第10章状态空间实现
第10章 LTI系统的MATLAB辅助
(10.2)
3 .创建状态空间模型
状态空间模型是采用线性微分或差分方程来描述 系统的动态行为。 连续时间系统具有如下的一般形式
dx Ax Bu dt
y Cx Du
(10.3)
使用ss命令创建系统的状态空间模型的调用格式为
sys = ss(A, B, C, D)
例 10.1 在MATLAB中创建下面系统的状态空间模型：
–Feedin:sys1的输入向量,指定哪些sys1的输入与 反馈环相连 –Feedout:sys1的输出向量,指定sys1的哪些输出 端用于反馈
10.3 系统分析工具
控制系统工具箱为用户提供了一整套用于LTI模 型的时域和频域分析工具。 这些函数大都支持所有类
型的系统, 包括连续和离散系统、 SISO或MIMO系统甚
y=step(num,den,t)，y=step(sys, t) num和den为系统传递函数的分子和分母多项式系数，t为 仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生。 该函数返回值y为系统输出。 [y,t,x]=step(num,den), [y,t,x]=step(sys) 此时时间向量t由系统模型的特性自动生成, 状态变量x 返回为空矩阵。 [y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)： A,B,C,D为系统的状态空间描述，iu用来指明输入变量 的序号。x为系统返回的状态轨迹。
– 闭环特征根：roots(p) , p:闭环特征多项式 – [z, p, k]=ss2zp(a,b,c,d) – [z, p, k]=tf2zp(num,den)
已知某系统的模型如下所示：
1 2 x 4 7 y 2 2 1 6 7 2 5 2 1 0 3 0 x u 8 5 0 1 6 1 6 1x 7u
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得当时，解得：令得当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。
第十章_具有约束的最优控制问题
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
T
例2 解以下最优控制问题：
最大化 0 1 dt y yu 满足
y (0) 5 y ( T ) 11 T 自由
T
和
u ( t ) [ 1,1]
它具有一个受约束的控制变量，该控制集合可视为 两个不等式约束：
1 u (t ) 和 u (t ) 1
汉密尔顿函数： H 拉格朗日函数：
u
对于所有 t [ 0 , T ]
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
(t ) 常数
( T ) 0 [ 横截条件 ]
四、不等式积分约束 T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt y f (t, y , u ) 满足
y H H
u
F (t, y , u ) f (t, y , u ) G (t, y , u )
[ y 的运动方程
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
[ 的运动方程
]
( T ) 0 [ 横截条件 ]
上页的最大值原理可简化为：
Max H
]
]
( T ) 0 , ( T ) k 0 , ( T )[ ( T ) k ] 0 [ 的横截条件
第十章_具有约束的最优控制问题
对于给定的 ，或者 关于( y , u ) 对所有t [ 0 , T ] 是凹 的，或者 H 0 关于 y 对于所有t [ 0 , T ] 是凹的。
如果是无限水平问题，充分性定理仍然适用，但是要 加上一个补充性条件：
T
lim ( t )[ y ( t ) y ( t )] 0
G ( t , y , u ) [ 的运动方程
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为：T 最优控制问题： 最大化 0 F ( t , y , u ) dt
]
H y [ 的运动方程 ]
y
H
[ y 的运动方程
( T ) 0 [ y 的横截条件
( t ) 常数 0
和
]
k
G ( t , y , u ) dt
0
T
0
k
G ( t , y , u ) dt 0 0
T
]
(t )
在计划时期内的初始值和终结值是：
0 0
( 0 ) G ( , y , u ) d 0
(T ) G ( , y , u ) d k
0
上页的最优控制问题变为： 最优控制问题： 最大化 F ( t , y , u ) dt 0 y f (t, y , u ) 满足
(10 . 43 ) (10 . 44 ) (10 . 45 ) (10 . 47 )
信号与系统基础-第10章
10.1 系统的状态空间描述
(3) 状态向量：状态变量
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 的列向量形式就是状态向量，用 x (t ) 表示，
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x1 (t ) 1 系统的状态空间描述
1．输入～输出描述 本章将介绍不仅与系统输出和输入信号有关，还涉及系统内部参数的“状态空间”描述法。 图10-1是一个SISO系统的两种描述法示意图。
f (t ) f [ n]
LTI系统 微分/差分方程 （a）外部法
y (t ) y[n]
f (t ) f [ n]
LTI系统 状态方程 输出方程 （b）状态空间法
f (t ) 、状态向量 x (t ) 和响应向量
y(t )
12
三者关系的代数方程称为系统的输出方程。
10.1 系统的状态空间描述
采用状态空间分析法研究系统特性主要有以下特点：
(1) 一阶微分方程组便于求解，尤其便于计算机处理。
(2) 由于系统响应（输出）与状态变量和激励（输入） 之间满足的是代数方程（输出方程），
y (t ) y[n]
图10-1 SISO系统的两种描述法示意图
6
10.1 系统的状态空间描述
2．状态变量描述 在状态空间描述法中，不是直接给出系统输出和 输入之间满足的微分（差分）方程，而是首先在系统 内部适当地选择一组辅助变量——状态变量，然后找 出这组状态变量与系统输入之间满足的关系式——状 态方程，再找出系统输出和这组状态变量以及输入之 间满足的代数方程——输出方程，从而完成系统输入 、状态变量和系统输出三者之间的关系描述。
具有
x2 (t )
xn (t )
第十章 随机过程及其统计描述
9
例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。 以X (t )表示时间间隔 ( 0, t ]内接到的呼叫次数， 它是一个随机变量，且对于不同的t ≥ 0，X (t )是不同 的随机变量，于是 { X (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，且它的 状态空间是 {0,1, 2,L} .
−1 出现H X (1) Vcosω t , t ∈ ( −∞, +∞ )，V 在[0,1]上均匀分布 求在t = 0, π , 3π , π , π 时X (t )的密度函数。 4ω 4ω ω 2ω 解：对给定的t , 若cosω t ≠ 0, 记a = cosω t， 则X (t ) = aV 的密度函数为： 1 0 < x <1 a f X ( x; t ) = fV x ⋅ 1 = a a a 其他 0 1 0 < x < 1 a = cosω ⋅ 0 = 1 于是 f X ( x;0 ) = 0 其他 2 π = 2 0< x< 2 π = 2 , f X x; a = cosω ⋅ 4ω 4ω 2 0 其他 2 3π = − 2 , f x; 3π = 2 − 2 < x < 0 a = cosω ⋅ X 4ω 4ω 2 0 其他 π = 1 − 1 < x < 0 π = −1, f X x; a = cosω ⋅ ω 其他 ω 0
12
§2 随机过程的统计描述
(一) 随机过程的分布函数族
设随机过程{ X (t), t ∈T} , 对每一固定的t ∈T,
分布函数 两种描述 数字特征
{FX (x,t),t ∈T} 称为一维分布函数族
FX (x, t) = P{ X (t) ≤ x}，x ∈R，称为随机过程{ X (t), t ∈T}的一维分布函数
《现代控制工程》
《现代控制工程》目录第1章绪论1.1现代控制工程的发展1.2 本书的内容与安排第2章状态空间数学模型2.1 状态与状态空间的概念2.2 系统的状态空间模型2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.2 由状态空间模型求微分方程2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型2.3.3 状态方程的线性变换2.4 控制系统的实现2.4.1 系统的实现问题2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现2.5 多变量系统的传递矩阵2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵2.5.3 多变量控制系统的结构图简化2.6 控制系统的状态空间模型2.7 MATLAB在状态空间模型建立中的应用2.7.1传递函数转换到状态空间模型2.7.2状态方程的线性变换2.8 本章小结习题第3章控制系统稳定性分析3.1 控制系统稳定性定义3.1.1 范数的概念3.1.2 平衡状态3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义3.2 控制系统稳定的条件3.2.1 单变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.2 多变量线性定常连续系统的稳定条件3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件3.3 李雅普诺夫稳定判据3.3.1 函数的正定性3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据3.5 非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据3.6 非线性系统的小偏差线性化方法3.6.1 小偏差线性化的基本思想3.6.2小偏差线性化方法3.6.3李雅普诺夫第一法3.7 MATLAB在系统稳定性分析中的应用3.8 本章小结习题第4章线性系统动态性能分析4.1 线性连续定常系统状态方程的求解4.1.1 齐次状态方程的求解4.1.2 非齐次状态方程的求解4.2 线性连续时变系统状态方程的求解4.2.1 齐次状态方程的解4.2.2 状态转移矩阵的性质4.2.3 状态转移矩阵的计算4.2.4 非齐次状态方程的解4.3 线性离散系统状态方程的求解4.3.1 齐次状态方程的解4.3.2 状态转移矩阵的性质4.3.3 状态转移矩阵的计算4.3.4线性定常离散系统非齐次状态方程的求解4.3.5线性时变离散系统状态方程的求解4.4 MATLAB在系统动态性能分析中的应用4.5 本章小结习题第5章线性系统的能控性和能观性分析5.1 能控性和能观性问题5.2 线性定常系统的能控性5.2.1 能控性的定义5.2.2 能控性判别准则5.2.3 能控性第二判别准则5.2.4 输出能控性及其判别准则5.3 线性定常系统的能观性5.3.1 能观性的定义5.3.2 能观性判别准则5.3.3 能观性第二判别准则5.4 状态空间模型的对角线标准型5.4.1 系统的特征值和特征向量5.4.2 化矩阵A为对角阵5.4.3 化矩阵A为约当阵5.4.4 特征值为复数的对角线标准型5.5 状态空间模型的能控标准型与能观标准型5.5.1 第一能控标准型5.5.2 第二能控标准型5.5.3 第一能观标准型5.5.4 第二能观标准型5.6 传递函数的几种标准型实现5.6.1 能控标准型实现5.6.2 能观标准型实现5.6.3 对角线标准型实现5.6.4 约当标准型实现5.7 对偶原理5.8 线性定常系统的规范分解5.8.1 能控性结构分解5.8.2 能观性结构分解5.8.3 系统结构的规范分解5.9 MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用5.9 本章小结习题第6章状态反馈控制与状态观测器设计6.1 状态反馈与输出反馈6.1.1 状态反馈6.1.2 输出反馈6.1.3状态反馈系统的能控性与能观性6.1.4 状态反馈对传递函数的影响6.2 状态反馈设计方法6.2.1 极点配置问题6.2.2 单输入系统的极点配置方法6.2.3 多输入系统的极点配置方法6.3 状态观测器设计方法6.3.1 全维状态观测器设计6.3.2 降维状态观测器设计6.4 带状态观测器的状态反馈系统的设计方法6.5 MATLAB在状态反馈与状态观测器设计中的应用6.6 本章小结习题第7章最优控制7.1 最优控制的概念7.2 变分法与泛函的极值条件7.3 变分法求解无约束最优控制问题7.4 极小值原理7.4.1 连续系统的极小值原理7.4.2 离散系统的极小值原理7.5 线性二次型最优控制7.5.1 线性二次型最优控制问题7.5.2 连续系统有限时间状态调节器7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器7.5.4 线性离散系统状态调节器7.5.5 线性连续系统输出调节器7.5.6 线性连续系统输出跟随器7.6 本章小结习题第8章系统辨识8.1 系统辨识的概念8.1.1 系统辩识的定义8.1.2系统辩识的基本内容8.2 线性静态模型的最小二乘参数估计8.2.1 参数估计问题8.2.2 最小二乘法的基本算法8.2.3 最小二乘法的性质8.2.4 应用举例8.3 线性动态模型的最小二乘参数估计8.4 最小二乘参数估计的递推算法8.4.1 基本递推算法8.4.2 带有遗忘因子的递推算法8.5 线性系统的结构辨识8.5.1 模型阶次的确定8.5.2 系统纯时滞的辨识8.6 闭环系统的可辨识性8.7 MATLAB在系统辨识中的应用8.8 本章小结习题第9章自适应控制9.1 自适应控制的概念9.1 自校正控制的结构9.2 最小方差控制9.3 自校正调节器9.4 自校正调节器应用实例9.5 本章小结习题第10章预测控制10.1 预测控制的基本原理10.2 动态矩阵控制10.3 炼油厂加氢裂化装置的动态矩阵控制10.4 模型算法控制10.5 催化裂化分馏塔的模型算法控制10.6 广义预测控制10.7 本章小结习题第11章模糊控制11.1 模糊控制的发展11.2 模糊集合11.2.1 模糊集合的定义11.2.2模糊集合的表示方法11.2.3 模糊集合的运算11.3 模糊控制系统的组成11.3.1模糊控制系统的结构11.3.2 模糊控制器的输入输出变量11.3.3 模糊控制器的输入输出变量的模糊化11.4 模糊控制规则11.5 模糊关系与合成11.5.1 模糊关系11.5.2 模糊关系的合成11.6 模糊推理与模糊决策11.6.1 模糊推理11.6.2模糊决策11.7 模糊控制算法的工程实现11.8 模糊PID复合控制11.9 酚醛树脂聚合反应温度模糊控制11.9.1 酚醛树脂聚合反应过程特性分析11.9.2 模糊控制器设计11.10 全自动洗衣机的模糊控制11.10.1 模糊控制洗衣机的检测11.10.2 洗衣机的模糊控制11.11 本章小结习题第12章专家系统与专家控制12.1 专家系统12.1.1 专家系统的概念12.1.2专家系统的一般结构12.1.3 实时专家系统12.2 专家控制系统12.2.1 专家控制系统的概念12.2.2 间接专家控制12.2.3 直接专家控制12.3 专家控制系统的知识表示12.3.1 知识表示12.3.2 产生式知识表示12.3.3 产生式系统12.3.4 动物识别专家系统12.4 专家控制系统的推理机12.5 专家控制系统的搜索技术12.6 电脑充绒机专家控制系统12.6.1电脑充绒机的工作原理12.6.2高性能称重传感器设计12.6.3电脑充绒机的程序控制12.6.4充绒机羽绒重量专家控制12.7 本章小结习题第13章神经网络控制13.1 神经网络控制概述13.2 神经元与神经网络13.2.1生物神经元结构13.2.2 神经元数学模型13.2.3 神经网络的结构与工作方式13.2.4 神经网络的学习13.3 BP神经网络及其学习算法13.3.1 BP神经网络的结构13.3.2 BP学习算法13.3.3 BP学习算法的实现13.4 基于神经网络的系统辨识方法13.4.1前向模型辨识13.4.2反向模型辨识13.5 基于神经网络的软测量方法13.5.1 软测量技术13.5.2 污水处理过程神经网络软测量模型13.6 基于神经网络的控制方法13.6.1 神经网络控制器13.6.2 神经网络预测控制13.6.3 神经网络模型参考控制13.6.4 神经网络内模控制13.7 单神经元控制器13.8 本章小结习题习题解答参考文献。
线性系统理论笔记
4.6 第5章 5.1 5.2 5.3 5.4
等价时变方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LTI 系统的输入-输出稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 内部稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 李雅普诺夫定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
第10章 LTI控制系统的分析
（5）最大超调量Mp（Maximum Overshoot）： 指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即100 % c()
（10.1.1）
0.1C(∞)
tr或tp评价系统的响应速度；ts同时反映响应速度和
0
tr
阻尼程度的综合性指标。Mp%评价系统的阻尼程度。
T dC(t) C(t) r(t) dt
（10.2.1）
例如，常见的RC低通滤波器（一阶控制系统）电路，其微分方程为 T u'(t) u(t) r(t)
其中u(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初始条件为零时，其传递函
数为
（10.2.2）
其框图模型如图10-2-1所示。
增加或删除节点可以调节曲线的曲率和走向。MATLAB里面spline函数是三次样条插值，也就是 用分段光滑的曲线去插值，每一段都是三次多项式。spline()函数的使用方式如下： yi = spline(x,y,xi)：使用三次样条插值来寻找y在矢量xi指定的点上的函数值yi。y是x 的函数，即y=f(x)， x和y是一一对应关系，均是有多个元素的向量，如果y是一个矩阵，数据结果是一个向量，插值 按y的每一行算出。这种情况下，length(x) 必须等于size(y,2)，yy是size(y,1)*length(xx)向量。 如果峰值时间为tp，则tp=spline(y,t,max(y))求出y在自己最大值发生的时间t，即峰值时间为tp。 3. 计算误差面积、最大超调量Mp （1）使用梯形面积积分函数trapz(t,y)计算y在时间t内的误差面积。 （2）最大超调量Mp：在图10-1-1中，由于系统的阶跃响应的稳态值为1，则根据（10.1.1）式有：
控制系统的状态空间分析
第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述（状态空间表达式）1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1）对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G ：多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即)()()(s U s Y s G =（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量 )(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：D B A I C G +-=-1)()(s s （8-4）上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
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第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第10章 不确定性下的交换)
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1．假设个体1的效用函数是()()1log u y y c =+，个体2的效用函数是()22u y y ay =-，这里c 和a 都是正的常数。
有人说个体1购买保险会比个体2更积极，判断这种说法是否正确，并陈述理由。
解：在状态空间中某一点()12,y y ，个体购买保险的意愿取决于该点处无差异曲线的斜率。
若约定状态2为灾害发生的自然状态()12y y >，灾害发生的概率为p ，则无差异曲线斜率为：()()121u y p p u y '--' 在条件12y y >下，()()1121211u y y c u y y c '+=<'+ ()()21122221121u y ay u y ay '-=>'-这表明，在面临相同的灾害环境时（相同的灾害概率p ），个体1的无差异曲线较为平坦，这意味着他愿意以更多的状态1财富来换取一单位状态2财富（或说他比个体2更看重状态2下的消费）。
所以，在其他条件相同时，个体1购买保险更为积极是正确的。
2．假设某人是风险厌恶的，有2万元的初始财富；假设某种事故发生的概率是50%，在事故发生的情况下这个人的财富会损失一半。
（1）如果由一个保险公司向该个体提供事故保险，公平保费率应该是多少？用图解释， 在公平保费率下，这个人会购买完全保险。
（2）如果有A 和B 两个保险公司同时以公平保费率提供保险服务，但A 公司要求客户只能购买完全保险，而B 公司不允许客户的投保财产超过他所有财产的一半。
第10章 - 马尔可夫链
a2 p12 p22 pN 2
aN p1 N p2 N • p NN
称 P P (1) 为马氏链的一步转移概 率矩阵.
例题1、 (一维随机游动 ) 设一醉汉Q在如图所示直线的点集 I {1,2, 3,4,5}上作随机游动，并且仅 仅在1秒、 2秒等时刻 发生游动。游动的规则 是：如果Q现在位于点 i (1 i 5), 则下一时刻各以 1 / 3的概率向左或向右移动 一格，或以 1/ 3 的概率停在原处；如果 Q现在位于点1 (或5)，则下一时刻 就以概率 1 移动到 2 (或4)这一点上。
齐的，并说转移概率是平稳的.
下面我们只讨论齐次马氏链，并习惯上常将“齐次”两字省略
。
3、齐次马氏链的转移概率 矩阵 对齐次马氏链， 记 pij ( n) pij ( m , m n) P{ X m n a j | X m ai }
称 P ( n) ( pij ( n)) 为 n 步转移概率矩阵.
{1,2,3,4,5}
一步转移概率为： pij P { X n1 1 / 3, j i 1, i , i 1,1 i 5 j | X n i} 1, i 1, j 2或i 5, j 4, 0, j i 2.
一步转移概率矩阵为：
若以X n 表示时刻 n 时Q的位置， 则 { X n , n 0,1,2,}是一随机 1
2
3
4
5
而且当 X n i 时， X n1 , X n 2 ,等以后的行为只与 X n i 过程，
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一 个马氏链，且为齐次马氏链。 其状态空间为： I
第十章人工智能基础习题及参考答案
第十章人工智能基础一、选择题1.人类智能的特性表现在4个方面（B）。
A.聪明、灵活、学习、运用B.能感知客观世界的信息、能通过思维对获得的知识进行加工处理、能通过学习积累知识、增长才干和适应环境变化、能对外界的刺激做出反应并传递信息C.感觉、适应、学习、创新D.能捕捉外界环境信息，能利用外界的有利因素，能传递外界信息，能综合外界信息进行创新思维2.人工智能的目的是让机器能够（D），以实现某些脑力劳动的机械化。
A.具有智能B.和人一样工作C.完全代替人的大脑D.模拟、延伸和扩展人的智能3.下列关于人工智能的叙述不正确的有（C）A.人工智能技术与其它科学技术相结合极大地提高了应用技术的智能化水平B.人工智能是科学技术发展的趋势C.因为人工智能的系统研究是从20世纪50年代开始的，非常新，所以十分重要D.人工智能有力地进了社会的发展4.人工智能研究的一项基本内容是机器感知。
以下叙述中的（C）不属于机器感知的领域A.使机器具有视觉，听觉，触觉，味觉和觉等感知能力B.使机器具有理解文字的能力·C.使机器具有能够获取新知识，学习新技巧的能力D.使机器具有听懂人类语言的能力5.自然语言理解是人工智能的重要应用领域，以下叙述中的（C）不是它要实现的目标A.理解别讲的话B.对自然语言表示的信息进行分析概括或编辑C.欣赏音乐D.机器翻译6.为了解决如何模拟人类的感性思维，例如视觉理解、直觉思维、悟性等，研究者找到一个重要的信息处理的机制是（B）A.专家系统B.人工神经网络C.模式识别D.智能代理7.如果把知识按照作用来分类，下述（B）不在分类的范围内A.用控制策略表示的知识，即控制性知识B.可以通过文字，语言，图形和声音等形式编码记录和传播的知识，即显性知识C.提供有关状态变化，问题求解过程的操作，演算和行为的知识，即过程性知识D.用提供概念和事实使人们知道是什么的知识，即陈述性知识8.下述（A）不是知识的特征A.复杂性和明确性B.进化和相对性C.客观性和依附性D.可重用性和共享性9.下述（D）不是人工智能中常用的知识格式化表示方法。
第10章统计决策
2011-5-28
《统计学》第10章统计决策
10-5
2.统计决策的特征 2.统计决策的特征
它主要研究不确定型和风险型的决策问题。 它主要研究不确定型和风险型的决策问题。 它是研究非对抗型决策问题的一种主要方 法。 它是一种定量决策。 它是一种定量决策。
2011-5-28
《统计学》第10章统计决策
10-6
2011-5-28
《统计学》第10章统计决策
10-15
【例10.3】 订购空调 】
在例10.1中，承销商对未来市场的需 中 在例 求情况无法估计， 求情况无法估计，请根据最小最大后 悔值准则进行决策。 悔值准则进行决策。
2011-5-28
《统计学》第10章统计决策
10-16
解：
某承销商订购空调的后悔值矩阵表（ 表10.3 某承销商订购空调的后悔值矩阵表（单位 ：元）
A = (a1 , a 2 , ⋯ , a m ) 事件(event)空间或状态空间 事件 空间或状态空间: 空间或状态空间
S = ( s1 , s 2 , ⋯ , s n )
状态空间的概率(probability)分布 分布: 状态空间的概率 分布
P = ( p1 , p 2 , ⋯ , p n ) 损益值(payoff): 损益值 q ij = Q ( a i , s j )
rij = max Q ( ai , s j ) − qij
i
（10.4） ）
Q 其中， 其中， (ai , s j )表示在状态 s j下，正确决策可能得到的最 大收益。 大收益。
最优选择方案： 最优选择方案：
2011-5-28
a* = min max ( rij )
i j
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CAn1
AB L
Qo AQc QoTAT 1Qc
AB L An1B
An1B
A TAT 1
即 A T 1AT
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
四、最小实现的维数
严真 G(s) hisi hi 为马尔柯夫参数矩阵
域寻找一个外部等价地内部假想结构，内部假想结构 对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控 和能观测。 （6）实现的形式
G(s)为严真，其实现为（A,B,C)，E=0 G(s)为真，其实现为（A,B,C,E)，E limG(s)
s
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
M
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
H (t) H (1) (t) L
L(t)
H (1) (t)
M
H (2) (t) O
H
( n 1)
(t
)
H (n) (t)
L
H (n1) (t)
H (n) (t)
☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
G(s)qp gij (s)
假定为严真
其最小公分母 d (s) sl l1sl1 L 1s 0
G(s)
P(s) d (s)
d
1 (s)
Pl 1s l 1
L
P1s P0
P(s)为多项式矩阵
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
一、实现的意义
1.物理意义
u
y
物理系统
u x& f (x,u) y y g(x,u)
把外部描述的系统，用表征系统内部结构特性 的内部描述等价。
2.数学意义
给定线性定常系统，传递函数矩阵G(s) ，如果
可以找到一个状态空间描述
x& Ax Bu
y
1. 能控规范形
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n1
0
ห้องสมุดไป่ตู้
bc
M 0
1
cc 0 1 L n1
（1） 能控规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能控不能观测。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
2
0 1 0
能控规范形 Ac
0
0
1
2 4 3
0 0 2
能观测规范形 Ao 1 0 4
0 1 3
0 bc 0
1
4 bo 2
0
cc 4 2 0 co 0 0 1
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
2. 能观测规范形
0 L
Ao
1
O
0 0
1
M
1
n1
0
bo
1
M
n
1
co 0 L 0 1
（1） 能观测规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能观测不能控。
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
二、能控类实现和能观测类实现 1.能控类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能控类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,B)能控且有指定形式。 2.能观测类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能观测类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,C)能观测且有指定形式。
维数n表征。 （2）实现的不惟一性 实现的结果不惟一，维数也不惟一。 （3）最小实现 维数最小，结构最简，能控能观测实现。 （4）代数等价关系 最小实现之间存在代数等价关系
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
（5）实现的物理本质 对具有“黑箱”形式的真实系统，在状态空间领
例：
G(s)
s
1
2
(s
1 3)(s
2)
(s
1 3)(s
2)
s
3
1
(s
1 3)(s
2)
1
0s 3
1
1 d (s)
P1s
P0
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
0
O
M
r (s)
r (s) 0
L 0 0
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
g(s)
n(s) d (s)
sn
sn1 n1
L
sn1 n1
L
1s 0 1s 0
O
n
1
b 1 M 1
c f1 f2 L fn
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
4. 串联形实现
u
g1 ( s )
g2 (s)
L
y gn (s)
例：
gi (s)
s3
2s 4 3s2 4s
由上述结论证明知 QoQc QoQc
Qc (QToQo )1(QToQo )Qc (QToQo )1QToQoQc TQc
令 T (QToQo )1QToQo
Qo Qo (QcQcT )(QcQcT )1 QoQcQcT (QcQcT )1 QoT
令 T QcQcT (QcQcT )1
惟一性，即存在非奇异常阵 T ，使成立：
A T 1AT B T 1B C CT
证明：由(A, B,C) 和 ( A, B,C)为最小实现，有
rankQc rankQo rankQc rankQo n
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
充分性：已知(A,B)能控且(A,C)能观测，欲证(A,B,C)为最小实现 采用反证法，反设(A,B,C)不是最小实现，则G(s)必存
在另一最小实现 ( A, B,C)
n dim( A) dim( A) n
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
3. 并联形实现
n
y(s) g(s)u(s) gi (s)u(s)
u
i 1
gi (s)
s
fi
i
g1 ( s ) g2 (s)
y M
gn (s)
1
A
2
☝ 第10章 传递函数矩阵的状态空间实现
10.1 实现的基本概念和基本属性 ☑ 实现的定义和属性 ☑ 能控类实现和能观测类实现 ☑ 最小实现 ☑ 实现的最小维数
10.2 标量传递函数的典型实现 ☑ 能控规范形实现 ☑ 能观测规范形实现 ☑ 并联形实现 ☑ 串联形实现
10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能 观测形实现
M
H
(
2n2)
(t
)
CB CAB L
L(0)
CAB
CA2 B
M
O
CAn1B CAn B L
CAn1B
CAn B
M
CA2
n
2
B
C
CA M
B
AB
L
CAn1
An1B QoQc
L (0) QoQc QoQc QoQc
采用反证法，反设(A,B,C)不是联合能控能观测的，则 可通过结构分解找出其能控和能观测部分 (A%11, B%1,C%1) ，且 成立 C%1(sI A%11)1B%1 C(sI A)1B G(s)
dim(A) dim(A%11) 与已知(A,B,C)为最小实现矛盾 反设不成立，必要性得证。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 本章主要内容
10.4 基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和 观测器形实现
☑ 右MFD的控制器形实现 ☑ 控制器形实现的性质 ☑ 左MFD的观测器形实现 ☑ 观测器形实现的性质 10.6 不可简约矩阵分式描述的最小实现
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
C C