(完整版)重积分习题及答案

第九章 重积分

(A)

1．填空题

(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<

()σd y x P D

⎰⎰, ()⎰⎰D

d y x Q σ,

(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D

的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。 2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小

(1) ()⎰⎰+D

d y x σ2与()⎰⎰+D

d y x σ3

，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰

+D

d y x σ3

，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()

⎰⎰++=D

d y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域

422≤+y x 。

4．交换积分()⎰

⎰

--a a

x ax x

a dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰

-21

20

,y

dx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰

+-a

a y y a y x f dy 0

2

2,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+D

d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。 8．计算()⎰⎰+D

d y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+D

yd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰D

dxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰D

d xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

12．计算⎰⎰

+D

y x d 2

2σ，其中D 是圆环域4122≤+≤y x 。

13．计算()

⎰⎰++D

d y x σ221ln ，D ：122≤+y x ，0≥x ，0≥y 。

14．计算二重积分⎰⎰+D

dxdy y x 22，其中D ：x y x 222≤+。

15．计算⎰⎰-1

1

2

2

x

y dy e dx x 。

16．求区域()θcos 1+≤≤a r a 的面积。 17．求由x y 2=，2

x

y =

，2=xy 围成的平面图形的面积。 18．求椭圆抛物面4

42

2

y x z --=与平面0=z 所围成的立体体积。

19．设平面上半径为a 的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k ，求该圆形薄片的质量。

20．由圆θcos 2=r ，θcos 4=r 所围成的均匀薄片，面密度ρ为常数，求它关于坐标原点O 的动惯量。

(B)

1．选择题

设空间区域1Ω：2222R z y x ≤++，0≥z ，2Ω：2222R z y x ≤++，0≥x ，0≥y ，0≥z ，则………………（ ）

A ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

1

4dv zdv B ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

1

4dv dv C ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

1

2ydv ydv D ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=2

1

zdv dv

2．根据二重积分性质，比较下列积分大小： (1)

()⎰⎰+D

d y x σln 与()[]⎰⎰+D

d y x σ2

ln ，其中D 是三角形区域，三顶点分别为()0,1，()1,1，

()0,2。

(2)

()⎰⎰+D

d y x σln 与()[]⎰⎰+D d y x σ2

ln ，其中D 是矩形闭区域：53≤≤x ，10≤≤y 。

3．估计积分值()⎰⎰++=D

d y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 围成。 4．估计二重积分⎰⎰

≤+++=

10

||||2

2

sin cos 1001

y x d y

x I σ的值。

5．交换二次积分次序()⎰⎰

--01

12

,y dx y x f dy 。

6．交换二次积分的次序：()⎰⎰-22

32

1

1

,y y dy y x f dy 。

7．改变积分次序()⎰

⎰-x x x dy y x f dx 2

,10。

8．计算二重积分⎰⎰D

xy dxdy ye ，其中D 是由直线1=x ，2=x ，2=y 及双曲线1=xy 所围成的区域。

9．计算二重积分⎰

⎰-

x y dy e

dx 0

2

1

02。

10．计算积分⎰⎰+-x

dy y x x dx 0

2210

1。

11．⎰⎰+σd e y x 其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域。

12．()

⎰⎰-+D

d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域。

13．计算⎰⎰D

dxdy xy 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成。

14．计算dx xy x dy y

⎰⎰1

210

sin 。

15．计算⎰⎰D

x

y dxdy e ，D 是由曲线2x y =，0=y ，1=x 所围成的区域。

16．计算()

⎰

⎰

-+-+-+a x a a x

dydx y

x a y

x 0

2

2

2

2

2

2241

。

17．计算⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--D dxdy y x y x 2

1222

211，其中D 为12

2≤+y x 在第一象限的部分。 18．计算()⎰⎰≤++1

22||||y x dxdy y x 。

19．计算⎰⎰≤+1

||||||y x dxdy xy 。

20．计算

dxdy x y y x ⎰⎰

≤≤≤≤--1

0112

|| 21．计算三重积分⎰⎰⎰Ω

xdw ，其中Ω由三个坐标面与平面12=++z y x 所围成。

22．计算()⎰⎰⎰++V

dxdydz z y x sin ，其中V 是平面2

π

=

++z y x 和三个坐标平面所围成

的区域。