辽宁省鞍山市中考数学试卷及答案
辽宁省鞍山市2024届九年级新中考(样卷)数学试卷(含解析)
2024年辽宁省鞍山市新中考数学试卷（样卷）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A．B．C．D．2．（3分）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．3，﹣1，4B．3，4，﹣1C．3，﹣4，﹣1D．3，﹣1，﹣43．（3分）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED（ ）A．B．AB•AD＝AE•ACC．D．AD•DE＝AE•EC4．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．不能确定5．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的宽为（ ）A．B．5cm C．10cm D．6cm6．（3分）已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称（ ）A．2B．1C．﹣2D．﹣17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，AC′＝5，则B′C的长为（ ）A．2B．3C．4D．58．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）A．23（1﹣x）2＝18.63B．18.63（1+x）2＝23C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.639．（3分）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是（ ）A．点R B．点P C．点Q D．点O10．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（ ）A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1sB．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C．小球从飞出到落地要用4sD．小球的飞行高度可以达到25m二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．12．（3分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，再以B为圆心，BO长为半径画弧，画射线OC，则tan ∠AOC的值为 ．13．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，根据图2中的数据可得x的值为 ．14．（3分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB＝3时，点P的坐标为 ．15．（3分）如图，已知△ABC中，D，E分别是AC，，∠AED＝∠ABC，DE与AB的延长线交于点F，EF＝3，则BC＝ ．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）解下列方程：（1）x2+3x﹣4＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE中点18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．19．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点20．（9分）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，．（1）求证：△ABM∽△CBN；（2）求AP的长．21．（8分）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款T恤，“双11”的前一周（10月30日﹣11月5日）的销售量为500件（11月6日﹣11月12日）进行降价销售，经调查，每降价1元，周销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）22．（12分）问题提出已知△ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，得到线段CF，连接BE，BF．观察发现（1）如图1，当点E在线段AB上，猜想△BEF的形状 ；探究迁移（2）如图2，当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立；拓展应用（3）若AB＝2，，在△ADE绕着点A旋转的过程中，当EF⊥AC时23．（12分）问题提出：如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，连接BE，过E作EF⊥BE（点F在BE的左侧），且，连接FG，设DE长为x（x，y均可等于0）．初步感知：（1）如图1，当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，l为其对称轴，请根据图象信息求y关于x的函数解析式及线段AD的长；（2）当点E在线段DA的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式；延伸探究：（3）若存在三个不同位置的点E（从右向左依次用E1，E2，E3表示），对应的四边形DGFE面积均相等．①试确定DE1，DE2的数量关系，并说明理由；②当2DE2＝DE1+DE3时，求四边形DGFE3的面积．2024年辽宁省鞍山市新中考数学试卷（样卷）答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．解析：解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，故选：A．2．解析：解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是7，﹣1，故选：C．3．解析：解：∵△ABC∽△AED，∴＝＝，∵＝＝，＝＝，≠，∴，故A错误；∵＝，∴AB•AD＝AC•AE，故B正确；∵＝，AE≠AD，∴，故C错误；∵AE•EC＝AE（AC﹣AE）＝AE•AC﹣AE2＝AB•AD﹣AE5，AD•DE＝AD＝•AD2，∴无法推出AD•DE＝AE•EC，故D错误．故选：B．4．解析：解：当x＝﹣1时，y1＝x5﹣4x+k＝1+4+k＝k+5；当x＝3时，y8＝x2﹣4x+k＝3﹣12+k＝k﹣3，所以y1＞y2．故选：B．5．解析：解：设放大后矩形的宽为x cm．∵放大前后矩形相似，∴＝，∴x＝2．故选：D．6．解析：解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，∴，∴，故选：C．7．解析：解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∵AB＝2，AC'＝5，故选：B．8．解析：解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．故选：A．9．解析：解：如图：∴点O是位似中心．故选：D．10．解析：解：20t﹣5t2＝15的两根t3＝1与t2＝5，即h＝15时所用的时间，∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s；h＝20t﹣7t2＝20﹣5（6﹣t）2，∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20；∴t＝6时，h＝15，故B错误；∵当h＝0时，t1＝2，t2＝4，∴t3﹣t1＝4，∴小球从飞出到落地要用5s，故C正确．故选：C．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．解析：解：∵x1，x2是一元二次方程x7+5x﹣1＝2的两个实数根，∴x1+x2＝﹣4．故答案为：﹣5．12．解析：解：连接BC，如图所示： 根据作图可知：OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝tan60°＝．13．解析：解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，则ON＝x，∵AB∥CD，∴△OCD∽△OBA，∴＝，∴即＝，∴x＝0.96．故答案为：0.96．14．解析：解：令y＝0，则﹣x2+5x+3＝0，解得x3＝﹣1，x2＝5，∴A（﹣1，0），7），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，2）和C（0，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点G，设P（t，﹣t2+7t+3），则G（t，∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t8+3t，∵S△PCB＝3，∴PG•OB＝3，即2+2t）×3＝3，解得：t6＝1，t2＝2，∴点P的坐标为（1，4）或（8，故答案为：（1，4）或（7．15．解析：解：如图，过点A作AG∥BC，∵∠AED＝∠ABC，∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠AED，即∠EBF＝∠AEF，又∵∠BFE＝∠EFA，∴△EBF∽△AEF，∴，即，∴EB＝，BF＝1，∵AG∥BC，∴△BEF∽△AGF，∴＝，即＝，∴AG＝，GF＝27，∴DG＝GF﹣DE﹣EF＝27﹣9﹣4＝15，∵AG∥BC，∴△ADG∽△CDE，∴，即，∴CE＝，∴BC＝BE+CE＝＝．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．解析：解：（1）x2+3x﹣4＝0，则（x﹣1）（x+8）＝0，则x﹣1＝4或x+4＝0，解得x5＝1，x2＝﹣5；（2）2x2﹣5x﹣1＝0，x7﹣2x＝，∴x2﹣2x+5＝+62＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝3﹣．17．解析：证明：∵D为AE中点，∴AE＝2AD，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠B＝∠C．∴△ABE∽△ACD，∴＝＝2，∴AB＝2AC．18．解析：证明：根据题意可得；a＝1，b＝2k，∴，∵，∴，∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．19．解析：解：（1）由题知，y＝2x2+3x﹣6＝2（x4+2x+1）﹣2＝2（x+1）2﹣8，所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5）．（2）令y＝0得，2x7+4x﹣6＝8，解得x1＝1，x3＝﹣3．又因为将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以﹣5+m＝0，解得m＝3．故m的值为5．20．解析：（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，∴AB＝MB，BC＝BN，∴，∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，∴△ABM∽△CBN；（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，∴∠BMA＝∠BNC，∵CN∥BM，∴∠BMA＝∠APN，∴∠APN＝∠BNC，又∵BC＝BN，∴∠BNC＝∠BCN，∴∠APN＝∠BCN，∴BC∥MP，∴四边形BCPM为平行四边形，∴BC＝PM，∵△ABM∽△CBN，∴，即，∴CB＝5＝PM，∴AP＝PM﹣AM＝5﹣6＝2．21．解析：解：设售价为每件x元，利润为y元，得：y＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000＝﹣50（x﹣55）2+11250，∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，∴，解得40≤x≤52，∵a＝﹣50＜0，∴抛物线开口向下，∵抛物线的对称轴为直线x＝55，∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，∴当x＝52时，y有最大值4+11250＝10800（元），答：当定价为每件52元，才能使利润最大．22．解析：解：（1）点E在线段AB上时，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠AED＝60°＝∠BEF，∴△BEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）当点E不在线段AB上，（1）中的结论依然成立延长AD交BC于M，如图：∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠DAE，AB＝BC，∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，∴AD＝CF，AD∥CF，∴AE＝CF，∠BCF＝∠AMC，∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝60°+∠BAM＝∠DAE+∠BAM＝∠BAE，∴∠BCF＝∠BAE，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，即∠ABC＝∠EBF，∵∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形；（3）设直线AC交EF于H，分两种情况：①当EF在BC下方时，如图：由（2）可知△BEF是等边三角形，∴∠BFE＝60°，BF＝EF，∵∠ACB＝60°，∴∠BCH＝120°，∵EF⊥AC，∴∠H＝90°，∴∠FBC＝360°﹣∠BFE﹣∠H﹣∠BCH＝90°，∴BF＝，∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，∴CF＝AD＝，而BC＝AB＝2，∴BF＝＝，∴EF＝；设EH＝x，CH＝y，∵FH2+CH2＝CF2，EH5+AH2＝AE2，∴，∴，①﹣②得：3x﹣4y+，∴y＝x+③，把③代入①得：+32+x2+x+＝，解得x＝（负值已舍去），∴y＝×+＝，∵AF2＝FH2+AH6，∴AF2＝（+x）2+（y+3）2＝（+）2+（+2）2＝，∴AF＝；当EF在BC上方时，如图：同理可得∠ABE＝360°﹣∠FEB﹣∠H﹣∠BAH＝90°，∴BE＝＝＝EF，设FH＝m，AH＝n，∵EH2+AH2＝AE3，FH2+CH2＝CF8＝AD2，∴，解得（负值已舍去），∴AF＝＝；综上所述，AF的值为或．23．解析：解；（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+，将原点代入解析式得：0＝a+，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+＝﹣x8+x（0≤x≤2），令y＝5，解得：x1＝0，x3＝2，∴AD＝2﹣7＝2；（2）当E在DA延长线上时，如图：∵BE⊥EF，∴∠HEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，又∵AB⊥AE，∴∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠HEF＝∠ABE，又∵EF∥DG，∴∠ADG＝∠HEF，∴∠ADE＝∠ABE，又∵∠DAG＝∠EAB，∴△ADG∽△ABE，∴＝＝，又∵，∴DG＝EF，∴四边形DEFG为平行四边形，∴y＝DE•AG，∵AE＝DE﹣AD＝x﹣2，∴AG＝＝（x﹣2）＝，∴y＝x•（x﹣1）＝x2﹣x（x≥2）；（3）①画出y关于x的图形，如图：∴存在三个不同位置的点E时，4＜y＜，∴DE4和DE2的长度在抛物线y＝﹣x2+x上，∴DE1+DE8＝2；②∵2DE8＝DE1+DE3，∴4DE2＝2﹣DE5+DE3，∴DE3＝2DE2﹣2，令DE8＝a，则有：﹣a4+a＝（6a﹣2）2﹣（6a﹣2），整理得：5a7﹣10a+4＝0，解得：a＝或（小于8，∴y＝，即四边形DGFE5的面积为．。
精品解析：辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷(解析版)
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1.下列实数最小的是（ ）
A.－2B.－3.5C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
【详解】解：因 ，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．
【答案】 或
【解析】
【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得 ，设 ，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出 ， ， ， ，从而利用分类讨论思想解题．
【详解】解： ，C为AB的中点，
，
， ，
又由折叠性质可得 ，
，
设 ，则 ， ， ， ，
①当 时， ，
，
解得 ，
；
②当 时， ，
，方程无解，
2.下列四幅图片上呈现 是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出当点 落在AB上时，t的值，分 或 两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．
【详解】解：如图1中，当点 落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．
， ， ，
，
，
，
鞍山中考数学试题及答案
鞍山中考数学试题及答案鞍山市中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方根是2B. 圆的周长与直径的比值是πC. 绝对值是它本身的数只有正数D. 任何数的0次幂都等于1答案：B2. 如果一个数的相反数是-3，那么这个数是：A. 3B. -3C. 0D. 无法确定答案：A3. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 以上都是答案：D4. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为5，那么这个三角形的周长是：A. 16B. 21C. 26D. 无法确定答案：B5. 一个数列的前三项为1，2，4，那么第四项是：A. 7B. 8C. 16D. 无法确定答案：C6. 计算下列表达式的结果：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 4x + 3) =A. 2x^2 + 2x - 2B. 2x^2 + 2x + 2C. 2x^2 - 2x - 2D. 2x^2 - 2x + 2答案：D7. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 无法确定答案：A8. 一个二次函数的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），那么这个函数的一般形式是：A. y = a(x - 1)^2 - 2B. y = a(x + 1)^2 - 2C. y = a(x - 1)^2 + 2D. y = a(x + 1)^2 + 2答案：A9. 一个扇形的圆心角为60°，半径为4，那么这个扇形的面积是：A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π答案：A10. 一个多项式除以x-2，商为x^2 + 3x + 2，余数为3，那么这个多项式是：A. x^3 + x^2 + 7x + 7B. x^3 + 5x^2 + 7x + 7C. x^3 + 3x^2 + 7x + 7D. x^3 + 3x^2 + 5x + 7答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______。
鞍山岫岩中考数学试题及答案
鞍山岫岩中考数学试题及答案一、选择题1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，若 f(a) = 7，则 a 的值为多少？A. 3B. 1C. 2D. 4解析：根据已知条件，将 f(a) = 7 代入函数 f(x) = 2x + 1，得到 2a +1 = 7，解方程可得 a = 3。
因此，选项 A 正确。
2. 若 x + y = 5， 2x - y = 1，则 x 和 y 的值分别为多少？A. x = 2, y = 3B. x = 4, y = 1C. x = 3, y = 2D. x = 1, y = 4解析：使用联立方程的方法求解。
将两个方程同时进行消元，消去y 变量，得到 3x = 6，解方程可得 x = 2。
将 x = 2 代入其中一个原方程求解 y，得到 y = 3。
因此，选项 A 正确。
3. 若正方形的边长为 a，则其对角线的长度为多少？A. aB. a√2C. 2aD. 2a√2解析：对角线的长度等于两个边的长度平方和的平方根，即 d =√(a^2 + a^2) = √2a^2 = a√2。
因此，选项 B 正确。
二、填空题1. 如果 a:b = 2:3，b:c = 4:5，则 a:c = ______。
解析：根据比例的性质，可以将 a:b 和 b:c 的比例分别相乘，得到a:c 的比例是 2:3 × 4:5 = 8:15。
所以，答案是 8:15。
2. 下列哪个数字是无理数？A. 2/3B. √2C. 0.5D. 3解析：无理数是指不能表示为两个整数之比的数。
其中，选项B √2 是无理数，其他选项都可以表示为两个整数之比。
因此，选项B 正确。
三、解答题1. 解方程 3x + 5 = 14。
解析：将方程移项得到 3x = 14 - 5，即 3x = 9。
然后除以系数 3，得到 x = 9 / 3 = 3。
所以，方程的解是 x = 3。
2. 计算平方根√144 + √64。
解析：将两个根号内的数分别进行开根号，得到√144 + √64 = 12 +8 = 20。
辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷(含答案)
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）1.下列实数最小的是（）A.－2B.－3.5C.0D.1【答案】B【解析】【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．-<-<<，【详解】解：因为 3.5201所以最小的实数是－3.5．故选：B．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．2.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．3.下列运算正确的是（）A.235a a a +＝ B.3412a a a ⋅＝ C.32a a a÷＝ D.()236236a b a b-＝【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．【详解】解：A ．2a 与3a 不是同类项，不能合并，故A 选项不符合题意；B ．347a a a ⋅=，故B 选项不符合题意；C ．32a a a ÷=，故C 选项符合题意；D ．3262(3)9a b a b -=，故D 选项不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．4.不等式32x x -的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．【详解】解：∵32x x -≤，∴23x x --≤-，∴33x -≤-，解得：1≥x ，∴不等式的解集为：1≥x ，表示在数轴上如图：故选B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.如图，直线//a b ，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若124∠︒＝，则2∠的度数为（）A.120︒B.136︒C.144︒D.156︒【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质求解，找出图中1424∠=∠=︒，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．【详解】解：如图，作//c a ，三角尺是含30°角的三角尺，3460∴∠+∠=︒，//a c ，1424∴∠=∠=︒，3602436∴∠=︒-︒=︒，//a c ，//a b ，//b c ∴，218036144∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．6.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：时间/h 6789人数218146那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.18，7.5B.18，7C.7，8D.7，7.5【答案】D 【解析】【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为7h ，第21名同学的时间为8h ，所以中位数为787.52+=．故选：D ．【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7.如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（）A.34︒B.36︒C.46︒D.54︒【答案】B 【解析】【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8.如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P ' ，设运动时间为ts ，MN P ' 与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出当点N '落在AB 上时，t 的值，分02t <≤或23t <≤两种情形，分别求出S 的解析式，可得结论．【详解】解：如图1中，当点N '落在AB 上时，取CN 的中点T ，连接MT ．CM t = ，2CN t =，CT TN =，CT TN t ∴==，ABC 是等边三角形，60C A ∴∠=∠=︒，MCT ∴ 是等边三角形，TM TC TN ∴==，90CMN ∴∠=︒，//MP AC ，60BPM A MPN ∴∠=∠=∠=︒，60BMP C ∠=∠=︒，180C CMP ∠+∠=︒，120CMP ∴∠=︒，BMP 是等边三角形，BM MP ∴=，180CMP MPN ∠+∠=︒ ，//CM PN ∴，//MP CN ，∴四边形CMPN 是平行四边形，2PM CN BM t ∴===，36t ∴=，2t ∴=，如图2中，当02t <≤时，过点M 作MK AC ⊥于K ，则3sin602MK CM t =⋅︒=，21333(6)2242S t t t t ∴=⋅-⋅=-+．如图3中，当23t <≤时，213(6)24S t =⨯-，观察图象可知，选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每小题3分，共24分）9.第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为_______________．【答案】91.4117810⨯【解析】【分析】根据把一个大于10的数记成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，进行求解即可出得出答案．【详解】解：91411780000 1.4117810=⨯．故答案为：91.4117810⨯．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．【答案】14【解析】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的18∴黑色方砖在整个地板中所占的比值14=，∴小球最终停留在黑色区域的概率14=，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.11.如图，ABC 沿BC 所在直线向右平移得DEF ，已知2EC =，8BF =，则平移的距离为___．【答案】3【解析】【分析】利用平移的性质解决问题即可；【详解】由平移的性质可知，BE =CF ，∵BF =8，EC =2，∴BE +CF =8-2=6，∴BE =CF =3，∴平移的距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型；12.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则符合题意的方程是___________________．【答案】3600240040.8x x-=【解析】【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元，依题意得：3600240040.8x x -=．故答案为：3600240040.8x x-=．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.13.如图，矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 交于点O ，DH AC ⊥，垂足为点H ，若2ADH CDH ∠=∠，则AD 的长为_______________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性质得3CD AB ==，90ADC ∠=︒，求出30CDH ∠=︒，利用30°角的直角三角形的性质求出CH 的长度，再利用勾股定理求出DH 的长度，根据60ADH ∠=︒求出30DAC ∠=︒，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，3CD AB ∴==，90ADC ∠=︒，2ADH CDH ∠=∠ ，30CDH ∴∠=︒，60ADH ∠=︒，∴1322CH CD ==在RT DHC 中，332DH ==DH AC ⊥ ，90DHA ∴∠=︒，906030DAC ∴∠=︒-︒=︒，2AD DH ∴==故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．14.如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C ' ，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．【答案】67.5︒或72︒【解析】【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得COA COA BAO ∠=∠'=∠，设COA COA BAO x ∠=∠'=∠=︒，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出2BCO x ∠=︒，902A OB x ∠'=︒-︒，90OBD x ∠=︒-︒，3BDO AOD BAO x ∠=∠+∠=︒，从而利用分类讨论思想解题．【详解】解：90POQ ∠=︒ ，C 为AB 的中点，OC AC BC ∴==，COA BAO ∴∠=∠，OBC BOC ∠=∠，又由折叠性质可得COA COA ∠=∠'，COA COA BAO ∴∠=∠'=∠，设COA COA BAO x ∠=∠'=∠=︒，则2BCO x ∠=︒，902A OB x ∠'=︒-︒，90OBD x ∠=︒-︒，3BDO AOD BAO x ∠=∠+∠=︒，①当OB OD =时，ABO BDO ∠=∠，903x x ∴︒-︒=︒，解得22.5x =︒，9022.567.5OBD ∴∠=︒-︒=︒；②当BD OD =时，OBD A OB ∠=∠'，90902x x ∴︒-︒=︒-︒，方程无解，∴此情况不存在；③当OB DB =时，BDO A OB ∠=∠'，3902x x ∴︒=︒-︒，解得：18x =︒，901872OBD ∴∠=︒-︒=︒；综上，OBD ∠的度数为67.5︒或72︒，故答案为：67.5︒或72︒．【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角形的性质，难度一般．15.如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABC S = ，则k =_____．【答案】18【解析】【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出△ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴ ∽，DB BE DE CO CE EO ∴==，32BE CO CE AD == ，32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====，设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =，92a BD ∴=，132a AB AD DB ∴=+=，1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯= ，45ab ∴=，94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅=== 矩形，又 反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．16.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：①当BG BM =时，AG =；②OH OF OM OC=；③当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；④222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．【答案】①③④【解析】【分析】①正确．利用面积法证明AG AC BG BC==②错误．假设成立，推出OFH OCM ∠=∠，显然不符合条件．③正确．如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．想办法证明CM CF =，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．④正确．如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW =，BM DW =，90MCW ∠=︒，45CBM CDW ∠=∠=︒，证明FM FW =，利用勾股定理，即可解决问题．【详解】解：如图1中，过点G 作GT AC ⊥于T ．BG BM = ，BGM BMG ∴∠=∠，BGM GAC ACG ∠=∠+∠ ，BMG MBC BCM ∠=∠+∠，四边形ABCD 是正方形，45GAC MBC ∴∠∠︒＝＝，AC ，ACG BCG ∴∠∠＝，GB CB ⊥ ，GT AC ⊥，GB GT ∴＝，1212BCG ACG BC GB S BG BC S AG AC AC GT ⋅⋅====⋅⋅，AG ∴，故①正确，假设OH OF OM OC=成立，FOH COM ∠∠ ＝，FOH COM ∴ ∽，OFH OCM ∴∠∠＝，显然这个条件不成立，故②错误，如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．90OFH FHO ∠+∠︒ ＝，90FHO FCO ∠+∠︒＝，OFH FCO ∴∠∠＝，AB CB ＝，ABF CBF ∠∠＝，BF BF ＝，ABF CBF SAS ∴ ≌（），AF CF ∴＝，BAF BCF ∠∠＝，90CFG CBG ∠∠︒ ＝＝，180BCF BGF ∴∠+∠︒＝，180BGF AGF ∠+∠︒ ＝，AGF BCF GAF ∴∠∠∠＝＝，AF FG ∴＝，FG FC ∴＝，45FCG BCA ∴∠∠︒＝＝，ACF BCG ∴∠∠＝，//MQ CB ，GMQ BCG ACF OFH ∴∠∠∠∠＝＝＝，90MQG FOH ∠∠︒ ＝＝，FH MG ＝，FOH MQG AAS ∴ ≌（），MQ OF ∴＝，BMP MBQ ∠∠ ＝，MQ AB ⊥，MP BC ⊥，MQ MP ∴＝，MP OF ∴＝，90CPM COF ∠∠︒ ＝＝，PCM OCF ∠∠＝，CPM COF AAS ∴ ≌（），CM CF ∴＝，//OE AG ，OA OC ＝，EG EC ∴＝，FCG 是等腰直角三角形，45CFN ∴∠︒＝，CFN CBM ∴∠∠＝，FCN BCM ∠∠ ＝，BCM FCN ∴ ∽，CM CB CN CF∴=，2CF CB CN ∴⋅＝，故③正确，如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW ＝，BM DW ＝，90MCW ∠︒＝，45CBM CDW ∠∠︒＝＝，∵FG =FC ，∠GFO =∠FCN ，∠FGM =∠CFN =45°，∴△FGM ≌△CFN ，∴FM =CN ，45FCG FCW ∠∠︒ ＝＝，CM CW ＝，CF CF ＝，CFN CFW SAS ∴ ≌（），FM FW ∴＝，454590FDW FDC CDW ∠∠+∠︒+︒︒ ＝＝＝，222FW DF DW ∴+＝，2222CN FM BM DF ∴=+＝，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、解答题（每小题8分，共16分）17.先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a =+．【答案】2a a -，13+【解析】【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值．【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+--2a a =-．当2a +时，原式6163+===+．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．18.如图，在ABCD 中，G 为BC 边上一点，DG DC =，延长DG 交AB 的延长线于点E ，过点A 作//AF ED 交CD 的延长线于点F ．求证：四边形AEDF 是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先证四边形AEDF 是平行四边形，再证BAD ADE ∠∠＝，则AE DE ＝，即可得出结论．【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，BAD C ∴∠∠＝，//AD BC ，//AB CD ，//AF ED ，∴四边形AEDF 是平行四边形，//AD BC ，DGC ADE ∴∠∠＝，DG DC ＝，DGC C ∴∠∠＝，BAD ADE ∴∠∠＝，AE DE ∴＝，∴平行四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解题的关键．四、解答题（每小题10分，共20分）19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是．（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．【答案】（1）14；（2）12．【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1） 每套海报四张∴小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是1 4，故答案为：1 4；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，∴小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为61=122．【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．20.为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？（2）补全条形统计图．（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．【答案】（1）120；（2）图形见解析；（3）360件【解析】【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：1210%120÷=（件），所抽取的学生作品的样本容量是120；（2）绘画作品为120(423012)36-++=（件），补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：361200360120⨯=（件），则绘画作品约有360件．答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（每小题10分，共20分）21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x ＝-；（2）643【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x =中，26212k ⨯＝-＝-，∴反比例函数的解析式为12y x＝-；过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴ ∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝，将6y ＝代入12y x ＝-中，126x=-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝；（2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-，将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝，AOC AEDOCDE S S S 四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．22.小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A 在南门B 的正北方向，小明自公园北门A 处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D 处；小华自南门B 处出发，沿正东方向行走150m 到达C 处，再沿北偏东22.6︒方向前往游乐场D 处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A 与南门B 之间的距离．（结果取整数．参考数据：5sin22.613︒≈，12cos22.613︒≈，5tan22.612︒≈ 1.732≈）【答案】1293m【解析】【分析】作DE AB ⊥于E ，CF DE ⊥于F ，易得四边形BCFE 是矩形，则BE CF ＝，15＝＝EF BC m ，设m DF x ＝，则()150＝+DE x m ，在Rt ADE △中利用含30度的直角三角形三边的关系得到()22150m AD DE x +＝＝，在Rt DCF 中，13m sin 22.65DF CD x ≈︒＝，根据题意得到()1321501505x x ++＝，求得x 的值，然后根据勾股定理求得AE 和BE ，进而求得AB ．【详解】解：如图，作DE AB ⊥于E ，CF DE ⊥于F，BC AB ⊥ ，∴四边形BCFE 是矩形，BE CF ∴＝，150m EF BC ＝＝，设m DF x ＝，则150m DE x +＝（），在Rt ADE △中，30BAD ∠︒＝，()22150m AD DE x ∴+＝＝，在Rt DCF 中，22.6FCD ∠︒＝，13m 5sin 22.6513＝∴≈=︒DF x CD x ，AD CD BC + ＝，()1321501505x x ∴++＝，解得：250m ＝x ，250m DF ∴＝，250150400m DE ∴+＝＝，2800m AD DE ∴＝＝，800150650m CD ∴＝﹣＝，由勾股定理得AE ===，600m BE CF ＝，6001293(m)AB AE BE ∴+≈＝＝，答：公园北门A 与南门B 之间的距离约为1293m ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）23.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E ，CE 交O 于点G ，连接AC ，AG ，在EA 的延长线上取点F ，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG =，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝，在Rt ADE △中，2AD ==，设O 的半径为x ，则2AB x ＝，22BD BC x ＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．（1）求每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）2160y x -+＝；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元【解析】【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）由题意可得：202(70)y x +-＝，整理，得：2160y x -+＝，∴每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为2160y x -+＝；（2）设销售所得利润为w ，由题意可得：2(302)(32)(2160)22245120w x y x x x x =--=--+=-+-，整理，得：22(56)1152w x =--+，20-< ，∴当56x ＝时，w 取最大值为1152，∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．七、解答题（本题满分12分）25.如图，在ABC 中，AB AC =，0180BAC αα∠=︒<<︒（），过点A 作射线AM 交射线BC 于点D ，将AM 绕点A 逆时针旋转α得到AN ，过点C 作//CF AM 交直线AN 于点F ，在AM 上取点E ，使AEB ACB ∠=∠．（1）当AM 与线段BC 相交时，①如图1，当60α=︒时，线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系为．②如图2，当90α=︒时，写出线段AE ，CE 和CF 之间的数量关系，并说明理由．（2）当4tan 3α=，5AB ＝时，若CDE △是直角三角形，直接写出AF 的长．【答案】（1）①AE CF CE +＝；②)EC AE CF =-，理由见解析；（2或154【解析】【分析】（1）①结论：AE CF CE +＝．如图1中，作//CT AF 交AM 于T ．想办法证明AT CF ＝，ET CE ＝，可得结论．②结论：EC AE CF ﹣）．过点C 作CQ AE ⊥于Q ．想办法证明CF AQ ＝，CE，可得结论．（2）分两种情形：如图3－1中，当90CDE ∠︒＝时，过点B 作BJ AC ⊥于J ，过点F 作FK AE ⊥于K ．利用勾股定理以及面积法求出CD ，再证明FK CD ＝，可得结论．如图3－2中，当90ECD ∠︒＝时，90DAB ∠︒＝，解直角三角形求出AK ，可得结论．【详解】解：（1）①结论：AE CF CE +＝．理由：如图1中，作//CT AF 交AM 于T ．AB AC Q ＝，60BAC ∠︒＝，ABC ∴ 是等边三角形，CA CB ∴＝，60ACB ∠︒＝，//AF CT ，//CF AT ，∴四边形AFCT 是平行四边形，CF AT ∴＝，ADC BDE ∠∠ ＝，DEB ACD ∠∠＝，ACD BED ∴ ∽，∴=AD CD BD ED ，AD BD DC ED∴=，ADB CDE ∠∠ ＝，ADB CDE ∴ ∽，60ABD CED ∴∠∠︒＝＝，//CT AF ，60CTE FAE ∴∠∠︒＝＝，CTE ∴ 是等边三角形，EC ET ∴＝，AE AT ET CF CE ∴++＝＝．故答案为：AE CF CE +＝．②如图2中，结论：)EC AE CF =-．理由：过点C 作CQ AE ⊥于Q ．//CF AM ，180CFA MAN ∴∠+∠︒＝，90MAN ∠︒ ＝，90CFA FAQ ∴∠∠︒＝＝，90CQA ∠︒ ＝，∴四边形AFCQ 是矩形，CF AQ ∴＝，ADC BDE ∠∠ ＝，DEB ACD ∠∠＝，ACD BED ∴ ∽，∴=AD CD BD ED ，AD BD DC ED∴=，ADB CDE ∠∠ ＝，ADB CDE ∴ ∽，45ABD CED ∴∠∠︒＝＝，90CQE ∠︒ ＝，CE ∴，AE CF AE AQ EQ ∴﹣＝﹣＝，)EC AE CF ∴=-．（2）如图3－1中，当90CDE ∠︒＝时，过点B 作BJ AC ⊥于J ，过点F 作FK AE ⊥于K ．在Rt ABJ 中，4tan 3BJ BAJ AJ ∠＝＝，5AB ＝，3AJ ∴＝，4BJ ＝，5AC AB ＝＝，532CJ AC AJ ∴=-=-=，22222425BC BJ CJ ∴++＝＝＝，1122AC BJ BC AD ⋅⋅⋅⋅ ＝，54525AD ∴＝，22225(25)5CD AC AD ∴--＝＝＝，FK AD ⊥ ，90CDE FKD ∴∠∠︒＝＝，//CD FK ∴，//CF DK ，∴四边形CDKF 是平行四边形，90FKD ∠︒ ＝，∴四边形CDKF 是矩形，5FK CD ∴＝＝，4tan tan 3FAK CAB ∠∠ ＝＝，43FK AK ∴=，354AK ∴2222355(5)44AF AK FK ⎛⎫∴++ ⎪ ⎪⎝⎭＝＝＝．如图3－2中，当90ECD ∠︒＝时，同理可得：90DAB EAC CAB EBC CEB ∠∠+∠=∠+∠=︒＝，//CF AM ，90AKF DAB ∴∠∠︒＝＝，在Rt ACK 中，4tan 3CK CAK AK ∠＝＝，5AC ＝，4CK ∴＝，3AK ＝，MAN CAB ∠∠ ＝，90CAN DAB ∴∠∠︒＝＝，90CAB BAF ∴∠+∠︒＝，90BAF AFK ∠+∠︒＝，AFK CAB ∴∠∠＝，4tan 3AK AFK FK ∴∠＝＝，94FK ∴＝，154AF ∴．综上所述，满足条件的AF 154．【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．八、解答题（本题满分14分）26.如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，D 是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P 的横坐标为03m m ≤≤（），//AE PD 交直线l ：122y x =+于点E ，AP 交DE 于点F ，交y 轴于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）设 PDF 的面积为1S ，AEF 的面积为2S ，当12S S =时，求点P 的坐标；（3）连接BQ ，点M 在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且45BMQ ∠︒＝，在点P 从点B 运动到点C 的过程中，点M 也随之运动，直接写出点M 的纵坐标t 的取值范围．【答案】（1）223y x x ＝﹣﹣；（2）57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）32t +≤≤．【解析】【分析】（1）运用待定系数法将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx +＝﹣，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标(1,4)D -，由//AE PD 得AEF PDF ∽，再根据 PDF 与AEF 的面积相等，可得AEF PDF ≌，故点F 分别是AP 、ED 的中点，设1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,23P m m m （﹣﹣），结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t 的最大值和最小值：①当点P 与点B 重合时，点Q 与点O 重合，此时t 的值最大，如图2，以OB 为斜边在第一象限内作等腰直角O OB ' ，以O '为圆心，OO '为半径作O ' ，交抛物线对称轴于点1M t （,），过点O '作O H y '⊥轴于点H ，运用勾股定理即可求得答案，②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 重合，此时t 的值最小，如图3，连接BC ，以O 为圆心，OB 为半径作O 交抛物线对称轴于点M ，连接OM ，设抛物线对称轴交x 轴于点E ，运用勾股定理即可求得答案．【详解】解：（1） 抛物线23y ax bx +＝﹣交x 轴于点(10)﹣，A ，(3,0)B ，∴将A 、B 坐标分别代入抛物线解析式得：309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x ＝﹣﹣；（2）如图，D 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：222314y x x x ＝﹣﹣＝（﹣）﹣，1,4D ∴（﹣），//AE PD 交直线l ：122y x +＝于点E ，P 是抛物线上的动点，点P 的横坐标为03m m （） ，AEF PDF ∴ ∽，设1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,23P m m m （﹣﹣），又PDF 的面积为1S ，AEF 的面积为2S ，12＝S S ，AEF PDF ∴ ≌，AF PF ∴＝，EF DF ＝，即点F 分别是AP 、ED 的中点，又(10)A ﹣，，2,23P m m m （﹣﹣），1,22E e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1,4D （﹣），∴由中点坐标公式得：21122124230222m e e m m -+⎧=⎪⎪⎨+-⎪--+=⎪⎩，解得：10m ＝（与“//AE PD ”不符，应舍去），252m ＝，212e ∴＝，57,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，19,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）①当点P 与点B 重合时，点Q 与点O 重合，此时t 的值最大，如图2，以OB 为斜边在第一象限内作等腰直角O OB ' ，则33,22O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，322OO O B ''＝＝，以O '为圆心，OO '为半径作O ' ，交抛物线对称轴于点1M t （,），过点O '作O H y '⊥轴于点H ，则90O HM ∠'︒＝，12O H '＝，322O M OO ''＝＝，222232117222MH O M O H ⎛⎫⎛⎫''∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝，317317222t +∴=+=，②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 重合，此时t 的值最小，如图3，连接BC ，以O 为圆心，OB 为半径作O 交抛物线对称轴于点M ，3OB OC ＝＝，O ∴ 经过点C ，连接OM ，设抛物线对称轴交x 轴于点E ，则3OM OB ＝＝，1OE ＝，90MEO ∠︒ ＝，22223122ME OM OE ∴--＝＝＝，t ∴＝，综上所述，32t ．【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．。
2023年辽宁省鞍山市中考数学试题卷(含答案解析)
2023年辽宁省鞍山市中考数学试题卷（含答案解析）一、选择题1.已知∠A=60°，BC=3，AC=√7，则BC的长度为（）．A)√21 B)√24 C) √25 D)√28答案：A 解析：根据余弦定理可以求解BC，根据正弦定理可以求解∠ACB，结合两个角的关系即可解题。
2.设∠A和∠B是同位角，则∠A=（）°．A)∠B B)2∠B C)∠B/2 D)180°-∠B答案：C 解析：同位角指的是两条直线被一条干扰线所切割而形成的一对内错角或外错角。
根据同位角的定义，∠A=∠B/2。
3.直线y=kx-3与x轴交于点A，直线y=-x-1与x轴交于点B。
若点P(1,2)在线段AB上，则k的取值范围是（）．A)[2,3) B)(-∞,1) C) (-1,4) D)(-∞,∞)答案：D 解析：首先，直线y=kx-3与x轴的交点为(-3/k,0)，直线y=-x-1与x轴的交点为(-1,0)。
因为点P(1,2)在线段AB上，所以点P在线段AB的x坐标范围为-3/k 到-1之间，即-3/k < 1 < -1，整理得-1 < k < -3。
因此，k的取值范围是(-∞,∞)。
4.在直角坐标系中，若点A(1,2)关于原点O对称，则点A’的坐标是（）．A)(2,1) B)(-1,-2) C) (-1,2) D)(-2,-1)答案：D 解析：点A关于原点O对称，则A’的坐标的x坐标和y坐标分别是点A的x坐标和y坐标的相反数。
所以A’的坐标是(-1,-2)。
二、填空题1.在下面的分数中，分子是15，分母是在1到10之间的奇数，则这些分数的和是____．答案：15/1 + 15/3 + 15/5 + 15/7 + 15/9 = 8 4/52.一块圆形花坛的直径是4米，则它的周长是____米．答案：4π米3.方程2m-3=4的解是____．答案：m = 7/2三、解答题1.已知函数y=2x+3，求函数的零点．答案和解析：零点指的是函数图像与x轴相交的点，也就是函数的解。
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷含答案解析
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.-的绝对值是（ ）A. -2020B. -C.D. 20202.如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（ ）A. B.C. D.3.下列计算结果正确的是（ ）A. a2+a2=a4B. （a3）2=a5C. （a+1）2=a2+1D. a•a=a24.我市某一周内每天的最高气温如下表所示：最高气温（℃）25262728天数1123则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 26.5和28B. 27和28C. 1.5和3D. 2和35.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC=54°，则∠1的度数为（ ）A. 36°B. 54°C. 72°D. 73°6.甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（ ）A. B. C. D.7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC=2cm，则∠A的度数为（ ）A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°8.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y=x（x≥0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（ ）A.22021 B. 22020 C. 22019 D. 22018二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为______．10.分解因式：a3-2a2b+ab2=______．11.在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为______．12.如果关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是______．13.不等式组的解集为______．14.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为______．15.如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（-2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD=1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为______．16.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2=GH•BG；③若DF=2CF，则CE=7GF；④S四边形ABCG=BG2．其中正确的结论有______．（只填序号即可）三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.先化简，再求值：（x-1-）÷，其中x=-2．18.如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE=AF．（2）若EF=12，sin∠ABF=，求⊙O的半径．四、解答题（本大题共8小题，共84.0分）19.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．20.为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．请回答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；（2）请补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．21.甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是______；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．22.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC=3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△CDE的面积．24.某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：每件售价x（元）…15161718…每天销售量y（件）…150140130120…（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？25.在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是______，位置关系是______；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M 是BH中点，连接GM，AB=3，BC=2，求GM的最小值．26.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A（-2，-4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AME面积的时，请直接写出线段AM的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：|-|=．故选：C．-的绝对值等于它的相反数，据此求解即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．2.【答案】A【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形．故选：A．从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．3.【答案】D【解析】解：A、原式=2a2，不符合题意；B、原式=a6，不符合题意；C、原式=a2+2a+1，不符合题意；D、原式=a2，符合题意．故选：D．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：共7天，中位数应该是排序后的第4天，则中位数为：27℃，28℃的有3天，最多，所以众数为：28℃．故选：B．根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2，∠ABC=54°，∴∠2=∠ABC=54°，∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=54°，∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠1=72°．故选：C．根据平行线的性质得出∠2的度数，再由作图可知AC=AB，根据等边对等角得出∠ACB ，最后用180°减去∠2与∠ACB即可得到结果．本题考查了平行线的性质，等边对等角，解题的关键是要根据作图过程得到AC=AB．6.【答案】B【解析】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：=．故选：B．设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+6）个，根据甲加工240个零件所用的时间与乙加工300个零件所用的时间相等，列方程．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找到合适的等量关系．7.【答案】A【解析】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选：A．连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．8.【答案】D【解析】解：设△B n A n A n+1的边长为a n，∵点B1，B2，B3，…是直线y=x上的第一象限内的点，∴∠A n OB n=30°，又∵△B n A n A n+1为等边三角形，∴∠B n A n A n+1=60°，∴∠OB n A n=30°，∠OB n A n+1=90°，∴B n B n+1=OB n=a n，∵点A1的坐标为（1，0），∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，∴a n=2n-1．∴B2019B2020=a2019=×22018=22018，故选：D．设△B n A n A n+1的边长为a n，根据直线的解析式能的得出∠A n OB n=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OB n A n=30°，∠OB n A n+1=90°，从而得出B n B n+1=a n，由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，a n=2n-1．即可求得B2019B2020=a2019=×22018=22018．本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解直角三角形等，解题的关键是找出规律B n B n+1=OB n=a n，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．9.【答案】8.81×106【解析】解：8810000=8.81×106，故答案为：8.81×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10.【答案】a（a-b）2【解析】解：a3-2a2b+ab2，=a（a2-2ab+b2），=a（a-b）2．先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．11.【答案】24个【解析】解：设白球有x个，根据题意得：=0.2，解得：x=24，经检验：x=24是分式方程的解，即白球有24个，故答案为24个估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.2，然后根据概率公式构建方程求解即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．12.【答案】【解析】解：根据题意得△=（-3）2-4k=0，解得k=．故答案为．利用判别式的意义得到△=（-3）2-4k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．13.【答案】1＜x≤2【解析】解：解不能等式2x-1≤3，得：x≤2，解不等式2-x＜1，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤2，故答案为：1＜x≤2．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．14.【答案】3【解析】解：∵在▱ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；∵∠B=∠DCF，∠F=∠F（公共角），∴△ABF∽△ECF，∵，∴S△ABF：S△CEF=1：4；又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案为：3．根据▱ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求得△ABF与△CEF的相似比．15.【答案】（-1，0）【解析】解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD=1，连接AD，则AD+BC的值最小，∵B（-2，2），∴B′（-2，-2），设直线B′A′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线B′A′的解析式为y=2x+2，当y=0时，x=-1，∴C（-1，0），故答案为：（-1，0）．把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD=1，连接AD，则AD+BC的值最小，求出直线B′A′的解析式为y=2x+2，解方程即可得到结论．本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：∵ABCD为菱形，∴AD=CD，∵AE=DF，∴DE=CF，∵∠ADC=60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠D=∠ACD=60°，AC=CD，∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；过点F作FP∥AD，交CE于P点．∵DF=2CF，∴FP：DE=CF：CD=1：3，∵DE=CF，AD=CD，∴AE=2DE，∴FP：AE=1：6=FG：AG，∴AG=6FG，∴CE=AF=7GF，故③正确；过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC，即∠AGC+∠ABC=180°，∴点A、B、C、G四点共圆，∴∠AGB=∠ACB=60°，∠CGB=∠CAB=60°，∴∠AGB=∠CGB=60°，∴BM=BN，又AB=BC，∴△ABM≌△CBN（HL），∴S四边形ABCG=S四边形BMGN，∵∠BGM=60°，∴GM=BG，BM=BG，∴S四边形BMGN=2S△BMG=2××=BG2，故④正确；∵∠CGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠HBC，∴△BCH∽△BGC，∴，则BG•BH=BC2，则BG•（BG-GH）=BC2，则BG2-BG•GH=BC2，则GH•BG=BG2-BC2，当∠BCG=90°时，BG2-BC2=CG2，此时GH•BG=CG2，而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，故正确的结论有①③④，故答案为：①③④．根据等边三角形的性质证明△ACF≌△CDE，可判断①；过点F作FP∥AD，交CE于P 点，利用平行线分线段成比例可判断③；过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，得到点A、B、C、G四点共圆，从而证明△ABM≌△CBN，得到S四边形ABCG=S四边形BMGN，再利用S四边形BMGN=2S△BMG求出结果即可判断④；证明△BCH∽△BGC，得到，推出GH•BG=BG2-BC2，得出若等式成立，则∠BCG=90°，根据题意此条件未必成立可判断②．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．17.【答案】解：（x-1-）÷，=[-]，=，=，当x=-2时，原式====1-2．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入进行计算即可本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，并注意将结果分母有理化．18.【答案】（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，∴FA⊥AB，∴∠FAB=90°，∴∠F+∠B=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CEA=90°，∵=，∴∠CAE=∠D，∴∠D+∠CEA=90°，∵∠D=∠B，∴∠B+∠CEA=90°，∴∠F=∠CEA，∴AE=AF．（2）解：∵AE=AF，∠ACB=90°，∴CF=CE=EF=6，∵∠ABF=∠D=∠CAE，∴sin∠ABF=sin∠CAE=，∴，∴AE=10，∴AC===8，∵sin∠ABC===，∴AB=，∴OA=AB=．即⊙O的半径为．【解析】（1）由切线的性质得出∠FAB=90°，由圆周角定理得出∠CAE=∠D，∠D=∠B ，证得∠F=∠CEA，则可得出结论；（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE=10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长．本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．19.【答案】证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．【解析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAF，利用角平分线的性质解答即可．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．20.【答案】50【解析】解：（1）本次共调查了17÷34%=50名学生，故答案为：50；（2）C组学生有50-5-18-17=10（人），补全的频数分布直方图如右图所示；（3）扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：360°×=72°，即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72°；（4）1500×=150（人），答：该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据频数分布直方图中的数据和（1）中的结果，可以得到C组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；（4）根据频数分布直方图中的数据，可以计算该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】【解析】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是=．（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB=90°，∵∠CAD=60°，AC=40，∴CD=AC•sin∠CAD=40×sin60°=40×=20，∵∠ACB=10°，∴∠CBD=∠CAD-∠ACB=45°，∴BC=CD=20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm．【解析】如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB=90°，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．23.【答案】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，∴AE=CE，∵AC=，即，解得：AE=CE=3，在y=x+1中，令y=0，则x=-1，∴A（-1，0），∴OE=2，CE=3，∴C（2，3），∴k=2×3=6，∴反比例函数表达式为：，（2）联立：，解得：x=2或-3，当x=-3时，y=-2，∴点D的坐标为（-3，-2），∴S△CDE=×3×[2-（-3）]=．【解析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积．本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答．24.【答案】解：（1）设y=kx+b，由表可知：当x=15时，y=150，当x=16时，y=140，则，解得：，∴y关于x的函数解析式为：y=-10x+300；（2）由题意可得：w=（-10x+300）（x-11）=-10x2+410x-3300，∴w关于x的函数解析式为：w=-10x2+410x-3300；（3）∵=20.5，当x=20或21时，代入，可得：w=900，∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．【解析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解；（2）利用利润=销售量×（售价-成本）即可表示出w；（3）根据（2）中解析式求出当x为何值，二次函数取最大值即可．本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．25.【答案】相等垂直【解析】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，∴M也是EF中点，∴M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF==，设y=，当x=时，y取最小值，∴EF的最小值为，故GM的最小值为．（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；②根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-2，-4）和点C（2，0），则，解得：，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；（2）存在，理由是：在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，在y=-x2+x+2中，令y=0，解得：x=2或-1，∴点B坐标为（-1，0），∴点E坐标为（1，0），可知：点B和点E关于y轴对称，∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，∵D（0，2），∴DE===BD，在△BDE中，有×BE×OD=×BD×EF，即2×2=×EF，解得：EF=，∴DF=，∴tan∠BDE=，若∠PBC=2∠BDO，则∠PBC=∠BDE，∵BD=DE=，BE=2，则BD2+DE2＞BE2，∴∠BDE为锐角，当点P在第三象限时，∠PBC为钝角，不符合；当点P在x轴上方时，∵∠PBC=∠BDE，设点P坐标为（c，-c2+c+2），过点P作x轴的垂线，垂足为G，则BG=c+1，PG=-c2+c+2，∴tan∠PBC==，解得：c=，∴-c2+c+2=，∴点P的坐标为（，）；当点P在第四象限时，同理可得：PG=c2-c-2，BG=c+1，tan∠PBC=，解得：c=，∴，∴点P的坐标为（，），综上：点P的坐标为（，）或（，）；（3）设EF与AD交于点N，∵A（-2，-4），D（0，2），设直线AD表达式为y=mx+n，则，解得：，∴直线AD表达式为y=3x+2，设点M的坐标为（s，3s+2），∵A（-2，-4），C（2，0），设直线AC表达式为y=m1x+n1，则，解得：，∴直线AC表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2，∴点E坐标为（0，-2），可得：点E是线段AC中点，∴△AME和△CME的面积相等，由于折叠，∴△CME≌△FME，即S△CME=S△FME，由题意可得：当点F在直线AC上方时，∴S△MNE=S△AMC=S△AME=S△FME，即S△MNE=S△ANE=S△MNF，∴MN=AN，FN=NE，∴四边形FMEA为平行四边形，∴CM=FM=AE=AC=，∵M（s，3s+2），∴，解得：s=或0（舍），∴M（，），∴AM=，当点F在直线AC下方时，如图，同理可得：四边形AFEM为平行四边形，∴AM=EF，由于折叠可得：CE=EF，∴AM=EF=CE=，综上：AM的长度为或．【解析】（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC=∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN，FN=NE，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图象和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．。
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷(含详细解析)
（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
25．在矩形 中，点E是射线 上一动点，连接 ，过点B作 于点G，交直线 于点F．
（1）当矩形 是正方形时，以点F为直角顶点在正方形 的外部作等腰直角三角形 ，连接 ．
保密★启用前
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、单选题
1． 的绝对值是（）
A． B． C． D．
2．如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）
A． B． C． D．
13．不等式组 的解集为________．
14．如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F．若 的面积为1，则四边形 的面积为________．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持 ，线段 在x轴上平移，当 的值最小时，点C的坐标为________．
26．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 ，在抛物线上是否存在点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）
A．36°．B．54°．C．72°．D．73°．
6．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）
辽宁省鞍山市中考数学试卷及答案
辽宁省鞍山市中考数学试卷及答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内．每小题2 分，共20 分）1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）2．在平面直角坐标系中，点P（－1，1）关于x 轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1 和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内含C．内切D．外切4．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）5．已知2 是关于x 的方程的一个根，则2a- 1的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．关于x 的方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞1 D．k≥07．如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积为（）A．4π B．2π C．D．π8．已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数的图象在A．第一、二象限B．第三、四象限（）C．第一、三象限D．第二、四象限9．已知圆锥的侧面展开图的面积是15π cm 2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（）A．3/2cm B．3cm C．4cm D．6cm10．如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（）A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定二、填空题（每小题2 分，共20 分）11．在函数中，自变量x 的取值范围是_______________ ．12．若方程的两根分别为13．一组数据9，5，7，8，6，8 的众数和中位数依次是_______________ ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD＝________．15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正______边形．16．已知圆的直径为13cm，圆心到直线l 的距离为6cm，那么直线l 和这个圆的公共点的个数是____________．17．用换元法解方程，若设，则原方程可化成关于y 的整式方程为__________．18．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P，则BP 的长为__________ ．19．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是__________．20．在半径为1 的⊙O 中，弦AB、AC 分别是3和2 ，则∠BAC的度数为__________．三、（第21 题6 分,第22 题6 分,第23 题10 分,共22 分）21．当x=2，y=3 时，求代数式的值．22．如图，已知：AB．求作：（1）确定AB 的圆心O．（2）过点A 且与⊙O 相切的直线．（注：作图要求利用直尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）23．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100 分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格；（2）补全频率分布直方图；（3）在该问题中的样本容量是多少？答：_____________________________________________ ．（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由）答：_____________________________________________ ．（5）若成绩在90 分以上（不含90 分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？答：_____________________________________________ ．四、（10 分）24．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A、D、C 三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D 间距离，用m 表示；如果测D、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ 表示）．（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）．五、（10 分）25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？六、（12 分）26．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周 4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？七、（12 分）27．（1）如图（a），已知直线AB 过圆心O，交⊙O 于A、B，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C、D，交AB 于E，且与AF 垂直，垂足为G，连结AC、AD．求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变．①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母；②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明八、（14 分）28．已知：如图，⊙D 交y 轴于A、B，交x 轴于C，过点C 的直线：与y 轴交于P．（1）求证：PC 是⊙D 的切线；（2）判断在直线PC 上是否存在点E，使得S △ EOP＝4S △ CDO，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线PC 绕点P 转动时，与劣弧交于点F（不与A、C 重合），连结OF，设PF＝m，OF＝n，求m、n 之间满足的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围．。
鞍山中考数学试题及答案
鞍山中考数学试题及答案1. 选择题1. 已知函数$f(x)=3x^2-2x+1$，则$f(-2)$的值为（）。
A. 13B. 17C. 19D. 232. 在抛物线$y=x^2+4x+3$上，点$P$的横坐标为2，纵坐标为$m$。
则实数$m$的取值范围是（）。
A. $m\leq-2$B. $-2<m\leq3$C. $3<m\leq 7$D. $7<m$3. 若正方形$ABCD$的边长为2，$P$为$BC$的中点，$Q,R$分别是$AD,AP$的延长线上的一点，则$\triangle PQR$的面积为（）。
A. 2B. 4C. 6D. 84. 已知集合$A=\{x \mid x \text{是偶数,且} -4\leq x<4\}$，集合$B=\{-1, 2, 5\}$，则$A \cap B$是（）。
A. $\{2, 5\}$B. $\{-1, 5\}$C. $\{-4, 2, 5\}$D. $\{-4, 2\}$5. 下列各组数中，互质的是（）。
A. 12, 15B. 16, 21C. 18, 27D. 20, 252. 解答题（1）计算$(-\frac{3}{4})^2-\frac{1}{2}\times(-\frac{3}{4})$的值。
解析：根据指数和乘法运算法则，$(-\frac{3}{4})^2=(-\frac{3}{4})\times(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}$。
再根据乘法的交换律和结合律，$-\frac{1}{2}\times(-\frac{3}{4})=(-1)\times\frac{1}{2}\times(-\frac{3}{4})=\frac{3}{8}$。
综上所述，$(-\frac{3}{4})^2-\frac{1}{2}\times(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}-\frac{3}{8}=\frac{3}{16}$。
今年鞍山中考数学试题及答案
今年鞍山中考数学试题及答案今年的鞍山中考数学试题囊括了各个知识点，涵盖了基础与拓展性的题目，考察了学生的运算能力、推理能力以及问题解决能力等多个方面。
以下是对今年鞍山中考数学试题的一些列举及解答，供广大考生参考。
一、选择题部分1. 某数的三位数、十位上的数字是各数位上数字之和的二倍，百位上的数字是十位上的数字加5，该数是：(A) 165 (B) 363 (C) 132 (D) 264解答：设该数的百位、十位、个位数字分别为a、b、c，则根据题意可列出方程组：a =b + 5b = 2(a+c)c = a + b + c根据以上方程组求解可得到：a=4，b=6, c=2。
因此，该数是264，故选(D)。
2. 在一个长为4cm，宽为1cm，高为1cm的长方体中，有横截面为半圆的一个圆锥体，该圆锥体的高为1cm，那么该圆锥体的体积是：(A) 1cm³ (B) 2cm³ (C) 3cm³ (D) 4cm³解答：根据题意，可得该圆锥体的底面圆的半径为1cm，高为1cm，利用圆锥的体积公式可求解：V = 1/3 * π * r² * hV = 1/3 * π * 1² * 1V = 1/3 * π约等于 1 cm³，故选(A)。
二、填空题部分1. 9除以某个正整数，商为75，余数是：答：6解答：已知9 ÷ n = 75 + 6/n，根据除法原理可得余数为6。
2. 已知数a和数b的比是3:5，数b和数c的比是4:7，若数a的值是24，则数c的值是：答：42解答：根据已知条件，可得 24 ÷ 3 = b ÷ 5，解方程可得 b = 40。
同理，可得 10 ÷ 4 = c ÷ 7，解方程可得 c = 42。
三、解答题部分1. 已知二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标是(-2, 4)，且过点(1, 1)，求该二次函数的解析式。
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷(含答案)
2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含答案）一、选择题1. −12020的绝对值是()A.−2020B.−12020C.12020D.20202. 如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）A. B. C. D.3. 下列计算结果正确的是（）A.a2+a2＝a4B.(a3)2＝a5C.(a+1)2＝a2+1D.a⋅a＝a24. 我市某一周内每天的最高气温如下表所示：则这组数据的中位数和众数分别是（）A.26.5和28B.27和28C.1.5和3D.2和35. 如图，直线l1 // l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54∘，则∠1的度数为（）A.36∘B.54∘C.72∘D.73∘6. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A.240x =300x−6B.240x=300x+6C.240x−6=300xD.240x+6=300x7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A.30∘B.25∘C.15∘D.10∘8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，A 4，…在x 轴正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…在直线y =√33x(x ≥0)上，若A 1(1, 0)，且△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，则线段B 2019B 2020的长度为（ ）A.22021√3B.22020√3C.22019√3D.22018√3二、填空题9.据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为________．10.分解因式：a 3−2a 2b +ab 2=________．11.在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为________．12.如果关于x 的一元二次方程x 2−3x +k ＝0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是________94 ．13.不等式组{2x −1≤32−x <1的解集为________． 14.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若△ECF 的面积为1，则四边形ABCE 的面积为________．15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3, 6)，B(−2, 2)，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持CD ＝1，线段CD 在x 轴上平移，当AD +BC 的值最小时，点C 的坐标为________．16.如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝60∘，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE ＝DF ，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①△ACF ≅△CDE ；①CG 2＝GH ⋅BG ；①若DF ＝2CF ，则CE ＝7GF ；①S 四边形ABCG =√34BG 2．其中正确的结论有________．（只填序号即可）三、解答题17.先化简，再求值：(x −1−3x+1)÷x 2+4x+4x+1，其中x =√2−2．18.如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90∘，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE =AF ，CE =CF ，求证：CB=CD．19.为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x<7，B．7≤x<8，C．8≤x<9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．请回答下列问题：（1）本次共调查了________名学生；（2）请补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．20.甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．(1)甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是________；(2)若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．21.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60∘，∠ACB=15∘，AC=40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，(k≠0)的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC=3√2．点B，与反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式；(2)求△CDE的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AĈ=CD̂，AD与BC相交于点E，AF与⊙O 相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF=3，求⊙O的半径．524.某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？25.在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD 于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是________，位置关系是________；①如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)经过点A(−2, −4)和点C(2, 0)，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME时，请沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AME面积的14直接写出线段AM的长．参考答案一、1-8 CADB CBAD二、9.8.81×10610.a(a −b)211.24个12.9413.1<x ≤214.315.(−1, 0)16.①①①三、17.(x −1−3x+1)÷x 2+4x+4x+1， ＝[x−11−3x+1]⋅x+1(x+2)2， =x 2−1−3x+1⋅x+1(x+2)2， =x−2x+2，当x =√2−2时，原式=√2−2−2√2−2+2=√2−4√2=2−4√22=1−2√2．18.证明：连接AC ，如图，在△AEC 与△AFC 中，{AC =AC ，CE =CF ，AE =AF ，① △AEC ≅△AFC(SSS)，① ∠CAE =∠CAF .① ∠B=∠D=90∘，① CB=CD．19.50C组学生有50−5−18−17＝10（人），补全的频数分布直方图如右图所示；扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：360∘×1050=72∘，即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72∘；1500×550=150（人），答：该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．20.25(2)根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是26=13．21.解：如图，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB=90∘，① ∠CAD=60∘，AC=40，① CD=AC⋅sin∠CAD=40×sin60∘=20√3，=40×√32① ∠ACB=15∘，① ∠CBD=∠CAD−∠ACB=45∘，① BC=√2CD=20√6≈49(cm)，即支架BC的长约为49cm．22.解：(1)① 一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，① A(−1,0)，B(0,1)，① OA=OB=1.又∠AOB=90∘，① ∠CAE=45∘，即△CAE为等腰直角三角形，① AE=CE.① AC=3√2，AE2+CE2=(3√2)2，解得：AE=CE=3，① OE=2，① C(2, 3)，① k=2×3=6，① 反比例函数表达式为y=6.x(2)联立{y=x+1，y=6x，解得：{x=2，y=3或{x=−3，y=−2，① 点D的坐标为(−3, −2)，① S△CDE=12×3×[2−(−3)]=152．23.证明：① AF与⊙O相切于点A，① FA⊥AB，① ∠FAB＝90∘，① ∠F+∠B＝90∘，① AB是⊙O的直径，① ∠ACB＝90∘，① ∠CAE+∠CEA＝90∘，① AĈ=CD̂，① ∠CAE＝∠D，① ∠D+∠CEA＝90∘，① ∠D＝∠B，① ∠B+∠CEA＝90∘，① ∠F＝∠CEA，① AE＝AF．① AE＝AF，∠ACB＝90∘，① CF＝CE=12EF＝6，① ∠ABF＝∠D＝∠CAE，① sin∠ABF＝sin∠CAE=35，① CEAE =6AE=35，① AE＝10，① AC=√AE2−CE2=√102−62=8，① sin∠ABC=AC AB =8AB =35，① AB =403， ① OA =12AB =203． 即⊙O 的半径为203．24.设y ＝kx +b ，由表可知：当x ＝15时，y ＝150，当x ＝16时，y ＝140，则{150=15k +b 140=16k +b ，解得：{k =−10b =300， ① y 关于x 的函数解析式为：y ＝−10x +300；由题意可得：w ＝(−10x +300)(x −11)＝−10x 2+410x −3300，① w 关于x 的函数解析式为：w ＝−10x 2+410x −3300；① 410−2×(−10)=20.5，当x ＝20或21时，代入，可得：w ＝900，① 该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．25.相等,垂直可得：∠CBF ＝∠BAE ，又① ∠ABE ＝∠BCF ＝90∘，① △ABE ∽△BCF ，① AB BC =BE CF ，即32=x CF ， ① CF =2x 3，① EF =√CE 2+CF 2=√139x 2−4x +4，设y =139x 2−4x +4， 当x =1813时，y 取最小值1613，① EF 的最小值为4√1313，故GM 的最小值为2√1313．26.① 抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点A(−2, −4)和点C(2, 0)， 则{−4=4a −2b +20=4a +2b +2，解得：{a =−1b =1 ， ① 抛物线的解析式为y ＝−x 2+x +2；存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB ＝OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在y ＝−x 2+x +2中，令y ＝0，解得：x ＝2或−1，① 点B 坐标为(−1, 0)，① 点E 坐标为(1, 0)，可知：点B 和点E 关于y 轴对称，① ∠BDO ＝∠EDO ，即∠BDE ＝2∠BDO ，① D(0, 2)，① DE =√22+12=√5=BD ，在△BDE 中，有12×BE ×OD =12×BD ×EF ，即2×2=√5×EF ，解得：EF =4√55， ① DF =√DE 2−EF 2=3√55， ① tan∠BDE=EF DF =4√55÷3√55=43， 若∠PBC ＝2∠BDO ，则∠PBC ＝∠BDE ，① BD＝DE=√5，BE＝2，则BD2+DE2>BE2，① ∠BDE为锐角，当点P在第三象限时，∠PBC为钝角，不符合；当点P在x轴上方时，① ∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为(c, −c2+c+2)，过点P作x轴的垂线，垂足为G，则BG＝c+1，PG＝−c2+c+2，① tan∠PBC=PGBG =−c2+c+2c+1=43，解得：c=23，① −c2+c+2=209，① 点P的坐标为(23, 209)；当点P在第四象限时，同理可得：PG＝c2−c−2，BG＝c+1，tan∠PBC=PGBG =c2−c−2c+1=43，解得：c=103，① −c 2+c +2=−529， ① 点P 的坐标为(103, −529)，综上：点P 的坐标为(23, 209)或(103, −529)；设EF 与AD 交于点N ，① A(−2, −4)，D(0, 2)，设直线AD 表达式为y ＝mx +n ， 则{−4=−2m +n 2=n ，解得：{m =3n =2， ① 直线AD 表达式为y ＝3x +2，设点M 的坐标为(s, 3s +2)，① A(−2, −4)，C(2, 0)，设直线AC 表达式为y ＝m 1x +n 1， 则{−4=−2m 1+n 10=2m 1+n 1 ，解得：{m 1=1n 1=−2， ① 直线AC 表达式为y ＝x −2，令x ＝0，则y ＝−2，① 点E 坐标为(0, −2)，可得：点E 是线段AC 中点，① △AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，① △CME ≅△FME ，即S △CME ＝S △FME ，由题意可得：当点F在直线AC上方时，① S△MNE=14S△AMC=12S△AME=12S△FME，即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，① MN＝AN，FN＝NE，① 四边形FMEA为平行四边形，① CM＝FM＝AE=12AC=12×√42+42=2√2，① M(s, 3s+2)，① √(s−2)2+(3s+2)2=2√2，解得：s=−45或0（舍），① M(−45, −25)，① AM=√(−45+2)2+(−25+4)2=6√105，当点F在直线AC下方时，如图，同理可得：四边形AFEM为平行四边形，① AM＝EF，由于折叠可得：CE＝EF，① AM＝EF＝CE=2√2，综上：AM的长度为6√10或2√2．5。
2022年辽宁省鞍山市中考数学试题及答案解析
2022年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.2022的相反数是( )A. 2022B. −12022C. 12022D. −20222.如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是( )A.B.C.D.3.下列运算正确的是( )A. √2+√8=√10B. a3⋅a4=a12C. (a−b)2=a2−b2D. (−2ab2)3=−8a3b64.为了解居民用水情况，小丽在自家居住的小区随机抽查了10户家庭月用水量，统计如下表：月用水量/m378910户数2341则这10户家庭的月用水量的众数和中位数分别是( )A. 8，7.5B. 8，8.5C. 9，8.5D. 9，7.55.如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为( )A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD，则∠D的度数( )A. 39°B. 40°C. 49°D. 51°7.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( )A. π3B. 3π5C. 2π3D. 3π48.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN.设运动时间为t s，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）9.教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1+1”系列新闻发布会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人数超过44300000人．将数据44300000用科学记数法表示为______．10.一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为______．摸球的总次数a10050010002000…摸出红球的次数b19101199400…0.1900.2020.1990.200…摸出红球的频率ba11.如图，AB//CD，AD，BC相交于点E，若AE：DE=1：2，AB=2.5，则CD的长为______．12.某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为______．13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB′，若CB′=BB′，则AD的长为______．14.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为______．15.如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF.下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF=3：4；③MG：GF：FN=5：3：2；④△BEF∽△HCD.其中正确的是______.(填序号即可)．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。
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2013年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）（2012•泰州）3﹣1等于（）A．3B．C．﹣3 D．﹣2．（2分）（2012•苏州）一组数据2，4，5，5，6的众数是（）A．2B．4C．5D．63．（2分）（2012•肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°4．（2分）（2012•肇庆）要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤25．（2分）（2012•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°6．（2分）（2013•鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根7．（2分）（2010•绍兴）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.2 9.2 9.2 9.2方差（环2）0.035 0.015 0.025 0.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（2分）（2013•鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）（2013•鞍山）分解因式：m2﹣10m=_________．10．（2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D=_________度．11．（2分）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第_________象限．12．（2分）若方程组，则3（x+y）﹣（3x﹣5y）的值是_________．13．（2分）（2013•鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长_________．14．（2分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（﹣1，3）放入其中，得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到实数是_________．15．（2分）（2013•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是_________cm．16．（2分）（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_________．三、计算题（共2小题，每小题6分，满分12分）17．（6分）（2013•鞍山）先化简，再求值：，其中x=．18．（6分）（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？四、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．20．（6分）（2013•鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）五、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）21．（6分）（2013•鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B （在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）22．（6分）（2010•贵阳）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．六、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）23．（6分）（2013•鞍山）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）AC与CD相等吗？问什么？（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．24．（6分）（2003•天津）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．七、应用题（满分10分）25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？八、应用题（满分10分）26．（10分）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．2013年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）（2012•泰州）3﹣1等于（）A．3B．C．﹣3 D．﹣考点：负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），进行运算即可．解答：解：3﹣1=．故选D．点评：此题考查了负整数指数幂，属于基础题，关键是掌握负整数指数幂的运算法则．2．（2分）（2012•苏州）一组数据2，4，5，5，6的众数是（）A．2B．4C．5D．6考点：众数．分析：根据众数的定义解答即可．解答：解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，故众数为5．故选C．点评：此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数可以有多个．3．（2分）（2012•肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解答：解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°，∵∠B=60°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．4．（2分）（2012•肇庆）要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．故选D．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．5．（2分）（2012•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（2分）（2013•鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．解答：解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．点评：此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．7．（2分）（2010•绍兴）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.2 9.2 9.2 9.2方差（环2）0.035 0.015 0.025 0.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁考点：方差．专题：图表型．分析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定．解答：解：因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故选B．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．（2分）（2013•鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x=﹣=1，可得b+2a=0；由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a=0，即可得3a+c＜0．解答：解：∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴x=﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0；故①正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0；故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故③正确；∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④错误；∵a﹣b+c＜0，b+2a=0，∴3a+c＜0；故⑤正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）（2013•鞍山）分解因式：m2﹣10m=m（m﹣10）．考点：因式分解-提公因式法．分析：直接提取公因式m即可．解答：解：m2﹣10m=m（m﹣10），故答案为：m（m﹣10）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．10．（2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D=360度．考点：多边形内角与外角．分析：根据四边形内角和等于360°即可求解．解答：解：由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360度．故答案为：360．点评：考查了四边形内角和等于360°的基础知识．11．（2分）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第四象限．考点：一次函数图象与系数的关系．专题：探究型．分析：先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解答：解：∵在一次函数y=kx+2中，y随x的增大而增大，∴k＞0，∵2＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．故答案为：四．点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，函数的图象经过一、二、三象限．12．（2分）若方程组，则3（x+y）﹣（3x﹣5y）的值是24．考点：解二元一次方程组．专题：整体思想．分析：把（x+y）、（3x﹣5y）分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解答：解：∵，∴3（x+y）﹣（3x﹣5y）=3×7﹣（﹣3）=21+3=24．故答案为：24．点评：本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单．13．（2分）（2013•鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长2．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA=，∴AC=AB•cosA=8×=6，∴BC===2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（2分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（﹣1，3）放入其中，得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到实数是9．考点：代数式求值．专题：应用题．分析：观察可看出未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，需要找出规律，代入求解．解答：解：根据所给规则：m=（﹣1）2+3﹣1=3∴最后得到的实数是32+1﹣1=9．点评：依照规则，首先计算m的值，再进一步计算即可．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．15．（2分）（2013•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是80cm．考点：二元一次方程组的应用．分析：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为220cm，故可的方程：x+y=220，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程x=y，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度．解答：解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为220cm，故可列x+y=220，又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，据此可列：，解得：，因此木桶中水的深度为120×=80（cm）．故答案为：80．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．16．（2分）（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．考点：三角形中位线定理；勾股定理．分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．三、计算题（共2小题，每小题6分，满分12分）17．（6分）（2013•鞍山）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为后解答．解答：解：原式=÷（﹣）﹣1=÷﹣1=•﹣1=﹣1．当x=时，原式=﹣1，=﹣1=﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值，能正确进行因式分解是解题的关键．18．（6分）（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）=﹣10000（x2﹣12x+32）=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]=﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．四、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可解答：解：法一，列表法二，画树形图（1）从上面表中（树形图）可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是：2，3，4，5，6；（2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，所以P（小明胜）=，P（小亮胜）=，所以：此游戏对双方不公平．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（6分）（2013•鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在Rt△ABC中，根据AB=5米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD 的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．解答：解：在Rt△ABC中，∵AB=5，∠ABC=45°，∴AC=ABsin45°=5×=，在Rt△ADC中，∠ADC=30°，∴AD==5=5×1.414=7.07，AD﹣AB=7.07﹣5=2.07（米）．答：改善后滑滑板会加长2.07米．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．五、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）21．（6分）（2013•鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B （在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）考点：作图—复杂作图．分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．解答：解：如图所示：．点评：本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法．22．（6分）（2010•贵阳）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）23．（6分）（2013•鞍山）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）AC与CD相等吗？问什么？（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．考点：切线的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．解答：解：（1）AC=CD，理由为：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B，∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠ODB+∠B=90°，∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°，∴∠DAC=∠CDA，则AC=CD；（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1．点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．24．（6分）（2003•天津）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；数形结合．分析：（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；（2）将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y=可确定反比例函数的解析式．解答：解：（1）∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），D（1，0）；（2）∵点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=x+1．∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，∴点C的坐标为（1，2），又∵点C在反比例函数y=（m≠0）的图象上，∴m=2；∴反比例函数的解析式为y=．点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．七、应用题（满分10分）25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD 成立．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（3分）（2）解：GE=BE+GD成立．（4分）理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，（5分）∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分）又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．（7分）∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分）点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．八、应用题（满分10分）26．（10分）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2 ∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．。