土木工程制图第三章点,直线和平面的投影
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工程制图 第三章 投影法及点线面投影
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图 Nhomakorabea一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
d′
B C c D d
O
c
b
b H
两直线相交吗？ 不相交！
为什么？ 交点不符合一个点的投影规律！
工程图学基础/机械设计制图
b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
工程图学基础/机械设计制图 1）投影面平行线
工程制图第3章 点、直线和平面的投影
W X
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
土木工程制图第3章点直线平面的投影
3.2 直线的投影
图3-29 判断两侧平线是否平行
3.2 直线的投影
2.两条直线相交
(1)若两条直线的三组同面投影都相交，且交点的投影符合点
(2)如果两条直线均为一般位置直线，只要有任意两组同面投 影相交，且交点符合点的投影规律，则这两条直线在空间相交。
(3)两条直线中有一条直线平行于某一投影面，则需画出两条 直线在该投影面上的投影来判断其是否相交，或者通过定比性来 判断。
作图步骤如图3-36(b) (1)从图3-36(a)可知AB为水平线，所以过点c向ab作垂线，得垂 足d，过d向上作联系线，交a′b′于点d′，连接c′d′ (2)cd为距离的水平投影，c′d′为距离的正面投影，可利用直角三 角形法求距离的实长，过点d在ab上截取dD0等于C、D两点的Z轴 坐标差，连接cD0，则cD0即为点C到水平线AB的距离。
(1)侧面投影反映实 长，与Y轴夹角为α， 与Z轴夹角为β。
(2)正面投影平行于 Z轴。
(3)水平投影平行于 Y轴。
3.2 直线的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
(1)在α所存在的直角三角形中，α所相邻的一条直角边为 H面投影长，所对应的直角边为Z坐标差ΔZ，如图3-23(a)所示。
(2)在β所存在的直角三角形中，β所相邻的一条直角边为 V面投影长，所对应的直角边为Y坐标差ΔY，如图3-23(b)所示。
作图步骤如图3-37(b) (1)在水平投影图上过d点(也可是cd上的其他点)作ab的垂直线(也 可过ab上的任意一点作cd的垂直线)，交ab于e点。连接d、e两点 得公垂线DE的水平投影de。由e点垂直向上作投影联系线，交a′b′ 于点e′，连接点d′、e′得公垂线DE的正面投影d′e′ (2)已知公垂线DE的两面投影，即可利用直角三角形法求出公垂线 DE的实长。
《土木制图技术》点直线和平面的投影节
点在平面上的投影
直线在平面上的投影
• 定义：指空间点在平面上的投影 。
• 投影特点：点在平面上的投影是 该点与平面交线的交点。
• 投影规律：点在平面上的投影仍 然保持原点与投影面的距离不变 。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 定义：指空间直线在平面上的投 影。
• 投影特点：直线在平面上的投影 为直线的斜线段。
• 投影规律：直线的投影与原直线 的夹角保持不变，且投影长度与 原直线长度成比例。
《土木制图技术》点直线和平面的 投影节
目录
• 投影的基本知识 • 点、直线和平面的投影 • 点、直线和平面间的位置关系 • 平面立体的投影 • 平面立体的尺寸标注
01
投影的基本知识
投影的概念与分类
投影的定义
投影是指将三维空间的物体通过一定的光线投射到二维平面 上，得到物体的平面表示。
投影的分类
05
平面立体的尺寸标注
平面立体的尺寸种类及标注方法
水平投影和垂直投影的尺寸
平面立体的水平投影和垂直投影的尺寸标注包括长、宽和高三个方向上的尺寸。
局部投影的尺寸
平面立体的局部投影的尺寸标注包括斜面和圆柱等局部结构的尺寸。
定位尺寸
平面立体的定位尺寸标注包括确定平面立体各面的位置的尺寸。
平面立体尺寸标注的规则和方法
中心投影法
将物体放在一个中心点上，通过该中心点作多个 互相垂直的投影线，分别与物体相交得到多个交 点，然后将这些交点连接起来得到物体的中心投 影图。
斜投影法
将物体放在一个投影面内，用一个斜面与该投影 面相交，交线为斜投影线，然后沿着斜投影线将 物体投影到投影面上，得到物体的斜投影图。
透视投影法
将物体放在一个透视投影面上，用一个假想的光 源从该面的一个或多个位置向物体投射光线，然 后将光线与物体相交得到的交点连接起来得到物 体的透视投影图。
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等； 各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
土木工程制图讲义点线面投影篇3
第二章
点、直线、面的投影 (3)
一、点的投影规律
Z
a ●
az
a
●
X ax a●
O
Y
ay
ay
Y
Z
V
a ●
az
X
yA A
ax
●
xA
O
a● zA
H
●a W ay
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=A到V面的距离=yA
aax= aay=A到H面的距离=zA aay= aaz=A到W面的距离=xA
A a
线段实长。坐标差构 △YAB
成的直角边所对锐角
即为线段对该投影面
的倾角。
b'
△ZAB
B
.B
1
O
b
H
二、直角三角形法求实长和倾角
求AB的实长及对V面和H面的倾角。
b'
a0
b'
a' X
b 1O b
a' Xa1
a
b0 a
1. 直角三角形斜边长为实长。
O
b LAB
△YAB .
a’b'
2. 斜边与某个投影之间的夹角，即该直线与投影面的
二、两点的相对位置
Z
▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前 ▲z 坐标大的在上
三、重影点
V
b' X bx
a'
az
A bz
a"
ax
O
W
B a
b H
ay b" by Y
重影点：是位于某一投影面的
V a●
同一条投射线上的空间两点。
点、直线、面的投影 (3)
一、点的投影规律
Z
a ●
az
a
●
X ax a●
O
Y
ay
ay
Y
Z
V
a ●
az
X
yA A
ax
●
xA
O
a● zA
H
●a W ay
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=A到V面的距离=yA
aax= aay=A到H面的距离=zA aay= aaz=A到W面的距离=xA
A a
线段实长。坐标差构 △YAB
成的直角边所对锐角
即为线段对该投影面
的倾角。
b'
△ZAB
B
.B
1
O
b
H
二、直角三角形法求实长和倾角
求AB的实长及对V面和H面的倾角。
b'
a0
b'
a' X
b 1O b
a' Xa1
a
b0 a
1. 直角三角形斜边长为实长。
O
b LAB
△YAB .
a’b'
2. 斜边与某个投影之间的夹角，即该直线与投影面的
二、两点的相对位置
Z
▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前 ▲z 坐标大的在上
三、重影点
V
b' X bx
a'
az
A bz
a"
ax
O
W
B a
b H
ay b" by Y
重影点：是位于某一投影面的
V a●
同一条投射线上的空间两点。
土木工程制图讲义点线面投影篇1
第三章
点、直线和平面的投影 (1)
§3.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点A
P
● a
A●
在P面上的投影。
点的点空在间一位个置投确影定面上 后，的它投在影一不个能投确影定面点上的空 的投间影位时置唯。一确定的。
P
● b
B1
B2
B3 ●
●
●
解决办法？
采用多面投影。
X
●
a
O
X
●
A a a
a
●
O
(3)在第一分角等分面上的点。
V
d ●
=
●D
X
dx
O
=
●
Hd
角等分面的侧面投影?
● d'
=
X
dx
O
=
●d
d dx = ddx
空间点D是等分面上的点，其 到H面、V面的距离相等。
五、两点的相对位置
两相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
a' b'
Z a" b"
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
YH
五、重影点及可见性
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投影面的重影点。
V a●
c'
●A
X ax
O C
a ● (c) H
A、C为H 面的重影点
A、C为哪个投影 面的重影点呢？
a
a
●
●
c ●
● c
a (●c )
点、直线和平面的投影 (1)
§3.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点A
P
● a
A●
在P面上的投影。
点的点空在间一位个置投确影定面上 后，的它投在影一不个能投确影定面点上的空 的投间影位时置唯。一确定的。
P
● b
B1
B2
B3 ●
●
●
解决办法？
采用多面投影。
X
●
a
O
X
●
A a a
a
●
O
(3)在第一分角等分面上的点。
V
d ●
=
●D
X
dx
O
=
●
Hd
角等分面的侧面投影?
● d'
=
X
dx
O
=
●d
d dx = ddx
空间点D是等分面上的点，其 到H面、V面的距离相等。
五、两点的相对位置
两相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
a' b'
Z a" b"
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
YH
五、重影点及可见性
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投影面的重影点。
V a●
c'
●A
X ax
O C
a ● (c) H
A、C为H 面的重影点
A、C为哪个投影 面的重影点呢？
a
a
●
●
c ●
● c
a (●c )
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
工程制图3(点线面体的投影)
b′ A C a c
a″ B b b″ c″
直线、点在平面上
a′ c′ Ｘ c a b
Ｚ a〞 b′ c〞 Ｏ YW b〞
YＨ
例：判断直线、点是否在平面上。
a′ c′ Ｘ c a b b′ Ｏ
例：完成平面ABCDE的投影。
c′ b′ a′ Ｘ b c a b e′ b′ d′ a′ a
c′ d′ e′ e d c
另外两种方法： 解法一: 解法一
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a● 解法二: 解法二 用圆规直接量取a″az=aax 用圆规直接量取 ″
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a●
点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况： 四种位置情况：
V a′ A X aX H a
Z aZ a″ O aY
W
1. 在空间（X，Y，Z） 在空间（
特点： 1.和V.W.H 三 面的关系。 2在三个面 上的特点。
特点： 1.和 V.W.H三 面的关系。 2在三个 面上的特 点。
投影面垂直面投影特性
垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 正垂面：垂直于V 正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜 铅垂面：垂直于H 铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜 侧垂面：垂直于W 侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜 投影面垂直面的投影特性： 投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线， 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投 影轴的夹角， 影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实 倾角. 积聚性） 倾角.（积聚性） 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 类似性） （类似性）。
第三章点、直线、平面的投影
两个点的相对位置
点A在点B的左、前、下方，反过来说，就是点B 在点A的右、后、上方。
五、重影点 [Coincident Points]
共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上 具有重合的投影。这两个点被称为对该投影面的一对重影 点。 重影点的可见性需根据两点不重影的投影的坐标大小来判 断。即： 当两点在V面的投影重合时，需比较其y坐标，y坐标大者 可见； 当两点在H面的投影重合时，需比较其z坐标，z坐标大者 可见； 当两点在W面的投影重合时，需比较其x坐标，x坐标大者 可见。
由上图可知，A点的三个直角坐标xA、yA、zA即为 A点到三个坐标面的距离，它们与A点的投影a、a、 a的关系如下： xA = aza = ayHa =点A与W面的距离aA yA = axa = az a =点A与V面的距离aA
zA = axa = ayWa =点A与H面的距离Aa
三、点的三面投影的投影规律 [The Rules for a Point
图中，a、b重合，从水平和侧面投影可知，A 在前，B在后，即：yA＞yB，所以对V面来说，A可见， B不可见。在投影图中，对不可见的点，需用括号表 示，因此，对不可见点B的V面投影，加括号表示为 (b)。
第二节 直线的投影
Projection of Straight Lines
一、直线投影的基本特性 [General Characteristics of Line Projection]
Projected in The Three-Projection Planes System]
根据以上分析可以得出点的投影规律如下：
（1）aa⊥OX，aza = ayHa = xA。 （2）aa⊥OZ，axa = ayWa = zA。 （3）axa = aza = yA。
第三章_点、直线与平面的投影
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表3－2
投影面垂直线的投影特性
投
影
面
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投 影 特 性
（1）水平投影a(b)成一 （１）正面投影ｃ’ 点，有积聚性 （ｄ’）成一点，有积 （2）ａ’ｂ’＝ａ”ｂ” 聚性 ＝ＡＢ，且ａ’ｂ’⊥ （２）ｃｄ＝ｃ”ｄ” ＯＸ，ａ”ｂ”⊥ＯＹＷ ＝ＣＤ，且ｃｄ⊥ＯＸ， ｃ”ｄ”⊥ＯＺ
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①不在同一直线上的三个点； ②一直线和直线外一点； ③相交两直线； ④平行两直线； ⑤任意平面图形。
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（二） 用迹线表示平面
在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的 迹线。如图4-15所示， 平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线， 用表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用表示；平面 P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用表示。平面P与投影轴的 交点，亦即相邻两迹线的交点，称为迹线集合点，分别用PX、PY、 PZ表示。 如图4-15b所示，在投影图上，通常只标记迹线本身，而不标 出与投影轴重合的另两投影。 特殊位置平面中有积聚性的迹线两 端用短粗实线表示，中间用细实线相连，并标出迹线符号，图415c所示即为用迹线表示的水平面。
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(b)
图3－8直线上点的投影
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例3－3 如图3－9，已知直线AB的两面投影，N点在直线AB上且 分AB为AN∶NB=2∶5，求N点的两面投影。
图3－9
土建工程制图 第3章 点、直线、平面的投影
已知
a'
作图
d'
c'
直线的投影——应用题
3.求直线AB与CD的距离.
c m b' c' a' a' X d' a c(d ) O
X
土木工程制图 习题集
b'
d'
c'
a' X d' a
a
距离
O
c(d )
b
姓名
土木工程制图 习题集
a' a' O b
a'
△
b'
c' b' O
b' X
X
X
b
b
△
c
a a a
20
姓名
C0
直线的投影
直线上点
班级
已知
作图
直线的投影——直线上的点
4.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。
b' a' X
b
土木工程制图 习题集
Z
b' c' a'
YW
Z
a″ c″ b″
45°
X
b
YW
c
a'
d'
a' m' 20 n'
d'
c' X c a
b' O d
X X
c'
b' O
c a m
n
d
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
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土木工程制图
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
。A在B的左、 前、下方
例4：如图，已知点A 的三投影，另一点B在点 A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求点B 的三个投影。
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体 由多个侧面围成，各侧面相 交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点A、B、C…J 等。 如果画出各点的投影，再把 各点的投影一一连接，就可 以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元 素。点的投影规律是点、线、 面投影的基础。
土木工程制图
一、点的单面投影
土木工程制图
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
土木工程制图
a
a
●
●
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上 标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
3.2 直线的投影
土木工程制图
正平线
侧平线
2.投影面垂直线
土木工程制图
(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直， 同时与另外两个投影面平行的直线。
(2)投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线。
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
土木工程制图
b ● a 8
12
X bx
ax
a
10
●
b
Z
bz
b
●
az a
O
by YW
ay
ay by
YH
作图步骤：
1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b；
2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b；
3）按投影关系求得b″。
2.重影点
空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 两点为该投影面的重影点。
3)点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
土木工程制图
Z
a 点A的正面投影
V
a●
a 点A的水平投影 X
A
●
● a
oW
a 点A的侧面投影
a●
H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
土木工程制图
(a) 空间状况
(b) 展开图
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面
侧垂线（垂直于Ｗ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1.投影面平行线
土木工程制图
(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同 时与另外两个投影面倾斜的直线。
(2)投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线。
① 水平线与H面平行同时与V面、W面倾斜。 ② 正平线与V面平行同时与H面、W面倾斜。 ③ 侧平线与W面平行同时与H面、V面倾斜。
(3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线 (b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
a
Xa
水平线
b Z a b
实长
正平线
a Z a
b α γ
b
YW
X
YW
侧平线 实长
一、直线的投影
一般情况下，直线的
1.直线投影的形成 投影仍为直线。
a●
Z ●a
两点确定一条直线，将
b
●
● b 直线上两点的同名投影用直
X
o
a●
YW 线连接起来，就得到直线的 三个投影。
b●
YH
直线的投影规定用粗实线绘制。
直线与投影面的相对位置
土木工程制图
A●
M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
土木工程制图
已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影，已 知点的三面投影，可以量出该点的3个坐标。
例3：已知点A(18，15，20)，作点A的三
面投影图和立体图，如下图所示。
土木工程制图
方法一
方法二
立体图
分析：由于已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影图， 并且点的空间位置可用坐标来确定。
六、空间两点的相对位置
a
Z a
β
b
Xa
α b
YW
βγ
实长 b YH
ba
b
YH
YH
与H面的夹角:α
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
水平线
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
azLeabharlann a●例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影 应在OYH轴上。
五、点的坐标
第3章 点、直线和平面的投影 土木工程制图
教学提示：任何形体，不论其复杂程度如 何， 都可 以看成由空间几何元素点、线、面所组成。 本章主要研究点、各种位置直线、各种位 置平面的投影规律和图示方法，为正确绘 制和阅读形体的投影图打基础。
学习要求：掌握点、直线和平面的投影规律和方法， 在学习的过程中要注意将所学内容与实际 工程结合起来，以加强空间想象能力。
1）过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
2）点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
二.点的两面投影
土木工程制图
点的两面投影规律： 1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。 2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。
(c) 投影图
点的三面投影规律：
(1) 投影之间连系线垂直于投影轴，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。
(2) 点的H面投影a到OX的距离等于点的W面投影a"到OZ轴
的距离，aaX=a"aZ。
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
土木工程制图
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面）
正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）