排列组合-拔高难度-讲义(1)

排列组合-拔高难度-

讲义(1)

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排列组合

知识讲解

一、排列

1.排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

2.排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从

n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示．

3.排列数公式：A (1)(2)

(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 4.全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．

5.n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：

0!1=．

二、组合

1.组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．

2.组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n

表示．

3.组合数公式：

(1)(2)(1)!C !!()!

m

n

n n n n m n m m n m ---+==

-，,m n +

∈N ，并且

≤．m n

组合数的两个性质：

①C C m n m

n n

-=； ②11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）

三、排列组合一些常用方法

1.特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3.排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6.插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n

个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．

7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！

8.错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当

2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列

的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

四、实际问题的解题策略

1.

排

列

与

组

合

应

用

题

三种解决途径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2.具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典型例题

一．选择题（共2小题）

1．（2018•合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）

A．24 B．48 C．96 D．120

【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2=24种，

第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有1种涂法，

当B和D不同时，B，C只有一种涂法，共有4×3×2×（1+1）=48种，

根据分类计数原理可得，共有24+48=72种，

故选：C．

2．（2018•大荔县模拟）如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为（）

A．64 B．72 C．84 D．96