6)2()2(62222++=+++=+++=。

生14：利用类似生9的方法来推导比较繁杂，我用图示的方法来说明。

为了使大家看得清楚，我把它先分成四等分，且选择其中一块（如图10）。

把这一块分成三部分，这三部分又可以拼成一个不规则图形，这个图形的体积可以通过补形法求得。

（图10）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=2)2(21312)2(2131)2(314222h b a h b a h b a V h b ab a h b a b a )(31)2(31)2(2222++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=。

1.5教师总结上面几位同学向大家展示了他们的研究成果，非常出色。

同学们可能不知道，这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握。

成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正四棱台体积的问题。

数学史家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”，在他看来，这个问题中涉及的归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟的多。

那么古埃及人是如何得到这一公式的呢？我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了。

第三组同学展示的推导方法简洁优美，并且公式与图形联系紧密，我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的。

在我国古代，《九章算术》给出了刍童（即两底是长方形的正四棱台）的体积公式[]c b d a d b hV )2()2(6+++=。

同学们一定注意到了生13给出的思考题的解法。

我国古人就是利用这种分割方法得到刍童体积公式的。

古代巴比伦人曾使用过错误公式()h b a V 2221+=——注意这个错误我们也犯了，——后来的古巴比伦泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则h b a ba V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=22)2(31)2(。

大家也一定注意到了，生14的推导中也出现了这种形式。

为什么古巴比伦人没有把它写成古埃及人的形式呢？虽然它可以转化成那种形式。

也许，古巴比伦人用的是不同于古埃及人的方法，可能利用的就是生14的方法。

生15：老师，我打断一下，你说h b a ba V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=22)2(31)2(是古巴比伦人的公式，并且可能是利用生14的方法。

我刚才在用类似生12的方法对棱台作进一步分割，推导过程中也出现这个形式。

当时我觉得这样很繁没有提出来，现在我想给大家演示一下，也许古巴比伦人是利用我这种方法推导的。

我也象生14选用其中四分之一块来用图说明（如图11）。

把这一块切割成13块，再拼成一个长方体，还剩两个小锥体。

（图11）h b a b a h b a h b a V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=2222)2(31)2(2)4(312)4(4。

2 案例简析新教材（人民教育出版社《数学》（实验修订本））已经取消了台体及其体积公式这一内容。

但是这块内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值。

所以，可以把它用来作为课外活动、兴趣小组以及研究性学习的课题，让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学。

我们也可以预见若干年以后高考中会出现这样一道题目：先阅读一段关于正四棱台的定义、正四棱锥的体积公式以及推导梯形面积公式的几种方法的材料，再让学生写出正四棱台的体积公式以及推导这一公式的几种方法。

2002年全国高考卷文科最后一题就传递了这样一种信息：关注平面图形与空间图形的转化和类比。