射影平面

射影平面

一、填空选择题

１．平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。

A ．垂直关系

B ． 平行关系

C ．长度

D ． 角度

２．射影对应把平行四边形变成（ ）．

３．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。

A ． 角度

B ． 交比

C ． 面积

D ． 长度

４．射影对应把矩形变成（ ）．

５．点列之间的射影对应是由（）．

A ．三对对应点唯一确定

B ． 两对对应点唯一确定

C ．四对对应点唯一确定

D ． 无限对对应点唯一确定

６．射影对应把梯形变成（ ）．

７．在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.

A.三角形与圆

B.圆与椭圆

C.四边形与正方形

D.等腰三角形与直角三角形

８．射影对应把三角形中位线变成（ ）．

９．射影对应把三角形中线变成（ ）．

二、计算证明题

１．欧氏平面上直线的方程为0=++c by ax ，求出该直线在齐次坐标下的方程.

２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行线．

３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．

４．写出下列命题的对偶命题

设A ，B ，C 三点在一直线上,A '，B '，C '三点在另一直线上，则C B '与C B '的交点、A C '与A C '的交点、B A '与B A '的交点共线．

５．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．

６．在欧氏平面上,△ABC 的高线为AD ,BE ,CF ,另外,BC 与EF 交于X ,CA 与FD 交于Y ,AB 与DE 交于Z .求证: 三点X ,Y ,Z 共线．

７．设P ，Q ，R ，S 为完全四点形的顶点，A QR PS =⨯（PS 与QR 的交点为A ），B QS PR =⨯，C RS PQ =⨯，1A QR BC =⨯，1B RP CA =⨯，1C PQ AB =⨯，试证： 1A ，1B ，1C 共线．

８．求下列各点的线坐标方程．

（１）x 轴上无穷远点；

（２）y 轴上无穷远点； （３）以斜率3

2-为方向的无穷远点； （４）)1,2,5(-．

９．若存在，求下列各点的非齐次坐标．

)1,4,2(-A ； )3,4,0(B ；)0,8,1(C ．

10．求03321=-+x x x 和0321=+-x x x 的交点与02321=--x x x 上无穷远点的连线坐标．

11．求直线0221=+x x 上无穷远点的齐次坐标．

12．求下列各线坐标所表示的直线方程．

]1,0,1[；]1,1,1[-；]2,2,2[-；]1,0,0[；]1,1,0[．

13．试求出下面各点的齐次坐标．

（１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(． （２）以4

3为方向的无穷远点． （３）013=++y x 上的无穷远点．

14．求两点01143321=-+u u u 与035321=+-u u u 的连线的坐标．

15．求过两直线]1,1,1[，]3,1,2[的交点与点032321=++u u u 的连线的坐标．

16．求直线0221=+x x 上无穷远点的齐次坐标．

17．设△ABC的顶点A,B,C分别在共点的三直线l,m,n上移动, 且直线AB和BC分别通过定点P和Q,求证CA也通过PQ上一个定点．

三、作图题

过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点．