第三章 系统的时域分析 4 离散单位脉冲响应

y[k]
y[k]=0
y[ k ] =
n=0
∑
k
a k −n
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 ≤ k ≤ N − 1 R N [k ] = 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1
N- 1
n
-(N-1)
0
n
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
例3 计算 x[k ] = {1, 2, 0, 3, 2} 与 h[k ] = {1, 4, 2, 3}
的卷积和。 解:
利用卷积 和的起点 坐标等于 待卷积两 序列起点 之和， 之和，确 定卷积和 的原点。 的原点。
↓
↓
y[k ] = {1, 6, 10, 10, 20, 14, 13,6}
↓
例4 计算 x[k ] = α k u[k ] 与 h[k ] = β k u[k ]
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五” 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》 信号与系统》
陈后金，胡健，薛健 陈后金，胡健， 高等教育出版社， 2007年 高等教育出版社， 2007年
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
g [k ] = − ∑ ( −1) n + 2 ∑ ( −2) n
n =0 n =0 k k
1 4 1 k k = [− (−1) + (−2) + ]u[k ] 2 3 6
卷积和的计算与性质
图解法计算卷积和 列表法计算卷积和 卷积和的性质
交换律 结合律 分配律 位移特性 差分与求和特性
一、图解法计算卷积和 图解法计算卷积和
h[-n] 1
0
k < 0, x[n]与h[k−n]图形没有相遇
y[k]=0
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
h[-n] 1
0
k ≥ 0, x[n]与h[k−n]图形相遇
y[ k ] =
n=0
∑
k
a
k −n
k ≥0
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k] k < 0， x[n]与h[k−n]图形没有相遇 k ≥ 0，x[n]与h[k−n]图形相遇
分配律: 分配律:
x[k] ∗ { h1 [k] + h2 [k] } = x[k] ∗ h1 [k] + x[k] ∗ h2 [k]
三、卷积和的性质
位移特性： 位移特性： x[k] ∗ δ [k−n] = x[k−n] 推论： 推论：若x[k]∗h[k]=y[k]，则
x[k−n] ∗ h[k− l] = y[k− (n+l)]
卷积和的定义为 计算步骤： 计算步骤：
1) 将x[k]、h[k]中的自变量由k改为n； 2) 把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得 h[−n] ； 3) 把h[−n]平移k，k是参变量。k>0图形右移，k<0图形 左移。 4) 将x[n]与 h[k−n] 相乘； 5) 对乘积后的图形求和。
x[k ] ∗ h[k ] =
∑1
N −1
= 2N −1− k
y[k] = 0
k > 2N−2时，RN [n]与RN [k−n]图形不再相遇
4 3 2 1 0 1 2 3
⋯
N-1
⋯
2N-2
k
二、列表法计算序列卷积和 列表法计算序列卷积和
设x[k]和h[k]都是因果序列，则有
y[k ] = x[k ] ∗ h[k ] = ∑ x[n]h[k − n], k ≥ 0
根据卷积积分的结合律性质，有
y (t ) = x(t ) * h1 (t ) * h2 (t ) = x(t ) *[h1 (t ) * h2 (t )]
h(t)
一、级联系统的冲激响应 级联系统的冲激响应
g[ k ] =
n = −∞
∑ h[n]
k
h[k]=g[k]−g[k−1]
例2 求例1所述系统的单位阶跃响应 g[k]。
例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为
y[k ] + 3 y[k − 1] + 2 y[k − 2] = x[k ]
解： 例1 所述系统的单位脉冲响应为 h[k] = [ −(−1)k + 2(−2)k ] u[k] 利用h[k]与g[k] 的关系，可得
1 βt αt (e − e )u (t ) α ≠ β αt βt e u (t ) ∗ e u (t ) = β − α te at u (t ) α =β
三、卷积和的性质
交换律: 交换律: 结合律: 结合律:
x[k] ∗ { h1[k] ∗ h2[k]} ={ x[k] ∗ h1 [k] } ∗ h2 [k] x[k] ∗ h[k] = h[k] ∗x[k]
1 0 ≤ k ≤ N − 1 R N [k ] = 0 otherwise
y[k] = 0
k < 0时, RN [n]与RN [k−n]图形没有相遇
RN[k -n] , k < 0 1 RN[n]
k-(N-1)
k
0
N-1
k
n
0≤ k ≤ N −1时，重合区间为[0，k]
RN[k -n] , 0 ≤ k ≤ N − 1 1 RN[n]
离散时间系统的单位脉冲响应 离散时间系统的单位脉冲响应
单位脉冲响应h[k]定义 定义 单位脉冲响应 h[k]的求解 的求解 迭代法 等效初始条件法 阶跃响应g[k]的求解 的求解 阶跃响应
一、单位脉冲响应h[k]定义
单位脉冲序列δ [k]作用于离散时间LTI系统所 产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号h[k] 表示。 对 N 阶LTI离散时间系统， h[k]满足方程
的卷积和。 解:
x[k ] = δ [k + 2] + 2δ [k ] + 4δ [k − 1]
↓
↓
利用位移特性
x[k ] * h[k ] = {δ [k + 2] + 2δ [k ] + 4δ [k − 1]} * h[k ] = h[k + 2] + 2h[k ] + 4h[k − 1]
y[k ] = x[k ] * h[k ] = {1, 4, 7, 15, 26, 26, 12}
的卷积和。 解:
=
n = −∞
∑
+∞
α k u[k ] * β k u[k ]
α n u[n] ⋅ β k − n u[ k − n]
β k +1 − α k +1 k ≥0 ຫໍສະໝຸດ Baidu u[k ] α ≠ β = β −α k < 0 (k + 1)a k u[k ] α = β
k α n ⋅ β k −n ∑ = n =0 0
例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k ] + 3 y[k − 1] + 2 y[k − 2] = x[k ] 求系统的单位脉冲响应h[k]。 解：h[k]满足方程
h[k ] + 3h[k − 1] + 2h[k − 2] = δ [k ]
1) 求等效初始条件
对于因果系统有h[−1] = h[−2] = 0，代入上面方程可推出
∑1
N −1
= 2N −1− k
RN[n]
1
RN[k -n] , N − 1 < k ≤ 2 N − 2 -n]
0
k-(N-1)
N-1
k
n
k > 2N−2时，RN [n]与RN [k−n]图形不再相遇
y[k] = 0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 ≤ k ≤ N − 1 R N [k ] = 0 otherwise
n =0 k
当k = 0时， y[0] = x[0]h[0] 当k = 1时， y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] 当k = 2时， y[2] = x[0]h[2] + x[1]h[1] + x[2]h[0] 当k = 3时， y[3] = x[0]h[3] + x[1]h[2] + x[2]h[1] + x[3]h[0]
1 h[−1] = −C1 − C2 = 0 2 h[0] = C1 + C2 = 1
解得 C1=−1，C2= 2
h[k ] = [−(−1) k + 2(−2) k ]u[k ]
三、单位阶跃响应 单位阶跃响应
单位阶跃序列u[k]作用在离散时间LTI系统上产生的 零状态响应称为单位阶跃响应，用符号g[k]表示。 求解方法: 求解方法: 1) 迭代法 2) 经典法 3) 利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
差分与求和特性： 差分与求和特性：若f[k]∗h[k]=y[k]
∇x[k ] * h[ k ] = x[ k ] * ∇h[k ] = ∇y[k ]
x[k ] * ∑ h[n] = ( ∑ x[n]) * h[k ] =
n = −∞ n = −∞ k k
n = −∞
∑
k
y[n]
例5 计算 x[k ] = {1, 0, 2, 4} 与 h[k ] = {1, 4, 5, 3}
↓
冲激响应表示的系统特性 冲激响应表示的系统特性
级联系统的冲激响应 级联系统的冲激响应 并联系统的冲激响应 并联系统的冲激响应 因果系统 稳定系统
一、级联系统的冲激响应 级联系统的冲激响应
z (t ) = x(t ) * h1 (t ) y (t ) = z (t ) * h2 (t ) = z (t ) * h1 (t ) * h2 (t )
n = −∞
∑
∞
x[n]h[k − n]
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
h [ k ] 或 h[ n ] 1
k 0 n
h[-n] 1
0
n
例1 已知x[k] = u[k]，h[k] = aku[k]，0<a<1， 计算y[k] = x[k]*h[k]
y[k] = 0
k < 0时, RN [n]与RN [k−n]图形没有相遇 0≤ k ≤ N −1时，重合区间为[0，k] N−1 < k≤ 2N −2时， 重合区间为[k −(N−1) ，N−1]
RN[k]*RN[k] N
⋮
y[k ] = ∑ 1 = k + 1
n =0
k
y[k ] =
n = k − ( N −1)
∑
i =0
n
ai h[ k − i ] = ∑ b jδ [k − j ]
j =0
m
二、 h[k]的求解 的求解
求解方法: 求解方法:
1) 迭代法 2) 等效初始条件法 将δ [k−j]对系统的瞬时作用转化为系统的等 效初始条件。 等效初始条件由差分方程和h[−1] = h[−2] = … = h[−n] = 0 递推求出。
h[0] = δ [0] − 3h[−1] − 2h[−2] = 1 h[1] = δ [1] − 3h[0] − 2h[−1] = −3
可以选择h[0]和h[1] 或h[−1]和h[0]作为初始条件
注意：选择初始条件的基本原则是必须将 δ[k]的作用体现在初始条件中
例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k ] + 3 y[k − 1] + 2 y[k − 2] = x[k ] 求系统的单位脉冲响应h[k]。 解：h[k]满足方程 h[k ] + 3h[k − 1] + 2h[k − 2] = δ [k ] 2) 求差分方程的齐次解 特征方程为 r 2 + 3r + 2 = 0 r1 = −1, r2 = −2 特征根为 h[k ] = C1 (−1) k + C 2 (−2) k , k ≥ 0 齐次解的表达式为 代入初始条件，有
y[k ] = ∑1 = k + 1
n =0
k-(N-1)
0
k
N- 1
n
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 ≤ k ≤ N − 1 R N [k ] = 0 otherwise
N−1< k≤ 2N −2时，重合区间为[k −(N−1) ，N−1]
y[k ] =
n = k − ( N −1)
⋮
以上求解过程可以归纳成列表法。
二、列表法计算序列卷积和 列表法计算序列卷积和
将h[k] 的值顺序排成一行，将x[k]的值顺序排成一列，行 与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋯
对角斜线上各数值就是 x[n]h[k−n]的值。 对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。