固体物理学：第四章 能带理论

例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一 能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 N(2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
解定态薛定格方程，可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。
能带 (energy band)
晶体中的电子能级 有什么特点？
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
3. 电子与电子之间的作用
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理步骤：
第一步简化 —— 绝热近似 离子实质量比电子大，运动慢，离子固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法 多电子问题简化为单电子问题，每个电子在离子势场 和其它电子的平均场中运动。
第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
在不同的能带计算模型和方法中,采取的理论框架相 同，只是选取不同的函数集合。
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
单电子近似最早用于研究多电子原子，称为哈特里 ----福克自洽场方法。
第四章 能带理论
晶体的周期性结构决定了声子的色散关系。周期 性结构导致晶体中的电子处于周期性（而不是恒定的） 的势场之中。20世纪30年代，布洛赫和布里渊等人 研究了在周期性势场中运动的电子性质，为固体物理 奠定了基础。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由 于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每 一个能级,在晶体中变成了N条靠得很近的能级,称 为能带。
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。
从多体问题的角度,电子之间的相互作用不能简单地用 平均场代替;
金属中的价电子系统，不能用电子气来描述了, 必须把 价电子系统看成量子液体。
4. 电子与晶格之间的作用
电子和晶格相互作用，在离子晶体中电子的运动 会引起周围晶格畸变，电子带着这种畸变一起前进 的， 电子不再是在周期场中的运动。
能带理论的出发点：电子不再束缚于个别的原子， 而在整个固体内运动，即共有化电子。
共有化电子的运动状态：假定原子实处在平衡 位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰。
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场具有周期性
电子在晶格周期性的等效势场中运动的波动方 程为：
晶格周期性势场
电子受wenku.baidu.com周期性势场的作用。