运用转化思想解决数学问题
转化思想在数学学习中的应用
转化思想在数学学习中的应用转化思想在数学学习中的应用转化思想在数学学习中的应用转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过事物之间的内在联系转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。
几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。
常见的转化方式有：一般、特殊转化，等价转化，复杂、简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
在小学阶段，转化思想在几何方面用到的比较多，比如面积部分，或体积部分，下面我们分别探讨一下，在这几个方面的应用。
一、1、面积方面：多边形的面积我们知道长方形的面积是探讨其他图形面积的基础，长方形的面积=长×宽在学习平行四边形面积时我们就是想法把平行四边形转化为长方形来解决，如何转化，观察下面图形，看平行四边形与长方形的内在联系我们看到，长方形的邻边互相垂直，而平行四边形的邻边则不一定，所以我们可以猜想是否可以沿着平行四边形的某条高把平行四边形剪开，再重新组合一下。
如下图：这时，我们看到平行四边形就转化为了长方形，长方形的长就是原来平行四边形的底变来的，宽则是由原来平行四边形的高变来的，所以原平行四边形的面积=长方形的面积=底×高。
再看三角形如图：我们对比三角形与平行四边形的形状，我们不难想到，如果把两个形状完全一样的三角形反向拼接在一起，就构成了一个平行四边形。
如下图所以不难看出三角形的面积=平行四边形面积的一半=底×高÷2再如梯形从其形状，不难看出，把对角连一下，一个梯形就转变成了两个三角形，如下图。
所以梯形面积=两个三角形的面积和=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。
总结一下：梯形→三角形→平行四边形→长方形2、圆的面积由于圆是曲边图形，它的面积转化稍微复杂一些。
我们采用的是试着等分圆，并且通过观察不难发现，随着等分的次数越来越多，每一分的形状越来越接近于三角形。
运用转化思想解决数学问题(1篇)
运用转化思想解决数学问题(1篇)运用转化思想解决数学问题 1例1 设m是不能表示为三个互不相等的.合数之和的最大整数，求m的值。
分析我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。
解：观察式子特点不难得出故所求的正整数对(x,y)=(1，2003)，(2003，1)此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。
分析此题与例3有相似之处，但是要难一些。
首先用到了性质8，然后再结合不等式解决此问题。
所以共有(1，19)，(2，15)，(3，11)，(4，7)，(5，3)以及(1，88)，(2，84)，。
，(22，4)故满足条件的(x,y)共有5+22=27对此问题用到了数论里常用的方法??不等式法。
把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上(下)界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
因为方程的根都是整数所以，分别解得整数n的值为10，0，-18，-8例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时，我们要以不变(知识)去应万变(问法)，不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。
在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。
下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。
一、利用等式化简在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。
在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。
比如，下面这个问题：“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。
”我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。
二、数形结合数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。
例如，下面的问题：“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。
”我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)} =\frac{1}{2}$。
转化思想在高中数学教学中的应用
转化思想在高中数学教学中的应用转化思想是指将一个数学问题通过变形、化简等方法，转化成另一个等价的问题来解决。
在高中数学教学中，转化思想的应用极为广泛，可以帮助学生加深对数学概念的理解，提高解题能力。
一、解决大问题在高中数学中，常常出现形式复杂、难以直接解决的问题。
此时，利用转化思想，可以将一个大问题拆解成若干个小问题来解决。
例如，高中数学中有不少涉及极限的问题，其中许多问题看似复杂，但实际上可以通过拆项、分子有理化、通分等方法进行转化，然后再逐一解决。
二、建立联系在高中数学中，不同的知识点之间有时存在联系。
利用转化思想，可以建立不同知识点之间的联系，形成一种知识体系。
例如，对于平面几何和立体几何而言，这两者之间其实存在许多相似之处。
因此，教师可以通过对几何图形进行转化，使学生在不同的几何学习中能够建立联系，更加深入地理解几何知识。
三、加深理解在高中数学中，学生有时会因为缺少对某个概念的深入理解而难以解决问题。
此时，可以通过转化处理，使学生在“变化”的过程中加深对概念的理解。
例如，在学习函数时，许多学生会被符号和变量所困扰。
此时，可以通过将函数的变量换成实际数字，再通过不同数值的变化来探究函数图像的性质，从而加深对函数的理解。
四、增强趣味性数学知识对于大部分学生而言，往往有一定的抵触情绪。
而在高中数学教学中，通过转化思想，可以增强数学知识的趣味性，让学生在不知不觉中掌握数学知识。
例如，在学习三角函数时，可以将三角函数的知识与音乐、图像等进行联系，设置趣味性的学习任务，让学生在带着好奇心的情绪下学习，从而提高学习质量。
总之，转化思想在高中数学教学中的应用非常广泛，不仅有助于解决难题，还能够加深对数学概念的理解，建立知识之间的联系，增强趣味性，是高中数学教学中一种重要的教学策略。
转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用
转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用数学是一门抽象而又具体的学科，对于小学生来说，数学课可能是他们最头疼的一节课。
要想让小学生在数学学习中取得更好的成绩，教师需要不断探索有效的教学方法。
转化的思想方法，即通过转化问题的方式来帮助学生理解和解决数学问题，是一种值得在小学数学课堂中应用的方法。
一、转化的思想方法的基本概念转化的思想方法是指在解决问题时，通过转化问题的方式来帮助学生理解和解决数学问题。
转化的思想方法包括数学模型的构建、数学知识的运用以及问题的转化和解决等步骤。
通过这种方法，学生可以更加直观地理解数学知识，提高解决问题的能力。
二、转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用1. 引导学生构建数学模型在小学数学课堂中，教师可以通过引导学生构建数学模型的方式，来帮助他们理解和解决数学问题。
在解决实际问题时，教师可以通过引导学生将问题抽象成数学模型，然后再对模型进行分析和求解。
通过这种方式，学生可以更加直观地理解问题的本质，从而更好地解决问题。
三、转化的思想方法在小学数学课堂中的意义和价值1. 帮助学生理解数学知识通过转化的思想方法，学生可以更加直观地理解数学知识，从而更好地掌握和运用数学知识。
这有助于提高学生的数学学习兴趣，激发他们对数学的好奇心和探索欲望。
2. 培养学生解决问题的能力通过转化的思想方法，学生可以更加灵活地运用数学知识，从而更好地解决问题。
这有助于培养学生的解决问题的能力，提高他们的问题解决能力和创新意识。
四、小学数学课堂中转化的思想方法的应用策略1. 注重问题的实际意义在小学数学课堂中应用转化的思想方法时，教师应该注重问题的实际意义，引导学生将数学知识与实际问题相结合，从而更好地理解和应用数学知识。
2. 引导学生积极参与在小学数学课堂中应用转化的思想方法时，教师应该引导学生积极参与，鼓励他们根据自己的理解和体会来转化和解决问题，从而更好地培养他们的数学思维和解决问题的能力。
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究将一种形式转化为另一种形式，将复杂的数学题转化为简单的数学题是初中数学解题教学中一种重要的转化思想。
老师在教学过程中要在保证学生学习基础的前提下对他们进行转化思维的培养，提高他们相关的能力。
转化思想作为一种基本的数学思想，已经得到了越来越多的老师重视，对于大多数的学生来说，学习数学时会遇到很多难题，不会正确的攻克难题只会让学生们觉得数学太难，渐渐失去了学习的兴趣。
但是如果学生们能掌握化繁为简的转化思想，难题就很容易被解决了，才能够让学生们在喜爱上数学的同时真正理解数学的内涵，更好地激发学生的学习热情和积极性。
1.转化思想的重要性数学解题中有四大思想，是人们在研究数学中总结出对于数理知识的本质认识，每一个思想都是解题的重要思想，其中就包括转化思想。
转化思想可以让人们越过表面看本质，对数学知识有一个更加清晰的认识。
数学解题就像魔术一样，魔术表演往往让人看得眼花缭乱，但是揭秘真相的时候突然发现原来这么简单，数学解题也同样如此，只要越过表面看实质就会发现数学原来很简单。
转化思想从小学就开始学习了，在学好数学的过程中发挥着重要的作用。
有时候转化思想能从数学课堂上学到，在数学解题的过程中，会出现很多学生们从来没有见过的新题型，那么把这些题转化为他们学过的熟悉的类型，也就使题目变得简单了。
数学题有成千上万，在数学解题中数学题总是变化的，但是初中学生们的知识掌握量却是有限的，所以要具备转化思想，将那些超出知识范围的转化为已知的。
2.转化思想在初中数学中的类型2.1 化复杂为简单。
当学生们从小学步入初中时，遇到的关于数学应用性的问题会越来越多，这个时候学生是否有转化思想把复杂简单化的能力就特别明显，具备这些能力的学生们学习成绩就相对较好，那些成绩不太好的学生就不能理解题目。
如果学生们能够在复杂的题型中找到简单的突破口，那么问题就迎刃而解了。
当面对综合性题型的时候，学生们要学会将多个知识点逐一排列成简单的、熟悉的知识点，这样才能将复杂的题目转化为简单的题目。
用转化的数学思想解数学题
浅谈数学中的一种常用解题策略——转化湖南省娄底第一中学朱宋德“转化”是数学中最常用最基本的思维方法之一．“转化”就是在分析解决问题时．把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂隐晦的转化为简单明显的．初中数学中的转化方法多种多样．本文通过举例加以说明，供大家参考．1．高次(多元)向低次(一元)转化∴(x-4)2=3即x2-8x+13=0∴x2-8x+15＝(x2-8x+13)+2=2由分式的除法，得＝x2+2x-1+19-10x+1992=(x2-8x+13)+1997=19972．特殊与一般的互相转化从特殊(一般)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科学领域中进行探索、发现真理知识的重要途径．例2圆周角定理圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．略证分三种情形综上所述不论哪种情形，圆周角都等于它所对同弧的圆心角之半．由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以得出圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．这是由特殊到一般的转化．例3已知x+y+z=0．求证x3+y3+z3=3xyz．证明∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)以x+y+z=0代入上式右边，得x3+y3+z3-3xyz=0∴x3+y3+z3=3xyz．这是由一般到特殊的转化．3．正面向反面转化例4若三个方程x2+4ax-4a+3=0．x2+(a-1)x+ a2=0，x2+2ax-2a=0．至少有一个方程有实数解，试求实数a的范围．分析条件“至少有一个方程有实解”的情况十分复杂，如一一论及，势必造成运算过程繁杂，且易于出错．但考虑题目之逆“三个方程全无实根”使问题变得单纯、明白．由此推断有是：当a≤-3／2或a≥-1时，三个方程至少有一个方程有实数根．(解答略) 4．隐含向明朗转化例5计算3(22+1)(24+1)…(264+1)+1．分析此题初看起来似乎难于动笔，但只要认真观察一下题型结构，较快发掘一个隐含条件，3=22-1，再利用平方差公式可解决问题．解原式=(22-1)(22+1)(24+1)…(264+1)+1=(24-1)(24+1)…(264+1)+1……=2128-1+1=21285．数与形的相互转化例6△ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边的长．分析这道题的常规解法是三角方法(初中学生未学)，只能把题目构造特殊的三角形来处理．根据已知条件，构造如图4，设∠CAB=2∠C，对应的三边分别为x+1，x，x-1，延长CA至D使AD=AB，连结BD，可证明△ADB ∽△BDC，因此有得x=5，∴三边为4、5、6．解(略)6．综合向单一的转化综合向单一转化，是解综合题的常用思路方法之一．例7如图5，⊙A和⊙B外切于点P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点．PT为内公切线，PT与CD相交于点T．延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F．又⊙A半径为9，⊙B半径是4．(1)求PT的长．(2)求sinA的值．(3)证明PC·PD=PE·PF．分析这个综合题，可以转化为三个单一的基本题：(1)在△PCD中，若TC=PT=TD，点T在CD上，CD=12，求PT的长．(2)在直角梯形DCAB中，若AC=9，BD=4，AB=13，求sinA的值．(3)若FC∥ED，CE与FD相交于点P，求证PC·PD=PE·PF．解(1)过B点作BG⊥AC，垂足为G．依题意可知四边形DCGB是矩形，△BAG是直角三角形，因此，由勾股定理可算得BG=CD=12，又由切线长定理可知TC=PT=TD，(2)在Rt△AGB中，BG=12，AB=13，(3)证明∵TD=TP=TC∴∠CPD=90°连结AF、BE，(或连结CF、DE)∵∠CPF=∠DPE=90°∴CF、DE分别为两圆直径．∴DE∥CF从而PC·PD=PE·PF。
巧用转化思想解数学题
巧用转化思想解数学题四川省广元市宝轮中学 唐明友一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通”，不妨换个角度思考，努力寻找解决问题的突破口，有时就因为转换了思维角度，巧用转化思想，使你走向了顺利解决问题的“康庄大道”。
请同学们欣赏几例。
一.运动向静止转化角度例1.小强跟随爸爸去清江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地说愿意协助。
方法是这样的：他在A 处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流，小强向上游泳10分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距A 处下游0.5千米的B 处追上。
据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？解法1：设河水的流速为x 时千米，小强游泳的速度为y 时千米，则小强向上游泳的距离是6010（y －x ）千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是 （x 5.0－6010）（x ＋y ）千米。
由题意列出方程： 6010（y －x ）＋0.5=（x 5.0－6010）（x ＋y ） 去分母得 x(y －x)＋3x=(3－x)(x ＋y ）整理得 2xy=3y∵y ≠0,∴x=1.5,即河水的流速是1.5 时千米。
解法2：假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳10分钟再转身回追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来回共游了2×6010=31小时。
由于矿泉水瓶在顺水漂流，它向下漂流的0.5千米是在这31小时内完成的。
仍设河水的流速为x 时千米，则31x=0.5，∴x=1.5(时千米) 点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法1，而是转换了思维角度，按解法2将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理知识的典型例子。
二.局部向整体转化角度例2.已知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是39、44、47，求这三个数。
解法1：设这三个数分别是x 、y 、z ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+474439x z z y y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===261821z y x ，因此，这三个数分别是21、18、26.解法2：设这三个数的和是a ，根据题意得：2a=39＋44＋47，解这个方程得：a=65，所以这三个数分别是：65－39=26，,65－44=21,65－47=18.点评：解法1是直接设元列出三元一次方程组解，解法2运用整体思想列出一元一次方程解，显然要简单得多。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
转化思想在中学数学解题中是非常重要的。
一些难题，通过转
化思想，我们能够在解题过程中寻找出可操作性较大的方法，从而
解决问题。
以下是几个例子阐述转化思想在中学数学解题中的应用：
1.二次方程的求解
在求解二次方程时，一个常用的方法是配方法，即通过加减常数，使得方程中的一些项可以被转化为平方差、完全平方等形式，
从而进行一系列的代数运算得到解。
通过转化思想，我们可以将问
题转化为解决一元二次不等式，将方程的解表示为某一区间，进而
更精准地找出解的范围。
2.证明题的求解
在证明中，往往需要引入一些中间变量进行推导。
通过转化思想，我们可以选择合适的变量进行推导，在中间过程中引入一些有
用的条件、定理等，从而简化证明过程或者得到更优秀的结论。
3.几何题的求解
几何题求解中，通过转化思想，我们能够将一个不太容易处理
的形式转化为更容易处理的形式，从而得到一些结论。
例如，我们
可以通过相似三角形的处理，将某些图形转化为比较规则的图形，
进而求得某些定量的结论。
在中学数学的学习过程中，灵活运用转化思想不仅能够帮助我
们更好地理解数学知识，还能帮助我们解决一些原本难以处理的问题。
巧用转化思想 解答数学难题
堂教学中的应用提供新的思路.教师在课堂教学活动中的教学手段从几何画板至互联网＋ꎬ再到希沃白板ꎬ手机投屏技术ꎬ加之现在所应用的５Ｇ技术ꎬ均将教师从单一的板书模式中加以解放.手机具有的实时拍照投屏技术ꎬ还可将学生在数学学习活动中的所存在的典型错误㊁精彩解答传送至大屏幕上ꎬ使得数学教学活动更为可视化且高效化ꎬ还可增进师生间交流.此外ꎬ教师借助互联网技术平台的应用还可将学生在家学习的情况在课堂上及时反馈ꎬ对学生在家学习情况加以了解ꎬ还可统计学生预习情况ꎬ以便教师对课堂教学计划的制定进行针对性调整.而智慧教室系统的应用ꎬ可让教师清晰了解每次课堂提问后ꎬ学生的回答情况ꎬ借助数据的即时反馈ꎬ帮助教师了解学生的学习情况ꎬ对学生所存在的认知错误进行及时矫正ꎬ提高学生学习效率.如教师引导学生学习 黄金分割 相关教学内容时ꎬ教师可借助网络视频ꎬ帮助学生对黄金分割点㊁黄金三角形加以了解ꎬ还可将达芬奇的画作«蒙娜丽莎»中所存在的黄金矩形向学生展示ꎬ教师还可将自然界中植物叶子分布情况㊁蜂巢结构等向学生展示ꎬ引导学生从上述具体事物中找寻黄金分割模型ꎬ借此加强学生数学抽象与模型能力的培养ꎬ教师借助此种教学方式的应用还可将课堂中所讲述的内容延伸至课外ꎬ也可将数学学科知识延伸至自然领域㊁艺术领域ꎬ实现跨学科关联的构建ꎬ推动学生跨学科素养的形成.综上所述ꎬ翻转课堂为一种现代化的教学手段ꎬ同时也是突破传统教学模式的重要体现ꎬ教师在教学过程中借助翻转课堂同数学课堂教学内容的结合ꎬ再引入深度学习理念ꎬ可实现数学课堂教学内容㊁教学途径的拓展ꎬ推动学生自主学习能力的提升ꎬ还可有助于学生数学核心素养的形成.㊀㊀参考文献:[１]丰雷.迈向深度学习落实核心素养 初中数学 翻转课堂 的实践与思考[Ｊ].数学之友ꎬ２０１９(０３):２４－２６.[２]李洁.深度学习视角下初中数学翻转课堂教学策略探究 以 解一元二次方程 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１９(２９):５１－５２＋６７.[责任编辑:李㊀璟]巧用转化思想㊀解答数学难题谢晓玲(福建省龙岩市北大附属实验学校㊀３６４０００)摘㊀要:初中数学知识与小学相比较为复杂ꎬ理论性㊁抽象性也更强ꎬ难题出现的频率有所提高ꎬ对学生的知识应用能力和解题水平要求更高ꎬ如果没有一定的数学思想做支撑ꎬ学生很难理解和处理这些难题ꎬ长此以往极易影响到解题水平的提升ꎬ以及数学学习自信.笔者对如何巧用转化思想解答初中数学难题进行分析和研究ꎬ同时提供一系列个人建议.关键词:初中数学ꎻ转化思想ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３５－０００５－０２收稿日期:２０２０－０９－１５作者简介:谢晓玲(１９９１.１－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀转化思想属于数学思想方法中的一种ꎬ指的是将一个数学问题由难化易㊁由繁化简ꎬ不仅是一种重要的解题思想ꎬ还是一种最基本的思维策略ꎬ更是一种有效的数学思维方式.在初中数学解题教学中ꎬ教师需高度重视转化思想的渗透ꎬ指导学生通过灵活自如的转化把陌生㊁复杂的难题变得熟悉㊁简单ꎬ并化抽象为直观㊁未知为已知ꎬ提高他们的解题能力.㊀㊀一㊁陌生转化成熟悉ꎬ降低数学题目难度系数初中数学的学习过程是由一开始的陌生㊁浅层了解慢慢过渡至熟悉和深层了解ꎬ本身就是一个循序渐进的过程ꎬ为帮助学生更好的解答数学难题ꎬ可以应用转化思想ꎬ将陌生题目转化成熟悉题目ꎬ有效降低难度系数ꎬ使其轻松解题.例１㊀在解二元一次方程组２ｙ＝ｘ＋４①ꎬ３ｘ＋ｙ＝５②时ꎬ由于学生是初次学习和接触二元一次方程组ꎬ当第一眼看到这样的题目时ꎬ会感觉到难度较大ꎬ如果直接采用消元法ꎬ他们可能无法顺利求解.这时教师可以引领学生了解有关方程其它方面的知识ꎬ他们可能想到一元一次方程ꎬ将会考虑怎么把二元一次方程转化成一元一次方程ꎬ由陌生化的难题转化成熟悉化的常规题目.如ꎬ教师可提示学生把原方程进行变形ꎬ得到有关ｘ或者ｙ的只带有一个未知数的方程ꎬ对于①来说ꎬ可以转化成ｘ＝２ｙ－４或ｙ＝ｘ＋４２ꎬ而针对②而言ꎬ能够转化成ｘ＝５－ｙ３或ｙ＝５－３ｘꎬ然后让他们把某个式子代入到另外一个方程当中ꎬ从而实现陌生５向熟悉的转化ꎬ数学题目的难度自然下降ꎬ难点不攻自破.如此ꎬ在解答数学难题过程中ꎬ学生通过新知识向旧知识的转化解题思路变得更为清晰ꎬ让学生对难题不再惧怕ꎬ使其慢慢建立解题自信心ꎬ最终轻松解题.㊀㊀二㊁复杂转化为简单ꎬ顺利找到解题的突破口简化数学难题作为转化思想中最为常见和比较有效的一种解题方式.初中数学教师应当教会学生当遇到比较复杂的难题时ꎬ先仔细研读与思考题干中给出的信息ꎬ再找到隐性条件ꎬ将复杂题目转化成简单题目ꎬ使其求出正确答案ꎬ让他们逐渐形成观察题目㊁挖掘细节的意识ꎬ学会从题目细节之处着手.例２㊀已知一次函数ｙ＝－ｘ＋２ꎬ反比例函数ｙ＝－８/ｘꎬ图像如下图所示ꎬ它们相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ那么Ａ㊁Ｂ图１两点的坐标分别是什么?解析㊀在本道题目中ꎬ涉及到一次函数和反比例函数两类函数ꎬ学生一定要找到这两个函数之间的关系ꎬ然后才可以顺利找到解题的突破口ꎬ他们要先分析题目中给出的已知条件ꎬ使其利用 图像相交于才Ａ㊁Ｂ两点 这一共同点ꎬ分析是否能把这两个函数转化成具体的方程组ꎬ再利用方程组解决问题ꎬ由此求出Ａ㊁Ｂ两点的坐标.此时ꎬ教师可组织学生以小组合作的方式解答难题ꎬ彼此分享与交流解法ꎬ深入研究这两个函数之间的关系ꎬ有的同学将会提出利用方程组ꎬ但是部分同学可能对方程组的解法不够熟练ꎬ他们在合作中快速解答方程组ꎬ即为:ｙ＝－ｘ＋２①ꎬｙ＝－８/ｘ②ꎬ解得ｘ＝－２ꎬｙ＝４ꎬ或ｘ＝４ꎬｙ＝－２ꎬ最终判断得出Ａ点的坐标是(－２ꎬ４)ꎬＢ点的坐标是(４ꎬ－２).㊀㊀三㊁抽象转化成具体ꎬ促使学生理清解题思路当遇到一些难题时ꎬ教师要指导学生巧妙运用转化思想ꎬ将抽象化的数学题目变得具体化ꎬ有利于他们产生丰富的联想ꎬ从而把数学难题一一拆解ꎬ使其快速理清题意㊁条件间的关系及解题思路ꎬ最终正确解答难题.例３㊀已知如图２所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＡＤ＝ＤＢꎬＤＦ和ＡＣ相交于点Ｅꎬ同ＢＣ的延长线相交于点Ｆꎬ求证:ＡＥ图２ＣＦ＝ＥＣ ＢＦ.解析㊀在解答这一几何问题时ꎬ求证的是两条线段之积等于另外两条线段的积ꎬ显得较为抽象ꎬ教师可以指引学生巧妙采用转化思想ꎬ通过作辅助线的方式ꎬ把图形转化的更为具体ꎬ成为他们常见的几何图形ꎬ使其找到正确的解题思路.第一步ꎬ教师要求学生观察㊁找出图形中是否存在几组相似三角形ꎬ能否通过相似三角形的性质来处理问题ꎻ第二步ꎬ提示他们画出辅助线ꎬ把图像转化的更加具体ꎬ以便快速找到相似图形.如:学生可以在ＤＥ上取一点Ｇꎬ让ＣＧʊＡＢꎬ由此把图形转化成相似三角形ꎬ使其结合三角形的相似性来证明ＡＥ ＣＦ＝ＥＣ ＢＦ.这样当遇到一些不仅抽象的数学难题时ꎬ学生不要盲目的解答ꎬ而是需学会另辟新径ꎬ采用转化思想结合相关辅助线ꎬ对原始图形进行转化ꎬ提升题目的具体性与直观化ꎬ使他们理清解题思路.㊀㊀四㊁数形间相互转化ꎬ辅助学生快速解答难题在初中数学解题教学环节ꎬ教师可指导学生根据具体题目巧妙采用转化思想ꎬ掌握出题目中的数或形的关系ꎬ通过 以数解形 或 以形助数 的方法实现两者的相互转化ꎬ使其把抽象的数学语言㊁数量关系同直观的几何图形㊁位置关系有机结合起来ꎬ辅助他们快速解答难题.例４㊀某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况ꎬ对读者进行一次问卷的调查ꎬ要求读者选出自己最喜欢的一个版面ꎬ把调查所得的数据整理后绘制成如图３所示的条形统计图:(１)写出从条形统计图中获得的一条信息ꎻ(２)请根据条形统计图中的数据绘制一个扇形统计图ꎬ第二版要与第三版相邻ꎬ并说明这两幅统计图各自的特点ꎻ(３)你根据上述数据ꎬ对该报社提出一条合理的建议.图３解析㊀这是一道典型的数形结合类题目ꎬ题目中描述的信息可通过另外一种统计图的样式来表示ꎬ而图形也蕴含着大量 数 的信息.(１)学生通过读图能够获取到多个信息ꎬ如:参加调查的读者总数为５０００人ꎬ喜欢阅读第三版的人数最多等ꎻ(２)扇形统计图如图３所示ꎬ可清楚表示出喜欢各版面读者人数占所调查总人数的百分比ꎬ条形统计图能清楚表示出喜欢各版面的读者人数ꎻ(３)建议改进第二版的内容ꎬ像提高文章质量ꎬ主题更加贴近现实生活.在初中数学解题教学实践中ꎬ对部分难题ꎬ教师应给予格外关注ꎬ当学生在处理这些难题时ꎬ要提示他们不能再采用常规的解题方法ꎬ而是需学会合理运用转化思想ꎬ有效降低数学题目的难度ꎬ使其从解题困境中走出来ꎬ解答数学难题ꎬ思维变得愈加灵活.㊀㊀参考文献:[１]竺利群.初中数学解题中的转化思想应用与体现分析[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２０(０３):１１３.[２]郑丽仙.关于初中数学解题中转化思想应用的实践探索[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１９(１５):１１５.[３]蒋欢欢.转化思想在初中数学解题中的应用探索[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０１８(１１):７１.[责任编辑:李㊀璟]６。
关于小学数学教学中转化思想的运用
关于小学数学教学中转化思想的运用转化思想是教学中一种常见的教学策略，特别是在小学数学教学中，运用转化思想可以更好地帮助学生建立数学思维，提高解题能力。
一、什么是转化思想转化思想是指在解决问题时，通过将原来难以解决的问题转化成另外一个相对容易解决的问题，从而达到问题解决的目的。
在小学数学教学中，转化思想可以帮助学生明确问题的本质，快速发现问题的解题思路，提高解题效率。
1.数的分类：数的大小无法直接比较，但可以对数进行分类，然后将问题转化为不同的分类问题进行求解。
例如，对于解决“小明手里有4元钱，小红手里有2元钱，他们有多少钱”这类问题，可以将4元和2元进行简单分类，转化为“小明手里的钱比小红多多少钱”的问题，并计算两个数的差值，从而快速得出答案。
2.量的转换：在小学数学教学中，很多量的计算需要用到单位之间的转换。
例如，将毫米转换为厘米、分米和米等。
通过将问题中的量进行有效的转换，可以快速求得答案。
3.问题的综合运用：在小学数学教学中，一些问题可能需要综合运用多个知识点来解决。
这时，可以通过运用转化思想，将问题分解为多个小问题，然后逐个解决。
例如，在解决小学生常见的“找规律”题目时，可以将原问题转化为“先列出几个数，看它们之间有什么关系”等几个小问题，并进行分别求解。
4.分步求解：对于一些复杂的问题，可以采用分步求解的方法，将整个问题分为多个步骤进行求解。
例如，在同分母加减法的教学中，可以首先将分母进行统一，然后再进行分子的加减计算。
5.借用公式：在小学数学教学中，有些题目的解法可以采用公式。
通过借用公式来进行问题求解，可以快速地求出答案。
例如，在解决面积和周长相关问题时，可以借用面积和周长的相关公式进行计算。
三、总结在小学数学教学中，运用转化思想可以让学生更好地掌握数学知识，提高数学解题能力。
通过分类、单位转换、分步求解、借用公式等方法，可以将原本难解的问题转化为相对容易解决的问题，让学生更加愉快地掌握数学知识。
巧用转化思想 解决数学问题
巧用转化思想解决数学问题作者：黄良本来源：《云南教育·小学教师》2020年第12期布卢姆在《教育目标分类学》中明确指出：“数学转化思想是‘把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力’。
”小学生的数学学习多数是从日常生活经验中吸取知识，从低年级开始就在不断地借助生活经验去感知数学、认识数学，并运用数学知识去解决日常生活中的实际问题。
而在数学教学中常把这种思维直接系统化成一种新的学习思维——“转化思想”。
尤其在数学教学中处处体现转化思想的应用，真是“随风潜入夜，润物细无声”。
下面以五年级上册数学教材为例，如何渗透与运用“转化思想”，谈三点个人的感悟。
一、巧用转化思想进行计算教学“转化思想”在计算教学中广泛运用。
如，在“小数乘法计算”教学时，例1设计是通过单位转化，从“元”转化成“角”，把新课的小数乘法计算转化成了已学的整数乘法进行计算，通过这一转化就能达到化新知为旧知的目的。
例1 蝴蝶风筝单价3.5元，买3个这样的蝴蝶风筝要多少钱？把3.5元看作35角。
3.5元→ 35角× 3 × 310.5元← 105角从这一实例可以看出，教材中引导学生在有单位小数乘法中可以通过从高级单位改写为低级单位，从而实现把小数乘法转化成整数乘法来计算，这一过程可以使学生体会到新旧知识间的联系，初步感受到转化思维在学习中的作用。
在例1的“转化思想”渗透的基础之上，继续观察例2：0.72×5=？的计算教学，学生已经可以从有单位的计算向無单位的计算发展，激发学生思考在没有单位的小数乘法计算时，是否也可以直接把小数转化为整数来计算的思维碰撞。
如果例1只是提供了一种思考方向，那么例2的进一步探索发现就基本上把“转化思想”悄悄地植入了学生的思维之中。
二、巧用转化思想进行解方程在计算教学中广泛渗透“转化思想”，在解方程的教学中，教材也渗透“转化思想”。
如，在教学“解方程”一节课时，教材安排了从图形形式向数字形式转化，借助天平的平衡原理让学生在探索中发现解方程的原理，数形结合，进一步提升“转化思想”，并上升到符号化高度。
“转化思想”在数学解题中运用
浅谈“转化思想”在数学解题中的运用数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任. 它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高. 解数学题往往要将问题进行转化，正如苏联数学家雅诺夫思卡娅所说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题. ”反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决. 在数学教学中如何正确地引导及指导学生利用转化思想，对于提高学生学习数学的兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生的思维发散能力起着十分重要的作用. 本人结合平时的教学，试举几例，从下面几个方面说明转换思想在解题中的运用.一、“新知”与“旧知”的转化新知识的获得，离不开原有认知基础. 很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的. 因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的.例如，在学习二次根式时，可向学生提出：我们已经学习了平方根和算术平方根，那么你能根据已学的知识完成今天的学习内容“二次根式”吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系. 问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会迅速而准确地回答出二次根式的定义.二、图形与图形之间的转化图形变换的目的就是化繁为简，化难为易，化笨为巧，寻找解题捷径，通过转化思想来开拓你的解题思路. 转化有转化条件、转化问题、转化方法，等等. 例如运用“等积替代图形”：例如图，菱形abcd的边长为2 cm，∠a = 60°. 以点a为圆心、ab长为半径的弧，以点b为圆心、bc长为半径的弧. 则阴影部分的面积为 cm2.分析连接bd，由菱形的性质知ab = bc = cd = ad，又因为∠a = 60°，所以三角形abd和三角形bcd都是等边三角形，故阴影部分的面积等于三角形bcd的面积.三、生活中的实际问题与数学问题的转化数学来源于生活，也服务于生活. 用贴近学生生活的实际问题为背景，构建函数类的试题，利用函数模型解决实际问题的考法是历年中考的热点之一，也是十分常见的，解决实际问题的思考方法.例某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知道，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的函数关系为t = -3x + 204.（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每件服装的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）.（2）商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少？最大销售毛利润为多少？分析（1）因为销售量t = -3x + 204，每件的销售价为x（元/件），进价为每件42元，所以这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式y = t ×（x - 42） = （-3x + 204）×（x - 42）（2）y = （-3x + 204）×（x - 42）是二次函数，求每天获得最大销售毛利润，实质是求二次函数的最大值，可以把二次函数的关系式化为顶点式求解，也可以用二次函数的最值公式求解.四、动态问题与静态问题的转化动态问题在初中数学中占有重要位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题灵活性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解.例如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ad = 3，dc = 5，bc = 10，梯形的高为4.动点m从b点出发沿线段bc以每秒2个单位长度的速度向终点c运动；动点n同时从c点出发沿线段cd以每秒1个单位长度的速度向终点d运动.设运动的时间为t（秒）.（1）当mn∥ab时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△mnc为等腰三角形.分析本题中出现了两个动点，很多同学可能会无从下手. 但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解. 对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，m，n是在动，意味着bm，mc以及dn，nc都是变化的. 但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件dc，bc长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的. 所以当题中设定mn∥ab时，就变成了一个静止问题. 由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果.当然，在解题时还有其他转化方法：如数与形的转化，等角代换，等线段代换，等积代换，等比代换，各学科知识之间的转化等. 在实现问题的转化时可根据题目条件，图形特征，选择适当的转化方法，从而把陌生问题，复杂问题，较难问题转化为熟悉，简单，较易的新问题. 新问题解决了，原问题也解决了. 可以毫不夸张地说，转化思想贯穿在数学解题的始终，而转化思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉转化的思想，有意识地运用数学变换方法，去灵活地解决有关数学问题，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧. “数学王子”高斯曾说过：“数学中的转换是美的发现”，由他少年时轻松地求出自然数1到100的和的方法我们也可领略到这位数学大师少年时不凡的数学天赋及巧妙运用角度转换解决数学问题的能力.。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想是一种通过变形、等价转化等方法，使题目更易于理解、计算和解答的思考方式。
在初中数学解题中，转化思想应用广泛，可以减少计算量、简化问题、得出更精确的答案。
以下是几个例子：
1. 化简式子
化简式子是数学中经常出现的问题，例如化简分式、化简式子等。
这时可以运用转化思想，将式子变形成更简单的形式，使得计算更方便。
2. 转化为几何问题
在解决几何题时，转化思想也非常有用。
可以将几何题转化为代数问题或者反过来，根据具体情况来选择合适的表达方式，从而更好地解决问题。
3. 设变量
在解决问题中，遇到一些具有变量的题目，可以将问题中所含量先假设为变量，根据实际情况推导出该变量的取值，从而得出问题的答案。
4. 分解因式
分解因式也需要运用转化思想，将表达式按照特定的规则进行转化，使其因式分解更加得心应手。
同时，因式分解也可以被视为一种概括和转化的思想方法。
总之，转化思想在初中数学解题中的应用非常广泛，可以巧妙地化简问题、提高解题效率、得出更精确的答案。
“转化”思想在数学教学中的运用
．
— —
以解 决 的 问 题 ， 解 题时 ， 往 往 既 要 对 已知 条 件 转 化 ， 又 要 对 求 解 目的 进 行 转 化 ． 问 题 与 问 题 之 间 的互 通 就 是 转 化 的结 果 ．
一
、
化 复 杂 为 简 单
２ ０ １ ３ 年 第１ 期
港瘸 ・ 解题思想方法
‘ ‘ 转 化 ’ ’ 思 ， 想 在 数 学 教 学 中 的 运 用
■ 傅 全 芬
数学思想方法 是解决 数学 问题 的行动 指南． 数 学 思 想 是 指人 们 对 数 学 理 论 和 内 容本 质 的 认 识 ． 一般 情况下 ， 解 决 各 种
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指在含有两个或两个以字 母 作 为 研 究 的主 要 对 象 ， 视为“ 主元 ” ， 而将其余 各字 一 母 视作 参 数 或 常 量 来指 导 解 题 的 一 种 思 想 方 法 ． 这 一 思 想 方 ¨、 二田＾ ＾ 目也 一 “ ＝， ’＇ 靶 “ ＝＂ 目 川 州 仫 Ｌ 、 苊删疋 土儿 、 】 匹 佯 ２ １ ２ 儿 ’ 仕 夕 里 Ｉ ｕ Ｊ 魁Ｗ Ｊ 肼 题 中一 旦 选 对 了“ 主元” ， 等价 于 战 斗 中 选 准 了 主攻 方 向 ． 一 般
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谈转化思想策略在数学问题解决中的应用
谈转化思想策略在数学问题解决中的应用发表时间：2019-07-05T16:53:32.493Z 来源：《成功》2018年第11期作者：李振甫[导读] 运用“转化”的思想策略，可以实现由未知到已知、由繁到简、由难到易，从而顺利地解决问题。
该思想策略的渗透必须依赖基本概念的获得过程、具体的问题解决过程及学生现实的思维水平。
教师要努力优化教学设计，引导学生通过亲历亲为，去一步一步感知、体会、理解与运用，让转化思想策略在学生心中得以内化、巩固与运用。
邳州市新河镇中心小学江苏徐州 221000【摘要】运用“转化”的思想策略，可以实现由未知到已知、由繁到简、由难到易，从而顺利地解决问题。
该思想策略的渗透必须依赖基本概念的获得过程、具体的问题解决过程及学生现实的思维水平。
教师要努力优化教学设计，引导学生通过亲历亲为，去一步一步感知、体会、理解与运用，让转化思想策略在学生心中得以内化、巩固与运用。
【关键词】小学数学教学；转化思想内涵；应用价值；应用范畴数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂所在，它是学生数学综合素养的重要内容之一。
在小学数学课堂上，教师不仅要向学生传授基本的数学知识，帮助其掌握解决问题的技能，还要让学生通过解决问题来感受与领悟数学中所蕴含的数学思想及重要的数学思维方式，以解决难度更大的问题。
数学思想方法很多，笔者现结合自己的教学实践，谈谈转化思想策略在数学问题解决中的应用。
一、转化思想的内涵及其应用价值数学思想博大精深、丰富多彩。
“转化”，乃数学问题解决中的一个重要思想与策略，目的性、方向性和概括性是其主要的特点。
“转化”是解决数学问题经常使用的一种方法，即在解决问题的过程中，将问题加以“变形”，将解决起来较为困难的问题转化为熟知的或利用旧知能够解决的问题。
此种方法或思维方式在数学上也叫做“化归”，即将问题化难为易，化繁为简的过程称。
对于转化思想的应用，匈牙利数学家P.路莎曾经较为形象地指出：对较难的问题可以不进行“正面进攻”，而采取“迂回战术”，不断地将其变形，直至将它转化为已经能够解决的问题。
浅谈转化的思想在高中数学解题中的运用
浅谈转化的思想在高中数学解题中的运用一、什么是转化思想？转化思想是指将一个问题或概念转化为另一个问题或概念，从而更好地理解和解决它。
在数学领域中，转化思想是一种重要的解题方法和思维方式。
二、转化思想在数学中的应用1.等价物和等式的转化在初中数学中，我们学习了等式的性质和运算法则，用等式解决问题。
在高中数学中，我们不仅要会解方程和不等式，还要掌握等价转化。
即将涉及到问题的等式或不等式通过变形、代数运算，化为更简单、更容易处理的形式，帮助我们更轻松地理解和解决问题。
比如，有一道经典的高中数学题：“已知a+b=1，a2+b2=2，求a3+b3的值。
”通过平方(a+b)2=a2+2ab+b2，代入a2+b2=2，得到 $ab=-\\frac{1}{2}$ 。
又因为a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，代入a2+b2=2和 $ab=-\\frac{1}{2}$，则有 $a^3+b^3=\\frac{9}{4}$。
这道题就运用了等价转化的思想，把原来的难题转化为新增的更加简单的问题。
2.几何意义的转化几何意义的转化是指将几何问题用代数方法解决，或者将代数问题转化为几何问题来解决。
这种方法可以提高我们对几何图形的认识，同时，也能够帮助我们更好地掌握代数方法。
例如，有一道常见的高中数学题：“证明在直角三角形中，等腰直角锐角三角形的面积最大。
”我们可以将“等腰直角锐角三角形”的两个直角A、B沿斜边延长，分别交于两点C、D。
连接CD并求出它的一半，则得到了中线MN。
因此，等腰直角锐角三角形的面积等于以中线MN为底，高为CD的面积。
等区间一半，即为性质中所述的最大面积。
这种数学方法的转化不但方便我们的运算，还让我们理解了一种新的几何意义，将代数问题和几何问题联系起来。
3.数学模型的转化在实际生活中，我们常常需要用数学建立一些模型来分析和解决问题。
当问题很复杂时，我们可以采用转化思想，将问题转化为新的数学模型进行分析。
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运用转化思想解决数学问题
转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一转化为已能解决的问题来解竞赛题。
本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点，这些都是属于初等数论范畴，而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予重视。
对于数论的学习，不能操之过急，应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的题目进行反思，这一点是很重要的。
我们一同来体会一下最近几年全国和各省市初中竞赛题目中常见的问题，如何把问题转化。
例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。
分析我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即
4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
当m18时，若，则m9
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之
和，故m=17
此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
例2 求满足等式的正整数x、y。
分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2019，因为2019是质数，这也是一个信息。
解：观察式子特点不难得出
故所求的正整数对（x,y）=（1，2019），（2019，1）
此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
分析我们采取分析法，因为是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。
解：由已知是一个完全平方数，所以我们就设，显然不是3的倍数，于是，从而
即，所以k的最小值是3
此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。
例4 设为完全平方数，且N不超过2392。
求满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有________对。
分析此题与例3有相似之处，但是要难一些。
首先用到了
性质8，然后再结合不等式解决此问题。
解：，且23为素数，N为不超过2392的完全平方数
所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），，（22，4）
故满足条件的（x,y）共有5+22=27对
此问题用到了数论里常用的方法不等式法。
把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上（下）界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
例5 已知方程的根都是整数，求整数n的值。
分析已知方程的根是整数，所以先把根求出来，所以根号下的数就应该是完全平方数，故此问题得以解决。
解：由求根公式解得
因为方程的根都是整数
所以是完全平方数
设，则有
所以，分别解得整数n的值为10，0，－18，－8
此题的难点在于知道是完全平方数之后，如何分解它，实际上是在解一个不定方程问题。
例6 设四位数是一个完全平方数，且，求这个四位数。
解：设
由于67是质数，故与中至少有一个是67的倍数
此问题值得注意的是我们在设未知数的时候，采取整体代
换，即把看成整体，从而使问题简化。
例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
分析此类型问题在考试中出现多次，它的方法基本上是设出之后做差，然后运用平方差公式分解，最后去解不定方程。
解：设此自然数为x，依题意可得
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时，我们要以不变（知识）去应万变（问法），不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
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