(完整版)重积分习题及答案
重积分习题三
重积分习题三1、试求函数f(x,y)=xy2在区域D：0≤x≤1,0≤y≤1上的平均值。
2、计算二次积分3、计算二次积分4、计算二次积分5、计算二次积分6、计算二次积分7、计算二次积分8、计算二次积分9、计算二次积分10、计算二次积分11、计算二次积分12、计算二重积分其中D：|x|≤2,|y|≤1.13、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.14、计算二重积分其中D：0≤x≤a0≤y≤b.15、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.16、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.17、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.18、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,0≤y≤2.19、计算二重积分其中D：0≤x≤2,－1≤y≤1.20、计算二重积分其中D：0≤x≤π,0≤y≤.21、计算二重积分其中D：－1≤x≤3,0≤y≤2.22、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤4.23、计算二重积分其中24、计算二重积分其中D：|x|≤π,|y|≤1.25、计算二重积分其中D：|x|≤3,|y|≤1.26、计算二重积分其中D：|x|≤1,0≤y≤1.27、计算二重积分其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。
28、计算二重积分其中D：0≤x≤1,－1≤y≤0.29、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x,0≤x≤π.30、计算二重积分其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。
31、计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。
32、计算二重积分其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.33、计算二重积分其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。
34、计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。
35、计算二重积分其中36、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,1≤y≤1.37、计算二重积分其中D：|x|≤π,0≤y≤1.38、计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。
重积分作业参考解答Word版
第七章 重积分作业参考解答习题7.1 4.（1）解答：在积分区域D 内，12x y ≤+≤，)ln()][ln(,1)ln(2y x y x y x +<+<+∴，故⎰⎰+Dd y x σ)ln(>⎰⎰+Dd y x σ2)][ln( 5.（1） 解答：43422ππ≤+≤y x， 1)sin(2222≤+≤∴y x ，圆环积分区域的面积为2443222πππ=-=S故 2)sin(422222πσπ≤+≤⎰⎰Dd y x 5.（3）解答：80,40≤≤≤≤y x ，16ln )4ln(4ln ≤++≤∴y x ，积分区域的面积为3284=⨯=S故 4ln 132)4ln(116ln 132⨯≤++≤⨯⎰⎰D d y x σ 即2ln 16)4ln(12ln 8≤++≤⎰⎰D d y x σ 习题7.21.（2）解答：原式=dx xe dy yy y ⎰⎰-3123=dx x dy e yy y ⎰⎰-3123=⎰-3122]2[3dy x e yy y⎰=312233dy y e y ⎰=313213dy e y 31][213y e =)(2127e e -= 1.（3）解答：原式=dx x dy y⎰⎰+10131变化积分次序为：原式=dy x dx x ⎰⎰+1321=⎰⋅+1231dxx x=⎰++1033)1(131x d x =10233])1[(3231+⋅x =9224- 2.（2）解答：积分区域如图1，原式=dy xye dx xy ⎰⎰112=)(21210102xy d e dx xy ⎰⎰ =⎰-10)1(21dx e x=10)(21x e x -=)2(21-e2.（4）解答：积分区域如图2：交点为（1，1），（-1，-1），积分区域看做Y 型：2223,11y x y y -≤≤≤≤-原式=dx y y dy y y⎰⎰---1123222)(=⎰---1123222])[(dy x y y yy =⎰---1122)33)((dy y y y =⎰-+--11342)3333(dy y y y y=114253]432353[-+--y y y y =54 2.（6）解答：积分区域如图3： 交点为（2，4），积分区域看做Y 型：y x yy -≤≤≤≤62,40 原式=dx ye dy yy x ⎰⎰-40621.51.00.5图 2图 34 062][dyey yyx=⎰--426][dyeeyyy==⎰-⎰--426](dy ye yee y y=4926--e e3.（1）解答：积分区域如图4， 原式=dx y x f dy y⎰⎰11),(3.（4）解答：积分区域如图5 原式=dx y x f dx dx y x f dx x x x ⎰⎰⎰⎰+211212222),(),(3.（5）解答：积分区域如图6 原式 =dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy y y y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--++2140141111102222),(),(),(8.（2）解答：积分区域}41),{(22≤+≤y x y x 关于y 轴对称，而)sin(2xy 是x 的奇函数，y 的偶函数，故⎰⎰=Dd xy 0)sin(2σ 10.（1）解答：积分区域如图7rdr r r f d dxdy y x f aD⎰⎰⎰⎰=020)sin ,cos (),(θθθπ10.（3）解答：积分区域如图 4图 5图 6图 7图 8图8，rdr r r f d dxdy y x f D⎰⎰⎰⎰+=θθπθθθsin cos 102)sin ,cos (),(11.（2）解答：积分区域如图9，=⎰⎰dy y x f dx xx31),(rdr r r f d ⎰⎰θππθθθcos 134)sin ,cos (11.（3）解答：积分区域如图10，=⎰⎰--dy y x f dx x x211221),(rdr r f d ⎰⎰+1sin cos 1220)(θθπθ12.（3）解答：积分区域如图11，=⎰⎰-dx xy dy y y21220arctan rdr d ⎰⎰⋅140tan arctan θθπ=rdr d ⎰⎰⋅140θθπ=rdr d ⎰⎰140πθθ=642π13.（2）解答：积分区域如图12=++⎰⎰σd y x D2241rdr r d ⎰⎰⋅+202441πθ= 2202404121dr r d ⎰⎰+πθ=202)]4[ln(421r +⋅⋅π=2ln 8π 13.（3）解答：积分区域如图13，=++⎰⎰σd y xD)1ln(22rdr r d )1ln(212⎰⎰+πθ= 221020)1ln(21dr r d ⎰⎰+πθ=})1()]1ln()1{[(2211021022r r r +-++⋅⋅π=π412ln 2-图9图 10图 11图 12图 13图 1414.（1）解答：积分区域如图14， 原式=⎰⎰-xx e edy dx 1=⎰--1)(dx e e x x =21)(10-+=+-ee e e x x 14.（3）解答：积分区域如图15，原式=⎰⎰----2111y y dx dy =⎰---012)(dy y y =0132)32(---y y =61图 1515.（2）解答：积分区域如图16 原式=⎰⎰-------22222211)4)3310((x xdy y x dx =⎰⎰-20220)36(rdr r d πθ=⎰⎰-2320)36(dr r r d πθ=2042)433(2r r -⋅π=π6 16.（2）解答：由题意知积分闭区域在极坐标系上变量范围为,0πθ≤≤,sin 11θ+≤≤r 故 原式=⎰⎰=+Dd yx σ221rdr rd ⎰⎰+⋅θπθsin 1121=⎰πθθ0sin d =216.（3）解答：积分区域如图17，利用极坐标系知变量范围为,20πθ≤≤,10≤≤r图 16原式=⎰⎰=++--Dd yx y x σ222211rdr r r d ⎰⎰⋅+-1222011πθ=21022201121dr r r d ⎰⎰+-πθdttt rt ⎰+-=12114πdt t t ⎰+-=12114πada aa a t cos sin 1cos 4sin 20⎰+=ππda a a ⎰+-=202sin 1sin 14ππ=2020)cos (4)sin 1(4ππππa a da a +=-=⎰=)12(4-ππ习题7.31.（2）解答：由题意知积分闭区域在xoy 坐标面上的投影区域为,10≤≤x ,10x y -≤≤故⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω=xyxdz z y x f dy dx dxdydz z y x f 01010),,(),,(1.（4）解答：空间闭区域在xoy 坐标面上的投影区域为122≤+y x ， 故 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+---Ω-=22222221111),,(),,(x y x x x dz z y x f dy dx dxdydz z y x f2.（1）解答：dz xy dy dx yx x x ⎰⎰⎰+0212=⎰⎰+xxyx dy z xy dx 201][2=⎰⎰+xxdy y x xy dx 21)(2=⎰⎰+xx dy y yx xdx 2210)(2=⎰+10232]3121[2dx y xy x xx =⎰+1033)3723(2dx x x x =⎰+1033)3723(2dx x x x =dx x ⎰104323 =10551323x ⋅=1523 2.（3）解答：⎰⎰⎰-2402sin z ydx z dz dy π=⎰⎰-2402][sin dz x y z dy z π=⎰⎰-202)4(sin dz z z ydy π=⎰--⋅-⋅-2220)4()4(21)cos (z d z yπ图 17=20232])4[(321z -⋅-=316 4.（1）解答：由题意知积分闭区域在yoz 坐标面上的投影区域为,10≤≤z ,20z y ≤≤ 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+Ω+=+zzdx xy z dy dz dxdydz xy z 2022012)()(=⎰⎰⋅+⋅++zz zdy y x x z dz 2020220210])21()([=⎰⎰+++z dy y z z z dz 202210])2(21)2([ =⎰+++102022202])21()2(21))(2([dz y z y z z zz =⎰+++10223])2()2(2[dz z z z z =⎰++1234)483(dz z z z=10345)34253(z z z ++ =1559 4.（3）解答：利用球面坐标，其各变量范围为,22πθπ≤≤-,20πϕ≤≤，10≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅⋅=+++Ω-10222022222sin 1cos cos sin sin sin 1dx r r r r r d d dxdydz z y x xyz ϕϕθϕθϕϕθπππ=⎰⎰⎰+-1025203221cos sin cos sin dx r rd d πππϕϕϕθθθ=⎰⎰+⋅-10252032221cos sin ]2sin [dx r r d πππϕϕϕθ =⎰⎰+⋅1025231cos sin 0dx r r d πϕϕϕ=04.（5）解答：由题意知积分闭区域在xoy 坐标面上的投影区域为,20π≤≤y ,0y x ≤≤故⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω+=+yydz z y x dx dy dxdydz z y x 2020)sin()sin(ππ=⎰⎰⎰⎰=+--yyyydx x dy dx z y x dy 0202020cos )]cos([πππ=⎰⋅2002]21[cos πdy x y y =⎰20cos 21πydy y=}sin ]sin {[212020⎰-ππydy y y =42-π6.（1）解答：积分闭区域如图所示，利用柱面坐标，其各变量范围为,20πθ≤≤,10≤≤r ，222r z r -≤≤，故⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω=2221020r r rzdz dx d zdv πθ⎰⎰--⋅=⋅=-10421022]2[]21[222dx r r r dx z r r r ππππ127)2(1053=--=⎰dx r r r 7.（1）解答：积分闭区域如图所示，利用球面坐标，其各变量范围为,20πθ≤≤,60πϕ≤≤，20≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=++Ω2026020222sin dx r r d d dv z y x ϕϕθππ ⎰⎰⋅=20360sin 2dx r d πϕϕπ =πϕππ)348(][41]cos [220460-=⋅-⋅r 7.（2）解答：积分闭区域如图所示，利用球面坐标，其各变量范围为,20πθ≤≤,20πϕ≤≤，21≤≤r ，故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ω++2122020)(sin cos sin 42222dx r e r d d dv xe r z y x ϕθϕϕθππ⎰⎰⎰⋅213202204sin cos dx r e d d r ππϕϕθθ =212020][41]42sin 21[][sin 4r e ⋅-⋅ππϕϕθ =π1616e e - 8.（1）解答：利用柱面坐标，其各变量范围为,20πθ≤≤10≤≤r ，10≤≤z ，故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ω101020sin cos rdz r r dr d xydv θθθπ=⎰⎰⎰1010320sin cos dz dr r d πθθθ=811]41[]2sin [104202=⋅⋅r πθ 8.（3）解答：积分闭区域如图所示，利用柱面坐标，其各变量范围为,20πθ≤≤20≤≤r ，525≤≤z r ，故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=+Ω5252202022)(r rdz r dr d dv y x πθ =⎰⋅205253][2dr z r r π=⎰⎰-=-⋅2043203)255(2)255(2dr r r dr r r ππ =8π友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。
(整理)重积分典型例题.
重积分典型例题一、二重积分的概念、性质n1、二重积分的概念： f (x, y) d lim0 f ( i, i) iD 0i 1其中：D：平面有界闭区域，：D 中最大的小区域的直径(直径：小区域上任意两点间距离的最大值者)，i ： D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当f(x,y) 0时， f (x, y) d 表示以曲面z f(x,y)为曲顶，DD 为底的曲顶柱体的体积。
所以1 d 表示区域 D 的面积。
D3、性质(与定积分类似) ：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理 (03 年)1、在直角坐标系下计算二重积分(1) 若 D 为X 型积分区域： a x b, y1(x) y y2( x) ，则b y2( x )f(x, y)dxdya dxy(x)f (x, y)dyD a y1( x)2)若 D 为Y 型积分区域： c y d, x1( y) x x2( y) ，则d x2( y)D f(x,y)dxdycdyx1(y)f(x,y)dx3)D 必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则f ( x , y) d x d y ( f , x ) y d x d y ( ,f )x y d x d y( ,f) x y d xD D1 D2 D3、二重积分的计算（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数 在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。
（5）对称性的应用f (x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy, f(x,y)关于y 为偶函数 区域D关于 x 轴对称 D D10， f (x, y)关于y 为奇函数f ( x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy, f (x, y)关于x 为偶函数 区域 D 关于 y 轴对称 D D10， f (x, y)关于x 为奇函数6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算积分 例 1．设 f （x, y ） 为连续函数，交换二次积分1 0 0 0dy f （x,y ）dx dy f （x,y ）dx 的积分次序。
数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分7 n 重积分引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为32221112121)(rdz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Vdz dy dx dz dy dx rx x z y x z y x 22211132122221111))(,,(),,(ρρ.这是在由六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯nnb a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(21212211.3、当V 由不等式组a 1≤x 1≤b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯),,,(),,,(21)()(21121121121211),,,(n n n nx x x b xx x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=),,,(),,,(),,,(2121222111n n n nn x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n nn n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯∂∂∂∂⋯⋯⋯⋯∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂212221212111恒不为零,则有n 重积分换元公式：I= n n n Vdx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=n n n n n Vd d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为△T n =h nn n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211个=h n a n . 其中D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则a n =1211101--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,a n = 12111012)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=na n 1-, 其中D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.当n=1时，a 1=1, ∴a n =!1n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为△V n =R nn n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211221 个=R n b n . 其中b n =121111122121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d nn ξξξξξξξ 个=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---11212)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-01cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin πθθd n . 又⎰20sin πθθd n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π, 及b 1=2, ∴△V n =R nb n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =⎰⎰⎰⎰------⋯⋯πππϕϕϕϕϕϕ20122312102001sin sin sin n n n n n n Rd r d d dr=⎰⎰⎰----⋯πππϕϕϕϕϕ2010220112sin sin n n n n n d d d n R =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=34πR 3.求n 维空间中的曲面面积：设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△⊂R n-1为n 维空间中的曲面，则其面积为 11212111---∆⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎰⋯⎰n n n nn dx dx x x x x 个.例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12121-+⋯+-n x x (2121-+⋯+n x x ≤1), 又21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-n n n x x x x =n x 1, ∴上半球面面积为 21△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰- 个=)(1212111112121---≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰-n n n x x x x dx dx n个=⎰---+⋯+-+⋯+------≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰)(1)(1212112121222122212121)(1n n n x x x x n n n n x x xx dx dx dx个. 又⎰--+⋯+-+⋯+----+⋯+-)(1)(12121122212221)(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21△S=π21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个=πb n-2, 其中b n-2=21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个为n-2维空间中单位球体体积.由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-12!)!12()2(22)!1(2m n ，m m n ，m mmππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.习题1、计算五重积分⎰⎰⎰⎰⎰Vdxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15852r π.2、计算四重积分⎰⎰⎰⎰++++----Vdxdydzdu u z y x u z y x 2222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=⎰⎰⎰⎰+-102123222030201sin sin 11dr r rr d d d ϕϕϕϕϕπππ =⎰⎰+-132011211sin 4dr r r r d πϕϕπ=2π2⎰+-1032211dr r r r =π2(1-4π).3、求n 维角锥x i ≥0,nn a x a x a x +⋯++2211≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =iia x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i ii ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个.由例1得V=!1n a 1…a n .4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分n n n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则nn n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个=⎰⎰⎰⎰⎰------⋯⋯ππππϕϕϕϕϕϕϕ2012231202020101sin sin sin )(n n n n n Rn d d d d dr r f r ,∵⎰π0sin tdt n =2⎰20cos πtdt n =⎪⎭⎫⎝⎛+Γ⎪⎭⎫⎝⎛+Γ2221n n π. ∴原式=⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓR n hdr r f r h 012)(22π.。
10第十章 重积分答案.
第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。
解：由二重积分的几何意义知，解：由二重积分的几何意义知，2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。
解：由知即于是所以于是解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y>1,于是解：在D中，且而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y, 都有故于是3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
解：从而即解：则f(x,y在D上的最大值最小值区域D的面积从而4．设f(x,y为一连续函数，试证：证：由于f(x,y连续，由二重积分中值定理知，存在点，使得所以第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1解：。
(2解：。
解：。
(4解：。
(5解：。
2．画出积分区域，并计算下列二重积分。
(1解：。
解：。
(3解：。
3．将二重积分化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域D是(1解：。
(2解：。
4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。
(1解：(2解：(3解：。
5．设平面板由曲线及直线所围成，质量面密度为，求板的质量。
解：所求板的质量。
6．求由坐标平面、平面、及抛物面所围成的立体体积。
解：立体在xoy面投影区域为，，所求立体体积为。
7．计算二重积分。
其中}。
解：设则8．把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域是：(1 由所围成；(2 圆与圆之间的区域。
解：(1(29．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。
(1 ；解：(1 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是和两者的并集是环形区域在第一象限的部分，于是(2(3 。
10．利用极坐标计算下列各题。
(1 ，其中为的圆域；解：(2 ，其中；解：(3 ，其中；解：(4 ，其中。
解：11．选用适当的坐标计算下列积分。
(1 ，其中是由直线，，，所围成的闭区域；解：选用直角坐标计算二重积分(2 ，其中；解：选用极坐标计算二重积分（另外，本题亦可用对称性计算）(3 ，其中由直线，及上半圆周所围的区域。
重积分练习题含答案
重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。
6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
2,3重积分练习题及思考题(含解答)
u
1
1 1 1
o
v
思考题 计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]dxdy , 其中D是由
y x , y 1, x 1所围成的区域, f是连续函数.
3
D
解 由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
z
法二
( x
2
0
2
y )dv
2
8
2
d d 2
0 2
4
8
1024 dz 3
O
x
y
如此题改为：
这个旋转曲面与平面 2, z 8所围区域 z .
9、练习：被积函数改为e^z, 下题作为思考题！
思考题 计算
2 2
e
2
z2 2
x y
b
x
思考题 设函数f (u)连续,证明 1 f ( x y )dxdy f (u)du
x y 1 1
y o
1 1
证 法一
x y 1
f ( x y )dxdy
f ( x y )dy dx
0 1 1 x x 1
1
x
1
dx
1
0
1
1 2
y x
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
y x2
1
x
2
x
e dy
y x
1
重积分的习题
重积分、第一类积分课外练习题1、利用重积分的几何意义求下列积分值.(1){}222,(,)|DD x y x y R σ=+≤；(2){}2,(,)|1,1,0Dd D x y x y y x y σ=+≤−≤≥∫∫.2、计算下列积分. (1){},(,)|1,1x yDed D x y x y σ+=≤≤∫∫；(2)2,Dx ydxdy D ∫∫由直线1,2y x ==及y x =所围成；(3)cos(),Dx x y dxdy D +∫∫是以点(0,0),(,0)π和(,)ππ为顶点的三角形区域；(4)211 0x dy dx ∫∫；(5)1sin , D ydxdy D y ∫∫是由22y x π=与y x =所围成.3、改变下列二次积分的积分顺序.(1) 10(,)xdx f x y dy ∫∫；(2)1221(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy −+∫∫∫∫4、利用极坐标计算下列二重积分.(1)(4)Dx y dxdy −−∫∫，其中D 是圆域 222x y R +≤；(2)D，其中D 为上半圆域222x y ax +≤；(3)arctanDydxdy x∫∫，其中区域D 是由圆22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限内的部分；(4)122 0 0)dx x y dy +∫∫.5、选择适当的坐标系计算下列二重积分.(1)D，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的区域；(2)()22Dx y dxdy +∫∫，其中D 是由直线,,y x y x a y a ==+=及3y a =所围成的区域，其中0a >.6、已知区域D 是由抛物线22,(0)y px y qx p q ==<<与双曲线,xy a xy b ==所围成，其中0a b <<，试求D 的面积A .7、利用广义极坐标：cos ,sin (0,02,0,0)x ar y br r a b θθθπ==≥≤≤>>计算二重积分2Dx dxdy ∫∫，其中D 为椭圆域22221x y a b +≤.8、设[]()(,)f x C a b ∈，证明： 2 2()()()()b x baaadx x y f y dy b y f y dy −=−∫∫∫.9、证明不等式：2216121655x y ππ+≤≤≤∫∫. 答案：1、(1)223R π；(2) 2.2、(1) 21e e ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠; (2)2915; (3)32π−; (4)1(1)3e −; (5)21π−3、 21 12 0(1)(,),(2)(,)y y y ydy f x y dx dy f x y dx −∫∫∫∫4、 23248233(1)2(2),(2),(3),(4)3323644R Ra a ππππ⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠ 5、4(1)(2),(2)148a ππ− 16()ln 3q b a p−、 374a b π、1、计算下列重积分(1)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω由曲面 z =及 1z =围成；(2)()x y z dxdydz Ω++∫∫∫，(){|0,0,0}x y z x a y z c bπΩ=++≤≤≤≤≤≤；(3) cos xy zdxdydz Ω∫∫∫，其中Ω为抛物柱面y =与平面0,0,2y z x z π==+=所围成的区域；(4) ()222x y z dxdydz Ω++∫∫∫，其中Ω是椭圆面 2222221x y z a b c++=的内部2、选择适当的坐标系计算下列三重积分： (1)Ω∫∫∫，Ω是由圆柱面 2220,0,0x y x y z +−=≥=与 ()0z a a =>所围成的； (2)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω是由曲面 z =及z =所围成；(3)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 222x y z +=及 2z =所围成；(4)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 z z ==及 0z =所围成的区域，其中 0b a <<； (5)∫∫∫， Ω是由球面 2222x y z Rz ++=所围成的区域；(6)()32222sin x y zdxdydz Ω++∫∫∫，Ω是由锥面z =)a 0z =>所围成的；(7)()222222ln 11z x y z dxdydz x y zΩ++++++∫∫∫， ()222{,,|1}x y z x y z Ω=++≤；(8)222dxdydz x y z Ω++∫∫∫，Ω是2221x y z ++≥ 与2229x y z z ++≤的公共部分；(9)1dx∫∫∫；(10) ) 22 0aadx xy dz −+∫∫∫；(11) ()()2222236,{,,|1}94x y x y z dxdydz x y z z Ω++Ω=++≤∫∫∫3、设 ()3(,,)f x y z C R ∈，证明()()()1211ax by cz dxdydz u f ku du πΩ−++=−∫∫∫∫，其中222:1,0,0,0x y z k a b c Ω++≤=>>>答案：1、 22222224(1)();(3)2;(4)()4415abc bca acb abc a b c πππ++−++1;(2)22、 5581648(1);(3);(4)();(5)93155b a πππ−2a ;(2)8； 3280(6)(1cos )1;(7)0;(8);(9)3298a ππ⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠；251864(10);(11)105a ππ1、计算下列曲线积分 (1)∫v 为圆周222x y y +=−；(2)()Lx y ds +∫是连接点(1,0)和点(0,1)的直线段；(3)22()Lx y ds +∫v 为圆周cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤； (4)Lxyds ∫是抛物线22y x =上从原点到点(2,2)的那一段弧；(5)L是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =−=−的第一拱，即对应于02t π≤≤的那一段弧；2、计算下列积分(1)222L ds x y z ++∫为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===从0到2的一段弧；(2) 2Lx yzds ∫为折线ABCD ：(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；答案：1、(1) 8；； (3) 32a π； (5) 23(2)a π.2、(1)2(1)2e −−；(2) 9.1、计算曲面积分(,,)f x y z dS Σ∫∫，其中Σ是抛物面222()z x y =−+，在xy 平面上方的部分，(,)f x y 分别如下：(1)(,,)1f x y z ≡；(2)22(,,)f x y z x y =+；(3)(,,)3f x y z z = 2、计算下列曲面积分(1)xyzdS Σ∫∫w ，其中Σ为四面体1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的整个表面；(2)()xy yz xz dS Σ++∫∫，Σ为圆锥面z =被曲面222x y ax +=所割下的部分；(3)xyz dS Σ∫∫，其中Σ是22z x y =+被平面1z =所割下的部分；答案：1、(1)133π; (2)14930π; (3)11110π2、(1)120 (2)415a (3)1420−。
重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D 的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+D d y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2)()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+D d y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=D d y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--aa x ax x a dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,y dx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-a ay y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+D d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
12．计算⎰⎰+D y x d 22σ，其中D 是圆环域4122≤+≤y x 。
重积分习题与答案
第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的 值则 。
4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分 1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x =a y =所围成1）求物体的体积; 2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=yy dx y x f dy I 311102,的积分次序.5、计算二重积分dxdy x y I D⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域. 7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成.8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域.9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置. 10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-=（设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？第九章 重积分答案 习 题 答 案（A ）1、 填空题 1）①()()⎰⎰⎰⎰-+2120122,,x x dy y x f dx dy y x f dx②()dy y x f dx xx ⎰⎰240, ③()dy y x f dy x⎰⎰110, ④()dy y x f dx x ⎰⎰--21011,⑤()⎰⎰ee ydx y x f dy ,10⑥()⎰⎰-+-244202,x x dy y x f dx2）()4121--e 3)20≤≤I 4)()()⎰⎰⎰⎰+≥+D Dd y x d y x σσ325)2-π 6)⎰⎰⎰---yx x xdz dy dx 21021017)()⎰⎰⎰2224020sin dr r r f d d ϕϕθππ2、1）443a π 2）()[]21ln 2613++a3、1）()14-e π2）()12ln 24-π 3）2643π4、1）49 2）2sin 22cos 1sin 1cos 23--++ 3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313πR 4）()3332a b -π 5、5401π 6、k R arctan 313 7、34 8、27 9、617 10、4323a π 11、1）()dz z y x f dy dx xy x⎰⎰⎰-01010,, 2）()⎰⎰⎰-+----22222221111,,x y x x x dz z y x f dy dx12、23 13、3641 14、481 15、224R h π 16、π127 17、π54 18、1）81 2）548059R π 3）π8 4）()55154a A -π19、1）π332 2）3a π 20、3R k π 21、()222-πa22、π2 23、μ105368=I 24、π34,0by x == 25、4835=x ，5435=y 26、⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0,027、M a 221（ρπh a M 2=为圆柱体的质量） （B ）1、 1）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32 2）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσln ln 22、1）1--e e 2) 613 3) 2494R R ππ+ 3、1）()⎰⎰--=220,x r rr dy y x f dx I ，()⎰⎰---=2222,0y r y r rdx y x f dy I2）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------++=222222141141114412,,,x x x x x x dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx I()⎰⎰---+224421,x x dy y x f dx()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------++=222222144111114421,,,y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I()⎰⎰-----+224412,y y dx y x f dy4、π65、⎪⎭⎫ ⎝⎛-852ln 21 ； 6、1）548059R π 2）0 3）π3250 ； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛R 45,0,0 8、1）438a 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛2157,0,0a 3）645112a ρ（C ）1、 解：令()10,++=y x y x f ，关键是求()y x f ,在D 上的最大值和最小值，在D 内部，1=x f ，1=y f ，因此()y x f ,在D 内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作 ()()410,22-++++=y x y x y x F λ由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0402102122y x F y F x F y x λλλ解得驻点为()2,2，()2,2-，比较可得最小值2210-=m ，最大值为2210+=M ，而D 的面积为π4，由估值定理得()()258258+≤≤-ππI 。
重积分习题(含答案)
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
2 2 2 2
5．求由曲面 z x 2 y 及 z 6 2 x y 所围成的立体的体积. 6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
注意到
2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0
d 4 d r 3 sin cos dr
0 0
1
2
4 0
sin cos d
sin 2
2 2
4 0
8
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解 曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
2
2
D
D
0
0
=3
2
0
d = 6
6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
解：由于曲面 z
x 2 y 2 是一个圆锥面，曲面 z 1 x 2 y 2 是上半单位球面，
第九章 重积分习题与答案
第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的 值则 。
4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x = a y =所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=D d y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=y y dx y x f dy I 311102,的积分次序. 5、计算二重积分dxdy x y I D ⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域.7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成. 8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域. 9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置.10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-= （设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
12．计算⎰⎰+Dy x d 22σ，其中D 是圆环域4122≤+≤y x 。
13．计算()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，D ：122≤+y x ，0≥x ，0≥y 。
14．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中D ：x y x 222≤+。
15．计算⎰⎰-1122xy dy e dx x 。
16．求区域()θcos 1+≤≤a r a 的面积。
17．求由x y 2=，2xy =，2=xy 围成的平面图形的面积。
18．求椭圆抛物面4422y x z --=与平面0=z 所围成的立体体积。
19．设平面上半径为a 的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k ，求该圆形薄片的质量。
20．由圆θcos 2=r ，θcos 4=r 所围成的均匀薄片，面密度ρ为常数，求它关于坐标原点O 的动惯量。
(B)1．选择题设空间区域1Ω：2222R z y x ≤++，0≥z ，2Ω：2222R z y x ≤++，0≥x ，0≥y ，0≥z ，则………………（ ）A ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214dv zdv B ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214dv dv C ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=212ydv ydv D ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=21zdv dv2．根据二重积分性质，比较下列积分大小： (1)()⎰⎰+Dd y x σln 与()[]⎰⎰+Dd y x σ2ln ，其中D 是三角形区域，三顶点分别为()0,1，()1,1，()0,2。
(2)()⎰⎰+Dd y x σln 与()[]⎰⎰+D d y x σ2ln ，其中D 是矩形闭区域：53≤≤x ，10≤≤y 。
3．估计积分值()⎰⎰++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 围成。
4．估计二重积分⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 1001y x d yx I σ的值。
5．交换二次积分次序()⎰⎰--0112,y dx y x f dy 。
6．交换二次积分的次序：()⎰⎰-223211,y y dy y x f dy 。
7．改变积分次序()⎰⎰-x x x dy y x f dx 2,10。
8．计算二重积分⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由直线1=x ，2=x ，2=y 及双曲线1=xy 所围成的区域。
9．计算二重积分⎰⎰-x y dy edx 02102。
10．计算积分⎰⎰+-xdy y x x dx 022101。
11．⎰⎰+σd e y x 其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域。
12．()⎰⎰-+Dd x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域。
13．计算⎰⎰Ddxdy xy 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成。
14．计算dx xy x dy y⎰⎰1210sin 。
15．计算⎰⎰Dxy dxdy e ，D 是由曲线2x y =，0=y ，1=x 所围成的区域。
16．计算()⎰⎰-+-+-+a x a a xdydx yx a yx 0222222241。
17．计算⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--D dxdy y x y x 21222211，其中D 为122≤+y x 在第一象限的部分。
18．计算()⎰⎰≤++122||||y x dxdy y x 。
19．计算⎰⎰≤+1||||||y x dxdy xy 。
20．计算dxdy x y y x ⎰⎰≤≤≤≤--10112|| 21．计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdw ，其中Ω由三个坐标面与平面12=++z y x 所围成。
22．计算()⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x sin ，其中V 是平面2π=++z y x 和三个坐标平面所围成的区域。
23．计算积分⎰⎰⎰=Vxdxdydt I 。
24．计算积分()⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x 22，其中V 为第一象限中由旋转抛物面22y x z +=与圆柱面122=+y x 所围成的部分。
25．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。
26．求由下列曲面所界的体积，y x z +=，xy z =，1=+y x ，0=x ，0=y 。
27．求由圆锥面224y x z +-=与旋转抛物面222y x z +=所围立体的体积。
28．求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出部分的面积。
29．求底圆半径相等的两个直交圆柱面222R y x =+及222R z x =+所围立体的表面积。
30．一个物体由旋转抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成，已知其任一点处的体密度ρ与到z 轴的距离成正比，求其质量m 。
31．求由圆θcos a r =，θcos 2a r =所围成的均匀薄片的重心。
32．一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。
(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。
(C)1．将下面积分化为重积分，并求I 的值。
()()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+---+-ϕϕϕϕsin 0sin sin 2222222222a b a y b ycgt y x y b y a y x dy dx e dy dx e I ，其中b a <<0，20πϕ<<为常数。
2．设区域D 为图中斜线部分，试将二重积分()⎰⎰=Ddxdy y x f I ,化为两种次序的二次积分。
3．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+dv z x ，其中Ω是由曲面22y x z +=与221y x z --=所围成的区域。
4．计算⎰⎰+Ddxdy y x |43|，D ：122≤+y x 。
5．设()y x f ,连续，且()()⎰⎰+=Ddudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。
6．(1) 计算⎰⎰--σσd ey x 22，其中(){}222|,R y x y x ≤+=σ；(2) 试证⎰∞+-=22πdx e x 。
7．求曲面Σ：122++=y x z 上任一点的切平面与曲面S ：22y x z +=所围立体Ω的体积。
8．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为连续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()5limt t F t →。
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, > ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V ()⎰⎰Dd y x f σ|,|。
(3) 在极坐标系中，面积元素为θσrdrd d =。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
解：在区域D 内，1≤+y x ，两边乘以()2y x +，得()()23y x y x +≤+，故由性质得：()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
解：令两被积函数相等，得0=+y x 或1=+y x ，直线1=+y x 与圆周()()21222=-+-y x 交点为()0,1由图知：D 位于1≥+y x 的半平面内故()()32y x y x +≤+，因而()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
解：因为4022≤+≤y x ，故17922922≤++≤y x ，故()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⨯=≤++≤=DDDd d y x d ππσσσπ10827417922936224．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。