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指数函数及其性质(解析版)

微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．（2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →．当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<，所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，所以由指数型函数性质得()2,8P ，因为P 在幂函数()f x x α=的图象上所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________．【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =，当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)；（2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-，所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象，观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点，若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥，所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点，即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞，故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值．【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1．又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）．（2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-，可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=，故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增，所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞；变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立（2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立；所以2512m =．题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减，函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤，解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-，画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减，结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数，所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<，故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+，所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >，所以211x +>，20221x<<+，所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥，即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥，又01b <<，所以10t -≤，即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+，所以22021x-<-<+，所以211121x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()1,1-；（3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立，令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥，所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++，任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或4x <-，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去；当0k ≠时，即21121x k-=+有根，其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+，故()2()10,121x f x =-∈+，又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数，所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+，且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-，故()()11,00,1k∈-⋃，解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值．【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号，所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤，所以()22422141x x t t --⋅+-=+-，令()224125y t t t =+-=+-，因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤，所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-，即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______．【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-，所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞．故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习）若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-，所以实数a 的取值范围是()1,-+∞．故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<．故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-，所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确；如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确．故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤，故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<．又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确．故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤，所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件，故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确．故选:ACD ．三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________．【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，，故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->，所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-，当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立，所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解．综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二：若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--；（2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤，则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=，所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-，则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值．【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号，所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥，当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去，当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去，当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=；（2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。

第17讲指数函数及性质八大题型总结(解析版)

【答案】D
【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，解得，因为在上为增函数，所以，解得，综上可知。
【例7】已知函数，如果对任意，恒成立，则满足条件的的取值范围是．
【答案】
【详解】因所以在上为奇函数，并且为减函数，所以，所以，所以在上恒成立，所以，当时，，所以，解得。
【详解】∵ ，又，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三：指数函数的定点
【例1】当且时，函数必过定点.
【答案】
【详解】法一：必过定点，将向右平移2个单位得到，所以必过定点，将向下平移3个单位得到，所以函数必过定点
法二：令，得到，所以，所以函数必过定点
2.函数在R上是减函数，则的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数在R上是减函数，所以，所以，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则；
即， (底大幂大)；时，．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数，则不等式的解集是．
【答案】
【详解】因所以在上为奇函数，并且为减函数，因

指数函数及其性质知识点及题型分类

指数函数及其性质【知识点分析及例题】1、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.注意：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x0<a<1时图象 a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域（0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1 ⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

（4）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在[a ，b]上)10()(≠>=a a a x f x 且，值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f（5）若0≠x ，则1)(≠x f ；)(x f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（6）对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，总有a f =)1(； 3、指数函数底数变化与图像分布规律① xy a = ②xy b = ③xy c = ④x y d =注意：（1）0＜b ＜a ＜1＜d ＜c（2）x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）（3）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> 4、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法（中间量为1） (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【例题】题型一、指数函数的概念例1、指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；例2、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．题型二、指数函数的图像例3、函数与的图象大致是( ).例4、函数（）的图象是（）例5、若，，则函数的图象一定在（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限例6、指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B.a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b题型三、函数的定义域、值域例7、求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy=+；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x--；(4)211xxy a-+=(a为大于1的常数)例8、已知，当其值域为时，的取值范围是；函数的值域是__________ ．题型四、比较大小例9、判断下列各数的大小关系(1)1.8a与 1.8a+1；(2)24-231(),3,()331；(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2；(4)23(0,1)a a a a>≠与例10、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．例11、已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．例12、讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．题型六、判断函数的奇偶性例13、判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数)例14、已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.例15、某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x 年后年人均粮食占有量为y 千克，求出函数y 关于x 的解析式．例16、设12()2x x af x b+-+=+（a ，b 为实常数）。

指数函数的性质及常考题型(含解析)

故选：A.
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =

指数函数及其性质题型及解析

指数函数及其性质题型及解析1.下列函数中，是指数函数的是（）①y=（-2）x②y=（）x③y=x2 ④y=x-1⑤y=5x+1⑥y=x4⑦y=3x⑧y=﹣2•3x ⑨y=πx⑩y=（-3）x分析：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义进行判断即可．解：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义，得；①中y=（﹣2）x底数﹣2＜0，不是指数函数，②中y=是指数函数，③，④都是幂函数，不是指数函数；⑤y=5x+1不是指数函数；⑥y=x4是幂函数，不是指数函数；⑦y=3x是指数函数；⑧y=﹣2•3x不是指数函数．⑨满足指数函数的定义，故正确；⑩﹣3＜0，不是指数函数，故错误．2.为了得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y=2x上所有点（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．把函数y=2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y=2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，故选A3.若指数函数的图象经过点（2／3，4），求该函数的解析式及f（﹣1／2）的值分析：设出指数函数的解析式，利用函数图象经过点的坐标求出函数解析式，再计算f（﹣1／2）的值解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），且函数的图象经过点（2／3，4），∴=4，解得a=8；∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，∴f（﹣）===4.①若函数y=（3a﹣1）x为指数函数，求a的取值范围分析：由函数y=（3a﹣1）x为指数函数，知，由此能求出a的取值范围；根据指数函数的定义可得求解即可，解：∵函数y=（3a﹣1）x为指数函数，∴，解得a＞，且a，∴a的取值范围为（，）∪（，+∞）．②函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，求a的取值解：若函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，则解得：a=5.已知x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围分析：利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6.已知指数函数f（x）=（a﹣1）x.（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围（2）若f（x）是R上的减函数，求a的取值范围分析：根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的增函数，只须其底数大于1即可，从而求得a的取值范围．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围解：（1）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是（2，+∞）（2）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，故a的取值范围是（1，2）7.在同一坐标系作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系（1）y=2x+1与y=2x+2；（2）y=2x﹣1与y=2x﹣2；（3）y=2x﹣1与y=2x+1．分析：（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移2个单位得到；（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．解：y=2x+1与y=2x+2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x﹣2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x+1的图象如图（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移2个单位得到；（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．8.指数函数y=a x y=b x y=c x y=d x在同一坐标系中图象如图，求a、b、c、d大小关系分析：比较指数函数的底数的大小，根据函数图象的单调性可知c＞1，d＞1，0＜a＜1，0＜b＜1，然后再比较c，d的大小，a，b的大小．解：由函数的图象可知，c＞d＞1＞a＞b＞09.比较大小①0.70.8，0.80.7②30.8与30.7 ③0.70.1与0.7﹣0.1分析：先分析底数与1的关系，进而确定对应函数的单调性，再比较两个式子指数的大小，由指数函数y=0.7x 为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，，从而可得解：①由指数函数y=0.7x为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，所以，0，70.8＜0.70.7＜0.80.7②∵3＞1，∴y=3x为增函数，又∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7③∵0＜0.7＜1，∴y=0.7x为减函数，又∵0.1＞﹣0.1．∴0.70.1＜0.7﹣0.1．10.解关于x的不等式（1）＞34（2）a2x+1≥a x﹣5分析：（1）直接由指数函数的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解；（2）对a分类讨论，然后由指数函数的单调性化指数不等式为一元一次不等式求解．解：（1）由＞34，得x2﹣3x＞4，解得：x＜﹣1或x＞4．∴不等式＞34的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；（2）当0＜a＜1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≤x﹣5，解得x≤﹣6；当a＞1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≥x﹣5，解得x≥﹣6．∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣6]；当a＞1时，原不等式的解集为[6，+∞）11.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少？x年后的人口是2000年人口的多少倍？解：设经过x年我国人口将达到y亿人，则y=13(1+1%)x（亿人），y÷13=(1+1%)x（倍）。

指数函数常考题型归纳含详解

A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数

高中数学必修基本初等函数常考题型指数函数及其性质

指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数y a x(a0 且 a 1 )叫做指数函数，此中x 是自变量，函数的定义域为R .2．指数函数的图象和性质图象定义域性值域质过定点过点 0,1 即x0 时， y 1单一性是 R 上的增函数是 R 上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的观点【例 1】(1) 以下函数：① y 2 3x；② y3x 1；③ y3x；④ y x3.此中，指数函数的个数是 ()A．0B．1C．2D．3(2) 函数y a 22) a x是指数函数，则(A．a 1或a 3B．a 1C．a 3D．a 0且a 1 [分析](1) ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y3x 1的指数是x1x ，故②不是指数函数；，不是自变量③中， y3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有 3x一项，故③是指数函数；④中， y x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．因此只有③是指数函数．21，因此解得 a 3.(2) 由指数函数定义知a2a0且 a1[ 答案 ] (1)B(2)C【类题通法】判断一个函数能否为指数函数的方法判断一个函数是不是指数函数，其重点是剖析该函数能否具备指数函数三大特点：(1)底数 a 0 ，且 a 1 .(2) a x的系数为1.(3)y a x中“ a 是常数”， x 为自变量，自变量在指数地点上．【对点训练】以下函数中是指数函数的是________( 填序号 ) ．x x2x 1；③y；④ y x x；① y 2 2 ；② y211⑤ y3x3.；⑥ yxx1，故不是指数函数；②中y2x 112x，指数式2x分析：①中指数式 2 的系数不为2的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不知足底数是独一确立的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是独一确立的值，故不是指数函数．故填③ .答案：③题型二、指数函数的图象问题【例 2】(1)如图是指数函数① y a x，② y b x，③ y c x，④ y d x的图象，则 a ，b， c ，d与1的大小关系为()A．a b1c dB．b a1d cC．1a b c dD．a b1d c(2) 函数y a x 3 3 (a0 ，且 a1)的图象过定点________．[分析](1) 由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点 1,0 作直线 x1 ，如下图，在第一象限内直线 x 1 与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1 dc ， b a 1，进而可知a ，b ，c ，d 与 1 的大小关系为b a 1d c .(2) 法一：因为指数函数ya x ( a 0 ，且 a1 ) 的图象过定点 0,1 ，因此在函数ya x 33 中，令 x 3 ，得 y1 3 4 ，即函数的图象过定点 3,4 ．法二：将原函数变形，得y 3 a x 3 ，而后把 y 3 看作是 x 3的指数函数，因此当x 3 0 时， y 31，即 x3 ， y4 ，因此原函数的图象过定点3,4 ．[ 答案 ] (1)B (2)3,4【类题通法】底数 a 对函数图象的影响(1)1a1 时，指数函数的图象底数 a 与的大小关系决定了指数函数图象的“起落”：当“上涨”；当 0 a 1时，指数函数的图象“降落”．(2) 底数的大小决定了图象相对地点的高低：无论是a 1 ，仍是 0a 1 ，在第一象限内底数越大，函数图象越凑近y 轴．当 a b 1时，①若 x 0 ，则 a x b x 1 ； ②若 x0，则 1 b x a x0 .当 1 ab 0 时，①若②若x 0 ，则 1 a x b x 0 ；x0 ，则 b xa x 1 .【对点训练】若函数 ya xb 1 ( a 0 ，且 a1 ) 的图象不经过第二象限，则有 ()A ． a 1且 b 1B ． 0 a 1 b 1且C ． 0a 1且b 0 D ． a 1且 b 0分析：选 D 由指数函数图象的特点可知0 a1时，函数 y a xb 1 ( a 0 ，且 a 1 )的图象必经过第二象限，故清除选项 B 、 C.又函数 ya xb 1 ( a0 ，且 a1 ) 的图象不经过第二象限，则其图象与 y 轴的交点不在 x 轴上方，因此当 x 0 时， ya 0b 10 ，即 b0，应选项 D 正确.题型三、与指数函数相关的定义域、值域问题【例 3】求以下函数的定义域和值域：3x；(2) y12 x(1) y 1 2x 4； (3) y.3[ 解 ] (1) 要使函数式存心义，则1 3x 0 ，即 3x 1 30，因为函数 y 3x 在 R 上是增函数，因此 x 0 ，故函数 y ＝ 1 3x 的定义域为,0 ．因为 x 0，因此 0 3x 1，因此 0 1 3x1 ，因此1 3x0,1 ，即函数 y1 3x 的值域为 0,1 ．1(2) 要使函数式有意义，则 x4 0 ，解得 x 4 ，所以函数 y 2x 4 的定义域为x R x 4 ．11 1因为0 ，因此 2 x 4 1 ，即函数 y 2x 4 的值域为 y y 0且y 1 ．x 42 x(3) 要使函数式存心义，则x 0 ，解得 x0 ，因此函数的定义域为y32 x2x x 021，则函数．而 y3y33x的值域为y y 1 ．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1) 求与指数函数相关的函数的定义域时，第一察看函数是y a x 型仍是 y a f x 型，前者的定义域是 R ，后者的定义域与 f x 的定义域一致，而求 yf a x 型函数的定义域时，常常转变为解指数不等式(组)．(2) 求与指数函数相关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为0,，牢记正确运用指数函数的单一性．【对点训练】x 22x 31的定义域和值域．求函数 y2解：定义域为R .x 22 x 34∵ x 224 4，∴1116 .2x 3 x 122x 22 x 3x 22 x 3又∵1 0 ，∴函数 y1 的值域为0,16 ．22【练习反应】1．已知 1 n m0 ，则指数函数① y m x ，② y n x 的图象为 ()分析：选 C 因为0 mn 1 ，因此 y m x 与 y n x 都是减函数，故清除A 、B ，作直线 x1 与两个曲线订交，交点在下边的是函数ym x 的图象，应选 C.2．若函数 y 1 2a xa 的取值范围为 ()是实数集 R 上的增函数，则实数A.1 , B ．,02C.,1D.1 , 1222分析：选 B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 R 上的增函数，因此底数 1 2a 1，解得 a0 .3．指数函数 y f x 的图象过点 2,4 ，那么 f 2 f 4________.分析：设 f x a x ( a0 且 a 1 ) ，又 f2 a 2 4 ，∴ f 2 f 4 a 2 a 4 4 4243 64 .答案：64x4．函数 fx1 1 ， x1,2 的值域为 ________．32，∴11 x分析：∵1 x3 .938x∴1 12 .9 3∴值域为8,2 .9答案：8, 295．已知函数 f x a x 1 ( x 0 ) 的图象经过点2, 1 ，此中 a0 且 a 1.2(1) 求 a 的值；(2) 求函数 y f x ( x 0 ) 的值域．解： (1) 因为函数图象过点2,1，2因此 a 211 ，则 a 1 .2 21 x 1(2)f x(x 0 ) ，2由 x0 得， x 11 ，1 x11于是1 2 .22因此函数的值域为0,2 ．。

根据指数函数知识点及题型归纳总结

根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。

- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。

- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。

3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。

4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。

5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。

- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。

二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。

2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。

- 比较多个指数函数的增长趋势。

- 求解包含指数函数的方程或不等式。

3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。

4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。

总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。

通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。

高一数学指数函数题型

指数函数是基本初等函数之一，以下是一些常见的高一数学指数函数题型：
1.
求定义域和值域：确定函数的定义域和值域，包括对底数的限制和指数的取值范围进行分析。

2.
指数函数的图像：绘制指数函数的图像，包括通过描点法或使用函数绘图软件来观察函数的性质，如单调性、奇偶性等。

3.
比较大小：比较指数函数值的大小，利用指数函数的单调性进行大小关系的判断。

4.
指数函数的复合函数：涉及指数函数与其他函数的复合，如指数与一次函数、二次函数等的复合。

5.
指数函数的求值：给定函数值或自变量的值，求出对应的指数函数的值。

6.
指数函数的四则运算：进行指数函数的加、减、乘、除运算，需要注意底数不变和指数的运算法则。

7.
指数函数的单调性：判断指数函数在给定区间上的单调性，利用导数或单调性定义进行分析。

8.
指数函数的奇偶性：判断指数函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行分析。

这些题型涵盖了高一数学中指数函数的基本概念、性质和应用。

通过练习这些题型，可以帮助学生深入理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，以及运用指数函数解决实际问题的能力。

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指数函数题型总结:题型一. 比较大小例1：已知函数满足, 且, 则与的大小关系是_____．小练: 1.比较下列各组数的大小:（1）若/ , 比较/ 与/ ；（2）若/ , 比较/ 与/ ；（3）若/ , 比较/ 与/ ；（4）若/ , 且/ , 比较a 与b ；（5）若/ , 且/ , 比较a 与b ．2.曲线/ 分别是指数函数/ ,/ 和/ 的图象,则/ 与1的大小关系是 ( ).(题型二. 求解有关指数不等式例2 已知, 则x 的取值范围是___________.小练3: 5、设, 解关于的不等式.题型三. 求定义域及值域问题例3 求函数的定义域和值域.小练4: 求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.小练5.若函数的定义域为R, 则实数的取值范围 .题型四. 最值问题例4 函数在区间上有最大值14, 则a 的值是_______.小练6.若函数, 求函数的最大值和最小值.小练7、已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14, 求a 的值.题型五. 解指数方程例5 解方程.题型六. 图像及图象变换例6 为了得到函数的图象, 可以把函数的图象（）.A. 向左平移9个单位长度, 再向上平移5个单位长度B. 向右平移9个单位长度, 再向下平移5个单位长度C. 向左平移2个单位长度, 再向上平移5个单位长度D. 向右平移2个单位长度, 再向下平移5个单位长度小练8、若函数的图像经过第一、三、四象限, 则一定有（）A. B C. D.小练9、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______________.小练10、函数在R 上是减函数, 则的取值范围是（）A. B. C. D.小练11、当时, 函数的值总是大于1, 则的取值范围是_____________题型七、定点问题例7、函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________.题型八、函数的奇偶性问题小练12.如果函数在区间上是偶函数, 则=_________A 、小练13.函数是（）奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数小练14、若函数是奇函数, 则=_________题型九、单调性问题小练14.函数的单调增区间为_____________.小练15.函数在区间上的最大值比最小值大, 则=__________.小练16.函数在区间上是增函数, 则实数的取值范围是 ( )A.[6,+....B...C....D.题型十、指数函数性质综合问题例8（1）已知是奇函数, 求常数m 的值；（2）画出函数的图象, 并利用图象回答：k 为何值时, 方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？小练17、求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x 的单调区间.小练18、已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.小练19、定义在R 上的奇函数有最小正周期为2, 且时,（1）求在[－1, 1]上的解析式；（2）判断在（0, 1）上的单调性；（3）当为何值时, 方程=在上有实数解.小练20、函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( )答案：例1: 解: ∵, ∴函数的对称轴是. 故, 又, ∴.∴函数在上递减, 在上递增. 若, 则, ∴；若, 则, ∴. 综上可得, 即.小练1: 解: （1）由/ , 故/ , 此时函数/ 为减函数. 由/ , 故/ .（2）由/ , 故/ . 又/ , 故/ . 从而/ .（3）由/ , 因/ , 故/ . 又/ , 故/ . 从而/ .（4）应有/ . 因若/ , 则/ . 又/ , 故/ , 这样/ . 又因/ , 故/ . 从而/ , 这与已知/ 矛盾.（5）应有/ ．因若/ , 则/ ．又/ , 故/ , 这样有/ ．又因/ , 且/ , 故/ ．从而/ , 这与已知/ 矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.2、首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选例2: 解: ∵, ∴函数在上是增函数,∴, 解得. ∴x 的取值范围是. :小练4解：(1)∵x -3≠0, ∴y ＝2的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵≠0, ∴2≠1,∴y ＝231 x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝. (2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.例3解: 由题意可得, 即, ∴, 故. ∴函数的定义域是.令, 则, 又∵, ∴. ∴, 即.∴, 即. ∴函数的值域是.例4: 解: 令, 则, 函数可化为, 其对称轴为.∴当时, ∵, ∴, 即. ∴当时, .解得或（舍去）；当时, ∵, ∴, 即,∴ 时, , 解得或（舍去）, ∴a 的值是3或.小练7解: , 换元为, 对称轴为.当, , 即x=1时取最大值, 解得 a=3 (a= －5舍去)例5 解: 原方程可化为, 令, 上述方程可化为, 解得或（舍去）, ∴, ∴, 经检验原方程的解是.例6解：∵, ∴把函数的图象向左平移2个单位长度, 再向上平移5个单位长度, 可得到函数的图象, 故选（C ）．例8、解: （1）常数m=1（2）当k<0时, 直线y=k 与函数的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时, 直线y=k 与函数的图象有唯一的交点, 所以方程有一解;当0<k<1时, 直线y=k 与函数的图象有两个不同交点, 所以方程有两解。

指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)

指数函数及其性质知识点一指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结底数 a >1 0<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数函数在定义域R 上为减函数题型一指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（）； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。

(完整版)指数函数及其性质习题(含答案)

指数函数及其性质习题（含答案）一、单选题的图象可能是( ) 1．在同一坐标系内，函数y=x a(a≠0)和y=ax+1aA．B．C．D．−1，若f(a)=1，则f(−a)=（）2．已知函数f(x)=(e x+e−x)ln1−x1+xA．1B．−1C．3D．−33．已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x ＋b的图象大致是( )A．B．.C．D．4．已知a=log40.7，b=log23，c=0.20.6，则a,b,c的大小关系是( )A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c5．函数y=a x+1−3（a>0，且a≠1）的图象一定经过的点是( )A．(0，−2)B．(−1,−3)C．(0，−3)D．(−1,−2)6．在同一坐标系中，函数y=2−x与y=−log2x的图象都正确的是（）A．B．C．D ．7．设a =20.5,b =0.52,c =log 20.5，则a,b,c 的大小关系为A ． c >a >bB ． c >b >aC ． a >b >cD ． b >a >c8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，）A ．B ．C ．D ．9．若a ，b ，c 满足2a =3，b =log 25，3c =2，则（）A ． c <a <bB ． b <c <aC ． a <b <cD ． c <b <a二、填空题10．已知： 12a a -+=，则22a a -+=__________．11．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________． 12．函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.13．求值：2log 323−log 3427−31+log 32=__________．14．函数f(x)=(12)−x2+2x+1的单调减区间为________． 15，.16．计算：． 17．若函数()()23x f x a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________18．已知函数()x f x a b =+ ()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．三、解答题19．（1）计算：(−3)−(1−0.5−2)÷(338)13；（2）已知a =log 32,3b =5用a,b 表示log 3√30．20．(1)(2)已知15a a-+=,求22a a -+和.21．计算：（1）)213013210.027163217---⎛⎫--+-+⋅ ⎪⎝⎭. （222．化简求值 (1) (827)23+(0.008)−23×225(2) 12523+(12)−2−(127)−13+10012+lg3+14lg9−lg √3lg81−lg2723．已知定义在R 上的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．⑴求a ， b 的值，并判断函数f(x)在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．24．若函数f(x)=a x −1(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值.25．（本小题满分10分）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．（1）求实数k 的值;（2）设g(x)=log 4(a ⋅2x +a),若f(x)= g(x)有且只有一个实数解,求实数a 的取值范围．26．计算：(1) (−338)−23+0.002−12−10(√5−2)−1+(√2−√3)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06. 27．已知f(x)=4x−1−2x +5,x ∈[−2,2]．（1）求f(x)的值域．（2）若f(x)>3m 2+am +2对任意a ∈[−1,1]和x ∈[−2,2]都成立，求m 的取值范围．28．计算下列各式的值;(1)(2)参考答案1．B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若a>0,y=x a在(0,+∞)递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a>0时，不合题意；若a<0，y=x a在(0,+∞)递减，可排除C,D选项，由y=ax+1a递减可排除A，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→0+,x→0−,x→+∞,x→−∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．D【解析】分析：先化简f(a)=1得到(e a+e−a）ln1+a1−a=−2，再求f(−a)的值.详解：由题得(e a+e−a）ln1−a1+a −1=1,∴(e a+e−a）ln1−a1+a=2,∴−(e a+e−a）ln1+a1−a=2,∴(e a+e−a）ln1+a1−a=−2.所以f(−a)=(e−a+e a）ln1+a1−a−1=−2−1=−3.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.3．D【解析】【分析】根据二次函数的图象得到−1<b<0,a>1,继而得到g(x)=a x+b的图象经过一二三象限，问题得以解决.【详解】因为a,b 是二次函数的零点，由二次函数f (x )=(x −a )(x −b )（其中a >b ）的图象可知−1<b <0,a >1，所以g (x )=a x +b 的图象经过一二三象限，只有选项D 符合题意，故选D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4．B【解析】【分析】利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。

指数函数例题

指数函数例题摘要：1.指数函数的概念及性质2.指数函数的图像与函数关系3.指数函数的例题解析4.解题技巧与方法总结正文：一、指数函数的概念及性质指数函数是数学中的一种重要函数，一般形式为y = a^x，其中a 为常数，x 为自变量。

根据a 的取值不同，指数函数可分为以下三种类型：1.当a > 1 时，函数图像为增函数，即x 增大，y 也增大。

2.当0 < a < 1 时，函数图像为减函数，即x 增大，y 减小。

3.当a = 1 时，函数为恒等函数，即y = x。

二、指数函数的图像与函数关系指数函数的图像通常为一条直线，其中a 为斜率，x 为横坐标，y 为纵坐标。

根据a 的取值不同，图像的斜率和走势也会发生变化。

通过观察图像，可以更好地理解指数函数的增减性质，进而解决相关问题。

三、指数函数的例题解析1.求解指数方程：已知y = 2^x，求x 当y = 4 时。

解析：将y = 4 代入原方程，得到4 = 2^x，解得x = 2。

2.求解指数不等式：已知y = (1/2)^x，求解不等式y > 1/4。

解析：将y > 1/4 代入原方程，得到(1/2)^x > 1/4，解得x < 2。

3.求解指数函数的零点：已知y = a^x，求解方程a^x = 0。

解析：由于a^0 = 1，所以当a ≠ 1 时，方程a^x = 0 的解为x = 0；当a = 1 时，方程无解。

四、解题技巧与方法总结1.熟练掌握指数函数的性质，如增减性、奇偶性等。

2.了解指数函数的图像特点，如直线、斜率等。

3.运用代入法、换元法、分类讨论等方法求解指数函数问题。

4.灵活运用指数函数的性质和解题技巧，解决实际问题。

通过以上步骤，我们可以更好地理解和掌握指数函数的相关知识，为后续学习打下坚实基础。

指数函数及其性质(含解析、答案)

A 基础练习2.1.2指数函数（1时） 1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝2－x D ．y ＝1x【解析】 y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x，符合指数函数的定义，故选C.【答案】 C 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．a>0且a ≠1B ．a>3C ．a<3D ．2<a<3【解析】由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，∴a －2>1，∴a>3，故选B. 【答案】 B 3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a ＝5－12∈(0,1)，故a m >a n ⇒m<n. 【答案】 m<n4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．【解析】设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，由题意得a 2＝4，∴a ＝2，∴f(x)＝2x ， ∴f(－3)＝2－3＝18.B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)【解析】由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x－2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．【答案】 D2．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数【解析】因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．由图象可知答案显然是D. 【答案】 D3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝21x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫122－x【解析】在A 中，∵1x ≠0，∴21x≠1，即y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0，∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)．在C中，∵2x >0，∴2x ＋1>1.∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x>0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D 4．方程4x －1＝116的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.【答案】 (0,1)6．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫132≤⎝⎛⎭⎫13x ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.【答案】 [－89，2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域．【解析】 (1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，19，所以a 4－2＝19＝⎝⎛⎭⎫132，∴a ＝13，(2)f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －2(x ≥0)，由x ≥0，得x －2≥－2， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －2≤⎝⎛⎭⎫13－2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]． 8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|； (4)y ＝－2x .【解析】如图所示．y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的；y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.2.1.2指数函数（2时） A 基础练习1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 【解析】因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝⎛⎭⎫14b <⎝⎛⎭⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a .由0<a<b<1知0<a b <1.∵⎝⎛⎭⎫a b a <⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C. 也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 2，∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a ≥6. ∴a 的取值范围是a ≥6. B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.()1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1.又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝⎛⎭⎫1a 1－2x(a>0且a ≠1)．【解析】原不等式可以化为a 2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x . (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x＋3x ＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增，即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。

对指数函数及其性质经典题型总结

对指数函数及其性质经典题型总结指数函数是数学中常见的一类函数，具有一些独特的性质。

本文对指数函数及其性质的经典题型进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用指数函数。

一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为变量的数学函数，可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为指数。

二、指数函数的性质1. 指数函数的图像特点- 当a>1时，指数函数呈现递增的趋势，图像从左下向右上倾斜。

- 当0<a<1时，指数函数呈现递减的趋势，图像从左上向右下倾斜。

- 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线。

2. 指数函数的基本性质- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。

- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加。

- (a^m)^n = a^(m*n)，同底数相乘，指数相乘。

- (a*b)^n = a^n * b^n，底数相乘，指数不变。

- (a^n)^m = a^(n*m)，指数相乘，底数不变。

三、指数函数的经典题型1. 指数函数的求值问题- 根据指数函数的定义，计算给定指数函数的特定值。

2. 指数函数的图像问题- 根据指数函数的性质和底数的取值范围，画出指数函数的图像。

3. 指数函数的运算问题- 根据指数函数的性质，进行指数函数的加法、减法、乘法和除法运算。

4. 指数函数的应用问题- 利用指数函数的性质，解决实际生活中的问题，如人口增长、物质衰变等。

四、总结指数函数是数学中重要且常用的一类函数，具有特定的图像特点和基本性质。

熟练掌握指数函数的经典题型可以帮助我们更好地应用指数函数解决问题。

文档总字数：XXX字。

高中数学指数函数的性质及相关题目解析

高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。

指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。

2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。

3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。

4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。

5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。

二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。

解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。

例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。

根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。

同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。

此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。

2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。

解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。

由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。

指数函数专题训练

指数函数专题训练1. 指数函数的定义和特性- 指数函数可以用如下形式表示：f(x) = a^x，其中a是一个常数，称为底数，x是指数。

- 指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。

- 当底数a大于1时，指数函数是增长函数；当0 < a < 1时，指数函数是减少函数。

- 指数函数的图像为一个逐渐增长或减少的曲线，且不会与x 轴相交。

- 指数函数有以下的性质：- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。

- a^x * a^y = a^(x+y)，指数相加时，底数相乘。

- a^x / a^y = a^(x-y)，指数相减时，底数相除。

2. 指数函数的图像和性质探究- 结合实际情境，探究指数函数的图像和性质。

例如，比较a 为2和a为0.5时的指数函数图像，观察它们的变化趋势。

- 使用计算工具绘制指数函数的图像，并根据图像，讨论指数函数在不同区间上的增长或减少速度。

- 研究指数函数的性质，例如指数函数的导数和二阶导数，沿着它的图像观察变化趋势，并探究导数和二阶导数与指数函数相关的规律。

3. 指数函数的应用- 研究指数函数在实际问题中的应用，如金融领域中的复利计算，人口增长模型等。

- 研究指数函数在自然科学中的应用，如放射性衰变的模型，生态系统中的物种扩张模型等。

- 研究指数函数在工程领域中的应用，如电路中的电流增长和衰减模型，生物医学工程中的光强度计算模型等。

4. 指数函数的变形和拓展- 研究具有不同底数和指数的指数函数，探索它们的图像和性质。

- 研究含有常数和其他函数的指数函数，例如f(x) = a^x + b，探讨对图像和性质造成的影响。

- 考虑复数底数和指数的指数函数，研究它们的图像和性质。

5. 指数函数的计算和求解问题- 学习如何计算和化简含有指数函数的复合函数。

- 学习如何解指数函数的方程和不等式，例如a^x = b，a^x > b 等。

- 学习如何利用指数函数求解实际应用问题，例如利用指数函数计算复利、模拟人口增长等。

例析指数函数的图像与性质问题

ʏ欧阳亮指数函数是高中数学的重要内容,也是高考的考查重点㊂下面举例分析指数函数的图像与性质的常见题型,供大家学习与提高㊂题型1:根据函数判断图像例1已知1>n>m>0,则指数函数:①y=m x,②y=n x的图像为()㊂解:由0<m<n<1,可知y=m x与y= n x都是减函数,排除A,B㊂对于C,D,作直线x=1与两个图像相交,交点在下面的是函数y=m x的图像㊂应选C㊂评注:识别函数图像可从以下几个方面入手:(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置,从函数的值域,判断图像的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性;(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复;(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像㊂题型2:函数的图像恒过定点例2函数f(x)=a x-2021+2022(a> 0,且aʂ1)恒过的定点为㊂解:函数y=a x(a>0,且aʂ1)的图像恒过定点(0,1)㊂令x-2021=0得x= 2021,所以f(2021)=1+2022=2023㊂故函数f(x)=a x-2021+2022(a>0,且aʂ1)恒过定点为(2021,2023)㊂评注:本题也可令a=2和a=4,得到两个关于x,y的方程,解出方程组可得图像经过的定点坐标㊂题型3:求参数的取值范围例3若分段函数f(x)=a(x-1)+1,x<-1,a-x,xȡ-1{(a>0,且aʂ1)是R上的单调函数,则实数a的取值范围是()㊂A.0,13() B.13,1()C.0,13(]D.13,1[)解:当a>1时,f(x)在(-ɕ,-1)上是增函数,在[-1,+ɕ)上是减函数,则函数f(x)在R上不是单调函数,可知a>1不合题意;当0<a<1时,f(x)在(-ɕ,-1)上是增函数,在[-1,+ɕ)上是增函数㊂因为f(x)在R上是单调函数,所以a(-1-1)+1ɤa-(-1),解得aȡ13㊂又0< a<1,所以13ɤa<1㊂应选D㊂评注:对数函数的底数中含有参数,解题时要注意分类讨论,且分类要全面,做到不重不漏㊂题型4:利用图像比较大小例4已知实数a,b满足等式2a=3b,给出下列五个关系式:①0<b<a,②a<b< 0,③0<a<b,④b<a<0,⑤a=b㊂所有可能成立的关系式的序号为㊂解:在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x,g(x)=3x的图像,如图1所示㊂图1由图可知,当直线A B位于y=1下方5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年11月Copyright©博看网. All Rights Reserved.时,交点A,B的函数值相等(2a=3b),但a< b<0,②正确㊂当直线C D位于y=1上方时,交点C,D的函数值相等(2a=3b),但0< b<a,①正确㊂当a=b=0时,2a=3b=1,⑤正确㊂答案为①②⑤㊂评注:比较指数式的大小的两种方法:当底数相同时,运用指数函数的单调性求解;当底数不同时,利用一个中间量做比较进行求解,或借助于同一坐标系中的图像求解㊂题型5:指数函数图像的平移变换例5为了得到函数y=e x-3+1的图像,只需把函数y=e x的图像上所有的点()㊂A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度解:函数y=e x的图像向右平移3个单位长度到得函数y=e x-3的图像,再向上平移1个单位长度得到函数y=e x-3+1的图像㊂应选A㊂评注:把y=f(x)的图像向左平移a (a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)的图像;把y=f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x-a)的图像;把y=f(x)的图像向上平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x)+a的图像;把y= f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x)-a的图像㊂题型6:求函数的单调区间例6函数f(x)=13()-x2+2x+1的单调减区间为㊂解:设u=-x2+2x+1㊂因为函数y= 13()u在R上为减函数,所以f(x)= 13()-x2+2x+1的减区间即为函数u=-x2+ 2x+1的增区间㊂又因为u=-x2+2x+1的增区间为(-ɕ,1],所以函数f(x)的减区间为(-ɕ,1]㊂评注:求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域㊁单调区间㊁最值等问题时,都要借助同增异减的法则进行判断㊂1.若函数y=a x+b-1(a>0,且aʂ1)的图像经过第二㊁三㊁四象限,则一定有()㊂A.0<a<1,且b>0B.a>1,且b>0C.0<a<1,且b<0D.a>1,且b<0提示:由题意得0<a<1,f(0)<0,{由此代入得0<a<1,1+b-1<0,{所以0<a<1,b<0㊂{应选C㊂2.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+ 1),且当xɪ[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=110()x在xɪ[0,4]上解的个数是㊂提示:由f(x-1)=f(x+1),把x用x+1替代得f(x)=f(x+2),可知函数f(x)的周期T=2㊂当xɪ[0,1]时,f(x)=x,由f(x)是偶函数且周期为2,可作出函数f(x)的图像以及函数y=110()x的图像,如图2所示㊂图2由图可知,关于x的方程f(x)=110()x 在xɪ[0,4]上解的个数是4㊂编者注:本文依托于河南省教育科学十三五规划课题新课程理念下中学生批判性思维能力培养策略研究 ,编号:2020Z J30㊂作者单位:河南大学附属中学(责任编辑郭正华)6数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年11月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。