第10章状态空间实现

☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
G(s)qp gij (s)
假定为严真
其最小公分母 d (s) sl l1sl1 L 1s 0
G(s)
P(s) d (s)

d
1 (s)

Pl 1s l 1

L
P1s P0
P(s)为多项式矩阵
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
已知(A,B)能控且(A,C)能观测 rankQo n rankQc n
rankQoQc n
n rankQoQc min rankQo, rankQc
即 rankQo n rankQc n 与反设矛盾，充分性得证。 2. 最小实现的广义惟一性 任意两个最小实现 (A, B,C) 和 ( A, B,C) ，满足广义
采用反证法，反设(A,B,C)不是联合能控能观测的，则 可通过结构分解找出其能控和能观测部分 (A%11, B%1,C%1) ，且 成立 C%1(sI A%11)1B%1 C(sI A)1B G(s)
dim(A) dim(A%11) 与已知(A,B,C)为最小实现矛盾 反设不成立，必要性得证。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
三、最小实现 1. 最小实现判据 (A,B,C)为严真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充 分必要条件是，(A,B)能控且(A,C)能观测。
证明： 必要性：已知(A,B,C)为最小实现，欲证(A,B)能控且(A,C)能观测
O




n

1
b 1 M 1
c f1 f2 L fn
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☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
4. 串联形实现
u
g1 ( s )
g2 (s)
L
y gn (s)
例：
gi (s)

s3
2s 4 3s2 4s
由上述结论证明知 QoQc QoQc
Qc (QToQo )1(QToQo )Qc (QToQo )1QToQoQc TQc
令 T (QToQo )1QToQo
Qo Qo (QcQcT )(QcQcT )1 QoQcQcT (QcQcT )1 QoT
令 T QcQcT (QcQcT )1
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
3. 并联形实现
n
y(s) g(s)u(s) gi (s)u(s)
u
i 1
gi (s)

s
fi
i
g1 ( s ) g2 (s)
y M
gn (s)
1
A

2
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
一、实现的意义
1.物理意义
u
y
物理系统
u x& f (x,u) y y g(x,u)
把外部描述的系统，用表征系统内部结构特性 的内部描述等价。
2.数学意义
给定线性定常系统，传递函数矩阵G(s) ，如果
可以找到一个状态空间描述
x& Ax Bu

y

1、能控形实现
给定G(s)qp gij (s) ，能控形实现为( Ac , Bc ,Cc )
0

Ac

M
00I p
Ip O
1I p L



I
l
p
1I
p

Cc P0 P1 L Pl1

0

Bc

M

M
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
H (t) H (1) (t) L
L(t)

H (1) (t)
M
H (2) (t) O

H
( n 1)
(t
)
H (n) (t)
L
H (n1) (t)
H (n) (t)

M
H
(
2n2)
(t
)

CB CAB L
L(0)
CAB
CA2 B
M
O
CAn1B CAn B L
CAn1B
CAn B

M
CA2
n
2
B

C


CA M


B
AB
L
CAn1

An1B QoQc
L (0) QoQc QoQc QoQc
An1B
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
CB CB CAB CAB L CAk B CAk B
C
Qo AQc


CA M


A
B
CAn1

C


CA M



B
维数n表征。 （2）实现的不惟一性 实现的结果不惟一，维数也不惟一。 （3）最小实现 维数最小，结构最简，能控能观测实现。 （4）代数等价关系 最小实现之间存在代数等价关系
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
（5）实现的物理本质 对具有“黑箱”形式的真实系统，在状态空间领
☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
2. 能观测规范形
0 L

Ao

1
O


0 0
1

M
1

n1

0
bo


1

M

n
1

co 0 L 0 1
（1） 能观测规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能观测不能控。
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
充分性：已知(A,B)能控且(A,C)能观测，欲证(A,B,C)为最小实现 采用反证法，反设(A,B,C)不是最小实现，则G(s)必存
在另一最小实现 ( A, B,C)
n dim( A) dim( A) n
1. 能控规范形
0

Ac


M 0


0
1 O
1 L



1

n1

0

bc

M 0

1
cc 0 1 L n1
（1） 能控规范形实现的惟一性 （2） 实现维数的非最小性
若d(s)和n(s)非互质，则实现为能控不能观测。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
惟一性，即存在非奇异常阵 T ，使成立：
A T 1AT B T 1B C CT
证明：由(A, B,C) 和 ( A, B,C)为最小实现，有
rankQc rankQo rankQc rankQo n
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
导出 TT I 由 Qc T 1Qc
B AB L
T 和 T 均为非奇异，且 T T 1
An1B T 1 B AB L An1B
得 B T 1B
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
由 Qo QoT
Cx

Eu
，使满
足 C(sI A)1 B E G(s) ，则称(A, B,C, E) 为 G(s)的
一个实现。
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
3.实现的基本属性 （1）实现的维数 实现的复杂程度由系统矩阵A的维数n或状态向量X的
0
O
M
r (s)

r (s) 0

L 0 0
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☝ 10.2 标量传递函数的典型实现
g(s)

n(s) d (s)

sn
sn1 n1

L


sn1 n1

L
1s 0 1s 0
C C

CA

CA
T
M M
CA
n1

CAn1

得 C CT
由 QoQc QoQc
C

CA M



B
AB
L
CAn1

C

An1B



CA M


B
AB
L
CAn1

得 CB CB CAB CAB L CAk B CAk B
CAn1

AB L
Qo AQc QoTAT 1Qc
AB L An1B
An1B
A TAT 1
即 A T 1AT
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☝ 10.1 实现的基本概念和属性
四、最小实现的维数

严真 G(s) hisi hi 为马尔柯夫参数矩阵
域寻找一个外部等价地内部假想结构，内部假想结构 对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控 和能观测。 （6）实现的形式
G(s)为严真，其实现为（A,B,C)，E=0 G(s)为真，其实现为（A,B,C,E)，E limG(s)
s
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例：
G(s)


s
1
2
(s

1 3)(s

2)


(s

1 3)(s

2)
s

3
1

(s

1 3)(s

2)
1
0s 3
1

1 d (s)
P1s

P0

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☝ 10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现
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☝ 本章主要内容
10.4 基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和 观测器形实现
☑ 右MFD的控制器形实现 ☑ 控制器形实现的性质 ☑ 左MFD的观测器形实现 ☑ 观测器形实现的性质 10.6 不可简约矩阵分式描述的最小实现
第10章 传递函数矩阵的状态空间实现 内蒙古工业大学电力学院自动化系
对任一输入u有相同输出y，即
t CeA(t )Bu( )d t CeA(t )Bu( )d
0
0
考虑到u和t的任意性，导出 CeA(t )B CeA(t )B
令 0 ，且表 H (t) CeAt B CeAt B H (t)
H (1) (t) CeAt AB CAeAt B H (2) (t) CeAt A2B CA2eAt B
i 1
h1 h2 h3 L
定义汉克尔矩阵
H


h2
h3
h4
L

nmin Leabharlann BaiduankH

h3 M
h4 M
h5 M
L
G(s)对应的史密斯-麦克米伦形
1(s) 1 ( s)
0
r
nmin deg i (s) i 1
M (s)
☝ 10.1 实现的基本概念和属性
二、能控类实现和能观测类实现 1.能控类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能控类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,B)能控且有指定形式。 2.能观测类实现 (A, B,C, E) 为 G(s)的一个能观测类实现，满足： ① C(sI A)1 B E G(s) ② (A,C)能观测且有指定形式。

2
0 1 0
能控规范形 Ac


0
0
1

2 4 3
0 0 2
能观测规范形 Ao 1 0 4
0 1 3
0 bc 0
1
4 bo 2
0
cc 4 2 0 co 0 0 1
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☝ 第10章 传递函数矩阵的状态空间实现
10.1 实现的基本概念和基本属性 ☑ 实现的定义和属性 ☑ 能控类实现和能观测类实现 ☑ 最小实现 ☑ 实现的最小维数
10.2 标量传递函数的典型实现 ☑ 能控规范形实现 ☑ 能观测规范形实现 ☑ 并联形实现 ☑ 串联形实现
10.3 基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能 观测形实现