指数函数及其性质常见题型

――习题课题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、含指数函数的复合函数的定义域

（1）由于指数函数y=a x a . 0,且a=1的定义域是R，所以函数y=a fx的定义域与f x的定义域相同.

（2）对于函数y =f a x a . 0,且a=1的定义域，关键是找出t = a x的值域哪些部分y = f t的定义域中•

2、含指数函数的复合函数的定义域

（1）在求形如y =a f（x ）（a a 0,且a式1 ）的函数值域时，先求得f（x）的值域（即t= f（x ）中t的范围），再根

据y =a t的单调性列出指数不等式，得出a t的范围，即y = a f x的值域.

（2）在求形如y二f a x a 0,且a=1的函数值域时，易知a x 0 （或根据y二f a x对x限定的更加具体的范围列指数不等式，得出a x的具体范围），然后再［0, •二上，求y = f t的值域即可.

【例】求下列函数的定义域和值域.

1 _____________________________________________________

（1）y =0.4刁；（2）丫=3航；（3）y=€1—a x.

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式

广1屮4 2

1例,（1）解不等式匕厂2；（2）已知严匕%〉。*），求x的取值范围

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值•需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论

【例】函数fx二a x a 0,a -1在1,2 1上的最大值比最小值大 -，求a的值.

2

题型四：与指数函数有关的单调性

1、研究形如y =a fx a 0,且a=1的函数的单调性时，有如下结论：

（1 ）当a 1时，函数y二a f x的单调性与f x的单调性相同；

（2）当0 ：：：a 1时，函数y二a f x的单调性与f x的单调性相反.

2、研究形如y二「a x a 0,且a =1的函数的单调性时，有如下结论：

（1）当a 1时，函数y = a^的单调性与y = t的单调性相同；

（2）当0 ：：：a 1时，函数y二a x的单调性与y二t的单调性相反

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域

【例】1.已知a 0,且a=1，讨论fx A a^3x2的单调性.

(1 )把y 二a x 的图像向左平移b 个单位，则得到

y = a x 力的图像; (2)把y =a x 的图像向右平移b 个单位，则得到

y =a x "的图像; x x 2.求下列函数的单调区间

题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明

, 1

【例】1.已知函数f x x

a 为奇函数，则a 的值为

3X +1 1

2. 已知函数fx =a -x ・R 是奇函数，则实数 a 的值为

1 +2X

1 1

3.已知函数f x 二•丄a • 0,a =1 ,判断函数f x 的奇偶性.

a x -1 2

题型六：图像变换的应用

1、平移变换：若已知 y =a x 的图像,

(1)

X 2 松 _3 y =a ； 1 0.2X -1

（4）把y =a x的图像向下平移b个单位，则得到y =a x _b的图像.

2、对称变换：若已知y二a x的图像，

（1）函数y二a x的图像与y二的图像关于y轴对称；

（2）函数y =a x的图像与y=-a x的图像关于x轴对称；

（3）函数y =a x的图像与y二-a」的图像关于坐标原点对称.

【例】1•画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y=2x的图像经过怎样的变换得到的.

① y 二鸟乂」：② 丫=2% +1 :③ y=2 丨；④ 丫=2*一1 二⑤ y = 一2乂； @ y = 一2»

3.若直线y =2a与函数y = a x -1 +1 （a >0,且a式1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是 _______ . _______

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